Geometria analitica: rette e piani

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1 Geometria aalitica: rette e piai Coordiate polari Cambiameti di riferimeto el piao Cambiameti di riferimeto i geerale Isometrie Simmetrie Isometrie el piao Isometrie ello spazio Politecico di Torio 1

2 Coordiate polari (1/3) Sia r ua retta el piao e sia O u puto di r. Per ogi puto P O del piao è defiito l agolo α [0, 2π) (misurato i seso atiorario) tra la retta r e la retta per O e P. Se ρ è la lughezza del segmeto OP allora P è determiato uivocamete da ρ e α Politecico di Torio 2

3 Coordiate polari (2/3) 2 Se P = (x, y ), abbiamo ρ = x + y Ioltre, se P O, esiste u uico agolo α [0 2π) tale che dove (P ) idica il ormalizzato di P ( ) =, = ( cos α,seα) P x y x + y x + y Coordiate polari (3/3) 2 Quidi \{O } è i corrispodeza biuivoca co l isieme delle coppie (ρ, α), co ρ > 0, α [0, 2π). Se P = (x, y ), abbiamo x = ρ cosα y = ρseα 2 (ρ, α) soo le coordiate polari di P. Osserviamo che per ρ = 0 otteiamo (0, 0) per qualsiasi α Politecico di Torio 3

4 ( ) Se P = (1, -1), abbiamo ρ = 2, P 7 da cui α = π. Ifatti , 1 = 2 cos π, 2 se π. 4 4 ( ) Esempio 1 1 =, Politecico di Torio 4

5 Cosiderazioi prelimiari Abbiamo visto che u sistema di riferimeto Oxy el piao permette di idetificare il piao co 2. Cosiderare u altro sistema di riferimeto O x y sigifica quidi dare ua uova idetificazioe el piao co 2. Nelle applicazioi della geometria è spesso utile poter esprimere le uove coordiate (x, y ) di u puto P i fuzioe delle coordiate origiarie (x, y ). 9 Esempio (1/7) Le rette ortogoali r 1 : x y = 0 e r 2 : x + y 2 = 0 defiiscoo 4 sistemi di riferimeto possibili co origie O el puto P 0 = r 1 r 2 = (1, 1): tali sistemi differiscoo solo per l orietameto degli assi, e quidi le possibili uove coordiate differirao tra loro solo per i segi Politecico di Torio 5

6 Esempio (2/7) Per fissare l orietameto del uovo sistema di riferimeto è sufficiete idicare quale deve essere il quadrate positivo H + i tale sistema, cioè l isieme dei puti H + = { x ' > 0, y ' > 0}. H + sarà espresso come itersezioe di uo dei semipiai determiati da r 1 co uo di quelli determiati da r Esempio (3/7) Per esempio, porre H + = {(x, y ) x y < 0, x + y 2 > 0} sigifica che i puti co coordiate (x, y ) positive dovrao essere quelli del quadrate i figura. I pratica, se u puto soddisfa alle disequazioi date allora tutto il quadrate coteete quel puto le soddisfa: el ostro caso basta verificare per (0, 3) Politecico di Torio 6

7 Esempio (4/7) Dato P = (x, y ), per la defiizioe di sistema di riferimeto le uove coordiate (x, y ) di P soddisferao a 1 x ' = d( P, r2) = x + y y ' = d( P, r1) = x y 2 13 Esempio (5/7) Politecico di Torio 7

8 Esempio (6/7) I base alla scelta di H + abbiamo 1 x ' = x + y y ' = ( x + y) 2 ( ) cioè x ' x 2 = + y ' y 0 15 Esempio (7/7) Posto N = = possiamo verificare che N è ua matrice ortogoale di ordie 2, cioè che t NN = I 2, e che = = NP Politecico di Torio 8

9 Formula di cambiameto di riferimeto I geerale, se Oxy e O x y soo sistemi di riferimeto el piao e P 0 = (x 0, y 0 ) è il vettore di 2 che rappreseta O i Oxy, esiste ua a b matrice ortogoale N = O(2) tale che c d x ' a b x x 0 X ' = = = N ( X P0). y ' c d y y Politecico di Torio 9

