8.2 Successioni e serie, numeriche e di funzioni potenze

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1 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria 8. Successioi e serie, umeriche e di fuzioi poteze Il simbolo Es: sigifica la preseza di ua o più domade a cui acora o si è data ua risposta o per motivi di tempo o perché o si è riusciti ell iteto Sovete è riportata la fote dell esercizio il cui svolgimeto può essere diverso da quello presete i queste pagie L ordie degli esercizi o è dato é per difficoltà é per argometo. Il presete capitolo o è a livello elemetare. I geerale gli esercizi richiedoo ua buoa coosceza della teoria delle serie esposta ei ormali libri di testo. Ioltre ua parte degli esercizi riguarda la teoria delle serie di poteze el campo complesso..8. Trovare la somma della serie: + Calcolare lim + 3 Calcolare lim + [K] pag.7 ] [R.:, [S] pag.88] [R.:, [K] pag.7] + [Suggerimeto: utilizzare dt +t dx x +. R.: π 4, da [B] pag.49 e 4 Sapedo che lim + l γ γ è la costate di Eulero, trovare la costate c tale che lim + cl è fiito e trovare tale limite [R.: c, l+γ, da [B] pag.5] 5 Calcolare l [R.: 3l lπ, da Ovidiu Furdui, Joural of the School Sciece ad Mathematics Associatio, vol.8, February 8 rivista olie. La soluzioe che segue è quella sottomessa da chi scrive] 6 Calcolare + 7 Dimostrare che + [R.: l, da [B] pag.56] x+ deomiatori [da [B] pag.66] 8 Dimostrare che x + x+ x+ + x+3 + x+4 x+5 + x+6 + x+7 x+8 valore di x [da [B] pag.66] Dimostrare che x valore di x [da [B] pag.66] 9 Calcolare lim + l+ [R.: coverge per ogi valore di x che o rede ullo essuo dei x+ x+ + x+3 x+4 x+5 + x+6 x+7 x+8 Calcolare lim + e [R.: e Calcolare lim +, da [K] pag.7], da [K] pag.7 e [B] pag.58] / 4 [R.: e Calcolare + [ l +! e π+o ] 3 Calcolare + 4 Calcolare + 5 Calcolare + 6 Calcolare + 7 Calcolare + 8 Calcolare + 9 Calcolare + Calcolare + Calcolare { x} dx [R.: γ] Calcolare }{, da [K] pag.7] +... diverge per ogi +... diverge per ogi ] [R.: l, da [B] pag.56. Sarà opportuo usare la formula di Stirlig + + [R.:, da [K] pag.49. Si scompoga i fratti semplici] [R.: l, da [B] pag.5. Si usi l esercizio um. 4] 9 [R.: 3 l3, da [B] pag.5. Si usi l esercizio um. 4] 36 [R.: 3+3 l3+l, da [B] pag.5. Si usi l esercizio um. 4] 4 [R.: l, da [B] pag.5. Si usi l esercizio um. 4] 4 [R.: 8, da [B] pag.5. Si usi l esercizio um. 4] 4 3 [R.: l, da [B] pag.5. Si usi l esercizio um. 4] { x 3 Calcolare la serie l. γ è la costate di Eulero ] [R.: 3 l, da [K] pag.35. Si usi l esercizio um. 4] x} dx [R.: γ. Problema U di Mathematical Reflectios.4 6,] 4 Dopo aver dimostrato che le serie somma. [R.: γ l π/, da [B] pag.77.] l [da: M.S.Klami A.M.M. Vol.6, No.8 Oct., 955, 588 R.: γ l l γ coverge, calcolare la 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe

2 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria 5 Dimostrare che + π π4 4 [Le dimostrazioi o soo semplici. Si tratta 9 del celeberrimo risultato di Eulero. Sembra che Joha Beroulli, ua volta veuto a coosceza del risultato cercato 6 e che + per ai dalle migliori meti matematiche dell epoca, abbia esclamato : Se solo mio fratello fosse acora vivo. Tale citazioe è presa dal bel libro [W.Duham Euler, the master of us all, The Mathematical Associatio of America, 999, pag.49] rich.7 6 Calcolare 4 4+ [R.: 4 π 8. Si usi + x dx e si faccia attezioe al passaggio al limite detro certi itegrali. ] 7 Es: Calcolare al limite detro certi itegrali.] 8 Es: Calcolare 4 + [R.: +6l π. Si usi + x dx e si faccia attezioe al passaggio 3 [R.: l 9l Si usi + x dx e si faccia attezioe al passaggio al limite detro certi itegrali. um.67] 9 Calcolare Calcolare + 3 / Assumedo che la serie coverge, se e trovi la somma a x + b + a+b + a+b + a+3b + x x 3 x 4 x 5 4a+5b + 6a+8b +... [da: E.K.Clare; E.B.Davis, A.M.M. Vol., No.5 May, 95, L autore dice che x 6 x 7 la serie coverge se e e solo se <r< ma questo è falso o appea si pesa ad ab. I tal caso ifatti la successioe corrispode alla successioe di Fiboacci il cui termie diverge espoezialmete.] 3.8. Sia data la serie a. lim a + a l < la serie coverge test di D Alembert Se esiste tale che > a + a la serie diverge Se lim a + a l > la serie diverge Se lim a + a l > o si può trarre coclusioe. Tale fatto fa sì che il criterio del rapporto è meo preciso del criterio della radice. Se lim a + a l > la serie diverge Se lim a + a l < o si può trarre coclusioe. Se lim a / l < a coverge test di Cauchy Se lim a / l > a diverge test di Cauchy 4.8. Data ua qualsiasi successioe di umeri positivi {a } si ha: se lim a + a 3π esiste allora esistelima / elim a + a lima /. Dareuesempio icui oesiste lim a + a ma esistelima / Dimostrare che lim a + a lim a /, Dimostrare che lim a / lim a + a Ne segue che lim a + a lim a / lim a / lim a + a 5.8. Teorema di Abel: Dopo avere dimostrato che rich. a b a B a B dove def B i b i e a def a + a, si dimostri il risultato rich. Sia a ց e b limitata per ogi. Allora + a b coverge si dia u esempio di successioi {a } e {b } tale che a i modo o mootoo, b limitata per ogi e a b o coverge. Sia data ua successioe {a } tale che a coverge. Dimostrare che a coverge Sia a A covergete e m + m, lim + m +. Allora lim + m a m [[B] pag.66] 7.8. Sia a > e a covergete. Dimostrare che esiste b ր + e a b coverge [da G.E.Šilov Aalisi Matematica, fuzioi di ua variabile edizioi Mir 978, pag.5; Osservazioe: se fosse b e b <+ o ci sarebbe ulla da dimostrare grazie al fatto che a b a b ] Sia a > e a +. Trovare ua successioe b ց e a b +. È evidete che la stessa soluzioe si avrebbe se a + vedi rich. rich. 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe

3 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria 8.8. Dimostrare che: se + a coverge al valore A, + b coverge al valore B, almeo ua delle due serie coverge assolutamete, allora la serie + c co c a b coverge ad A B. Dimostrare che il prodotto della serie per se stessa è ua serie divergete da cui segue che il prodotto di due serie semicovergeti o è detto coverga Cauchy Sia a ց. Allora la serie a coverge se e solo se coverge la serie a rich.3 dare u esempio di successioe positiva {a } che tede a zero i modo o mootoo tale che a coverge e a o coverge dare u esempio di successioe positiva {a } che tede a zero i modo o mootoo tale che a o coverge e a coverge.8. Sia {a } mootoa. Dimostrare che ache a è mootoa ovvero trovare u cotroesempio. [da: R.W.Hammig A.M.M. Vol.5, No. Feb., 945, 7 7].8. Dimostrare ovvero trovare u cotroesempio alla seguete affermazioe: sia a ua serie covergete quidi a. Allora coverge pure la serie a.8. Si dimostri : a > a < lim + a. Altrimeti si dia u cotroesempio. rich Sia a >. Dimostrare che se la serie a coverge allora coverge pure la serie a. È vera la affermazioe se si toglie l ipotesi che a > e si cosidera a? 4.8. Sia a >. Dimostrare che se a coverge, coverge pure a a +. Il viceversa o è vero e si dia u cotroesempio ella cui ricerca è utile avere presete che se a ց allora a a + a + e quidi se coverge a a + coverge pure a Sia a >. Dimostrare che se a coverge, coverge pure a + a +. Il viceversa o è vero e si dia u cotroesempio. È utile teere presete la stessa osservazioe dell esempio precedete. U esercizio aalogo si può trovare i [da: R.O. Davies, A.M.M. Vol.75, No.8 Oct., 968, pag Dalle ipotesi del problema si deduce che a è decrescete e quidi si ricade el caso appea trattato] 6.8. Dimostrare il seguete risultato: sia a,b > e ioltre, defiitivamete i a + a b + b. Allora se b coverge, coverge pure a Sia a >. Dimostrare che la serie a coverge se e solo se coverge la serie a +a 8.8. Sia a >. Studiare che relazioe itercorre fra la covergeza o la divergeza della serie a e la divergeza o covergeza delle serie: a + a, a +a 3 a +a. I quest ultimo caso dimostrare che se a ց, e la serie a diverge, diverge pure la serie a +a Abel, Dii Sia a >. Dimostrare che la serie a coverge se e solo se coverge la serie a rich.8 S dove S a +...+a. Dimostrare che a, δ >, coverge se e solo se coverge a S δ Dare u esempio di serie i cui termii evidetemete o hao sego defiito tale che a coverge ma a /S o coverge ed ioltre suppoiamo che S e S. [da: Raimod Struble, A.M.M. Vol.3, No. Dec., 6, prob. um. 57. L autore, cadedo i errore, ivita a dimostrare che dalla covergeza di a, segue la covergeza di a /S ] Dare u esempio di serie i cui termii evidetemete o hao sego defiito tale che a o coverge ma a /S coverge ed ioltre suppoiamo che S [da: Raimod Struble, A.M.M. Vol.3, No. Dec., 6, prob. um. 57. L autore, cadedo i errore, ivita a dimostrare che dalla 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 3

4 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria covergeza di a /S, segue la covergeza di a ].8. Abel, Dii Sia a >. Dimostrare viceversa che la serie a S +δ δ > coverge sempre se rich.4.8. Sia data ua fuzioe fx ց e ua successioe {a } >. Allora + fxdx < + a fs < + e + fxdx + a fs + [[B] pag.49, esercizio um.7. L autore dà pure come codizioe serie a + ma o sembra che tale codizioe sia ecessaria. ] rich. Si dia u esempio di f ց e serie positiva divergete a tale che + fxdx + e a fs < +. Si dia u esempio di f ց e serie positiva divergete a tale che + fxdx < + e a fs Sia fx >. Allora a fs diverge per qualsiasi serie positiva divergete a se e solo se fx Ox per x + [da: A.Torchisy; Leo Gerber; M.J.Pellig A.M.M. Vol.84, No. Feb., 977, 38 39] 3.8. Sia data ua fuzioe fx ց e ua serie a + tale che a >. Sia ioltre verificata ua delle segueti tre proprietà : a limitata, a + a limitata, 3 S + S limitata. Allora + fxdx < + a fs < + [da: C.T.Rajagopal A.M.M. Vol.48, No.3 Mar., 94, 8 85;] Il risultato implica il seguete: se D + > D, D, lim + D +, e D D O allora D D fd coverge se e solo se coverge + fxdx [da: J.E.Littlewood Messeger of mathematics Vol.39, Mar., 9, 9 9;] 4.8. Sia data fx per x e sia Fx sup y x fy. Allora a fs < + per qualsiasi serie positiva divergete a se e solo se esiste α tale che + α Fxdx < + [da: A.Torchisy; Leo Gerber; M.J.Pellig A.M.M. Vol.84, No. Feb., 977, 38 39; la parte se dell esercizio risolve la prima parte dell esercizio.7, [B] pag.49 ] 5.8. Abel, Dii Sia a >, la serie a covergete e R + la serie a R diverge. Dimostrare lo stesso risultato per la serie a + R Dimostrare ioltre che la serie a R δ a. Dimostrare che oppure trovare u cotroesempio. diverge per ogi δ > Si dia u esempio di serie evidetemete o a sego defiito a covergete ad S tale che S S ed ioltre a /R coverge. [da: Raimod Struble, A.M.M. Vol.3, No. Dec., 6, prob. um. 57. L autore, cadedo i errore, ivita a dimostrare che dalla covergeza di a, segue la divergeza di a /R ] 6.8. Dimostrare ovvero trovare u cotoesempio alla seguete affermazioe: sia a ua serie covergete e sia b ua serie tale che lim + a b. Allora coverge pure la serie b 7.8. Seza fare ricorso agli itegrali, dimostrare che + p coverge se e solo p > si suppoga di cooscere la serie geometrica + x co x < Seza far uso del Teorema di Leibitz, dimostrare che la serie coverge. a 9.8. Dimostrare il seguete risultato: sia a >. Se lim + b l, allora a coverge se e solo se b coverge. a 3.8. Dimostrare il seguete risultato: sia a >. Se lim + b l, allora a coverge se e solo se b coverge. Dare u esempio di successioi positive {a } e {b } tali che a < +, b < +, a lim + b o esiste. Si cosideri ache il caso di successioi mootoe. 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 4

