138. MOLTIPLICARE I NUMERI CON LA GEOMETRIA Luca Lussardi Technische Universität Dortmund, Vogelpothsweg , Dortmund (Germania)

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1 138. MOLTIPLICARE I NUMERI CON LA GEOMETRIA Luca Lussardi Techische Uiversität Dortmud, Vogelpothsweg , Dortmud (Germaia) No c è certo da stupirsi se oggi troviamo relazioi tra operazioi matematiche e costruzioi geometriche; me che meo lo stupore potrebbe arrivare quado si riscotrao relazioi tra aritmetica e geometria egli atichi, poiché, come è be oto, già egli atichi greci aritmetica e geometria viaggiavao su biari paralleli, e l ua serviva all altra, ache se la geometria restava il sapere pricipale. Ma qui o parliamo dei soliti greci, besì dei ciesi. Già, perché pare che proprio agli atichi ciesi vega attribuito il cosiddetto metodo della moltiplicazioe grafica, il quale è sostazialmete u algoritmo di atura geometrica che permette di moltiplicare due iteri assegati, dei quali almeo uo è maggiore o uguale a 10, costruedo opportui fasci di rette parallele. Il metodo di per sé fuzioerebbe ache co fattori etrambi miori di 10 come si vedrà, ma il procedimeto, i tal caso, richiede, per costruzioe, di saper già il risultato della moltiplicazioe, per cui appare iutile. Esempi Esempio 1.1. Suppoiamo di dover effettuare la moltiplicazioe Comiciamo col primo fattore: 12. Le sue due cifre soo 1 e 2. Allora disegiamo ua retta (cifra 1 di 12): Ora disegiamo 2 rette (cifra 2 di 12) parallele alla retta precedetemete disegata: Costruiamo ora u sistema di rette parallele aalogo a quello precedete, ma cosiderado il secodo fattore (32) e posizioadole trasversali rispetto al sistema precedete; precisamete: 10

2 Ora cotiamo i modo opportuo i puti di itersezioe come la prossima figura mostra: Leggiamo quidi il risultato: = 384. Esempio 1.2. Facciamo u secodo esempio el quale i due fattori o hao lo stesso umero di cifre; ad esempio calcoliamo Procediamo come ell esempio precedete cosiderado il primo fattore, 241, e disegado quidi tre gruppi di rette parallele, rispettivamete 2 rette, 4 rette e 1 retta. Disegiamo poi il secodo gruppo di rette tra loro parallele ma trasversali rispetto alle precedeti, relative al secodo fattore, 15. Per dare alla figura la stessa simmetria come ell esempio precedete, aggiugiamo ua terza retta parallela alle ultime rette cosiderate; la coloriamo i rosso per ricordarci che o va cotata. Otteiamo la seguete figura: Procediamo quidi come ell esempio precedete cotado le itersezioi e sommadole per coloe, ricordado che la retta rossa i realtà o esiste. Otteiamo: 11

3 Ora si tratta di spostare le decie ma mao verso siistra; la figura si completa come segue: Si ha duque = Esempio 1.3. Come ultimo esempio riportiamo il caso di due umeri che cotegoo almeo uo zero; i tal caso coloriamo di rosso la retta corrispodete i modo tale da ricordarci che o vao cotate itersezioi, ma stavolta, al cotrario delle rette fittizie del caso precedete, lo zero derivate dalla retta di colore rosso va cosiderato. Mostriamo quidi che =

4 Cofroto co l usuale regola i coloa E giuta l ora delle spiegazioi. Questo curioso metodo ha i realtà ua spiegazioe precisa molto semplice, cosa che posticipiamo alla prossima sezioe. Per o appesatire la trattazioe diamo i questa sezioe ua dimostrazioe ituitiva cofrotado alcue delle figure precedetemete co l usuale algoritmo della moltiplicazioe i coloa. 13

5 Ua dimostrazioe rigorosa Diamo, per cocludere, ua motivazioe rigorosa della regola grafica illustrata per esempi (vedi [1]). Siao da moltiplicare due umeri iteri x e y. Sviluppiamo x e y i base 10 poedo x= α i 10 i, y = β j 10 j co α i,β j {0,1,...,9}. A meo di scegliere qualche coefficiete ullo, possiamo supporre che sia m=, e che quidi sia m j=0 x= α i 10 i, y = β j 10 j. I tali codizioi si ha facilmete l espressioe del prodotto xy dato da: 2 k j=0 xy= α i β k i 10 k. k=0 Osserviamo che la scrittura precedete o è la rappresetazioe i base 10 del umero xy; ifatti o è detto che le quatità k α i β k i 10 k siao tra 0 e 9. Tali quatità soo esattamete le somme che, ella regola grafica illustrata, si effettuao lugo le coloe della figura costruita. Tali valori vao quidi semplicemete sommati tra loro come la formula per il prodotto xy afferma, e come effettivamete si procede ella moltiplicazioe grafica. Riferimeti bibliografici [1] N. Fioretii, La moltiplicazioe grafica: dimostrazioe algebrica e altre curiosità, [2]