Esercitazione n 3. 1 Successioni di funzioni. Esercizio 1: Studiare la convergenza in (0, 1) della successione {f n } dove f n (x) =

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1 Esercitazioe 3 Successioi di fuzioi Esercizio : Studiare la covergeza i (0, ) della successioe {f } dove f (x) = metre Sol.: Si verifica facilmete che lim f (x) = 0 x (0, ) lim sup f (x) = lim = + (0,) da cui si ricava che la covergeza o è uiforme (ache se il limite è cotiuo). Esercizio 2: Studiare la covergeza su R della successioe {f } defiita da { x < + f (x) = 0 altrimeti Sol.: Ache i questo caso x R Si vede facilmete che lim f (x) = 0 sup f = R. (+x) 2 duque la covergeza o è uiforme su R, metre su ogi itervallo chiuso [a, b] abbiamo per ogi > b sup f = 0 [a,b] pertato sugli itervalli limitati si ha covergeza uiforme. Esercizio 3: Verificare che la successioe {f } defiita da { 2 f (x) = < x 0 altrimeti

2 coverge putualmete ma o uiformemete su [0, ], tuttavia vale il passaggio al limite sotto il sego di itegrale. Sol.: Si vede facilmete che il limite putuale della successioe è la fuzioe ulla. Tuttavia la covergeza o è uiforme perché l estremo superiore delle f vale e diverge per tedete a. Ivece come voluto. 0 f (x) dx = / /2 dx = 2 = 2 0 Esercizio 4: Verificare che la successioe {f } defiita da a 2 x 0 x < a f (x) = b 2 x + ab x < b b b 0 x b co a > 0, b > coverge putualmete ma o uiformemete su [0, b], e che per {f } o vale il passaggio al limite sotto il sego di itegrale. Sol.: Il limite putuale di {f } è acora ua volta la fuzioe ulla, poiché l itervallo [b/, b] tede all itero itervallo [0, b]. Comuque il massimo delle f (che soo fuzioi cotiue) è raggiuto per x = e vale a che però diverge per tedete a. duque la covergeza o è uiforme. Calcoliamo l itegrale delle f : b 0 f (x) dx = + a b / 0 [ 2 x 2 bx 2 a 2 x dx + ] b/ / b/ / = a 2 + a b ( a b 2 x + ab ) b dx = a 2 + ( ) b 2 2b 2 + 2b = a a(b ) 2 = ab Tale itegrale o dipede da e o può duque covergere a 0 come vorrebbe il teorema di passaggio al limite sotto il sego di itegrale. Nota: Si osservi che il grafico delle fuzioi f ha la forma di u triagolo di base b/ ed altezza a. Duque l itegrale si può calcolare ache come area del triagolo e si ottiee uovamete A = 2 a b = ab 2. 2 Serie di fuzioi Defiizioe 2. Ua serie di fuzioi coverge putualmete (risp: uiformemete) i u itervallo I di R se la successioe delle sue somme parziali coverge putualmete (risp: uiformemete). 2

3 Defiizioe 2.2 Ua serie coverge totalmete i I se esiste ua serie umerica M covergete a termii positivi tale che Ricordiamo ioltre che f (x) M x I, N. covergeza totale covergeza uiforme covergeza putuale coverge total- Esercizio 5: Verificare che la serie di fuzioi f dove f (x) = x mete i R. Sol.: Cerchiamo di stimare le f co il loro estremo superiore. Abbiamo f (x) = x x 4 (x ) 2 = 3 4 x 4 (x ) 2 x e si aulla solo per x = ±. Il massimo di f si raggiuge duque per x = e vale /(4 3 ). Se poiamo duque M = abbiamo per ogi 4 3 e la serie M coverge. f M Esercizio 6: Verificare che la serie di fuzioi f dove { / x < + f (x) = 0 altrimeti coverge uiformemete ma o totalmete i [, + ). Sol.: Calcoliamo la somma parziale delle f. Abbiamo { k /i i x < i + s k (x) = f i (x) = 0 x k + i= Il limite delle somme parziali è duque la fuzioe f(x) = i x [i, i + ), i N La covergeza è uiforme. Ifatti sup s k (x) f(x) = I k + che coverge a 0 per k tedete a. Tuttavia ogi serie umerica che abbia termie geerico M per cui f (x) M o può covergere (perché maggiora la serie armoica avere covergeza totale. 3 che diverge). No si può quidi

4 2. Serie di poteze Ricordiamo che per le serie di poteze S(x) := =0 a x vale il seguete Teorema 2.3 Se la serie S(x) coverge i u puto ξ 0 allora coverge totalmete i ogi itervallo chiuso e limitato coteuto i ( ξ, ξ ). Ha quidi seso parlare del raggio di covergeza ϱ di S(x), dove ϱ := sup{x R + S(x) coverge i x} Per determiare il raggio di covergeza di ua serie di poteze si possoo usare i due segueti criteri: Teorema 2.4 (Criterio di Cauchy-Hadamard) Sia l := lim a. Allora dove se l = 0 ϱ =, metre se l = ϱ = 0. ϱ = l Teorema 2.5 (Criterio di D Alembert) Sia l := lim a + a. Allora dove se l = 0 ϱ =, metre se l = ϱ = 0. ϱ = l E importate otare che al bordo dell itervallo ( ϱ, ϱ) o si può stabilire a priori la covergeza della serie. Esercizio 7: Verificare che il raggio di covergeza di vale e che per x =, la serie o coverge. Sol.: Poiché a = per ogi, dal criterio di Cauchy-Hadamard si ha x = da cui ϱ =. Per x = tale serie ha termie geerico uguale ad e diverge. Per x = il termie geerico è ( ) e la serie risulta idetermiata. Duque o c è covergeza al bordo dell itervallo (, ). Esercizio 8: Verificare che il raggio di covergeza di 4 x

