SECONDO ESONERO DI AM1 10/01/ Soluzioni

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1 Esercizio. Calcolare i segueti iti: Razioalizzado si ottiee SECONDO ESONERO DI AM 0/0/ Soluzioi 2 + 2, = = Per il secodo ite ci soo vari modi, e mostro tre. Ora ( ) ( + si = + cos ( ) + si. ( ( 2 ) +cos si cos si cos 0 2 si cos + 2 e quidi per il teorema dei carabiieri si cos +cos il ite otevole x 0 ( x) x espoete il ite di 0 si cos +cos 2 otteiamo cotiuado il ite di sopra: ( 0, ) si cos +cos. ) = Possiamo quidi applicare = e, e il ite di sopra si riduce a calcolare a. Utilizzado come sopra il teorema dei carabiieri: si cos si cos ) +cos si cos 2 si cos +cos = e 0 =. 0, Si può utilizzare da subito il teorema dei carabiieri, maggiorado e miorado opportuamete si e cos: ( ) ( ) ( ) + si +. + Ora ( ) ( = 2 ) + ( 2 ) 2 + = e 0 =, + + seguedo ragioameto e iti otevoli aaloghi a quelli del puto precedete. Simmetricamete: ( ) ( + = 2 ) 2 2 = e 0 =. Si coclude che per il teorema dei carabiieri il ite vale.

2 Si può cosiderare umeratore e deomiatore separatamete, fattorizzado prima : ( ) ( ) + si si = ( ). cos Ora, procededo molto similmete al primo puto, visto che si teorema dei carabiieri: ( si ) si si e simmetricamete per il deomiatore, così che Note su errori ricorreti: = e 0 =, ( ) si ( ) = cos =. 0 per il il ite otevole del seo è si =, o si, che apputo viee 0 per il teorema dei carabiieri; è forma idetermiata, o viee automaticamete; sostituire il valore di u ite al posto di parte di ua successioe si può solo se si è sicuri di o poter icappare i ua forma idetermiata. Ad esempio o si può scrivere ( si ) = ( 0) =. Esercizio 2. Studiare la covergeza della seguete serie. k + 2k log k k + 3 si k 2. Svolgiamo co due modi, criterio del cofroto e criterio del cofroto asitotico. Tutti gli altri criteri qui falliscoo: ricordo che gli altri criteri coivolgoo ella dimostrazioe u cofroto co ua serie geometrica. Come regola ituitiva si può idicare che gli altri criteri possoo fuzioare solo se si ha a che fare co qualcosa di simile alla geometrica se o più forte (come il fattoriale ad esempio). Qui o c è essua poteza a espoete k. La serie è a termii positivi. 2

3 Possiamo applicare le disuguagliaze six x per x 0 e log defiitivamete (i realtà vale per ogi, ma ci basta sapere che log + per sapere che vale defiitivamete). Qui abbiamo: k + 2 log k e visto che + 3 k 2 3 che la serie coverge. k + 3 si k 2 k k + 2k k k coverge (i quato + Facciamo u cofroto asitotico co k + k 3 2 k + 2k log k k + 3 k 3 2. k α k = 3, 2 k 3 2 coverge per α > ) abbiamo ( ) si k = k k + k 2 k2 si k log k k k log k k ( ) = 3 k = k + 2 log k k 2 = 0, dove si soo utilizzati i iti otevoli si = e logβ = 0 co α α > 0. Per il criterio del cofroto asitotico, visto che + dell esercizio coverge. Note: k 3 2 coverge, ache la serie Il fatto che k + a k = 0 è codizioe ecessaria ma o sufficiete (criterio di Cauchy). Per essere proprio chiari: dimostrare k + a k = 0 o mostra che la serie a k coverge. Questo criterio può essere usato solo per mostrare che ua serie diverge. Richiamo il cofroto asitotico, che molti hao applicato el verso sbagliato. Se abbiamo allora vale a k = 0, k + b k b k coverge = e quidi ache l implicazioe iversa a k coverge, a k diverge = b k diverge. 3

4 I essu modo vale l implicazioe iversa, ovvero dalla divergeza di b k o c è modo di otteere la divergeza di a k. Come cotroesempio semplicissimo basta predere a k = 0, e b k ua qualuque la cui somma diverga, ache b k =. Il rapporto viee ifatti 0. Il cofroto può essere fatto ell altro verso quado otteiamo + come ite, semplicemete perché (a k e b k soo positive): a k = 0 k + b k b ka k = +. k + Come idea memoica, si può pesare ituitivamete al fatto che il cofroto sia a ua gara su quato forte le due successioi vao a 0. k b k 0 idica la vittoria di a k, se viee + ha vito b k. La covergeza di ua serie viee da quato forte i termii vao a 0. Se ua successioe vice su u altra la cui somma coverge, allora coverge ache la sua. Se perde co u altra la cui somma diverge, allora diverge ache la sua. Se a k vice su ua serie la cui somma diverge, o so dire iete: vicere ua gara di corsa cotro ua tartaruga o implica fare i 00 metri i meo di 2 secodi, vicere cotro Micheal Johso sì! U caso a parte è quado a k b k L co L fiito e diverso da 0. Cotiuado a parlare come prima, possiamo dire dal puto di vista della covergeza che ella gara a 0 i questo caso le successioi arrivao pari merito. Quidi abbiamo che se a k = L, k + b k co 0 < L < +, allora abbiamo la doppia implicazioe a k coverge b k coverge. Attezioe: o basta che il ite sia fiito per la doppia implicazioe, deve essere ache diverso da 0! Esercizio 3. Euciare la defiizioe di massimo e miimo ite di ua successioe. Trovare massimo e miimo ite della successioe seguete. a := cos π 2 + e. Il massimo ite di ua successioe è l estremo iferiore dei maggiorati defiitivi, ovvero di quei umeri M tali che a M defiitivamete. Ovvero L è massimo ite di a se e solo se: ε > 0 : > a < L + ε 4

