SULLE PARTIZIONI DI UN INSIEME

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1 Claudia Motemurro Ricordiamo la SULLE PRTIZIONI DI UN INSIEME Defiizioe: Ua partizioe di u isieme è ua famiglia { sottoisiemi o vuoti di X tali che: - X è l uioe degli isiemi X i (i I ), cioè X = U i X i X i / i I} di - ogi coppia di sottoisiemi diversi di X è disgiuta, cioè X ii X j = per i j. I sottoisiemi X i soo chiamati parti della partizioe. Se X è u isieme fiito, ua partizioe di X deve avere u umero fiito k di parti; perciò utilizziamo = 1, 2,..., k come isieme degli IN { } idici ed elechiamo le parti come X X,...,. k 1, 2 X k I umeri di Stirlig Defiizioe: Si chiama umero di Stirlig di secodo tipo S (, il umero delle partizioi di u isieme di ordie i k isiemi. ESEMPIO Sia I = { x, y, z} u isieme di ordie 3. Si ha: S ( 3,1) = 1 l uica partizioe è { I } S ( 3,2) = 3 le partizioi possibili soo { x } { y, z} { } S ( 3,3) = 1 l uica partizioe è { x }, { y},{ z} {, }, { y }, { x, z }, {{}{ z, x, y} Dal teorema che segue ricaviamo la relazioe ricorsiva tra questi umeri. 1

2 TEOREM Sia S(, il umero di partizioi di u isieme X di elemeti i k parti, co 1 k. llora: S(,1) = 1 S (, = 1 S(, = S(, k ) + ks(, co 2 k. Dimostrazioe: Provo baalmete le prime due asserzioi osservado che c è u uica partizioe di X co ua parte, X stesso, ed u uica partizioe di X i parti, formata dai sottoisiemi uitari { x }, x X. Detto k z u elemeto di X, sia X 0 = X \ { z}. llora ua partizioe di X i parti si ottiee i uo, e uo soltato dei segueti modi: - aggiugedo la parte formata dall isieme uitario z ad ua partizioe i k 1 blocchi di X 0 - aggiugedo l elemeto z ad ua delle k parti della partizioe di X 0 e questo si può fare i k modi diversi Come cosegueza di questo teorema rappresetiamo i umeri di Stirlig mediate ua tabella ifiita detta triagolo di Stirlig, avete come riga -esima: S(,1), S(,2),..., S(, 1) S(,. Idichiamo le prime sette righe del triagolo di Stirlig: 2

3 Osserviamo che, come el triagolo di Pascal si ha ua relazioe co i coefficieti biomiali, così i umeri di Stirlig hao u legame co i coefficieti multiomiali. Questi cotao il umero di permutazioi co ripetizioe di k oggetti i cui il primo è preso volte, il k -esimo k volte, co = e valgoo: k = k!.!!...! 1 2 k volte, il secodo 1 2 Si osserva che i coefficieti multiomiali soo ua geeralizzazioe dei coefficieti biomiali e coicidoo el caso i cui k = 2 ; ifatti questi! ultimi valgoo 1 = = 2 = 1, co = ! 2! I umeri di Stirlig S(, ci permettoo ioltre di cotare le suriezioi tra due isiemi di ordie e k rispettivamete co il: TEOREM Detto J l isieme di suriezioi da u isieme ad u isieme Y di ordie k. llora: J = k! S(, X di ordie dove l ordie dell isieme J delle suriezioi è: J =,,..., 1 2 k I umeri di Bell Defiizioe: Dato u isieme I di ordie, defiiamo B( il umero di tutte le possibili partizioi dell isieme. umero di Bell Si osserva subito che l -esimo umero di Bell è: B( = k = 1 S(, cioè la somma degli elemeti dell -esima riga del triagolo di Stirlig. 3

4 Per calcolare i primi sette umeri di Bell mi limito allora a sommare i umeri delle sette righe del triagolo riportato i precedeza: B ( 1) = 1, B( 2) = 2, B( 3) = 5, B ( 4) = 15, B ( 5) = 52, B ( 6) = 203, B( 7) = 877. Co la figura seguete diamo rappresetazioe del modo i cui sia possibile raggruppare 4 elemeti i isiemi di ordie 1, 2 3, 4. La figura coferma i risultati otteuti per etrambi tipi di umeri, ifatti: S ( 4,1) = 1 S( 4,2) = 7 S ( 4,3) = 6 S ( 4,4) = 1 B ( 4) = 15 che i umeri di Bell soo legati da ua relazioe ricorsiva: TEOREM: Dato u isieme I di ordie 1, siao B( i) e B ( l ( i) -esimo e l -esimo umero di Bell. Si ha: B( = B( i). Formula di itke 1 i Dimostrazioe: Si cosideri P ua partizioe dell isieme I. 4

5 L elemeto a di I appartiee ad uo e uo solo dei sottoisiemi di P ; ciò sigifica che ogi partizioe di I è determiata uivocamete dal sottoisieme che cotiee a e da ua partizioe di I. L ordie i dell isieme è compreso tra 1 ed ( i 0 perché ). può essere scelto i modi, poiché tati soo i sottoisiemi di i che cotegoo a ; le partizioi di I, che è u isieme di ordie i, risultao ivece essere B( i). Duque, per ogi i, co 1 i, vi soo esattamete (per il pricipio delle scelte) elle quali a appartiee ad u elemeto di ordie i. Ne segue che le partizioi distite di I soo B( i) partizioi di I i B( = B( i) 1 i I Osservazioe: Esistoo relazioi ricorsive i cui è possibile calcolare il termie -esimo usado soltato il termie precedete (come el caso della successioe geometrica e della successioe aritmetica) e soo dette relazioi ricorsive del primo ordie. Se per calcolare il termie -esimo utilizzo i due termii che lo precedoo (come ella successioe di Fiboacci) ho a che fare co relazioi ricorsive del secodo ordie. Per calcolare B( occorre cooscere gli umeri di Bell B (0), B (1),..., B( ; si dice che la relazioe ricorsiva o ha ordie fiito. Esiste ua curiosa iterpretazioe poetica dei umeri di Bell, matematico ma ache autore di romazi polizieschi co lo pseudoimo di Joh Taie. Si può costatare ifatti che B( è il umero dei possibili schemi di rima per ua strofa di poesia di versi. Riportiamo ella tabella le rime possibili di strofe co valori di fio a 4 ; quest ultimo caso rappreseta duque le possibili rime di ua quartia. 5

6 Esempi celebri relativi alla tabella possoo essere ritrovati ella Divia Commedia; Date utilizza terzie co rime rappresetate dal quarto tipo: Nel mezzo del cammi di ostra vita mi ritrovai per ua selva oscura ché la diritta via era smarrita B e el Cazoiere, Lorezo de Medici fa uso di quartie dell ultimo tipo: Quat'è bella gioviezza che si fugge tuttavia! Chi vuol esser lieto, sia: di doma o c'è certezza B B Sempre ell ultimo spazio che raffigura le possibili rime delle quartie abbiamo el primo esempio la rappresetazioe della rima alterata (schema BB) e ell ottavo la rima baciata (schema BB) BIBLIOGRFI - N.L.Biggs, Discrete mathematics Ed. Claredo presse, Oxford Cerasoli-Eugei-Protasi, Elemeti di matematica discreta Ed. Zaichelli, Bologa J.H.Coway-R.K.Guy, The book of umbers Ed. Copericus- Spriger-Verlag