5 vale e che per x = la serie o coverge, metre si ha covergeza per x =. Sol.: Dal criterio di D Alembert + = da cui ϱ =. Per x = la serie data coicide co la serie armoica, duque diverge, metre per x = abbiamo la serie umerica ( ) che coverge per il criterio di Leibitz per le serie a sego altero. Esercizio 9: Verificare che il raggio di covergeza di x 2 vale e che per x =, la serie coverge. Sol.: Acora ua volta dal criterio di D Alembert abbiamo 2 ( + ) = 2 duque ϱ =. I x = la serie diveta che coverge. I x = ivece abbiamo che coverge per il criterio di Leibitz. 2 ( ) Esercizio 0: Determiare il raggio di covergeza di + x (b) (3 + /) x Sol.: : Dal criterio di D Alembert abbiamo = da cui ϱ =. (b): Dal criterio di Cauchy-Hadamard (3 + /) = lim 3 + / = 3 da cui ϱ =

6 3 Altri esercizi svolti coverge putual- Esercizio : Verificare che la successioe {f } defiita da f (x) = mete ma o uiformemete su R. Sol.: Per ogi x R abbiamo Ioltre 0 f (x) < su R e duque lim f (x) = 0 sup f = lim f (x) = 0 R x + Ne segue che {f } o coverge uiformemete i R. Esercizio 2: Studiare la covergeza putuale delle serie di fuzioi x e x (b) e x x2 +x 2 Sol.: : Per x < 0 la serie o coverge perché il suo termie geerico o è ifiitesimo. Per x = 0 la serie è ideticamete ulla (duque coverge). Quado ivece x > 0 dal criterio del rapporto abbiamo lim x + e (+)x x ex = lim + e x = e x < duque la serie coverge putualmete. (b): Come prima per x < 0 il termie geerico della serie o è ifiitesimo. Per x = 0 però la serie data coicide co la serie armoica e o coverge. Per x > 0 abbiamo lim + e (+)x e x = e x < Quidi si ha covergeza putuale solo per x > 0 e o per x 0 come el caso precedete. Esercizio 3: Verificare che la serie di fuzioi ( ) x coverge uiformemete ma o totalmete i I = [0, ]. Sol.: Abbiamo sup I x = duque la serie o può covergere totalmete. Per x = 0 la serie è ulla, metre per ogi 0 < x tramite il criterio di Leibitz per le serie umeriche otteiamo la covergeza putuale ad ua fuzioe f. Sia s k la somma dei primi k termii della serie data. Allora f(x) s k (x) xk+ k + k + 6

7 da cui segue che la covergeza è ache uiforme. Esercizio 4: Stabilire per quali x > 0 covergoo le serie x (b) 2 x ed il tipo di covergeza. Sol.: : Per x abbiamo (poiché /x ) x duque o si può avere covergeza putuale. Per x > ivece dal criterio del rapporto lim x ( + )x + = x < pertato la serie data è covergete per x > ad ua fuzioe f. covergeza totale perché x = e la serie armoica diverge. Ivece sup (,+ ) sup f(x) s k (x) = sup (,+ ) (,+ ) =k+ x = =k+ che tede a 0 per k. Quidi la serie coverge uiformemete i (, + ). (b): possiamo applicare il criterio della radice lim 2 x = x No si può avere la Duque se x < o si può avere covergeza, metre per x la serie è stimabile el seguete modo 2 x 2 Si ha duque covergeza totale i [, + ). Esercizio 5: Determiare il raggio di covergeza delle segueti serie x! (b)! x 2 (c) x 5 7

8 Sol.: : Dal criterio di D Alembert da cui ϱ =. (b): Acora dal criterio di D Alembert da cui ϱ = 0. (c): Per Cauchy-Hadamard da cui ϱ = 5.! ( + )! = lim + = 0 ( + )! 2 2 +! = lim = 5 = Esercizio 6: Determiare l itervallo di covergeza (ossia il raggio di covergeza ed il comportameto al bordo) delle segueti serie 2 x (b) x Sol.: : Abbiamo a + a che implica ϱ = /2. Per x = /2 la serie diveta che diverge poiché per ogi si ha Ivece per x = /2 la serie coverge per il criterio di Leibitz. (b): Si ha 2 + = lim + 2 = lim 2 + = 2. a = lim = lim ( ) 8 9 ((/3) + ) = 9 lim (/3) + = 9

9 da cui ϱ = 9. Per x = ±9 abbiamo ioltre (±9) = (±) (/3) + ed etrambe le serie o covergoo perché il loro termie geerico o è ifiitesimo. 9