TEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER

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1 TEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER I uo spazio euclideo di dimesioe fiita, ad esempio R 3, cosideriamo u sottospazio, ad esempio u piao passate per l origie. Se prediamo u puto P (fuori dal piao), ci possiamo chiedere se esista u puto Q sul piao che abbia distaza miima da P. La geometria elemetare ci dice che il puto Q è la proiezioe ortogoale del puto P sul piao. Ioltre, la distaza del puto Q dall origie è miore o uguale della distaza del puto P dall origie. Queste affermazioi hao u aalogo egli spazi vettoriali co prodotto scalare qualuque, ache di dimesioe ifiita. Tali geeralizzazioi soo particolarmete fruttuose e u primo esempio delle possibili applicazioi è dato dalle serie di Fourier. Fissiamo ora delle otazioi, che useremo sempre el seguito. Sia V uo spazio vettoriale co prodotto scalare ( ), reale o complesso, e sia {e 1,..., e } u isieme di vettori ortoormali i V. Chiamiamo V il sottospazio vettoriale geerato dai questi vettori. Idicheremo poi co la orma i V defiita dal prodotto scalare. Vale allora il teorema seguete. Teorema 1. Sia x V. Allora esiste u uico vettore y V, tale che Ioltre, se y = c ke k, si ha: 1. c k = (x e k ), k = 1,..., ; x y = mi { x z : z V }.. y = (x e k) x ; 3. x y è ortogoale al sottospazio V. Dimostrazioe. Sia z V. Allora, potremo scrivere z = d ke k, dove d k = (z e k ). Si ha allora: x z ( = x d k e k = x 1 d k e k x ) d h e h = h=1

2 = x d h (x e h ) h=1 = x d k (e k x) + d k (x e k ) h, d k (x e k ) + d k d h (e k e h ) = d k. Aggiugedo e togliedo il umero reale (x e k), otteiamo: ( + (x e k ) = x x z = x d k (x e k ) (x e k ) + = x (x e k ) + d k (x e k ) + ) d k = ((x e k ) d k ) ((x e k ) d k ) = (x e k ) + (x e k ) d k. Pertato, x z è miima se, e solo se, d k = (x e k ), k = 1,...,. Questo prova l esisteza del miimo e la validità di 1. Poiamo y = (x e k) e k. Si ha allora, teedo presete che x (x e k ) = x y, i quato è il quadrato di ua orma, e utilizzado il teorema di Pitagora: y = (x e k ) x. Co ciò è provato ache. Per provare 3., è sufficiete provare che (x y e h ) =, h = 1,...,. Ifatti, si ha: ( ) (x y e h ) = x (x e k ) e k e h =

3 = (x e h ) (x e k ) (e k e h ) = (x e h ) (x e h ) =, come volevasi. Osservazioe 1. Se l isieme dei vettori {e 1,..., e } è solo ortogoale (e o ortoormale) il risultato precedete cotiua a valere co le segueti modifiche: 1. y =. (x e k ) e k e k ; (x e k ) e k x. Cosideriamo ora uo spazio vettoriale V, reale o complesso, di dimesioe ifiita, co prodotto scalare ( ). Vale allora il seguete fodametale risultato. Teorema. (Disuguagliaza di Bessel) Sia {e : N} ua successioe di vettori ortoormali i V. Allora, x V, vale la disuguagliaza di Bessel: + = (x e ) x. (1) Se ivece {g : N} è ua successioe di vettori ortogoali i V, vale la seguete disuguagliaza di Bessel: + = (x g ) g x. Dimostrazioe. Sia x V u puto fissato, V il sottospazio geerato dai vettori ortoormali {e, e 1,..., e } e idichiamo co y la proiezioe ortogoale di x sul sottospazio V, la cui esisteza è assicurata dal Teorema 1. Allora, per la disuguagliaza al puto. del Teorema 1, si ha, N : (x e k ) x. () k= Ne cosegue che la serie a termii reali o egativi + = (x e ) 3

