Accenni al calcolo combinatorio

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1 Accei al calcolo combiatorio Dario Malchiodi e Aa Maria Zaaboi ottobre 2017 Pricipio fodametale del calcolo combiatorio: se ci soo s 1 modi per operare ua scelta e, per ciascuo di essi, ci soo s 2 modi per operare ua secoda scelta e, per ciascuo di essi, ci soo s 3 modi per operare ua terza scelta e... e per ciascuo di essi ci soo s t modi per operare la t-esima scelta, allora il umero delle sequeze di possibili scelte è: s 1 s 2 s 3... s t. Questo risultato corrispode al calcolo del umero delle foglie di u albero di profodità t il cui primo livello ha s 1 odi ciascuo dei quali ha s 2 figli, ciascuo dei quali ha s 3 figli e così via. 1 Permutazioi Cosideriamo u isieme di oggetti A {a 1,... a }. Chiamiamo permutazioe degli oggetti ua sequeza ordiata i cui compaioo tutti gli oggetti. 1.1 Permutazioi semplici Se gli oggetti di A soo tutti distiguibili, allora ua sequeza ordiata di tali oggetti è detta permutazioe semplice, o soltato permutazioe degli oggetti. Ad esempio, se A {a,b,c} allora tutte le permutazioi degli oggetti soo: a b c c a b b c a b a c c b a a c b Quate soo le permutazioi di oggetti? Per rispodere a questa domada applichiamo il pricipio fodametale del calcolo combiatorio: (i) calcoliamo i quati modi possiamo selezioare l oggetto da iserire ella prima posizioe: avedo a disposizioe oggetti, abbiamo possibilità; (ii) per ciasua delle possibili scelte fatte al puto precedete, calcoliamo i quati modi possiamo selezioare l oggetto da iserire ella secoda posizioe: avedo a disposizioe 1 oggetti, abbiamo 1 possibilità. I totale abbiamo ( 1) modi differeti per scegliere il primo e il secodo elemeto della sequeza; (iii) procediamo i modo aalogo per tutte le altre posizioi, creado così u albero il cui livello i corrispode alla scelta per riempire la posizioe i-esima; per riempire la posizioe i-esima soo rimasti (i 1) elemeti di A tra cui scegliere, quidi esistoo ( 1) ( (i 1)) modi differeti per scegliere i primi i elemeti della sequeza; (iv) i particolare, arrivati all ultima posizioe, è rimasto u solo elemeto di A da scegliere, e abbiamo costruito u albero di profodità che ha u umero di foglie pari a: ( 1)( 2)... 1! 1