5 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria 3.8. Criterio di Raabe Dimostrare il seguete risultato: sia a > tale che a + a α E co lim + E. Se α > la serie a è covergete metre se α < la serie a è divergete. Se α il criterio o dice ulla e quidi esistoo casi i cui a diverge a e casi i cui coverge a l rich.6 Dire sotto quali codizioi coverge la serie + +α +β + +α+α +β+β + +α+α+3α +β+β+3β... + Π i +iα Π [da [B] pag.48] +iβ i Ad eccezioe di α, trovare per quali α la serie coverge oppure diverge + Π i eα i [da G.Pòlya G.Szegö Problems ad Theorems i Aalysis I Spriger Verlag Ed. pag.36, per α ache i [B] pag.49 Dimostrare che per b > a+ coverge la serie + + Suggerimeto: detto a : Π a+ Π b+ scrivere a + a Π a+ b Π b+ e la somma è pari a b a e poi maeggiare quato otteuto per otteere v v +... co v opportua. Dimostrare che per b < a + la serie diverge. Per b a + il criterio o dice ulla e bisoga usare il criterio di Gauss. Dimostrare che per b > a + coverge la serie + + Π a+ e la somma è pari a b+ ab a b a b a Π [Suggerimeto: si scriva la serie come differeza di due serie del tipo della precedete; da [B] pag.48] 3.8. Criterio di Gauss Dimostrare il seguete risultato: sia a > tale che a + a α + f, s >, f < A. Se α > la serie a s coverge metre se α la serie a diverge. Da ciò segue che se abbiamo ua serie a tale che a + a + c l + O/ e c <, essa diverge i quato defiitivamete α + f s α + c l +O/ Dire per quali x coverge e diverge la serie x l Dire se coverge oppure diverge la serie + Π i i e [R.: da [B] pag.49] Dire se covergoo le serie la prima co < a < e la secoda al variare di e N itero + j j e j a, + j j, j N Dimostrare che diverge la serie + Π a+ Π a++ Dire se coverge o diverge al variare di a >, e b >, la serie + Π a+l Π b+l Sia a ց e a covergete. Ne segue lim + a. Utilizzare tale risultato per dimostrare che + diverge rich.7 Sia p ua successioe tedete a + letamete quato si vuole. Dimostrare che esiste ua successioe positiva mootoa covergete a tale che p a o tede a zero Sia {a } mootoa e positiva tale che a coverge. Se ache { a } è mootoa, allora lim + a l [da: R.W.Hammig A.M.M. Vol.5, No. Feb., 945, 7 7] Sia p ua successioe tedete a + letamete quato si vuole. Dimostrare che esiste ua successioe positivamootoa covergete a taleche a èache essa mootoa e p a l o tede a zero [È iteressate otare che la questioe viee affrotata i ua ota a pié pagia i [K] pag.33. Ioltre l autore sembra o cofutare il fatto che verso la fie del 86, si riteesse a l codizioe ecessaria per la covergeza] Sia a ց. Dimostrare che se a coverge allora coverge pure a a + [si veda: [B] pag.54 dove si dice testualmete the covergece of a a + ca be deduced from that of a e [Ba] pag.6 dove c è solo il teorema per cui la divergeza di a implica la divergeza di a a +.; ] Dal precedete risultato si ricava pure il seguete: a, e a a, allora, detta a j S, si ha a S coverge se e solo se coverge a. Basta cosiderare a S al posto della a precedete [da: L.Seott;L.R.Newcombe A.M.M. Vol.9, No.5 May., 983, pp ] Si faccia vedere che se a + e a allora a a + + 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 5

6 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria Togliedo l ipotesi che a sia mootoa ma mateedo il fatto che a e a >, si diao i due cotroesempi: a < + ma a a + o coverge e a + ma a a + covergete Si dia u esempio di due serie divergeti a e b, a >, a, b >, b tale che ma mi{a,b } coverge. Si risolva l esercizio precedete co α ց e b ց Dimostrare che data ua qualsiasi serie covergete c, c c + >, si possoo trovare due serie divergeti a, a a + >, e b, b b + >, tali c mi{a,b }. [da: P.Ugar; A.Novioff A.M.M. Vol.56, No.6 Ju. July., 949, 43 44, D. McLea; R.Poppe A.M.M. Vol.8, No.9 Nov., 974, 9, 3 I.J.Schoeberg A.M.M. Vol.94, No.7 Aug. Sept., 987, 693] Sia d d +, co < d + d tale che mi{d,d } < +. Allora vale limd + e limd + Data ua successioe d d + > tale che d + e tale che limd +, trovare ua successioe d > tale che d + e mi{d,d } < +. L esercizio è diverso dal precedete perché il puto di parteza è l esisteza di d che diverge e o c che coverge. Ioltre delle due serie divergeti che si trovao, ua è esattamete d. Dall esercizio si deduce che, data ua serie divergete d a termii positivi e decresceti, codizioe ecessaria e sufficiete perché esista ua serie divergete d a termii positivi tale che mi{d,d } < + è che limd +. [da: P.Ugar; A.Novioff A.M.M. Vol.56, No.6 Ju. July., 949, 43 44] Sia m, m ua successioe strettamete crescete di iteri. Dire se coverge o diverge la serie m m m. Si studi lo stesso problema ell ipotesi che gli m siao positivi, strettamete cresceti ma ua quatità ifiita di essi o sia itero voledo si può pesare che siao tutti o iteri [da H.E. Chresteso; W.C. Waterhouse; R.H. Breusch; J.L. Brow,Jr.; Albert Wilasy A.M.M. Vol.67, No. Dec.,96, 9 3] Sia m ր +. Dimostrare che la serie m + m coverge se p >. m p m + Suppoedo che m > e lim + m si dimostri che m m m diverge oppure si trovi u esempio per cui coverge. Suppoedo che m > e lim + m o esista, si dimostri che m m m può divergere oppure covergere Sia a ց. Dire se covergoo oppure divergoo le serie a a + a + e a a + a 4.8. Sia a ց. Si dimostri che coverge la serie a a + a p + e a a + a p per ogi p < Sia d ր +. Trovare ua serie covergete c tale che c d diverge. [La soluzioe è quella di [B] pag.47 che però o implica la mootoia di c. Seza la mootoia di d la dimostrazioe di [B] o fuzioa e bisoga ricorrere alla dimostrazioe dell esercizio rich. i cui si usa l ipotesi d + e che cosete di trovare c mootoa. d + del resto è gratis dal fatto che d ր+.] rich Sia a ց. Trovare ua serie divergete d tale che a d coverge [La soluzioe è quella di [B] pag.47 e [K] pag.3 paragrafo 9 Se si avesse a covergete, idipedetemete dal fatto che a sia mootoa, si potrebbe usare la soluzioe dell esercizio rich. che dà ua {d } mootoa]. Sia a, a e a +. Trovare ua serie divergete d tale che a d coverge oppure forire u esempio di successioe {a } per la quale o è possibile trovare ua {d } co le richieste citate. Nel paragrafo a pag. 3 di [K], si afferma che è possibile trovare {d } a partire da {a } lì è p ma si fa riferimeto alla dimostrazioe del paragrafo 9 i cui {p } è mootoa. 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 6

