Diottri sferici e lenti

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1 Diottri sferici e leti Deis Bastieri Dipartimeto di Fisica & Astroomia G. Galilei Uiversità di Padova 6 dicembre Il diottro sferico I due mezzi che costituiscoo il diottro siao ora separati da ua superficie sferica cetrata i C, il cetro di curvatura, e di raggio di curvatura r (vedi figura qua sotto). L asse di simmetria del diottro idividua il cosiddetto asse pricipale, che itercetta il diottro i V, vertice del diottro. Si assuma ifie che valga <, per cui varrà θ 1 > θ. α 1 H θ 1 θ 1 ϕ P V H C Q α Figura 1: Geometria el caso del diottro sferico U raggio di luce esce da P posto sull asse pricipale el mezzo co idice di rifrazioe ed itercetta la superficie sferica i H. La proiezioe di H sull asse pricipale sia H. Il raggio di luce icide i H co u agolo rispetto alla ormale θ 1 che, tramite la legge di Sell, diveta θ el mezzo di idice di rifrazioe. Il raggio di luce icotrerà uovamete l asse pricipale i Q, el mezzo di idice di rifrazioe. Siao ifie α 1 l agolo tra il raggio di luce e l asse pricipale el primo mezzo e α quello el mezzo a destra. L agolo tra asse pricipale ed il raggio di curvatura che icide i H sia idicato co ϕ. 1

2 Per la regola sugli agoli esteri di u triagolo, possiamo scrivere: θ 1 = ϕ + α 1 ϕ = θ + α ma la legge di Sell ci dice che θ 1 θ : esplicitado i θ elle due relazioi precedeti si ottiee quidi: ϕ + α 1 = θ 1 θ = ϕ α e raccogliedo ϕ: α 1 + α = ( )ϕ. Posta h = HH, distaza dall asse ottico, coicidete i questa semplice geometria co l asse pricipale, p = P H e q = H Q, la relazioe precedete si può scrivere come: h p + h q = ( ) h r dove abbiamo approssimato la tagete co l agolo forti del fatto che θ 1 > α 1 e quidi dato che si θ 1 θ 1 vale ella stessa approssimazioe α 1 ta α 1 = h. Le altre due approssimazioi valgoo per distaze dall asse p ottico, h, o troppo elevate, quado possiamo isomma supporre che ϕ ta ϕ = h e, dato che ϕ > α r, α ta α = h. q Nella relazioe precedete si oti come h compaia i tutti i umeratori: può quidi essere elimiato otteedo ua relazioe formalmete idipedete da h. Si oti che ua dipedeza residua da h è isita però i p e q, distaze dei puti P e Q da H, ma tale dipedeza va come 1 cos ϕ = O(ϕ ). Questo è equivalete a predere le distaze di P e Q o da H ma da V, vertice del diottro, o porre p = P V e q = V Q. Al prim ordie, la ostra relazioe è quidi idipedete dalla distaza dall asse ottico e può essere scritta come: p + q = (1.1) r ota ache come formula di Gauss per il diottro sferico. Si oti che se si assume che la relazioe sia idipedete da h, ogi raggio uscete da P ed icidete sulla superficie sferica va ad icidere su Q o, detto i altri termii, u puto lumioso situato i P (chiamato ache l oggetto) che emette raggi lumiosi i tutte le direzioi produrrà u immagie i Q. Per questo motivo, si adotta la covezioe di chiamare lo spazio a siistra della superficie sferica spazio oggetto e quello a destra spazio immagie. Il puto P ed il puto Q, associati da questa relazioe, soo ache chiamati puti coiugati ed u sistema i cui u puto è mappato i u puto è ache detto stigmatico (dal greco st igma, sego o puto). I defiitiva, ell approssimazioe di Gauss, u diottro sferico è stigmatico per tutti i puti situati sull asse pricipale. Posti ifie: f 1 = r f = r (1.)