10 Sistemi di riferimeto e matrici ortogoali (1/3) Siao dati U sistema di riferimeto Oxy el piao. Ua matrice ortogoale N di ordie 2 P 0 = (x 0, y 0 ) 2. a b N =. c d 19 Sistemi di riferimeto e matrici ortogoali (2/3) Allora la relazioe x ' a b x x 0 = y ' c d y y defiisce u sistema di riferimeto O x y el piao tale che O ha coordiate (x 0, y 0 ) i Oxy e gli assi hao i Oxy equazioi ( ) ( ) r : c x x + d y y = 0, ( ) ( ) r : a x x + b y y = Politecico di Torio 10

11 Sistemi di riferimeto e matrici ortogoali (3/3) Poiché N O (2), le righe di N soo versori ortogoali tra loro, cioè (c, d ) = ± (-a, b ). Questo ci dice che r 1 e r 2 soo le retti passati per P 0 di direzioi (a, b ) e (-b, a ) rispettivamete. Osserviamo che le direzioi degli assi soo defiite dalle righe di N. Tali righe formao ua base ortoormale B di 2 e la matrice di cambiameto di coordiate M B relativa a B è N. t 21 Esempio Se N =, P 0 = ( 1,0 ), x ' x 1 N = y ' y 0 posto le equazioi i Oxy degli assi di O x y soo r 1 : 2x y 2 = 0 e r 2 : x + 2y 1 = 0 (metre i O x y soo ovviamete r 1 : y = 0, r 2 : x = 0!) Politecico di Torio 11

12 Cambiameti di riferimeto ello spazio (1/2) Siao Oxyz è u sistema di riferimeto ello spazio, N O (3) ua matrice ortogoale di ordie 3 3 e P 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Aalogamete a quato visto per il piao, la formula x ' x x 0 y ' N y y = 0 z ' z z 0 defiisce u uovo sistema di riferimeto O x y z ello spazio. 23 Cambiameti di riferimeto ello spazio (2/2) L origie O di O x y z è il puto P 0 di coordiate (x 0, y 0, z 0 ) i Oxyz metre gli assi r 1, r 2, r 3 soo rette per P 0 co direzioi le righe [N ] 1, [N ] 2, [N ] 3 di N Politecico di Torio 12

13 Esempi (1/4) Sia x ' x y ' 0 = y z ' z Allora O = P 0 = (1, -1, 0), r 1 :t (1, 1, 0) + (1, -1, 0), r 2 :u (-1, 1, 0) + (1, -1, 0), r 3 :v (0, 0, 1) + (1, -1, 0). 25 Esempi (2/4) Viceversa, cosideriamo le rette r 1 : t (1, 1, 1) + (0, 1, 0), r 2 : u (2, -1, -1) + (0, 1, 0) e r 3 : v (0, 1, -1) + (0, 1, 0). Tali rette soo ortogoali e si itersecao i P 0 = (0, 1, 0) Politecico di Torio 13

14 Esempi (3/4) Sia N = la matrice ortogoale la cui riga [N ] i è il versore otteuto ormalizzado il vettore di direzioe di r i, per i = 1, 2, Esempi (4/4) Posto X = (x, y, z ) e X = (x, y, z ), X = N (X P 0 ) è u cambiameto di coordiate co O = P 0 e assi r 1, r 2, r 3. Osserviamo che possiamo otteere tutti i cambiameti di coordiate co r 1, r 2, r 3 come assi x, y, z rispettivamete cambiado segi ai versori [N ] i. Poiché per ogi direzioe ci soo due possibili versi, abbiamo 6 cambiameti di questo tipo Politecico di Torio 14

15 Cambiameti di riferimeto come applicazioe Se N O () e P 0, la formula di cambiameto di coordiate defiisce l applicazioe f : data da f (X ) = N (X P 0 ). Se 1 f (X ) = X P 0 e 2 f (X ) = NX, allora f è composizioe di 1 f e 2 f, cioè (X ) = 2 f (f 1 (X )) = 2 f o 1 f (X ). Questa cosiderazioe ci porta a studiare più el dettaglio le applicazioi di tipo 1 f e 2 f Politecico di Torio 15