4 è covergete, perché le sue somme parziali soo superiormete limitate da x e che la sua somma è ach essa maggiorata da x. Questo prova l affermazioe relativamete alla successioe di vettori ortoormali. Quella relativa ai vettori ortogoali si prova ello stesso modo, sfruttado l Osservazioe 1. Sorge aturalmete il problema sotto quali ipotesi ella disuguagliaza di Bessel valga l uguagliaza, detta uguagliaza di Parseval. La risposta a questa domada è forita dalla proposizioe 3.4 del libro di Barozzi. Teorema 3. Sia T R L isieme { } t e i π T t : Z è ua base dello spazio di Hilbert L ([, T ]).. L isieme { ( ) } { ( ) } π π t cos T t : N t si T t : N \ {} è ua base dello spazio di Hilbert L ([, T ]). Dimostrazioe. Svolgeremo la dimostrazioe suppoedo T = π. Ioltre, mostreremo che, se x : [, π] C è ua fuzioe cotiua a tratti e π-periodica, allora x c k e ikt, k= per +. Qui abbiamo idicato co la orma i L ([, π]) e co c k = 1 π x(t)e ikt dt π il k-esimo coefficiete di Fourier di x. Naturalmete questa o è ua dimostrazioe completa del teorema, la quale imporrebbe di mostrare che la serie di Fourier di ogi fuzioe di L ([, π]) coverge i orma alla fuzioe. Ma questo richiederebbe di sapere esattamete cosa è ua geerica fuzioe di L. 4

5 Sia x : R C ua fuzioe cotiua a tratti e π-periodica; pertato x è limitata. Poiamo M = sup x. Fissiamo ε R +. Per defiizioe di itegrale, esiste ua fuzioe costate a tratti g ε, tale che π x(t) g ε (t) dt ε M. È opportuo qui ricordare che l itegrale della fuzioe costate a tratti v(t) = p k, se t (t k 1, t k ) dove {t, t 1,..., t } è ua scomposizioe fiita dell itervallo [, π], è uguale a p k (t k t k 1 ). Pertato tale fuzioe costate a tratti può essere scelta i modo che il suo itegrale sia ua somma di Cauchy-Riema della fuzioe x. È quidi possibile scegliere g ε i modo che g ε (t) M, t [, π]. Si ha, per la disuguagliaza di Cauchy-Schwartz: π x g ε = x(t) g ε (t) dt π M x(t) g ε (t) dt M ε M = ε. Adesso, approssimiamo la fuzioe g ε co ua fuzioe h ε, di classe C (), tale che g ε h ε ε. U idea del fatto che questo sia possibile verrà mostrato ell Osservazioe alla fie della dimostrazioe. Poiché la fuzioe h ε è di classe C (), la sua serie di Fourier coverge uiformemete a essa. Ifatti, detta + = d e it la sua serie di Fourier, si ha: k= dk e ikt = k= d k d + C k,k= 1 k. Ora l ultima somma scritta è la somma parziale di ua serie covergete e, quidi, per il criterio di Weierstrass, la serie di Fourier coverge uiformemete. Poiché sappiamo che essa coverge putualmete i ogi puto alla fuzioe h ε, avremo che d k e ikt h ε, per +, k= 5

6 uiformemete su [, π] e quidi ache i orma L. Sia allora p N, tale che p h ε d k e ikt ε. k= p D altra parte, detti c k i coefficieti di Fourier di x, per il teorema della proiezioe, si ha: p x c k e ikt x d k e ikt k= p k= x g ε + g ε h ε + h ε d k e ikt 3ε. k= Ciò prova che la serie di Fourier coverge i orma L alla fuzioe di parteza e il teorema è dimostrato. Osservazioe. Cosideriamo la fuzioe sego ell itervallo [ π, π] e mostriamo che, N \ {}, esiste ua fuzioe h di classe C (), tale che Poiamo π π sg (t) h (t) dt. 1, se t ( π, ] 1, 15 h (t) = t t t 5, se t ( 1, 1 ], 1, se t ( 1, π]. È ua verifica elemetare ricooscere che il poliomio 15 t t t 5 vale 1 i 1, vale 1 i 1 e, ioltre, che il suo raccordo co le fuzioi costati 1 e 1 è di classe C (). Si ha poi: π π sg (t) h (t) dt = 1 Poichè la fuzioe itegrada è pari, i quato l ultimo itegrale scritto è uguale a 1 1 (1 h (t)) dt sg (t) h (t) dt. 1 sg (t) h (t) è dispari, dt =, come volevasi. Aaloghe approssimazioi si possoo effettuare i prossimità di ogi puto di discotiuità di ua fuzioe cotiua a tratti. 6