7 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria Sia a ց. Trovare due successioi positive e mootoe, c e d tali che c < +, d + e c a d [da Aryeh Dvoretzy A.J. of M. Vol.7, No. Ja., 948, 67 73] Si dica per quali valori di a coverge la serie + l a Dimostrare che la serie + coverge per qualsiasi valore di x. [Suggerimeto: si usi il Teorema di Abel rich. ache per l ultima domada.] rich.9 Dimostrare che la covergeza è uiforme solo ell itervallo < x x o < π. [Si veda il capitolo sulle serie trigoometriche.] six Dimostrare che la serie + cosx coverge per qualsiasi valore di x Dimostrare che la serie + six [da R.S.Uderwood; H.Tate A.M.M. Vol.45, No.6 Jue. Jul., 938, ] coverge solo per x multiplo di π Sia a x x, a x si x def sisisi...six < x < π composizioe volte. Dire se covergoo le due serie S x + a x e S x + a x [da Nicolas Koopoli; D.C.B.Marsh A.M.M. Vol.68, No.5 May, 96, 57 58] Dimostrare che lim + 3 a x come cosegueza si ha la divergeza della serie S x [da G.Pòlya G.Szegö Problems ad Theorems i Aalysis I Spriger Verlag Ed. pag.38] Dare due serie a e a co a, tale che ua sia covergete metre l altra divergete [da R.D. Carmichael; E.B.Wilso A.M.M. Vol., No. Dec.,94, ] 5.8. Sia: a,s a,lims L,limS l,l Ll può essere elpuòessere +. Dimostrare che {S } è deso ell itervallo l,l ossia {S } [l,l]. [da G.Pòlya G.Szegö Problems ad Theorems i Aalysis I Spriger Verlag Ed. um., pag.3] rich Siaa.Dimostrarechel isiemedei puti limitedellasuccessioe {S }ècoesso. Si proceda dapprima el caso i cui la successioe diverga a + o. Poi si cosideri il caso i cui coverga ed ifie il caso i cui sia idetermiata. Si usi rich Data a >, e detta A a, sappiamo che se a diverge allora diverge pure a a M + [da Paul Erdos; N.J.Fie; J.B.Kelly A.M.M. Vol.58, No.6 Ju. Jul., 95, 45 46] Es: Siao: a >, A a, lim + A + {g } ua successioe tale A. Sia ora B + > B > tale che a B +. Detta M max{a,b } si dimostri che che g + e a A g +. Mostrare che esiste ua successioe o decrescete f f + tale che a f +, ma mi{ a A g, a f } < +, [da Paul Erdos; N.J.Fie; J.B.Kelly A.M.M. Vol.58, No.6 Ju. Jul., 95, 45 46] Sia {q } l isieme degli iteri la cui espressioe decimale o cotiee la cifra 9. Dire se coverge o diverge la serie q Mir 978, pag.6 ] [da G.E.Šilov Aalisi Matematica, fuzioi di ua variabile edizioi Sia d evetualmete mootoa, d >, d +. Defiire ua serie covergete c, c, tale che per ifiiti si abbia c d. Si cosideri ache il caso i cui lim c d +. L iteresse dell esercizio cosiste el fatto che d può adare a zero letamete quato si vuole. Si tega presete che per avere c covergete è ecessario che lim c d. [da R.W. Hammig A.J. of M. Vol.68, No. Ja., 946, 33 36, Aryeh Dvoretzy A.J. of M. Vol.7, No. Ja., 948, 67 73] Sia d d + >, d +. Sia I ua sottosuccessioe crescete di umeri aturali. Dimostrare che se I è limitata allora d I +. Viceversa, data I o limitata, costruire ua serie di covergete metre d + co d d +. [da R.W. Hammig A.M.M. Vol.54, No.8 Oct., 947, , R.W. Hammig A.M.M. Vol.54, No.6 Ju. Jul., 948, 36] 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 7

8 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria Si trovi ua successioe {a } tale che a coverge o assolutamete ma sga a a diverge per ogi a >, a. L iteresse dell esercizio asce dal fatto che gli esempi di serie covergeti ma o assolutamete prodotti ei testi d aalisi soo tali che sga a a coverge sempre se a > si pesi alla serie di Leibitz [da G.R.MacLae; R.J.Driscoll; O.P.Lossers A.M.M. Vol.76, No.9 Nov.,969, 73] oppure l Sia l x lll...lx composizioe di volte il logaritmo. Sia Px il prodotto di x e di quei fattori l x tali che l x >. Dimostrare che la serie P P l diverge. La serie è iteressate i quato lim + + qualsiasi sia il valore di. Questo vuol dire che la serie diverge più letamete di qualuque serie della forma, l, lll,, etc. Ciascua delle precedeti serie è llllll divergete ma la successiva diverge più letamete della precedete. Ebbee la serie P diverge più letamete di ciascua delle precedeti. [da R.P.Agew A.M.M. Vol.54, No.5 May.,947, 73 74] Studiare la covergeza delle segueti serie:!! x, mm+...m+!, a, b q +, l, l l, ll l;, p+q e! e +!, e!, l ll, l l a b +c [da: ] Dimostrare oppure cofutare co u esempio: se lim f allora la serie f diverge Dire se covergoo le serie l! e Dire se covergoo o divergoo le serie l e 8 [da Putam 95]. 3/4 l 3/ Studiare la covergeza della serie +!e π [problema um. 83 D.E.Kuth A.M.M. Vol.7,, p.863] Dire per quale valore di α coverge o diverge la serie si α. Dire se coverge o diverge la serie si [rispettivamete da E.O.Thorp; Julius Vogel A.M.M. Vol.7, No. Ja.,964, 97 e J.R.Holdsworth; J.R.Smith; Joh B.Kelly A.M.M. Vol.65, No.9 Nov.,958, 78 79] Es: Dire se coverge o diverge la serie si Dire i quali isiemi coverge putualmete, assolutamete, uiformemete e totalmete la serie e x a Dare ua successioe di fuzioi cotiue o egative su [, ] che coverge uiformemete ma o totalmete ad ua fuzioe cotiua ovviamete. b Dimostrare che la serie di fuzioi c Es: Studiare la covergeza uiforme i [,+ della serie e x coverge uiformemete su R. x +x No del tutto facile Dimostrare il seguete teorema Dii: sia K R compatto e {f } ua successioe di fuzioi cotiue tale che f ր f co f cotiua. Allora f f uiformemete. Naturalmete il teorema rimae valido se f ց f. Dare esempi di successioi di fuzioi o uiformemete covergeti che verificao tutte le ipotesi del teorema precedete trae ua Sia data ua successioe di fuzioi cotiue {f }, f :E R co E compatto, co- 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 8

9 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria vergeti putualmete a ua fuzioe cotiua f e tale che f :E R è mootoa per ogi. Allora la covergeza è uiforme Ua successioe di fuzioi cotiue {f }, f :E R, è detta equicotiua se ε δ : x y < δ f x f y < ε praticamete δ o deve dipedere da Dimostrare i tre teoremi che seguoo: Se f coverge per ogi x D E co D E allora f coverge per ogi valore di x E. Co u esempio si faccia vedere che se maca la equicotiuità, allora o è detto vi sia covergeza su tutto E Se E è compatto e f coverge per ogi x E allora la covergeza è uiforme. Co u esempio si faccia vedere che se maca la equicotiuità, allora o è detto vi sia covergeza uiforme Si dimostri il seguete Teorema Abel: Se la serie a t coverge per t t, coverge uiformemete i t t Siao date ledue serie umeriche aa+a+...a+ aa+a+...a+ bb+b+...b+ bb+b+...b+, a,b,,,..., a,b,,,... Si dica per quali valori di a e b covergoo Si trovi il raggio di covergeza delle serie di poteze: aa+a+...a+ bb+b+...b+ z, a,b,,,... Ioltre si studi la covergeza per z ±. Stesse domade per aa+a+...a+ bb+b+...b+!cc+c+...c+ z, a,b,c,,, Trovare l isieme dei umeri complessi per i quali coverge la serie di poteze z / 7.8. Sia a. Se ft a t C per ogi t < allora esiste il limite t e vale a. Si trovio dei cotroesempi el caso vega a macare l ipotesi che a ma a t C per ogi t < oppure che a ma a t è illimitata per t < Sia data la serie di poteze a z co a > il cui raggio di covergeza è. Si dimostri che z è u puto di sigolarità della serie di poteze Teorema di Prigsheim. Per puti di sigolarità si itede u puto i cui la fuzioe o può essere sviluppabile i serie di poteze. Se la fuzioe o è limitata i u qualsiasi itoro del puto z, ad esempio z / z, o c è ulla da dimostrare. D altra parte la serie z / coverge assolutamete e uiformemete per z ma i base al teorema di Prigsheim il puto z è di sigolarità. Quidi, come evideziato i [T] pag.7 8, o c è essua relazioe fra la covergeza della serie a z i z z sul bordo del cerchio di covergeza e la sviluppabilità della fuzioe a z el puto z z. [[K] pag.3, [M] pag.389, [T] pag.4, G.E.Šilov Aalisi Matematica, fuzioi di ua variabile edizioi Mir 978, prob. pag.45] Dire per quali valori reali di a e b coverge o diverge la serie si a +bsi Dire per quali valori di a R, a la serie [[B] pag.54] a+si coverge oppure diverge. Si dica ioltre se coverge o diverge la serie si [da P.Perfetti A.M.M. Vol., No.6 Ju.,5, problema um. 6] Es: Si dica per quali valori di α e β positivi coverge la serie α+l e si calcoli la somma della serie. [da P.Perfetti A.M.M. problema β + +l + um.6, Vol.5, No.5 May.,8] Es: Data la serie l α+l, co β > α >. Si dimostri β + +l + che la serie coverge. [da P.Perfetti A.M.M. problema um.49, Vol.6, No. Ja.,9] 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 9