16 Traslazioi Se P, l applicazioe t p : defiita da t p (X ) = X + P si dice traslazioe di P. Esempi t O è l applicazioe idetica Id. Se P = (2, -1), t P ((x, y )) = (x + 2, y -1). Se P = (-1, 1, -3), t P ((x, y, z )) = (x -1, y + 1, z -3). 31 Proprietà delle traslazioi La composizioe di traslazioi è la traslazioe di vettore la somma dei vettori delle traslazioi: t P o t Q = t Q o t P = t P +Q. Le traslazioi soo ivertibili co iversa la traslazioe di vettore opposto: t P o t -P = t -P o t P = t O = Id e (t P ) -1 = t -P. Le traslazioi coservao le distaze i : d (t P (X ), t P (Y )) = d (X, Y ) Politecico di Torio 16

17 Applicazioi ortogoali Se N O ( ) è ua matrice ortogoale, l applicazioe l N : defiita da l N (X ) = NX si dice applicazioe ortogoale associata a N : osserviamo che per N = I, l N è l applicazioe idetica Id. Le proprietà delle applicazioi ortogoali derivao direttamete da quelle delle matrici ortogoali. 33 Proprietà delle applicazioi ortogoali La composizioe di applicazioi ortogoali è l applicazioe ortogoale associata al prodotto delle matrici associate: l N 2 o l N = l 1 N2N. 1 Le applicazioi ortogoali soo ivertibili co iversa l applicazioe associata alla matrice iversa l N o l l 1 1 o l N Id 1 = = e ( l ) N N N = l 1. N Le applicazioi ortogoali coservao le distaze i : d( l ( X ), l ( Y )) = d( X, Y ). N N Politecico di Torio 17

18 Isometrie (1/2) Ua isometria di è u applicazioe ivertibile f : che coserva le distaze, cioè tale che d (f (X ), f (Y )) = d (X, Y ) per ogi X, Y. Valgoo le segueti proprietà: La composizioe di isometrie è ua isometria. L iversa di ua isometria è ua isometria. 35 Isometrie (2/2) Le traslazioi e le applicazioi ortogoali soo isometrie. Quidi, se N O ( ) e P, l applicazioe f : defiita da f (X ) = t P o l N = NX + P è ua isometria. Viceversa vale il seguete. Teorema. Se f : è ua isometria, allora esistoo ua matrice ortogoale N O ( ) e P tali che f (X ) = NX + P Politecico di Torio 18

19 Composizioe e iverse di isometrie Siao f (X ) = NX + P e g (X ) = MX + Q isometrie di. (g o f ) (X ) = MNX + MP + Q f -1 (X ) = N -1 (X P ) = t N (X P ) = NX t t NP 37 Cambiameti di riferimeto e isometrie Se X = N (X P 0 ) è u cambiameto di riferimeto i, l applicazioe f (X ) = N (X P 0 ) = l N o t -P è l isometria f (X ) = NX NP 0 = NX + P co P =-NP 0. Viceversa, ua isometria f (X ) = NX + P determia il cambiameto di riferimeto X = N (X P 0 ) poedo X = f (X ) e P 0 = NP. Cosegueza importate: tutte le proprietà metriche di u sottoisieme del piao o dello spazio restao ivariate cambiado il sistema di riferimeto Politecico di Torio 19

20 Osservazioe Abbiamo visto che le isometrie coicidoo co i cambiameti di riferimeto. Possiamo pesare a due iterpretazioi equivaleti della stesso cocetto: Co u cambiameto di riferimeto, il piao o lo spazio soo idetificati i due modi diversi co Co ua isometria, stabiliamo ua corrispodeza biuivoca tra due copie di i modo che siao coservate le distaze Politecico di Torio 20

21 Simmetrie cetrali (1/2) Se P 0, il simmetrico di u puto P rispetto a P 0 è il puto σ ( ) P P tale che il puto 0 medio di P e σ ( ) P P è P 0. 0 L applicazioe P : σ 0 è ua isometria detta simmetria cetrale di cetro P 0. Se E e σ P ( E ) = E, si dice che P 0 ècetro 0 di simmetria per E e che E è simmetrico rispetto a P Simmetrie cetrali (2/2) Dalla defiizioe precedete abbiamo 1 P0 P P 0 2 = ( + σ P ( )) da cui ( ) Abbiamo quidi l isometria σ X = I X + 2 P. Esempi σ (0,0) = σ (3, 1) σ P P = P + 2 P. 0 0 ( ) ( ) P0 0 (( x, y) ) ( x, y), (( x, y) ) = ( x + 6, y 2) e (( x y z) ) ( x y z) σ (1, 2,0),, = + 2, 4, Politecico di Torio 21