2 Quidi il umero di possibili permutazioi semplici di oggetti è!. Nell esempio visto poc azi abbiamo elecato tutte le possibili 3! 6 differeti permutazioi degli oggetti di A. 1.2 Permutazioi di oggetti distiguibili a gruppi Se gli oggetti di A o soo tutti distiguibili, ma soo distiguibili a gruppi di umerosità 1, 2,... (ovviamete co i1 i ), allora ua sequeza ordiata di tali oggetti che sia distiguibile dalle altre è detta permutazioe di oggetti distiguibili a gruppi. Ad esempio, immagiiamo che l isieme A {a1,a2,b1,b2,b3} sia costituito da cique caramelle di cui due (la a1 e la a2) soo al gusto aracia e le altre tre soo al gusto baaa. Dal puto di vista del gusto della caramella possiamo idetificare due gruppi distiti di oggetti, uo di umerosità 1 2 e l altro di umerosità 2 3. Se ci iteressa distiguere le sequeze di caramelle per i gusti che vi compaioo, allora la permutazioe a1 a2 b1 b2 b3 è diversa dalla a1 b1 b2 b3 a2, perchè ella prima abbiamo due caramelle all aracia iiziali e poi tre alla baaa e ella secoda abbiamo ua caramella all aracia all iizio e ua alla fie della sequeza e le caramelle cetrali soo alla baaa. Al cotrario, la permutazioe a1 a2 b1 b2 b3 è idistiguibile dalla a2 a1 b1 b2 b3, perchè, i etrambe, le prime due caramelle soo all aracia e le restati tre soo alla baaa. Quate soo duque le permutazioi di oggetti distiguibili a gruppi di umerosità 1, 2,...? Toriamo al ostro esempio e fissiamo ua cofigurazioe di gusti, fissiamo cioè le posizioi i cui compare la caramella all aracia e quelle i cui compare la caramella alla baaa, per esempio la posizioe 1 e la posizioe 5 per l aracia, la 2, la 3 e la 4 per la baaa: aracia baaa baaa baaa aracia (I questo caso abbiamo solo due gruppi e quidi, fissate le posizioi di elemeti del primo gruppo, automaticamete soo ache fissate quelle degli elemeti del secodo gruppo). Le permutazioi semplici che corrispodoo a questa cofigurazioe soo: a1 b1 b2 b3 a2 a1 b3 b1 b2 a2 a1 b2 b3 b1 a2 a1 b3 b2 b1 a2 a1 b2 b1 b3 a2 a1 b1 b3 b2 a2 a2 b1 b2 b3 a1 a2 b3 b1 b2 a1 a2 b2 b3 b1 a1 a2 b3 b2 b1 a1 a2 b2 b1 b3 a1 a2 b1 b3 b2 a1 Le abbiamo otteute lasciado fissati i gusti elle posizioi scelte e permutado su tali posizioi le caramelle del gusto corrispodete. Utilizzado il pricipio fodametale del calcolo combiatorio possiamo dire che alla sigola cofigurazioe aracia baaa baaa baaa aracia corrispodoo 1! 2! 2! 3! 12 permutazioi semplici. Se chiamiamo P ;1,... il umero di cofigurazioi differeti e ricordiamo che il umero di permutazioi semplici è!, possiamo scrivere:! P ;1,... 1! 2!...!, da cui segue che il umero delle permutazioi di oggetti distiguibili a gruppi di umerosità 1, 2,... è:! P ;1,... 1! 2!...! ( 1!, 2!,...,!). Questa quatità è detta ache coefficiete multiomiale. 2

3 2 Disposizioi e combiazioi Cosideriamo u isieme di oggetti distiti A {a 1,... a } e selezioiamo oggetti di questo isieme. Le modalità di selezioe possoo essere svariate. Se vogliamo distiguere le cofigurazioi coteeti gli stessi oggetti ma estratti i ordie differete allora pariamo di disposizioi di oggetti su posti, che soo cofigurazioi i cui soo importati sia l oggetto selezioato che la sua posizioe. Specifichiamo ua disposizioe idicado tra paretesi tode gli oggetti estratti. Ad esempio, fissato 3, la disposizioe (a i, a j, a r ) è diversa dalla disposizioe (a r, a j, a i ) perchè, sebbee gli oggetti selezioati siao gli stessi, essi compaioo i ordie differete. Se ivece siamo solo iteressati a quali oggetti soo stati estratti e o alla loro posizioe ella sequeza, allora pariamo di combiazioi di oggetti presi alla volta. Specifichiamo ua combiazioe idicado tra paretesi graffe gli oggetti estratti. Ad esempio, fissato 3, la combiazioe {a i, a j, a r } e la {a r, a j, a i } soo la stessa combiazioe. Ioltre: Se gli oggetti di A possoo essere usati ua sola volta, allora parliamo di disposizioi o combiazioi seza ripetizioe. Gli esempi di disposizioi o combiazioi visti sopra soo seza ripetizioe. Se ivece immagiiamo che el selezioare ciascuo dei oggetti abbiamo a disposizioe sempre l isieme A completo, e quidi il sigolo oggetto a i può essere selezioato ache più di ua volta, allora parliamo di disposizioi o combiazioi co ripetizioe. Ad esempio, fissato 3, la sequeza (a r, a i, a i ) è ua disposizioe co ripetizioe perchè l oggetto a i ricorre due volte, e aalogamete {a r, a i, a i } è ua combiazioe co ripetizioe. Abbiamo duque quattro possibili modi di selezioare oggetti da u isieme di oggetti, che corrispodoo a quattro tipi di cofigurazioi diverse: (a) le disposizioi seza ripetizioe, dette ache disposizioi semplici, che richiedoo ovviamete che sia, (b) le combiazioi seza ripetizioe, dette ache combiazioi semplici, co, (c) le disposizioi co ripetizioe, (d) le combiazioi co ripetizioe. Vediamo ora come calcolare, data ua particolare modalità di selezioe, il umero di possibili scelte distite. (a) Per calcolare il umero d, di possibili disposizioi seza ripetizioe di oggetti distiti su posti procediamo i modo aalogo a quato fatto per le permutazioi semplici, fermadoci però alla posizioe -esima. L albero costruito ha profodità e u umero di foglie pari a: d, ( 1)( 2)... ( + 1) ) ( 1)( 2)... ( + 1) ( ( )( 1)...1 ( )( 1)...1! ( )!. Si osservi che, per, ella disposizioe si utilizzao tutti gli elemeti di A, quidi le permutazioi semplici soo u caso particolare di disposizioi semplici. (b) Per calcolare il umero c, di possibili combiazioi seza ripetizioe di oggetti distiti presi alla volta osserviamo che, fissati oggetti, alla combiazioe coteete quei oggetti corrispodoo! distite disposizioi coteeti gli stessi oggetti. 3