10 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria Es: Siao α e β reali tali che per ogi itero si abbia, α l, α +l +, β + +l+, β +l +. Defiiamo Uα,β. lim Tα,β. lim N N N N +l+ α+ l β l + α+ l β l + Dimostrare che a Se < α+β <, il limite esiste b Tα, α + Uα, α + α + l [da P.Perfetti A.M.M. problema um.473, Vol.6, No. Dec.,9] La serie 3 sill l o coverge 8.8. Es: Dire se coverge o meo la serie sill [La o covergeza della serie implicherebbe che la seguete serie divergete i ogi puto Steihaus, 99 l si x l l l o è ua serie di Fourier. Dimostrare che la serie di Steihaus o è di Fourier sembra essere u problema aperto a dispetto del fatto che A.Zygmud, el suo libro, lo affermi chiaramete. Per u approfodimeto della materia si può cosultare l appedice sulle serie trigoometriche] 8.8. Sia d +. Allora è possibile trovare ua successioe mootoa covergete {c } tale che d c α > per ifiiti ache limd c Dare u esempio di serie mootoa covergete a termii positivi a tale che a l o ammette limite. Se ammette limite esso è chiaramete zero [da: R.W.Hammig A.M.M. Vol.5, No. Feb., 945, 7 7] Siap uasuccessioetedetea+ letametequatosivuole. Alloraesisteuasuccessioe positiva, mootoa covergete a, co a mootoa, tale che p a l o tede a zero Dopo avere dimostrato che coverge, trovare la somma della serie + +mh+m+...+ m Sia a. Dimostrare che coverge la serie + somma [[B] pag.5, [K] pag.67] a +a +a...+a e trovare la Sia data la serie a. Si dimostri che co a > la serie diverge sempre se a+ β si πλ λ è razioale. Se λ è u irrazioale algebrico di ordie m allora coverge per β > a+m. Dimostrare che qualuque sia il valore di β, esistoo umeri irrazioali λ tali che la serie diverge [[B] pag.55 dove però si dà α>β+m quale codizioe per la covergeza. Ciò probabilmete è dovuto al fatto che usa la miorazioe λ p/q >Mq m+ che è quella usata a pag.444 del lavoro richiamato a pag.55 di [B] ossia G.H.Hardy O a class of aalytic fuctios, Proceedigs of Lodo Mathematical Society vol.3, pp ] Dimostrare che la serie + m m x m coverge per u sol valore di x. Trovare tale valore e calcolare la somma della serie [da: T.K.Leog; T.A.Peg; K.C.Yeo; T.J.Culle Esercizio um. 44 di A.M.M. Vol.78, No.5 May., 97, ] Dimostrare che le serie + covergoo uiforme- si xsix cos xsix mete. Dimostrare ioltre che + si xcosx [da: O.E.Staaitis; E.M.Wright Problema um di A.M.M. Vol.6, No.7 Aug. Sep., 954, 48 48] Si dimostri che cos x diverge se x π è razioale. e + coverge per alcui puti e diverge per altri. 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe

11 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria Si cosideri la serie armoica + e si defiisca ua uova serie i cui ai primi p elemeti fao seguito i secodi p co il sego cambiato e così via. Si dimostri che la serie coverge Si determii la covergeza della serie otteuta dalla serie armoica prededo il primo elemeto co il sego più, il secodo e terzo co il sego meo, il quarto, quito e sesto co il sego più eccetera [da: E.P.Stare; R.P.Stephes; Fritz Herzog A.M.M. Vol.56, No.4 Apr., 949, L esercizio si trova pure a pag.35 um.8 di G.H.Hardy A Course of Pure Mathematics, terza edizioe 9. Secodo M.Klami sta pure a pag.39, um.8 della oa edizioe.] rich Sia {a } ua successioe strettamete crescete di iteri tale che a < a < a < a 3 <... e sia data la serie solo se coverge la serie No.4 Apr., 949, rich.5 e è u caso particolare.] / dove a < a +. Dimostrare che coverge se e l a +. [da: E.P.Stare; R.P.Stephes; Fritz Herzog A.M.M. Vol.56, a 9.8. Si determii la o covergeza della serie costruita sulla stessa falsariga dell esercizio rich.5 ma otteuta raggruppado termii ogi volta [da: E.P.Stare; R.P.Stephes; Fritz Herzog A.M.M. Vol.56, No.4 Apr., 949, 63 65] 9.8. Si dimostri che esiste il limite γ. lim + l Si dimostri che { xy } dxdy γ γ [da O.Furdui Calcolare + l x x+a dx. Si calcoli + l x l. rich.6 x +3x+dx [da: O.Furdui La soluzioe esposta è quella sottomessa] Sia a > e a covergete. Dimostrare che coverge pure a + Dimostrare che coverge pure a l l + No.5 May, 3, ]. [Putam competitio, 988, prob.b4]. [C.J.Hillar, P.Fitzsimmos A.M.M. problema 98, Vol., Trovare due successioi positive {a } e {b } co b ր tali che a coverge metre a b diverge Es: Si geeralizzi alla seguete proposizioe: Se a > b >, b O/l e a coverge, allora coverge pure a b [da: J.Wimp A.M.M. problema um. 48, Vol., No. Ja., 995, 7. Si veda pure J.Wimp, K.Schillig A.M.M. Seredipitous solutio, Vol., No.5 May, 3, 445 ed ioltre C.J.Hillar, P.Fitzsimmos A.M.M. problema 98, Vol., No.5 May, 3, ] Si dimostri il risultato: sia s def a. Se esiste lim + s s e a O/ allora la serie a coverge. [È u teorema profodo ed alquato difficile da dimostrare dovuto a G.H.Hardy. La dimostrazioe data, dovuta a J.E.Littlewood, è presa da [WW] pag.56. U altra refereza è [K] pag.5 5] Sia dato il umero A > ed ua serie a termii o egativi covergete tale che + a A. Si dica quale rage di valori può assumere la serie + a. I altre parole, fissato A, bisoga idividuare il rage di + a al variare della successioe {a }. Si risolva poi lo stesso esercizio ell ipotesi i cui gli a siao strettamete positivi.[da Putam, A] Siao date due successioi {a }, {b }, tali che lim + b, la serie b b + coverge, 3 S / è limitata S. a. Allora a b coverge. [da 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe

12 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria [VLA] pag., [K] pag.454, [K] pag.] rich..8. Utilizzare rich. per dimostrare che [ ] z / coverge o assolutamete su tutti i puti del cerchio di raggio. L esercizio preseta iteresse i quato, solitamete, sulla circofereza che circoda il cerchio di covergeza di ua serie di poteze si hao le segueti possibilità : La serie diverge i ogi puto, ad esempio z, la serie diverge i almeo u puto e coverge altrove, ad esempio z /, 3 la serie coverge i ogi puto, ad esempio z / ma la covergeza è assoluta. L esempio i oggetto mostra che la covergeza ovuque della serie sul bordo del cerchio di covergeza può o essere assoluta. [da [VLA] pag.68, [K] pag.454, [K] pag.3. Ioltre altre refereze soo H.F.Sadham A.M.M. Vol.58, No.8 Oct., 95, 573, D.J.Newma A.M.M. Vol.59, No.9 Nov., 95, 65, 3 W.S.Loud A.M.M. Vol.63, No.9 Nov., 956, 67. I 3 si dao ulteriori idicazioi su dove trovare ua risposta. Ua è data da rich.4. U altro esempio, dovuto al grade G.H.Hardy, è z b /l dove z i b z e può trovarsi el libro di Diees, The Taylor series, ] rich.3.8. Si cosideri la serie a z dove a, a /, a 3 /3, a 4 /4, a 5 /5, a 6 /6, a 7 /7, a 8 /8, a 9 /9, a /, e via dicedo. Si dimostri che la serie coverge sul cerchio di raggio uo e sulla circofereza coverge o assolutamete. I tal seso è u altra risposta all esercizio i rich.3 [da H.F.Sadham A.M.M. Vol.58, No.8 Oct., 95, 573. L ivi esempio è leggermete diverso per quato riguarda la dislocazioe dei segi più e meo. Ioltre ivi si dimostra che geerale x x+ + x+4 x π x siπ x ] π sihπ. Più i rich.4.8. Es: Dimostrare che la circofereza x +y costituisce ua frotiera aturale di aaliticità per le due serie + z z, + z +z [da [K] pag.3] 3.8. Si costruisca ua serie di poteze a z co raggio di covergeza pari a, che diverge a N dati puti del cerchio di raggio e coverge egli altri puti [da [K] pag.3] 4.8. Es: Si costruisca ua serie di poteze a z co raggio di covergeza pari a, che diverge i tutti i puti ad eccezioe di z dove coverge. [da [K] pag.3] 5.8. Si dimostri che lxl x Vol.9, No.9 Nov.,983,649. Suggerimeto: scrivere fx ed usare rich.7 ] x x dx π 4 /8 [da: H.Lam A.M.M. problema um. 638, l t t dt, osservare che fx + x /, x 6.8. Sia dato u umero algebrico quadratico α. Dimostrare che coverge la serie siπα [da: πµǫ joural, Sprig 6, soluzioe di Cecil Rousseau e Paul Brucma. Si potrebbe dimostrare che + ε siαπ coverge per qualsiasi umero algebrico α e ε> ma bisoga usare il teorema di Thue Siegel Roth; roba da Medaglia Fields.] 7.8. Sia a ua serie covergete. Dimostrare che lim + a. rich Sia {a } ua successioe crescete di termii positivi. Dimostrare che a a + coverge se e solo se {a } è limitata. [da: Sia {a } ua successioe tale che a coverge. Dimostrare che diverge la serie a + a oppure dare u esempio per cui coverge. [da Sia data la serie covergete + a. Si calcoli quato vale la serie + [da [K] pag.].8. Sia data la serie covergete + a. Si calcoli quato vale la serie + + a [da [K] pag.] a + 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe

13 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria x.8. Sia data la successioe x a R. Ioltre sappiamo che lim + x L. Dimostrare che a. [da: ] 3.8. Siao{a }e{b }successioi taliche a b coverge, a b covergeeb a +b per ogi. Dimostrare che a a +b coverge. [da [G] pag.] 4.8. Sia f:n N ua biiezioe. Dimostrare che + f coverge. Es: Dare ioltre u esempio di biiezioe f tale che + +f coverge [da: The th Aual Voǰtech Jariḱ competitio, March. Credo che la prima parte segua già dalla iiettività ] 5.8. Sia f:,+ R cotiua, positiva e mootoa o crescete. Dimostrare che fx fx+ fx dx diverge. [Putam.] Sia {a } ua successioe di umeri positivi. Dimostrare che [MGLP] pag.38 ed ache [KN] prob.3..39, pag.9 ] +a + a diverge.[da 7.8. Sia {b } ua successioe di umeri positivi e sia b ց co b +. Sia ioltre a >. Dire se +a b + a diverge.[da [MGLP] pag.38] Trovare se esistoo due successioi {a } e {b } tali che a >, b e b + ma tali che +a b + a coverga 8.8. Se esiste si dia u esempio di serie covergete a tale che coverge pure la serie a coverge [da [MGLP] pag.38] 9.8. Se esiste si dia u esempio di serie covergete a a termii positivi tale che coverge pure la serie a coverge [da [MGLP] pag.38].8. Sia {a } ua successioe di umeri positivi e sia S a. Dimostrare che se a + a e a + allora lim + a e S [Problema.6 della rivista Matheproblems, vol. um, website: Sia p > e a ց. Dimostrare che se coverge a p / /p allora coverge pure a p [da [MGLP] pag.39].8. Sia a > e a + l ea a. Si calcoli a [da [KN] pag.69] 3.8. Sia a > e a < +. Detta A a +...+a. Dimostrare che A diverge ma a a a coverge. [La secoda domada è coessa alla disuguagliazadi Carlema. Ua dimostrazioe si trova qui s iequality] 4.8. Si trovio i valori di α per cui la serie seguete diverge oppure coverge cosl α 5.8. Sia a > e sia A a divergete. Allora a A la +r coverge per r >. [T.H.Hildebrad, Remars o the Abel Dii theorem A.M.M. vol.49, o.7 Aug. Sept., 94, pag ] 6.8. Sia a > e sia A a divergete. Suppoiamo ioltre che A /A c > per ogi. Allora a A la coverge per r > e diverge per r. +r [T.H.Hildebrad, Remars o the Abel Dii theorem A.M.M. vol.49, o.7 Aug. Sept., 94, pag ] 7.8. Siao α e β umeri reali o egativi e siao 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 3