22 Simmetrie assiali Se r è ua retta i, il simmetrico di u puto P rispetto a r è il puto σ r ( P ) tale che, se s è la retta passate per P e σ r ( P ), allora s r e r s è il puto medio di P e σ r ( P ). L applicazioe σ r : è ua isometria detta simmetria assiale di asse r. Se E e σ r ( E ) = E si dice che r èasse di simmetria per E e che E è simmetrico rispetto a r {( ) } E = x, y x + 4 y = 1 è simmetrico rispetto a O e agli assi x = 0 e y = 0 ma o rispetto a (1, -1) e alla retta x y = 0. Esempio Politecico di Torio 22

23 Simmetrie rispetto a u piao Se π è u piao i, il simmetrico P 3 rispetto a π è il puto σ π ( P ) tale che, se s èla retta per P e σ π ( P ), allora s π e s π èil puto medio di P e σ π ( P ). 3 3 L applicazioe σ π : è ua isometria detta simmetria rispetto al piao π. Se E 3 e σ π ( E ) = E si dice che π èpiao di simmetria per E e che E è simmetrico rispetto a π. 45 Osservazioe Le codizioi che defiiscoo σ r ( P ) soo equivaleti alle segueti: σ r ( P) P r. Il puto medio di P e σ r ( P ) giace i r. Sostituedo π a r abbiamo l aalogo per σ π ( P ). Utilizzeremo queste codizioi per scrivere esplicitamete tali simmetrie Politecico di Torio 23

24 Richiami sulle matrici ortogoali di ordie 2 (1/3) Ricordiamo che le matrici ortogoali 2 x 2 soo di due tipi: cosθ seθ Rθ = seθ cosθ oppure cosθ seθ S θ = seθ cosθ per 0 θ < 2 π Politecico di Torio 24

25 Richiami sulle matrici ortogoali di ordie 2 (2/3) ( θ ) 1 D R = e D( S θ ) = R0 = I 2, S0 =, Rπ = I 2, Sπ = S0, 0 1 R 0 1, 0 1 = S = π /2 π /2 1 ( ) RR = RR = R, R = R θ φ φ θ θ+ φ θ 2π θ e ( S ) 1 θ = S. θ 49 Richiami sulle matrici ortogoali di ordie 2 (3/3) R θ hao autovalori cosθ ± ise θ = e ±i che per θ 0 soo complessi coiugati. Quidi se θ 0 l uico vettore fisso (cioè tale che R X X ) è O. Le S θ hao autovalori ±1. Quidi l autospazio relativo a 1 è formato da vettori fissi. Dato θ 0,2 π ) idetificheremo co Rθ e S θ le applicazioi ortogoali defiite da tali matrici. θ θ = Politecico di Torio 25

26 Rotazioi di cetro l origie (1/2) Per studiare il sigificato geometrico di R θ usiamo le coordiate polari: sia ( x, y) = ( r cos α, r seα ) co r > 0 e α 0,2 π ). Allora x cosθ seθ r cosα R θ = = y seθ cos θ r seα ( + ) ( ) cosθ cosα seθseα cos α θ r r = seθ cosα + cosθseα se α + θ 51 Rotazioi di cetro l origie (2/2) Quidi R θ è ua rotazioe (i seso atiorario) di cetro O e agolo θ Politecico di Torio 26

27 Esempi π Per θ = 0,, π abbiamo rispettivamete 2 l idetità, la rotazioe di u agolo retto e la simmetria di cetro l origie. x x x y x x R 0, R, R = = π = y y y x y y π 2 53 Rotazioi I geerale, la rotazioe el piao di cetro P 0 e agolo θ è l isometria f che ha come solo puto fisso il puto P 0. Allora f è della forma f ( X ) = R ( X P ) + P = R X R P + P. θ 0 0 θ θ 0 0 Ifatti il sistema Rθ ( X P0) + P0 = X è equivalete a Rθ ( X P0) = X P0. Poiché l uico puto fisso di R θ è O, l uico puto fisso di f è X = P Politecico di Torio 27