4 Quidi il umero totale di disposizioi semplici è uguale al umero di combiazioi moltiplicato per!, cioè: d, c,!, da cui segue che:! c, d, /! ( )!! ( ) (c) Per calcolare il umero D, di possibili disposizioi co ripetizioe di oggetti distiti su posti procediamo i modo aalogo a quato fatto per le disposizioi seza ripetizioe, teedo presete però che i ciascu odo dell albero abbiamo sempre possibili oggetti tra i quali scegliere, metre la profodità dell albero è, come i quel caso, acora. Quidi avremo che: D, } {{ } volte (d) Diamo soltato la formula per calcolare il umero C, di combiazioi co ripetizioe di oggetti distiti presi alla volta: C, ( ) + 1 La Tabella seguete cotiee uo schema riassutivo dei casi cosiderati. sequeze (ordiate) isiemi (o ordiati) co ripetizioe seza ripetizioe DISPOSIZIONI d,! ( )! DISPOSIZIONI D, COMBINAZIONI c, ( ) COMBINAZIONI C, ( ) Qualche esercizio 1. Dato l isieme A {a 1,... a } e idicato co P(A) l isieme delle parti di A, calcolare la cardialità di P(A). Soluzioe 1 Ricordiamo che l isieme delle parti P(A) è l isieme di tutti i sottisiemi propri e impropri di A: cotiee l isieme vuoto, tutti i sottisiemi costituiti da u solo elemeto di A, tutti i sottisiemi costituiti da due soli elemeti di A e così via, e cotiee ache A stesso. 4

5 Siccome il umero di sottisiemi costituiti da elemeti è c, ( ), si ha che la cardialità di P(A) è P(A) 1 + ( 1 ), dove il primo addedo è dovuto alla preseza dell isieme vuoto. Sfruttado le proprietà del coefficiete biomiale otteiamo: P(A) ( ( 0 ) ) dove ell ultimo passaggio abbiamo utilizzato la formula del biomio di Newto: (a + b) 0 ( ) a b, poedo a 1 e b 1. Soluzioe 2 Se rappresetiamo ogi sottisieme S di A come ua -upla di elemeti biari i cui ella posizioe i-esima compare il simbolo 1 se l elemeto a i appartiee a S e compare il simbolo 0 se l elemeto a i o vi appartiee, allora l isieme delle parti P(A) è l isieme di tutte le -uple che possiamo costruire a partire dai due simboli 0 e 1. Quidi: P(A) D, Quati umeri telefoici di 7 cifre tutte diverse si possoo avere? [d 10, ] 3. Laciado 3 dadi quate combiazioi di umeri si posso otteere? [C 6,3 56] 4. I quati modi laciado 3 dadi possoo uscire facce tutte diverse? [se distiguo i dadi: d 6,3 120, se o distiguo i dadi: c 6,3 20] 5. Quati soo gli aagrammi della parola ROMA? [permutazioi semplici d 4,4 24] 6. Quati soo gli aagrammi della parola MATEMATICA? [permutazioi di oggetti distiguibili a gruppi: P 10;3,2,2,1,1, ] 7. I quati modi 3 persoe possoo occupare 4 posti umerati? [i quati modi posso assegare 4 posti a 3 persoe: d 4,3 24]. 5