14 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria α+ +l a +l+ β + ++l +, α+ +l p α+++l+ β + ++l +.Si trovio quegli α e β per i quali coverge e determiare la relazioe fra α e β per cui a p l + α+α++l α+ + [Prob. um. 3583, Crux Mathemati- corum with mathematical Mayhem, vol. 36-7, ] 8.8. Es: Studiare la covergeza della seguete serie si [ Es: Studiare la covergeza della seguete serie l+cosx [ a al variare di x 3.8. Sia a > tale che a coverge. Dimostrare che coverge pure a a +...+a [Putam] 3.8. Sia A N. Dimostrare che se lim + A {,,...,} > allora a A a + [da È u risultato oto i letteratura.] 3.8. Sia data la succesioe {a } tale che < a a +a +. Dimostrare che a diverge. [Putam 994 A] Sia data la successioe {a } tale che a a + e a. Dimostrare che a /S p co S a +...+a e p > coverge. [Soluzioe i AMM Vol.7, No.6, Ju. Jul., 965, pp ] Sia a e a p covergete, p >. Dimostrare che coverge pure a A / a co a > p /p, A a +...+a Sia f:,+ R +, co derivata positiva. Dimostrare che f se coverge f /. [[KN] prob.3.3.6, pag.9 ] coverge se e solo Sia a ց. Dimostrare che a < + se e solo se a o/ e a a + < +. [da [MGLP] p.36] Sia a ց. Dimostrare che a / < + se e solo se a o/l e a a + l < +. [da [MGLP] p.36 e A.M.M. vol.-3, Marzo 5] RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI.8. razioalizzado la serie diveta Basta osservare che 3 j+ j j dx x + j + j+ dx x + dx x +. j j dx x +. +j + +j + Ne segue j j j j+ j dx x + + dx x + +j e quidi j j+ j dx x + 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 4

15 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria 4 dx x + l j +j + dx x + l+l l l l l e quidi lim + dx x +. Il risultato è quidi π 4 ossia l+ l l+ γ 5 La serie coverge assolutamete essedo il termie geerale asitotico a / per l+ x x+ox per x. Per valutare la somma scriviamo N pari N/ N/ N l N/ l++l l l N/ l+l ++l+l l+ N +! l + l,! l l N N N N/!, N/ l l l + l N N/!, N! N N!, l l N! N/ l + l N! N N! La somma degli ultimi sei termii, ua volta semplificata, è l N!4 NN + N+ N! 8 quidi N l N! 4 NN + l N+ N! 8 N l N l+l Ora usiamo la formula di Stirlig N! e N ln N πn+o ed otteiamo 4N ln 4N +lπ+ln +ln + N +l+4n ln 4N l 4N +4lπ 4lN +4l + N l+l+o 3l lπ +o Il risultato segue eseguedo il limite N da cui l+γ +α l+γ +α l γ α da cui il limite è l. 7 Si tratta di ua serie di Leibitz. 8 Si fa vedere che x+ + x+ + x+ + C x defiitivamete i. Per la divergeza basta far vedere che ε > : > : a ε a è l elemeto geerico della 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 5

16 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria serie. Prediamo ora, 3N++ otteedo 3N++ +3 a N j C x 3 se e N soo abbastaza gradi. 3N++ a a +a + +a + + x x+ x+ + x+3 x+4 x+5 + x+6 x Si procede allo stesso x+8 modo di prima. Stavolta x+ x+ + x+ + +x+x x+x+ +x+ + C x 9 l+ +O 4 per cui l+ + O 4 la parte co O tede a zero chiaramete. r. Se potessimo passare al limite sotto il sego di serie otterremmo r e r e. Cerchiamo di giusiticare quidi il passaggio al limite sia ell estremo superiore e r della somma sia el temie di essa. Abbiamo r r + + Ifatti dalla AGM abbiamo r + r + + r + r + ed ioltre lim + r e r per cui r r + + e r e quidi r r r r r e r e e. m Defiiamo la successioe Q,m r e osserviamo che, ad fissato, la successioe è r o decrescete i quato aggiugiamo termii positivi e limitata e quidi passiamo al limite m +, ed otteiamo P lim m + Q,m r acora o decrescete e quidi ammette il limite lim r e r e e r. Come fuzioe di la successioe è + r ++ exp{ Coovvicalcolisiarrivaa pari a dx +x dx +x + l l+ + O + 3. Dopo facciamo vedere che r dx +x r lim r + l+ }.L espoeteè dx +x /agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 6

17 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria lim O l+α l +α α e α soo quatitàche tedoo azero equidiotteiamol l+l l4 +ε dove ε per + e quidi il risultato 4 e Ora mostriamo che lim O Cosideriamo solo + il primo limite e poiamo t da cui + m+ ed ioltre m m +. Di cosegueza si ha m m m+ m m m Per il cotributo co O + 3 la stessa stima comporta u fattore /. È evidete che il limite fa zero. Molto più semplicemete, ua volta scritto ++ exp{ l+ }, si poteva osservare che il limite era exp{ l+xdx} [ + l ] l + l l l+ l3 5 7 l+ l! l+ + l l!+l!. Usiamo ora la formula di Stirlig e lo sviluppo i serie del logaritmo aturale tralasciado, quado ecessario, i temii che vao a zero. l+l+ +l l+ l+l + l l + l + + l si ottiee l+l + l l+l+ + l l+ l ++ l l+o U altro modo cosiste ello scrivere il termie geerico della somma tramite l itegrale x dx 4 x a l +γ+l l γ che tede al valore 3 l 4 per cui ed asitoticamete tale formula è pari 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 7

18 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria ; l+γ+l+o l γ+o ed il limite è chiaramete + l l3+l+γ 3+ 3 l+γ l γ che el limite dà il risultato l+l3+l+γ 6+ 3 l3+l+γ 3 + γ +l 3 l γ e el limite si ottiee l+ 3 l La somma è + riscrivibile come l++γ ++l +γ l γ l γ l γ e el limite si ottiee l fatto che è ua serie telescopica 4 + l+γ da cui il valore del limite usado il l+γ + l+ γ ++ + l+γ l γ + l+ γ che el limite dà il risultato. Per + < x si ha x < + e quidi [ ] {}. Duque dx x x lim l dx lim + l + x + lim l lim l+ + lim l l++ l++γ + γ Coviee osservare che, detta fx { }{ }, si ha f x x x f +x e quidi fx fxdx lim x x dx lim + x + dx lim + somme soo date da + + l + l A parte il limite, le 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 8

19 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria l l + l +l + + l+ l l+ l l l+ + l+ l l + l+ lim l l+ l l l++l+ + l+ l l++l++γ + 3 l+ +γ + 3 e el limite si ottiee γ p 3 l p p l + + pezzi si ottiee p p l p p l + l+ + l l + l p + lp p p p p p l + p p l + p l p l + l llp +γ p l + + ; l ; sommado i vari p lx x dx+o llp+γ lp pl +o e el limite si ottiee il risultato. p 4 Detto a l si ha a ց come è immediato verificare. Ioltre osserviamo che m l γ m m m l. È facile vedere che l ml+ lm! lm!. Utilizzado la formula di Stirlig! /e π+o si ha lm! lπ+l+ lm+ml+mlm m+o, lm! mlm m+ l+lm+lπsiha lm+ lπ. Sommado si ha quidi m m l lm+ γ m lm lπ che el limite dà γ lπ 5 Diamo la dimostrazioe, o rigorosa per quei tempi, di Eulero. Se e potrà apprezzare six comuque l arguzia. si aulla per x ±π e quidi di scrive six x x x π x x π 3π. D altra parte six x x3 6 +x e quidi, uguagliado il coefficiete 5! del secodo ordie di six x otteiamo quato voluto. Sulla stessa falsariga si può osservare che come j i,j π 4 i j + j ij i,j i<i + π 4 i j. Ioltre abbiamo + π 4 j 4. Mettedo tutto assieme abbiamo i,j i<i π 4 i j. Ioltre riscriviamo la somma j ij π 4 i j + i,j π 4 i j π 4 i j + i,j i<i j ij+ π 4 i j + π 4 i j + j π 4 j 4 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe 9