3 chiamati ache fuoco ateriore, f 1, e fuoco posteriore, f, la formula di Gauss si semplifica i: f 1 p + f q = 1 Ma che sigificato hao i due fuochi? Si vede immediatamete che o appea l oggetto si avvicia alla distaza dal vertice pari al fuoco ateriore, p f 1, q diverge ovvero l immagie si forma all ifiito. Questo equivale a dire che ello spazio immagie abbiamo prodotto u fascio parallelo. I completa aalogia, se q f, u oggetto all ifiito, ovvero u fascio parallelo che icide sulla superficie sferica, adrà a fuoco el fuoco posteriore. Dalle defiizioi dei fuochi si oti ache che vale la relazioe f 1 =, f ovvero la distaza del fuoco dal vertice è maggiore el mezzo co idice di rifrazioe maggiore. La lete Ua lete è costituita da due diottri sferici co gli assi pricipali coicideti. L uico, asse pricipale è ora chiamata o asse ottico della lete. Siao V 1 e V i vertici dei due diottri, ovvero le itersezioe dei diottri co l asse ottico, e C 1 e C i cetri di curvatura dei due diottri di raggi di curvatura rispettivamete R 1 ed R. La lete abbia idice di rifrazioe e sia immersa i u mezzo di idice di rifrazioe. I P si abbia u oggetto lugo l asse ottico e si calcoli duque dove u raggio emesso i P ed icidete sulla lete itercetti uovamete l asse ottico. P V 1 C C 1 V Q Q Figura : Geometria per ua lete 3

4 Si scrivao iazitutto le formule di Gauss per i due diottri accoppiati (si veda la formula 1.1). Co riferimeto alla fig. : { 1 + = P V 1 V 1 Q R 1 + = (.1) V Q V Q R dove il puto Q è immagie per il diottro 1, ma ache oggetto, virtuale, per il diottro. Se suppoiamo che valga per lo spessore s = V 1 V 0, approssimazioe detta di lete sottile, varrà ache V 1 Q = V Q. Per la lete, la distaza tra oggetto e lete è ora p = P V 1 e la distaza tra lete ed immagie è q = V Q e sommado le due equazioi a sistema i.1 otteiamo: p + V 1 Q V Q + q = + R 1 R o, dividedo per ambo i membri e raccogliedo a destra : 1 p + 1 q = ( 1 1 ) = 1 R 1 R f (.) detta ache formula di Gauss per le leti sottili, dove f è la lughezza focale della lete. 3 Le distaze focali: FFL e BFL Se lo spessore o può essere trascurato, il sistema.1 ammette comuque due soluzioi semplici, vedi a lato, quella i cui icide sulla lete u fascio parallelo (ovvero P V 1 ) e quella i cui la lete mi produce u fascio parallelo (ovvero V Q ). Nel primo caso il fascio parallelo sarà focalizzato el fuoco posteriore del primo diottro, che fugerà ache da sorgete virtuale per il secodo diottro (equivaletemete si aulli la frazioe co P V 1 el sistema di equazioi.1). Dato che il fuoco posteriore del primo diottro dista dal vertice V 1, f = R 1 /( ), la distaza focale del fuoco posteriore dell itera lete, chiamato ache Back Focal Legth e idicato co BFL, si può ricavare applicado alle ostre codizioi la secoda equazioe del sistema ed otteedo: 4 Figura 3: Distaze focali

5 ( ) 1 + R 1 V 1 V BFL = R lasciado solo la BFL a primo membro: BFL = ( ) = R + ( )s R 1 ( )s R 1 R R ( )s R 1 che, risolta per la BFL, porge: BFL = R ( )s R 1 ( )s + (R R 1 ) (3.1) La Frot Focal Legth, o FFL, si ottiee adado a trovare l oggetto che ha come immagie per il primo diottro il fuoco ateriore del secodo diottro, i modo tale da produrre u fascio parallelo come immagie dell itera lete. Il fuoco ateriore del secodo diottro dista f 1 = R /( ) da V e la FFL può essere calcolata dalla prima equazioe a sistema o: FFL + ( ) = R V 1 V R 1 esplicitado a primo membro la FFL: FFL = ( ) + = ( )s + R R 1 ( )s + R R 1 R 1 ( )s + R che, ivertita, porge: FFL = R 1 ( )s + R ( )s + (R R 1 ) (3.) 5