5 (ovvero appea mi sposto sopra ad L trovo u maggiorate defiitivo) e ioltre ε > 0 : ifiiti tali che a > L ε (ovvero appea mi sposto sotto ad L trovo qualcosa che o è maggiorate defiitivo). Questa secoda codizioe è equivalete (posto che vale la prima) a trovare ua sottosuccessioe a k che tede ad L. La defiizioe per il miimo ite è simmetrica. Iazitutto: cos π se = 4k, 2 = 0 se = 2k +, se = 4k + 2, e e = e 0 =. Mostro che max a = 2. Cosidero la sottosuccesioe a 4k : a 4k = e 4k = = 2. k + k + Per ogi ε > 0: cos π 2 + e le e, e abbiamo e < 2 + ε e < ε < log( ε) > log( ε), che quidi è vero defiitivamete. Mostro che mi a = 0. Note: Cosidero la sottosuccesioe a 4k+2 : Per ogi abbiamo a 4k+2 = e 4k+2 = = 0. k + k + > 0 = e > = cos π 2 + e > = 0. I questi casi vale subito la secoda codizioe, i quato per ogi ε > 0, per ogi (i particolare defiitivamete) a > 0 > 0 ε. 5

6 La defiizioe di massimo e miimo ite o ha ulla a che fare co le sottosuccessioi pari e dispari di ua successioe. No bisoga cemetarsi su di esse, come molti hao fatto. Molti esercizi soo su di esse perché è più facile creare i modo più o meo aturale successioi che hao comportameto diverso sui pari e sui dispari. Nulla vieta però che la successioe abbia comportameti diversi su altri tipi di sottosuccessioi, ad esempio iteri che hao diverso resto modulo 4 come qui, o ache tutt altro (ad esempio che abbiao ua legge diversa sui quadrati perfetti h 2, o sugli elemeti della successioe di Fiboacci, o quat altro). La proprietà a > b a < b vale solo se a e b soo etrambi positivi. Se hao sego discorde, come poteva veire i questo esercizio cercado di fare risolve subito, proprio perché i mezzo c è 0: > log( ε), la disuguagliaza si > 0 > log( ε). La proprietà di Archimede o va richimata laddove si chiede che ua certa proprietà valga defiitivamete, come el caso di iti o massimi e miimi iti. No si tratta di cercare almeo u aturale che abbia ua certa proprietà (come el caso dei puti di accumulazioe), ma di trovare che tutti gli da u certo puto i poi hao la proprietà. Per dire che ua proprietà vale defiitivamete basta trovare ua disuguagliaza del tipo > A che implichi la proprietà (el caso di iti e massimi-miimi iti A dipederà da ε). Esercizio 4. Euciare la classificazioe delle discotiuità di ua fuzioe (prima, secoda e terza specie). Determiare l isieme di cotiuità della seguete fuzioe e classificare le evetuali discotiuità. e x si x + se x 0, f(x) := xe x altrimeti.. Prima specie o a salto: esistoo fiiti sia x x 0 f(x) = L e x x + 0 f(x) = L 2, ma L L Secoda specie: almeo uo tra x x 0 f(x) e x x + 0 f(x) o esiste o è ifiito. 3. Terza specie o eiabile: esiste x x0 f(x) = L (che accade se e solo se i iti destro e siistro soo uguali a L), ma L f(x 0 ). Il deomiatore della fuzioe o si aulla perché: xe x = 0 e x = x, 6

7 ma e z z + > z, quidi e z z per ogi z. Per il resto i tutte le x 0 la fuzioe è composizioe di fuzioi cotiue, quidi è cotiua. I 0 dobbiamo distiguere per via dei due iti x 0 e x = 0, e x = +. x 0 + Nel primo caso il ite o è emmeo ua forma idetermiata: e x si x + x 0 xe x = =. Nel secodo caso ho, per i iti otevoli x + e x x α = + e x 0 si x x, e x x = +, x 0 + e x si x = e si x x x x 0 + x 0 + x = +. Per la fuzioe ho quidi ua forma idetermiata, e come al solito fattorizzo rispetto alla parte che va più forte : f(x) = x x + 0 x x + 0 e x si x e xx e x six = 0 0 =, e x x si x avedo uovamete utilizzato x 0 x specie per f. =. Quidi 0 è ua discotiuità di prima Esercizio 5. Ricordiamo che ua successioe a si dice di Cauchy se ε > 0 : N, m > N : a a m < ε. Dimostrare che per ua successioe a i R è covergete se e solo se è di Cauchy. La dimostrazioe si può trovare su u qualuque libro di aalisi. Ua ota: il teorema richiesto è u altra cosa rispetto al criterio di Cauchy per le serie covergeti. Quella è ua cosegueza di quest equivaleza. 7