28 La rotazioe di cetro (1, 1) e agolo π 4 è Esempio x x f (( x, y) ) = R π /4 + = +. y y 1 55 Simmetrie cetrali el piao I 2 la simmetria cetrale σ P 0 di cetro P 0 èla rotazioe di agolo π e cetro P 0. Osserviamo che i questo caso, la formula delle rotazioi coicide co la formula delle simmetrie cetrali, i quato Rπ = I 2 e Rπ ( X P0) + P0 = X + 2 P Politecico di Torio 28

29 Esempio (1/3) Sia r :2x + y 1= 0 e sia σ r la simmetria assiale di asse r. Se σ r ( x, y) = x ', y ' le codizioi si esprimoo col sistema ( ) ( ) 1 2 ( ) σ r ( P) P r e ( ) σ r P + P r x ' x = 2λ y ' y = λ x ' + x y ' + y 2 + 1= Esempio (2/3) Quidi 1 λ = ( x y ) e 1 x ' = 3x + 4y y ' = 4x 3y 2 5 ( ) ( ) Politecico di Torio 29

30 Esempio (3/3) Poedo N =, ( ) 1 4 P = 5 2 abbiamo σ r X = NX + P. Osserviamo che N è ortogoale co D (N ) = -1, quidi N = S θ per u θ 0 2 π ). 59 Simmetrie assiali el piao I geerale la simmetria assiale el piao di asse r èl isometriaf che ha come puti fissi tutti e soli i puti di r ed è del tipo f X = S X + P ( ) θ. Le simmetrie assiali co asse passate per l origie coicidoo co le applicazioi f ( X ) = S θ X, associate alle matrici S θ : i tal caso l asse è l autospazio relativo a Politecico di Torio 30

31 Esempi (1/2) Se ( ) π /4 f X = S X, l asse ha equazioe ( ) 1 2 x + y = 0. Le simmetrie assiali co assi gli assi cartesiai y = 0, x = 0 e la bisetrice x y = 0 soo rispettivamete x x x x x y S 0, S π, S = = = y y y y y x π 2 61 Esempi (2/2) Politecico di Torio 31

32 Rotazioi assiali Sia r 3 ua retta e θ 0 2π ). Se P 3 e se π è il piao per P ortogoale a r, cosideriamo il puto Rr,θ ( P) otteuto da P co ua rotazioe i π di cetro π r e agolo θ (i seso atiorario). L applicazioe R θ 3 3 r, : è ua isometria detta rotazioe assiale di agolo θ e asse di rotazioe r. Se E 3 e Rr,θ ( E ) = E per ogi θ si dice che E è ua figura di rotazioe co asse r Politecico di Torio 32

33 Rotazioe attoro agli assi coordiati (1/3) Se r z è l asse delle z, abbiamo cosθ seθ 0 x x Rr z, θ (( x, y, z) ) = seθ cosθ 0 y R θ, z =. y z 65 Rotazioe attoro agli assi coordiati (2/3) Ifatti, se P 0 = (x 0, y 0, z 0 ), il piao π per P 0 ortogoale all asse delle z ha equazioe π : z z0 = 0 e Q = π r = (0,0, z0). Il puto otteuto co ua rotazioe di cetro Q e agolo θ è allora dato da ( cosθx se θy,seθx + cos θy, z ) da cui la formula per. R r,θ Politecico di Torio 33

34 Rotazioe attoro agli assi coordiati (3/3) Aalogamete cosθ 0 seθ 0 cosθ se θ, seθ cosθ seθ 0 cosθ defiiscoo le rotazioe attoro agli assi delle x e delle y rispettivamete. 67 Simmetrie rispetto a u piao (1/3) Sia π : x y + z 1 = 0. Posto σ π (( x, y, z) ) = ( x ', y ', z '), aalogamete alle simmetrie assiali el piao abbiamo: x ' x = λ y ' y = λ z ' z = λ ( x ' + x) ( y ' + y) + ( z ' + z) 1= da cui λ = ( x + y z + 1. ) Politecico di Torio 34

35 Simmetrie rispetto a u piao (2/3) σ π Sostituedo otteiamo x x, y, z = y 1 + = NX + P z 1 (( )) Si verifica che la matrice N è ortogoale e che D (N ) = Simmetrie rispetto a u piao (3/3) Le simmetrie rispetto ai piai z = 0, y = 0 e x = 0 soo date rispettivamete da x x y y =, z z x x y y =, z z x x y y = z z Politecico di Torio 35