20 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria ossia + 36 π 4 da cui il risultato. j4 j 6 Ci soo diversi modi. Primo modo x x x4 4 x x 4 x 4 dx dx. L ultimo passaggio ecessita di giustificazioe i quato i [, la serie geometrica x o coverge uiformemete. Il modo più rapido probabilmete cosiste ell usare il Teorema di Lebesgue. Defiiamo f x x 4 x 4 x x4 +x +x e quidi l itegrale della serie è pari alla serie degli itegrali. Ioltre semplificado si ottiee x dx x x4 x 4 x 4 +x dx π 8. Secodo modo. Si scrive dx x 4 dx y 4 dy e si arriva a + x y 4 s rdr dy xy 4. Si cambia variabile x /r, y r/s e si arriva a ds s s 4 ossia + ds che è uguale all itegrale di prima cambiado x /s. Il s +s problema dello scambio fra serie ed itegrale sussiste ed i questo l argometo di prima o fuzioa. Ifatti stavolta xy 4 xy 4 xy4 e tale quatità o pos- xy 4 siamo maggiorarla co ua fuzioe di x,y, itegrabile i [,] ed idipedete da. Dobbiamo torare a x 4 dx y 4 dy e spezzare i x 4 dx y 4 dy + + quidi x 4 dx y 4 dy. Ora x 4 dx y 4 dy dx x x 4 dx y 4 dy dyxy 4 xy4 xy 4 dx x + + dyxy 4 xy4 e xy 4 dx dyxy 4. x Dalla teoria degli itegrali impropri mutidimesioali si ha dx x dyxy 4 lim x 4 y 4 dxdy dove A ε {x [,] : ε ε + [,] \A ε q r, π ϑ 3π/,ε > }. Poi scriviamo lim x 4 y 4 dxdy ε + [,] \A ε lim ε + q p lim ε + [,] \A ε x 4 y 4 dxdy lim ε + [,] \A ε dx x xy4p q p p [,] \A ε dx x xy4p xy4q p xy 4 xy 4. Usado Cauchy ci basta studiare q p dx B x xy4p xy 4 doveb {x [,] : ε r ε, π ϑ 3π/,ε > ε > }. Chiaramete 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe

21 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria B q p dx xy 4 x xy4p dx xy4p xy4q p B x xy 4 dy B x dx xy 4dy. Passado a coordiate polari cetrate i, abbiamo che l ultimo itegrale è maggiorabile co ε C dr Cε ε. Ciò dimostra che ε più è grade. + Terzo modo. Si usa la fuzioe digamma ψx. Γ + x Γx γ sa che ψ r m γ lm π cot πr m + m dx x cos πr m dyxy 4 è tato più piccolo quato z. Ifatti 8 ψ5 4 ψ3. Si 4 π lsi, r < m etrambe iteri. m Abbiamo quidi ψ 3 4 γ l8 + π, Per avere ψ5 4 usiamo ψ+x ψx+ per cui x ψ 5 4 ψ 4 +4 e quidi ψ5 4 4 γ l8 π. Ne cosegue che 8 ψ5 4 ψ π. 9 Basta scrivere , osservare che e sommare ua serie telescopica 3 + da cui lim prodotto telescopico.8. Siosserviche a+b r 3 b r r a a+b, r r r 4 a+b b a+3b r r r, r r 5 a+b r 4 r a+b 3 r. Detta allora S a x + b x + a+b + a+b + a+3b + 4a+5b + 6a+8b +... si x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ha S r r a r + b a r da cui S ar +b rr 3.8. Dalla defiizioe di limite superiore si ha che if sup a + def a + l <. Sia A sup > a > a e quidi ε > ε : l A ε < l + ε. Poiché l <, ε si può predere così piccolo che l + ε < e quidi a + < l + ε < per ogi > ε. Come cosegueza si ha a + a a a + a +... a + l+ε equidi a + l+ε a.laseriecovergepercofroto a + a + a co ua serie geometrica covergete. Co lo stesso ragioameto si ottiee a + a per ogi e quidi o è soddisfatta la codizioe ecessaria per la covergeza. Sia lim a + l > e quidi a + l ε > per ogi > ε e di uovo e segue la a a violazioe della codizioe ecessaria per la covergeza. Sia ora lim a + l >. Rispetto a prima ora abbiamo che frequetemete si ha a + a a ma da questo o segue che la serie o coverge. Se ifatti lim a + lim a + l > a a allora la serie diverge. Si può però dare u esempio di serie covergete per cui lim a + o a 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe

22 Paolo Perfetti, Dipartimeto di matematica, II Uiversità degli Studi di Roma, facoltà di Igegeria esiste e lim a + l >. L esempio è preso [da W.Rudi Priciples of Mathematical Aalysis pag. 67 a MacGrow Hill Boo Compay 964 ] e si ha lim a + lim 4 a + 3, lim a + a lim 3 + +, lim a / lim + /, lim a / lim + 3 / 3 Se lim a + > sigifica che defiitivamete si ha a + l > e quidi a + a a a a + a +... a + l per e quidi si ha divergeza. a + a + a Selim a + a < osipuòtrarrecoclusioe. Ifattisesihalim a + a < alloralim a + a < e covergeza. Viceversa la serie diverge e lim a + a. Chiaramete la precedete serie ha lim a + perché altrimeti covergerebbe. a Sia lim a / l < e quidi per ogi grade abbastaza si ha a l+ε co l+ε <. La serie coverge per cofroto co la serie geometrica. Sia lim a / l > e quidi, frequetemete si ha a da cui la violazioe della codizioe ecessaria di covergeza Prima dimostrazioe Sia L lim + a + a e suppoiamo che L è fiito. Per defiizioe sappiamo che > ε a L ε < a + < L+εa da cui segue a L ε < a + < L+ε a co > ε e quidi a ε L ε ε < a < L+ε ε a ε che è come dire lim + a/ L i quato possiamo scrivere a / ε L ε ε < a / < L+ε ε / a ε. Se L ε < si scrive < a < L+ε ε a ε e il discorso cotiua a valere. Se L + allora > ε a + > Ma e quidi a > M ε a ε da cui lim + a/ +. Secoda dimostrazioe Prediamo il logaritmo ed otteiamo che se lim a + a L, + a allora lim + L. Sappiamo che se c L ache ifiito allora c L. Sia ora. data la successioe b {a+ a } e suppoiamo che b L. Allora a + a a + a L. Naturalmete se esiste lim { a / Sia L lima / + a/ e quidi L if sup a + o è detto che esista lim. Si preda la successioe + a a / >. Sia L sup > a /. Per defiizioe a / ogi > e ioltre ε > ε :L ε < a / ε ε L. Ne segue che a ε + a ε ε. Ne segue che ε > ε : a ε + L L L ε quidi if sup > Sia l lima / a ε + a ε L. e quidi l sup if > a/ a ε. Sia l if L L L ε > a/ ε e quidi sup > Lε+ L per L ε ε a + L e a. Per defiizioe a / l per ogi 8/agosto/5; Esclusivamete per uso persoale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazioe