CAMPUS ESTIVO 2011 MATEMATICA, FISICA E SPORT

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1 DANIELA ROMAGNOLI MATEMATICA AL FORTE CAMPUS ESTIVO 0 MATEMATICA, FISICA E SPORT BARD (AO)

2 PREFAZIONE Ho preparato queste ote per il Corso di Algebra modera iserito el Campus estivo 0 di matematica, fisica e sport orgaizzato a Bard, i Valle d Aosta, e riservato a studeti delle scuole superiori iteressati a proseguire gli studi i ambito matematico-fisico-igegeristico. Le lezioi si propogoo sia di presetare i prerequisiti ecessari che di itrodurre strumeti uovi per la presetazioe di alcue tematiche del calcolo combiatorio. I Appedice ho proposto gli assiomi di Peao e il fodametale strumeto matematico dell iduzioe e ho presetato alcue importati successioi, itroducedo così famose famiglie di umeri che itervegoo i molte situazioi e che dao alla materia trattata u aspetto particolarmete ludico.

3 INDICE Capitolo Nozioi itroduttive e otazioi. P Capitolo Corrispodeze e fuzioi.... P 7 Capitolo 3 Alcui problemi combiatorici.. P Appedice Gli assiomi di Peao P 30 Appedice Alcue Successioi P 34. Successioi aritmetiche e geometriche P 34. La Successioe di Fiboacci P I umeri di Lucas P I umeri di Mersee. P I umeri di Catala. P Liee del piao. P 50 Bibliografia

4 Capitolo. Nozioi itroduttive e otazioi. Isiemi La teoria degli isiemi è alla base di tutta la matematica, i quato e forisce il liguaggio base e le otazioi. Defiiamo u isieme come ua collezioe di oggetti, i umero fiito o ifiito. Nel primo caso parliamo di isieme fiito di ordie pari al umero degli oggetti che lo costituiscoo, el secodo caso di isieme ifiito. Così soo isiemi fiiti di ordie 7 gli isiemi dei ai della favola di Biacaeve, dei giori della settimaa, delle ote musicali, dei umeri aturali compresi tra 0 e 6, soo isiemi ifiiti l isieme di tutti i umeri aturali, l'isieme dei umeri iteri, quello dei razioali, degli irrazioali e dei reali. Gli oggetti che costituiscoo u isieme soo detti i suoi elemeti. Gli isiemi soo geeralmete idicati co lettere maiuscole dell'alfabeto latio esteso A, B, X, Y, gli elemeti co lettere miuscole a, b, x, y. Per idicare l'apparteeza o meo dell'elemeto x all'isieme A, si scrive e x A x A rispettivamete. L'isieme privo di elemeti è detto isieme vuoto e idicato uiversalmete co il simbolo. Soo esempi di l isieme delle soluzioi reali dell equazioe x 0, l isieme dei umeri aturali miori di 0, l isieme delle soluzioi reali del sistema seguet Vediamo i modi più usati per idicare u isieme. Alcui isiemi hao ua otazioe stadard : così N, Z, Q, R, C idicao l'isieme dei umeri aturali, iteri, razioali, reali e complessi, Z l'isieme dei umeri pari, Z[x] l'isieme dei poliomi i ua variabile x a coefficieti iteri. Vedremo i seguito molte altre otazioi di uso comue i matematica. - -

5 Uo specifico isieme viee idicato mediate l idicazioe diretta dei suoi elemeti, elecado gli stessi tra paretesi graffe, ciascuo ua volta sola e seza dare importaza all ordie. Così, idica l isieme dei primi tre umeri aturali. I { 0,, } {,0, } {,,0 } U altro modo per assegare u isieme X cosiste ell idicare ua proprietà caratteristica comue a tutti i suoi elemeti e scrivere o ache X { x / x ha la proprietà P } X { x : x ha la proprietà P }. I tal caso si parla di rappresetazioe caratteristica dell isieme X. L isieme I { 0,, }, fiito di ordie 3, ha la seguete rappresetazioe caratteristica : o, equivaletemete, I { x / x N e 0 x } I { x N / 0 x }. Osserviamo che è ecessario idicare esplicitamete la atura degli elemeti dell isieme e o solo la loro proprietà caratteristica : ifatti la stessa proprietà degli elemeti di I dà luogo 0,, detto itervallo chiuso di estremi 0 e, i R all isieme ifiito [ ] [ 0,] { x R / 0 x }. Gli itervalli della retta reale possoo ache essere aperti e semiaperti (o semichiusi ) e soo caratterizzati e idicati el modo che segue : (a,b) { x R / a < x < b } [a,b) { x R / a x <b } ( a,b] { x R / a< x b }. Ricordiamo ifie i simboli logici che si usao più frequetemete : - -

6 sigifica per ogi, per tutti, qualuque sia, sigifica esiste almeo u/o/a!sigifica esiste uo ed u solo si legge implica : se p e q soo due affermazioi, p q sigifica che se p è vera, allora è vera ache q si legge biimplica o se e soltato se : se p e q soo due affermazioi, p q sigifica che p e q soo equivaleti, cioè che esse soo etrambe vere o etrambe false. si legge e, ha il sigificato della cogiuzioe e si legge o, ha il sigificato della cogiuzioe o, oppure ( è il vel latio).. Sottoisiemi U isieme A si dice sottoisieme dell isieme B se ogi elemeto di A appartiee a B. Si scrive A B e si legge A coteuto i B o A icluso i B. I simboli : Ad esempio : A B x A x B. N Z Q R C, Z Z, { 0,, } { 0,,,3 } N. Dalla defiizioe segue che ogi isieme è sottoisieme di se stesso e che l isieme vuoto è u sottoisieme di qualuque isieme, cioè A, A A e A. Due isiemi A e B soo uguali se hao gli stessi elemeti. Si scrive A B. I simboli : A B A B B A. A è detto sottoisieme proprio di B se è u sottoisieme di B o coicidete co B, cioè A B e A B. Si scrive talvolta A B ( si oti l aalogia dei simboli e co i simboli e < della relazioe di ordiameto per gradezza dei umeri reali )

7 Dato u isieme I, la collezioe di tutti i suoi sottoisiemi costituisce l isieme delle parti o isieme poteza di I : P(I) { A / A I }. Per quato osservato precedetemete e I appartegoo a P(I), quidi P(I) o è mai privo di elemeti. Come esempio, costruiamo P(I) ei casi I { 0, } e I { 0,, }. P({ 0, }) {,{0},{}, {0,}} P({ 0,, }) {,{0},{},{}, {0,},{0,},{,},{0,,}}}. Se I ha ordie, il suo isieme delle parti ha 4 elemeti, se I ha ordie 3, il suo isieme delle parti ha 8 elemeti, si dimostra che se I ha ordie, il suo isieme delle parti ha elemeti..3 Operazioi tra isiemi. Defiizioe. Dati due isiemi A e B, si dice isieme uioe di A e di B l isieme A U B avete come elemeti gli oggetti che appartegoo ad almeo uo tra A e B. i simboli : A U B {x / x A x B } Defiizioe. Dati due isiemi A e B, si dice isieme itersezioe di A e di B l isieme A I B avete come elemeti gli oggetti che appartegoo sia ad A che a B. I simboli : Ad esempio : A I B {x / x A x B }. N U Z Z, N I Z N {0,,} U {,,3} {0,,,3}, {0,,} I {,,3} {,} { x R / 0 x } U { x R / - x < } [ 0,] U [, ) [,] [ 0,] I [, ) [,) 0, ( 0,) U [,0 ) { x R / - x < x 0 }, ( 0,) I [,0 ). Due isiemi A e B si dicoo disgiuti se o hao elemeti i comue, cioè se A I B. Soo disgiuti gli itervalli della retta reale dell ultimo esempio

8 Osserviamo che i cocetti di uioe e itersezioe isiemistica vegoo usati, a volte implicitamete, quado si risolvoo equazioi, disequazioi e sistemi di equazioi o disequazioi : a titolo di esempio si discuta l equazioe (x )(x 3) 0 e il sistema del paragrafo. x y 0 x y 8x 5 0 L isieme S delle soluzioi di (x )(x 3) 0 è S {-,,-3} ed è l uioe isiemistica dell isieme S {-,} delle soluzioi di x 0 e dell isieme S {-3} delle soluzioi di x 3 0. L isieme delle soluzioi del sistema è ed è l itersezioe dei due isiemi ifiiti di coppie di umeri reali {(x,y) / y x } {(x,y) / x y 8x 5 0} che el piao cartesiao dao luogo rispettivamete alla bisettrice del primo e terzo quadrate e alla circofereza di cetro C(4,0) e raggio (si oti come la proprietà caratteristica dei due isiemi e diveti l equazioe cartesiaa ). Defiizioe. Dati due isiemi A e B, si dice isieme differeza di A e di B l isieme A-B avete come elemeti gli oggetti che appartegoo ad A e che o appartegoo a B I simboli : A-B {x / x A x B }. Ad esempio : {0,,,3 } - {-,,0,,- } {,3} R - {x R / x >0 } {x R / x 0 } (,0] Z Z {x Z / y Z x y } Se la differeza viee effettuata tra u isieme e u suo sottoisieme, si parla di complemetare del secodo isieme el primo. Così, riferedoci all ultimo esempio, l isieme dei umeri dispari è il complemetare dell isieme dei umeri pari ell isieme degli iteri. Defiizioe. Dati due isiemi A e B, si dice isieme differeza simmetrica di A e di B l isieme A B avete come elemeti gli oggetti che appartegoo ad A e che o appartegoo a B e gli oggetti che appartegoo a B e che o appartegoo a A. I simboli A B {x / x A x B } U {x / x B x A } (A-B) U (B-A)

9 Ad esempio : {0,,,3 } {-,0,,- } {,3} U {-,- }{-,,-,3 }. Quest ultima operazioe ha la seguete applicazioe : date due specie biologiche e deotati co A l isieme dei caratteri morfologici della prima e co B quelli della secoda, l ordie di A B idica la distaza tra le due specie i esame. Defiizioe. Dati due isiemi A e B o vuoti, si dice isieme prodotto cartesiao di A e di B l isieme AxB avete come elemeti le coppie ordiate di elemeti di A e di B. I simboli AxB {(a,b) / a A b B } Ad esempio, se A {0,, } e B {,3 }, si ha AxB {(0,), (0,3), (,), (,3), (,), (,3)}. Il prodotto cartesiao RxR, idicato ache co R, è l isieme di tutte le coppie ordiate di umeri reali, che, come è oto, è i corrispodeza biuivoca co l isieme dei puti del piao cartesiao. RxR R {(a,b) / a R b R} La coppia (a,b) è rappresetata el piao cartesiao dal puto di ascissa a e di ordiata b. Il prodotto cartesiao di isiemi o è u operazioe commutativa. Co A e B come sopra si ha AxB {(0,), (0,3), (,), (,3), (,), (,3)}, BxA {(,0), (3,0), (,), (3,), (,), (3,)}

10 Capitolo. Corrispodeze e fuzioi Defiizioe. Si defiisce corrispodeza dell isieme I ell isieme I u sottoisieme F del prodotto cartesiao I x I. F esprime u legame tra gli elemeti di I e gli elemeti di I : precisamete dice che l elemeto x di I è legato all elemeto x di I se e solo se la coppia ordiata (x,x ) appartiee a F. Diciamo allora che x è ua immagie di x ella corrispodeza F e che x è ua cotroimmagie di x ella corrispodeza F. I è detto domiio della corrispodeza. I è detto codomiio della corrispodeza. Esempio. Dati I {x,y,z} e I {,,3} l isieme F {(x,),(z,3),(z,)} determia la corrispodeza che associa il umero agli elemeti x e z e il 3 acora a z. Quidi : x ha immagie, y o ha immagii, z ha le due immagii e 3, il umero o ha alcua cotroimmagie, il umero ha le cotroimmagii x e z, il 3 ha cotroimmagie z. Defiizioe Ua corrispodeza di I i I è detta : fuzioale se ogi x di I ha al più ua immagie ovuque defiita se ogi x di I ha almeo ua immagie iiettiva se ogi elemeto di I ha al più ua cotroimmagie ( o equivaletemete se elemeti distiti hao immagii distite ) suriettiva se ogi elemeto di I ha almeo ua cotroimmagie La corrispodeza dell esempio o ha essua di queste proprietà. Le corrispodeze più importati soo quelle ovuque defiite e fuzioali : esse soo dette fuzioi e soo i sottoisiemi F di I x I i cui ogi elemeto x di I è primo elemeto di ua e ua sola coppia. Il cocetto di fuzioe è basilare i matematica ; e diamo u altra defiizioe equivalete a quato detto fiora. Defiizioe Dato u isieme I (detto domiio) e u isieme I (detto codomiio ), ua fuzioe f di I i I è ua legge che associa ad ogi elemeto di I uo ed u solo elemeto di I. Scriviamo f : I I e per idicare che x viee madato i y scriviamo x y oppure - 7 -

11 f(x) y. y è detto l immagie di x ; x è detta ua cotroimmagie di y. La legge f sopra defiita come sottoisieme di I x I è l isieme F {(x,y) y f(x) }. F viee i tal caso detto grafo (o grafico) di f. Nel caso di fuzioi reali di variabile reale l isieme F è l isieme dei puti apparteeti al grafico della fuzioe el piao cartesiao.vi è duque idetificazioe tra la legge f che defiisce ua fuzioe e il suo grafico F: per citare u esempio di fuzioe di R i R molto ota, la parabola idica sia la ota curva piaa che la fuzioe defiita dalla legge f(x) x di cui la parabola è il grafico. Osservazioe. I qualche caso ua fuzioe può essere idetificata co la sequeza delle immagii degli elemeti del domiio : è il caso, particolarmete importate, delle successioi (vedi appedice ). Si dice successioe a valori i u isieme C ( egli esempi più oti R ) ua fuzioe a avete come domiio l isieme N. Si scrive : o, come è più abituale, Così la successioe a(0),a(),,a(), a 0,a,,a,,,, 3,,,,, 4, 8, 6, è il modo usuale per rappresetare la fuzioe f : N R, f(). f è iiettiva e o suriettiva. Acora, la fuzioe f : N R, f() è rappresetata usualmete co la sequeza dei umeri pari 0,, 4, 6, 8, 0 Ache i questo caso f è iiettiva e o suriettiva. Soo particolarmete importati le fuzioi iiettive, suriettive e quelle aveti etrambe le proprietà : le biiezioi o corrispodeze biuivoche. Tra queste, la fuzioe di domiio e codomiio lo stesso isieme defiita da f(x) x, è detta fuzioe idetica o idetità di I e idicata co id I. Nel caso I R, la fuzioe idetica è la legge y x, avete grafico la bisettrice del primo e terzo quadrate. Le fuzioi si possoo comporre mediate l operazioe di composizioe di fuzioi : - 8 -

12 Defiizioe. Date due fuzioi f : I I e g : I I si dice fuzioe composizioe (o fuzioe composta) di f e di g la fuzioe g o f di I i I così defiita : (g o f )(x) g(f(x)) I termii di grafo, idicati co F e G i grafi di f e g rispettivamete e co H il grafo della loro composizioe, abbiamo H { ( x,x ) I x I x I, (x,x ) F e (x,x ) G }. E immediato verificare che la composizioe di due fuzioi iiettive è iiettiva, di due fuzioi suriettive è suriettiva. Da ciò segue che la composizioe di due biiezioi è acora ua biiezioe. Data ua biiezioe f, esiste la sua fuzioe iversa secodo la Defiizioe. Se f : I I è ua biiezioe, si defiisce iversa di f la fuzioe f - : I I che associa ad ogi y di I l uico x tale che f(x) y. Si prova che l iversa di ua biiezioe è acora ua biiezioe e che f - è l uica fuzioe tale che f - o f id I e f o f - id I. Quest ultima proprietà è molto utile per verificare se due fuzioi soo ua l iversa dell altra. Esempi. ) Cosideriamo le fuzioi di R i R f e g così defiite : f(x) x 3 e g(x) x. No è difficile provare che si tratta di corrispodeze biuivoche : ifatti ogi umero reale ha ua e ua sola radice cubica (sua cotroimmagie mediate f ) e l equazioe y - x ha l uica soluzioe x - y ). La composizioe g o f è la fuzioe di R i R così defiita gof(x) g(x 3 ) -x 3. I questo caso, i cui il domiio e il codomiio di f e di g coicidoo, è possibile ache defiire f o g, otteedo la fuzioe f o g (x) f (g(x)) f ( x ) ( x ) 3. Si oti che l operazioe di composizioe o è u operazioe commutativa. I figura riportiamo i grafici di f e di g.dai grafici si legge bee la biuivocità di etrambe : ifatti ogi retta parallela all asse delle ascisse taglia il grafico ua e ua sola volta. Proiettado sull asse x abbiamo il valore della cotroimmagie. Per esempio, mediate la fuzioe f, la cotroimmagie di è e di 8 è Mediate la fuzioe g abbiamo, per esempio, che la cotroimmagie di è 0 e quella di è

13 Le iverse di f e di g soo, rispettivamete, le fuzioi reali di variabile reale f - (x) 3 x e g (x) x. Si oti che g ha come iversa se stessa, il che equivale a dire che la composizioe successiva gog g è la fuzioe idetica di R i R ( ifatti gog(x) g(-x) (-(-x)) x). I base alla proprietà prima euciata, ache gof e fog soo biiezioi di R i R e come tali soo ivertibili. Si ha (g o f) - (x) 3 x (f - o g - ) (x) e (f o g) - (x) - 3 x (g - o f - ) (x). Si oti che la fuzioe iversa di ua composizioe di fuzioi è la composizioe delle fuzioi iverse i ordie iverso! ) Dati gli isiemi I {,,3,4 } e J { x y, z} f di grafo F { (, x), (, y), (3,y ), (4, y) },, studiamo la corrispodeza cioè la legge che a associa x, a, a 3 e a 4 associa y ( equivaletemete f() x, f() y, f(3) y, f(4) y ). f è ua fuzioe perché ogi elemeto ha ua e ua sola immagie, o è iiettiva ( y ha tre cotro immagii), o è suriettiva (z o ha cotro immagii). 3) Dati gli isiemi I {,,3 } e J { x y, z} G { (, y), (, x), (3,z ) }, la corrispodeza g di grafo ( equivaletemete g() y, g() x, g(3) z ) è ua fuzioe perché ogi elemeto del domiio ha ua e ua sola immagie, è iiettiva e suriettiva perché ogi elemeto del codomiio ha ua e ua sola cotroimmagie. Duque g è ua biiezioe e g - ha grafo { (y, ), (, x), (3,z ) } ( equivaletemete g - (x), g - (y), g - (z) 3 )

14 Capitolo 3 Alcui problemi combiatorici. Il calcolo combiatorio prede i cosiderazioe degli isiemi fiiti particolari e e cota l ordie. Questo può dar luogo ad iteressati e utili applicazioi. Premettiamo che se I è u isieme coteete solo u umero fiito di elemeti, tale umero è u umero aturale, detto ordie o cardialità di I, e idicato co I oppure co # I. U isieme fiito I ha ordie 0 se e solo se I e ha ordie se e solo se è i corrispodeza biuivoca co il sottoisieme I {,,-,} di N. Se I è u isieme fiito di ordie e A è u suo sottoisieme di ordie m, allora m, cioè A I. Ci occupiamo i questo capitolo di qualche problema di combiatorica e delle sue applicazioi, seza dare tutte le dimostrazioi delle proposizioi citate. Problema. Cotare i sottoisiemi di u isieme fiito. Ricordiamo che, dato u isieme I, fiito o ifiito, si dice suo isieme delle parti, o isieme poteza l isieme P(I) {A A I }. P(I) o è mai vuoto ( ogi isieme I ha i sottoisiemi baali e I stesso ), se I è ifiito ache P(I) cotiee ifiiti elemeti, se I è fiito vale la Proposizioe. Sia I u isieme fiito di ordie. Allora P(I) ha elemeti. Esempio. Costruiamo l isieme delle parti dell isieme I {V, R, N} coteete tre pallie di colore verde, rosso e ero P(I) {, {V}, {R}, {N}, {V,R}, {V,N}, {R,N}, {V, R, N } }. Problema. Cotare gli elemeti dell uioe di due isiemi fiiti. Proposizioe. Siao A e B due isiemi fiiti disgiuti di ordie ed m rispettivamete. Allora A B A B m - -

15 La Proposizioe. si geeralizza al caso di isiemi fiiti A i, i,,,, disgiuti, foredo l uguagliaza : A A dove A A è defiito come l isieme degli elemeti che appartegoo ad almeo uo degli isiemi A i, i,,,. Proposizioe. Siao A e B due isiemi fiiti di ordie ed m rispettivamete e sia l ordie di A B. Allora cioè Ai A B A B - A B A B m, Queste due evideti proposizioi risultao utili per risolvere semplici problemi combiatorici Esempi. ) Su 5 studeti, 5 hao superato l esame di Matematica, quello di Chimica e 5 hao superato etrambi gli esami. Quati studeti hao superato almeo u esame? Quati studeti hao fallito etrambi gli esami? Sia A l isieme degli studeti che hao superato l esame di Matematica, A ha ordie 5. Sia B l isieme degli studeti che hao superato l esame di Chimica, B ha ordie. A B è l isieme degli studeti che hao superato etrambi gli esami, A B ha ordie 5. La risposta alla prima domada è l ordie dell isieme A B, dato da 5 5. No hao superato essuo dei due esami 5 3 studeti. ) Sia I {,,, 0}. Quati soo i umeri di I divisibili per o per 3? Sia A l isieme dei umeri pari di I, l ordie di A è 0. Sia B l isieme dei multipli di 3 miori di 0, B {3, 6, 9,, 5, 8} ha ordie 6. A B è l isieme dei multipli di 6 miori di 0, A B { 6,, 8} ha ordie 3. I umeri di I divisibili per o per 3 soo La Proposizioe. si geeralizza al caso di isiemi fiiti A i, i,,,, dado luogo al pricipio di Iclusioe-Esclusioe, che ci permette di calcolare l ordie di u uioe fiita di isiemi fiiti, cooscedo l ordie delle itersezioi ( A A... A è l isieme degli elemeti che appartegoo a tutti gli A i, i,,,. Pricipio di Iclusioe-Esclusioe. Siao A, A,, A isiemi di ordie fiito. Si ha : A A Ai - i< j A i A j A i Aj A - i< j< - -

16 La dimostrazioe di questo pricipio o preseta particolari difficoltà, la riportiamo per il caso 3, co u esempio di applicazioe. Duque, per 3, dobbiamo provare che A A A 3 A A A 3 - A A - A A 3 - A A 3 A A A 3 Dimostrazioe. Sia x u elemeto che appartiee solo ad A : x dà il cotributo all addedo A e 0 a tutti gli altri. Così se x appartiee solo ad A o ad A 3. Se x appartiee sia ad A che ad A, ma o ad A 3, esso dà cotributo agli addedi A, A e A A e cotributo 0 a tutti gli altri. I totale quidi esso viee coteggiato - volte. Così se x appartiee sia ad A che ad A 3, ma o ad A oppure sia ad A che ad A 3, ma o ad A. Se, ifie, x appartiee ad A, ad A e ad A 3, la somma dei vari addedi vale ---. Ne deduciamo che la somma a secodo membro ci cota esattamete ua volta l elemeto x, comuque sia scelto i A A A 3, e quidi essa ci dà l ordie di A A A 3. Esempio I u gruppo di amici, 8 hao visto il film x, il film y e 9 il film z. Ioltre 6 hao visto x e y, 4 x e z, 7 y e z e soltato uo di essi ha assistito alle tre proiezioi. Di quate persoe è formato il gruppo? Abbiamo: X 8, Y, Z 9, X Y 6, X Z 4, Y Z 7, X Y Z e quidi : X Y Z Problema 3. Cotare gli elemeti del prodotto cartesiao di due isiemi fiiti. Proposizioe 3. Siao A e B due isiemi fiiti di ordie e m rispettivamete.allora A x B A. B m Dimostrazioe. Sia A {a, a,, a }. Cosideriamo gli sottoisiemi A i a due a due disgiuti formati oguo dalle m coppie aveti a i come prima compoete. Per la Proposizioe. geeralizzata abbiamo A x B A A m Osservazioe Dispoedo i coloa e i riga gli elemeti di A e gli m elemeti di B, il prodotto cartesiao A x B può essere visualizzato come ua tabella di m quadretti. La Proposizioe 3. motiva il metodo delle scelte, di cui si fa u grade uso i combiatorica e i molte applicazioi della vita pratica : Ai - 3 -

17 suppoiamo di voler cotare i quati modi si può costruire ua coppia (a,b), se a appartiee a u isieme co elemeti e b ad uo co m elemeti, cioè se posso scegliere a i modi e b i m modi. La proposizioe 3. dice che la coppia (a,b) può essere costruita i m modi. Questo metodo viee ache chiamato pricipio di moltiplicazioe delle scelte e così formulato : Se ua scelta può essere compiuta i modi diversi e, per ciascuo di essi,ua secoda scelta può essere compiuta i m modi diversi, allora la successioe delle due scelte può essere effettuata i. m modi distiti. I modo aturale tutto quato visto per il prodotto cartesiao di due isiemi fiiti si estede al caso del prodotto cartesiao di u umero fiito di isiemi fiiti A i, defiito come l isieme delle -ple ordiate (a, a,,a ), a i A i, i,,,. Il pricipio di moltiplicazioe delle scelte (ache ella sua forma estesa a più di due scelte) ci permette di risolvere molti problemi combiatorici. Esercizi ) Quati oggetti possiamo differeziare co delle targhe di due simboli di cui il primo è ua lettera scelta tra a,b,c,d e il secodo è ua cifra da a 5? Le lettere possoo essere scelte i 4 modi, le cifre i 5 modi : possiamo costruire 0 targhe diverse. ) Suppoiamo che il meu di u ristorate cosista di 5 atipasti, 6 primi, 6 secodi e 4 dolci : quati pasti completi ( di quattro piatti ) possiamo ordiare? Le quatere ordiate ( e quidi le scelte possibili ) soo ) I ua regioe vi soo veti città, collegate a coppie da ua strada comuale. Quate strade comuali possiede la regioe i questioe? Osserviamo che ogi strada collega due diverse città. Abbiamo 0 scelte diverse per la parteza e 9 per l arrivo di ua strada : le scelte possibili soo quidi I tal modo però ogi strada ab è stata cotata due volte : ua volta co a città di parteza e b di arrivo e ua volta co b parteza e a arrivo ; e segue che il umero cercato è (0. 9) : 90. 4) Quate diagoali ha u poligoo covesso di 6 lati? Osserviamo che oguo dei 6 vertici può essere scelto come primo puto di ua diagoale metre come scelta per il secodo puto dobbiamo escludere il vertice i questioe e i due a lui adiaceti. Abbiamo duque scelte per il secodo puto di ogi diagoale - 4 -

18 e 6 scelte per il primo. Il prodotto delle scelte deve però essere diviso per due, per le 6(6 3) stesse argometazioi di 3). Duque le diagoali di u esagoo soo 9. ( 3) Per u poligoo covesso di lati le diagoali soo. Problema 4. Cotare il umero delle fuzioi da u isieme di ordie i u isieme di ordie m : le disposizioi co ripetizioe. Proposizioe 4. Le fuzioi da u isieme di ordie i u isieme di ordie m soo m. Diamo ua dimostrazioe di questa proposizioe, utilizzado il metodo delle scelte prima euciato. Dimostrazioe : dare ua fuzioe da u isieme di ordie i u isieme di ordie m sigifica dare le immagii degli elemeti del domiio. Per l immagie del primo elemeto ho m scelte, tate quati soo gli elemeti del codomiio, per l immagie del secodo elemeto ho acora m scelte,, così per l immagie dell -simo elemeto. I totale avrò m m...m m scelte. Osservazioe Ua fuzioe di u isieme co elemeti i u isieme di m elemeti può essere vista come ua -pla ordiata di elemeti scelti tra m, co possibilità di ripetizioi. Per questo motivo tali fuzioi soo ache dette disposizioi co ripetizioe : per quato provato sopra il umero delle disposizioi co ripetizioe di m elemeti a a è m. Esempi. ) Le fuzioi di I 3 i I soo idetificabili co le 8 tere (,,),(,,),(,,),(,,), (,,), (,,), (,,), (,,). La prima è la fuzioe costate di valore, la secoda è la fuzioe che mada i, i,3 i,, l ultima è la fuzioe costate di valore. ) Vogliamo calcolare il umero delle coloe tra loro diverse che si possoo giocare al totocalcio. Come è oto, il gioco cosiste ell assegare uo dei tre simboli, x, ad ogua delle 3 partite. Ogi coloa può essere idetificata co ua sequeza ordiata di elemeti scelti tra,x, e quidi co ua fuzioe di u isieme co 3 elemeti (le tredici partite) i u isieme co 3 elemeti (i tre simboli citati). Le coloe possibili soo quidi Giocado tutte queste coloe si ha la certezza del tredici (purtroppo co ua spesa superiore alla vicita!!). Problema 5. Cotare le biiezioi (corrispodeze biuivoche) di u isieme fiito co elemeti i se stesso : le permutazioi. Premettiamo alcue otazioi. Defiizioe. Dato u umero aturale > 0, chiamiamo fattoriale di il umero - 5 -

19 !... ( ). (-). Si poe ioltre 0!. Osservazioe.! cresce rapidamete al crescere di : e diamo i primi dieci valori ella tabella che segue! Proposizioe 5. Siao A e B due isiemi fiiti dello stesso ordie. Le biiezioi tra di essi soo!. Dimostrazioe. Co il metodo delle scelte. Per idividuare ua biiezioe, oti il domiio e il codomiio, basta assegare le immagii degli elemeti del domiio. Ora, per l immagie del primo elemeto di A abbiamo scelte (qualuque elemeto di B), per l immagie del secodo elemeto di A abbiamo - scelte (dobbiamo escludere l elemeto di B immagie del primo elemeto di A ),, per l immagie dell -simo elemeto di A la scelta è uica. Si possoo duque effettuare! scelte: ad ogua corrispode ua diversa biiezioe di A i B Nel caso i cui i due isiemi A e B coicidao, le biiezioi di A i se stesso vegoo dette permutazioi di A. Abbiamo così l importate Corollario 5.. Le permutazioi di u isieme di ordie soo! Esempio. Scrivere tutte le permutazioi di I 3 i I 3 Se scriviamo le 3! permutazioi dei umeri da a 3 come tere (vedi l esempio ) abbiamo le 6 tere segueti che corrispodoo ad altrettate biiezioi di I 3 i I 3 : (,,3) (,3,) (,,3) (,3,) (3,,) (3,,). Osserviamo che abbiamo scritto i 3 umeri esattamete ua volta sola i tutti gli ordii possibili : abbiamo ordiato (allieato) i tutti i modi possibili i ostri elemeti. Possiamo dedurre che oggetti distiti possoo essere ordiati i! modi possibili

20 Si dice quidi, per estesioe, permutazioe di oggetti distiti u qualuque loro ordiameto o allieameto. Questi ordiameti si ottegoo uo dall altro permutado gli oggetti e la teoria svolta ci dice che e otteiamo i totale!. Si scrive ache P!, per idicare il umero totale delle permutazioi di oggetti distiti. Esempi. ) Scriviamo tutte le 3! 6 permutazioi di 3 pallie di colore B (biaco),r (rosso), V (verde). Abbiamo due allieameti che mettoo la pallia B al primo posto, altrettati per R e V B R V B V R R V B R B V V B R V R B. ) Quati soo gli aagrammi della parola madre? E della parola mamma? Osserviamo che si defiisce alfabeto u isieme fiito di simboli e, dato u certo alfabeto (qui si tratta dell alfabeto latio di 6 lettere), si defiisce parola u qualuque allieameto dei suoi simboli. Il umero di simboli è detto lughezza della parola. Se è l ordie dell alfabeto, le parole di lughezza m soo i totale m. No è richiesto quidi che la parola che si ottiee aagrammado madre abbia u sigificato ella ligua italiaa, é che e segua le regole grammaticali, quidi dobbiamo cotare i quati modi si possoo allieare le cique lettere m,a,d,r,e. I modi soo tati quate le permutazioi di 5 oggetti, cioè 5! 0. Osserviamo che, i geerale, gli aagrammi di ua parola co lettere distite soo! Nella parola mamma vi soo ivece delle lettere ripetute, due a e tre m : gli aagrammi 5! sarao. Motiviamo così questo fatto : passiamo da mamma ( che ha due lettere.! 3! ripetute ) a mamme ( che ha ua sola lettera ripetuta ) e da mamme a madre (che ha tutte lettere distite). Gli aagrammi di mamme soo la sesta parte di quelli di madre : da ogi aagramma di mamme e ottego 6 3! di madre,sostituedo elle posizioi delle tre m i 3! aagrammi della parola mdr. A loro volta gli aagrammi di mamme soo il doppio (!) di quelli di mamma ( ogi aagramma di mamma ci dà due aagrammi di mamme sostituedo al posto delle due a i due aagrammi di ae ). Esercizi ) Dire quati soo gli aagrammi della parola logica e della parola matematica. Soluzioe : soo 6! e 0! rispettivamete...! 3!! ) Scrivere tutti i umeri formati dalle cifre,, 3 o ripetute Soluzioe : 3, 3, 3, 3, 3,

21 Problema 6. Cotare le fuzioi iiettive di u isieme fiito co elemeti i u isieme fiito co elemeti, : le disposizioi semplici. Suppoiamo ora di voler disporre i fila (allieare) oggetti presi i u isieme di ( quidi ) : il ome di questi allieameti è disposizioi semplici di oggetti a a. Il umero totale delle disposizioi di oggetti a a si idica co D, Proposizioe 6. D,. (-).. (-)! ( )! Esempio. Sia I l isieme formato da tre pallie di colore verde (V), rosso (R), ero (N). Le 3! disposizioi di queste tre pallie a due a due soo D 3, 6, e precisamete, soo gli! allieameti VR, RV,VN, NV, RN, NR. Ricordado che cos è ua fuzioe iiettiva si può vedere che essi corrispodoo alle sei fuzioi iiettive di u isieme A {a, a } di ordie i B {V, R, N } segueti : f(a ) V, f(a ) R f(a ) R, f(a ) V f(a ) V, f(a ) N f(a ) N, f(a ) V f(a ) R, f(a ) N f(a ) N, f(a ) R. Ifatti la defiizioe rigorosa di disposizioe è la seguete : Defiizioe. Si dice disposizioe ( di oggetti a a ) ua fuzioe iiettiva di u isieme di ordie i u isieme di ordie ( ) e vale la Proposizioe 6. Sia A u isieme di ordie e B u isieme di ordie. Vi soo D, (-) (-)! ( )! fuzioi iiettive di A i B. Dimostrazioe. Co il metodo delle scelte. Sia A {a,, a }. Cotiamo i quati modi si può costruire ua fuzioe iiettiva f : A B

22 Per f(a ) si hao scelte (f(a ) può essere uo qualuque degli elemeti di B), per f(a ) si hao - scelte (f(a ) deve essere diversa da f(a ) per l iiettività),, per f(a ) si hao - scelte. Si hao quidi (-) (-)!/(-)! modi di costruire ua fuzioe iiettiva di A i B e, quidi ci soo D, fuzioi iiettive di A i B. Esercizi. ) Scrivere le disposizioi dei quattro umeri,,3,4 a due a due (equivaletemete, scrivere tutti i umeri diversi di due cifre scelte tra le quattro assegate ). Soluzioe : si hao dodici coppie ordiate di umeri, precisamete, 3, 4, 3, 4, 3 4, 3, 4, 3, 4, 4 3 ) I quati modi 3 oggetti possoo essere colorati co 5 colori diversi? Soluzioe : Il umero richiesto è D 5,3 5! ! 3) A u campioato di calcio partecipao ove squadre. Se ogi squadra icotra tutte le altre due volte, quate partite devoo essere giocate? Soluzioe : Si giocao 7 partite, il umero delle disposizioi di 9 oggetti a due a due. I geerale, lasciado cadere l ipotesi vale la Proposizioe 6.3 Sia f ua fuzioe di u isieme di ordie i uo di ordie i) Se f è iiettiva, ii) Se f è suriettiva, iii) Se, f è biiettiva se e soltato se f è iiettiva o suriettiva. Tralasciamo la dimostrazioe della proprietà 6.3, ituitiva ma o baale. Osserviamo che la proposizioe cotrapposta di i) e ad essa logicamete equivalete : se >, allora f o è iiettiva è detta pricipio dei cassetti ( o pricipio delle gabbie dei piccioi ) e può veire così riformulata ( chiamado oggetti gli elemeti di I e cassetti le loro immagii ) : se i cassetti (gabbie) ho > oggetti (piccioi), qualche cassetto (gabbia) cotiee almeo oggetti(piccioi). Osservazioe Il pricipio dei cassetti può essere esteso, divetado il Pricipio geerale dei cassetti ( o delle gabbie dei piccioi ) : Se ho oggetti (piccioi) da riporre i cassetti (gabbie), qualche cassetto (gabbia) cotiee almeo oggetti (piccioi)

23 Per, si ritrova il pricipio euciato prima (se ho oggetti (piccioi) i cassetti (gabbie), qualche cassetto e cotiee almeo ). La dimostrazioe per assurdo di questa proposizioe è la seguete : se ogi cassetto coteesse al più oggetti, avremmo al più oggetti, cotro l ipotesi. Co il pricipio geerale dei cassetti si risolvoo i segueti esercizi : ) I u gruppo di 3 persoe almeo due hao il compleao ello stesso gioro Soluzioe : Abbiamo 3 oggetti (le persoe) da riporre i 3 cassetti( i giori ).. ) Assumedo che essu essere umao abbia più di u milioe di capelli, provare che i ua città co più di u milioe di abitati ci soo almeo due persoe aveti lo stesso umero di capelli. Soluzioe : Numeriamo da 0 a dei cassetti virtuali e vediamo gli abitati come gli oggetti co cui riempirli. Metteremo la persoa el cassetto x se e solo se essa possiede esattamete x capelli. Per il pricipio dei cassetti, ce è almeo uo coteete due persoe, aveti quidi lo stesso umero di capelli. 3) Suppoiamo che i umeri da a 0 siao posizioati casualmete su ua circofereza. Allora la somma di qualche tera di umeri cosecutivi è almeo 7. Soluzioe : Vi soo 0 tere di umeri cosecutivi sulla circofereza e ogi umero da a 0 compare i tre di esse esattamete : idichiamo co S,S, S 0 le somme di ogua di esse. Da quato osservato si ha che S S S 0 3 ( 0 ) 65. E come sistemare 65 oggetti i 0 cassetti : qualche S i vale almeo 7. 4) Su u quadrato di lato metro vegoo disegati i modo casuale 5 puti. Provare che almeo 3 di questi puti giaccioo su u quadrato di lato 0 cetimetri. Soluzioe : se dividiamo il quadrato iiziale i 5 quadrati di lato 0 cetimetri, poiché 5 5., uo di essi cotiee almeo 3 puti. 4) Dati dodici umeri iteri diversi, provare che almeo due di essi possoo essere scelti i modo che la loro differeza sia divisibile per. Soluzioe : I resti della divisioe per soo i umeri da 0 a 0, quidi almeo due dei dodici iteri divisi per hao lo stesso resto e quidi la loro differeza è u multiplo di. Problema 7. Cotare il umero dei sottoisiemi di elemeti scelti i u isieme di elemeti : le combiazioi semplici. Affrotiamo ora l argometo da cui prede il ome il calcolo combiatorio. Defiizioe. Sia A u isieme di ordie. Si dice combiazioe di oggetti a a ( o di classe ) ogi sottoisieme di ordie di A

24 - - Il umero delle combiazioi di oggetti a a si idica co la otazioe C,. Dato u isieme di ordie, esso possiede C, sottoisiemi co elemeti. Per dare la risposta al problema abbiamo bisogo di itrodurre dei umeri particolari e particolarmete importati : i coefficieti biomiali, e di euciare alcue proprietà. Defiizioe. Si dice coefficiete biomiale su, 0, il umero )!!(! Proposizioe 7.. i) 0 ii) iii), - ( formula di Stifel ). Scriviamo ora i coefficieti biomiali dispoedoli i u triagolo illimitato, chiamato triagolo di Tartaglia o triagolo di Pascal : Per il puto i) della proposizioe 9 il primo e l ultimo coefficiete biomiale i ogi riga del triagolo soo uguali a, per il puto ii) il secodo e il peultimo coefficiete biomiale i ogi riga soo uguali tra loro e per il puto iii) ogi coefficiete biomiale all itero del triagolo è la somma dei due coefficieti biomiali alla sua destra e alla sua siistra ella riga precedete.

25 Queste osservazioi ci permettoo di riscrivere il triagolo di Tartaglia calcolado molto facilmete i umeri di ogi riga : Chi già coosce il triagolo di Tartaglia sa che i umeri delle sue righe soo i coefficieti delle poteze del biomio : (ab) 0 (ab) a b (ab) a ab b (ab) 4 a 4 4a 3 b 6a b 4ab 3 b 4. Si prova ifatti (vedi Appedice ) la Proposizioe 7. Per qualsiasi umero aturale e per ogi a, b reali si ha (ab) o a - b (Formula del biomio di Newto ). Il triagolo di Tartaglia è uo strumeto molto utile per calcolare rapidamete i coefficieti biomiali e per visualizzare altre proprietà, quali quelle euciate ella proposizioe seguete. Proposizioe 7.3 i) 0 - -

26 ii) - 0 (-) 0 iii) 0-3 Quidi : le somme dei umeri di ogi riga del triagolo di Tartaglia soo le poteze successive di, le somme co sego altero dei umeri di ogi riga soo ulle, le somme dei umeri di posto pari e di posto dispari i ogi riga soo uguali tra loro e coicidoo co la somma di tutti i umeri della riga precedete. Segaliamo u altra delle iumerevoli proprietà del triagolo di Tartaglia : se e diamo la seguete rappresetazioe leggiamo, sommado i diagoale, i famosi umeri di Fiboacci F, F, F 3 F 4 3,, F F - F - (vedi Appedice ) La risposta al problema 7 è data dalla Proposizioe 7.4. Sia A u isieme di ordie. A possiede C, ordie. sottoisiemi di Dimostrazioe. Il umero C, si ottiee dal umero D, delle disposizioi semplici di oggetti a a e dal umero P delle permutazioi di elemeti mediate le segueti cosiderazioi : il umero delle disposizioi semplici di oggetti a a ci dà il umero di tutte le -ple (ordiate)di tali oggetti, metre P ci dà il umero degli ordiameti degli oggetti di ciascua di esse. U sottoisieme di ordie si ottiee quidi da! -ple di oggetti, per cui vale la relazioe : C, D, P! ( )!! Osservazioe. Dalla defiizioe di combiazioe e dalla proposizioe 7.4 deduciamo che i coefficieti biomiali soo umeri aturali o ulli

27 Esempi. ) Se I è l isieme formato da tre pallie di colore verde ( V), rosso ( R), ero ( N) le disposizioi di queste tre pallie a due a due soo D 3, 6, e, precisamete, soo gli allieameti VR, RV,VN, NV, RN, NR. Le combiazioi di queste tre pallie a due a due soo tre : corrispodoo ai tre sottoisiemi segueti ( che scriviamo seza paretesi e virgola tra i due elemeti) VR,VN,RN, otteuti ciascuo da due delle disposizioi precedeti, trascurado l ordie degli elemeti. ) Aggiugiamo all isieme I ua pallia gialla G e scriviamo tutte le combiazioi delle 4 4 4! pallie a a. Otteiamo C 4, sottoisiemi : (4 )!! VR, VN, RN, VG, NG, RG, i tre dell esempio precedete più quelli otteuti co l aggiuta della pallia gialla. Usado la defiizioe di combiazioe e l uguagliaza C, si dimostrao seza calcoli le proprietà dei coefficieti biomiali. Così la i) della proposizioe 7. può essere motivata osservado che ci soo 0 solo u sottoisieme co 0 elemeti (l isieme vuoto ) e uo co ( tutto l isieme). Per la ii) basta osservare che, quado scegliamo elemeti tra, isoliamo automaticamete i restati -. La iii) (formula di Stifel), -, si ottiee osservado che, fissato u elemeto tra gli, vi soo sottoisiemi di ordie che o lo cotegoo e che lo cotegoo ( quest ultimo umero si calcola escludedo l elemeto fissato e cotado il umero dei sottoisiemi di - elemeti che si possoo formare co gli - elemeti rimasti ). Ache la formula del biomio di Newto : - 4 -

28 (ab) o a - b può essere dimostrata co cosiderazioi di tipo combiatorico. Osserviamo ifie che, sempre per il sigificato dei coefficieti biomiali, el triagolo di Tartaglia la somma dei umeri della riga -sima ci dà l ordie dell isieme delle parti di u isieme di ordie ( Problema ). Esercizi ) Quattro giocatori di teis voglioo giocare u doppio. Quate coppie distite si possoo formare? Soluzioe. Vi soo C 4, 6 formazioi distite di due giocatori ciascua. ) Nel gioco del Superealotto bisoga idoviare 6 umeri scelti tra il umero e il umero 90. Quati isiemi di sei umeri si possoo formare? 90 Soluzioe : ) Calcolare il umero di modi distiti i cui può essere servito u giocatore di scala quarata i ua sigola mao. Soluzioe. Suppoedo di giocare co 54x 08 carte e sapedo che si dao 3 carte, 08 abbiamo possibilità. 3 4) (a) Quati isiemi di 5 carte si possoo avere co u mazzo da poer di 5 carte? (b) Quati poer di assi si possoo formare? (c) Quati poer diversi si possoo formare? Soluzioe (a) C 5, (b) 48 ( tate ifatti soo le scelte per la quita carta ) (c) ( ci soo ifatti 3 scelte per il grado del poer e per ogua 48 possibilità per la quita carta )

29 Problema 8. Cotare il umero delle permutazioi co ripetizioe di oggetti Comiciamo a defiire che cosa itediamo co permutazioi co ripetizioe. Defiizioe. Si dice permutazioe co ripetizioe di oggetti a,,a di cui a preso r volte,, a preso r volte ogi (r r ) upla i cui a compare r volte,, a compare r volte. Proposizioe 8. Il umero delle permutazioi co ripetizioe di oggetti a,,a di cui a preso r volte,, a preso r volte è dato dalla frazioe ( r... r )! r!... r! Esempio. Si cosideri la parola mamma, formata da due lettere distite a a e a m prese r volte e r 3 volte co r r 5 Gli aagrammi di mamma soo le permutazioi co 5! ripetizioe di oggetti presi e 3 volte e i totale soo 0.!3! Esercizio I quati modi possiamo distribuire 5 libri ai due studeti Alice e Matteo i modo che Alice e abbia due e Matteo tre? Ordiiamo i libri e cosideriamo le sequeze di lughezza 5 coteeti due a e tre m : per esempio la sequeza ammma determia la distribuzioe seguete : Alice ha il primo e l ultimo libro, Matteo gli altri tre. E evidete che la risposta al quesito è il umero degli aagrammi della parola mamma, cioè 0. Il umero ( r... r r!... r! )! viee ache idicato così : r... r r... r e viee detto coefficiete multiomiale. Si osservi che, per, si ritrovao i soliti coefficieti biomiali: r r r r r r r r r r Aalogamete ai coefficieti biomiali, di cui soo ua geeralizzazioe, i coefficieti multiomiali hao umerose proprietà e compaioo ello sviluppo della poteza -sima di ua somma. Si prova ifatti che : - 6 -

30 r... r... r. r r ( x... x ) x... x r... r r Esercizi. ) I quati modi possiamo distribuire 8 videocassette diverse a tre amici, Silvio, Daiele ed Elisa, dadoe quattro a Silvio e due a ciascuo degli altri? Soluzioe. Basta calcolare il umero multiomiale 4 8. Si ottiee 40. ) Trovare il coefficiete di x 4 y z ello sviluppo di (xyz) 8. Soluzioe. E Problema 9. Cotare il umero dei multi-isiemi di elemeti scelti i u isieme di elemeti : le combiazioi co ripetizioe. Sappiamo che le combiazioi semplici soo gli isiemi di elemeti distiti scelti i u isieme di ordie. Se lasciamo cadere l ipotesi che i elemeti siao distiti, cioè se cosetiamo la ripetizioe degli elemeti, quate sequeze di oggetti scelti tra possiamo formare? Il problema proposto è equivalete al seguete : suppoiamo di avere oggetti di tipi diversi e di voler costruire u isieme I di elemeti, prededo x oggetti del primo tipo, x del secodo tipo,,x dell -simo tipo ( qualche x i può valere zero), aturalmete co la codizioe che x x. I quati modi è possibile costruire I? Equivaletemete : dato il umero aturale i quati modi esso può essere scritto come somma di umeri aturali ( 0 compreso)? Defiizioe. Dati elemeti distiti, si dice combiazioe co ripetizioe di classe di questi oggetti ogi scelta o ordiata di elemeti ache o distiti scelti tra essi. Proposizioe 9. Se A è u isieme di ordie, il umero delle combiazioi co ripetizioe di elemeti di classe è C -,- C -,.. Esempio. Sia A {a, a, a 3 }. Le scelte co ripetizioe di due suoi elemeti soo C 4, 6 e precisamete : a, a ; a, a 3 ; a, a 3 ; a, a ; a, a ; a 3, a 3. La a, a corrispode alla sequeza di x e sbarre : x/x/. Le altre soo rispettivamete le sequeze : x//x ; /x/x ; xx// ; /xx/ ; //xx. Come vedremo egli esercizi che seguoo, il umero delle combiazioi co ripetizioe di classe è ache il umero di modi i cui è possibile disporre oggetti idistiguibili i cassetti

31 Esercizi ) I quati modi possiamo mettere pallie idetiche (e quidi idistiguibili) i 6 cassetti ammettedo che qualche cassetto sia vuoto? Soluzioe : mettiamo i riga 7 oggetti, le pallie e le 5 sbarrette e osserviamo che ogua di queste righe ci dà ua e ua sola ripartizioe delle pallie : le pallie a siistra della prima sbarra corrispodoo a quelle del primo cassetto, quelle tra la secoda e la terza a quelle del secodo cassetto,. Se le due sbarre soo adiaceti il cassetto è vuoto. Ogi riga è completamete determiata dalle cique posizioi delle sbarrette, vi soo quidi 7 possibilità, pari al umero delle combiazioi co ripetizioe di 6 elemeti di classe 5 (le combiazioi co ripetizioe di oggetti di classe possoo essere pesate come la suddivisioe di oggetti (qui ) i cassetti ( 6) co la codizioe che coti solo il umero degli oggetti i ogi cassetto e o il tipo di oggetto (le pallie soo idistiguibili) e suppoedo cassetti vuoti ). ) I quati modi possiamo scrivere il umero aturale o ullo come somma di umeri iteri o egativi? Si cosiderao diverse due rappresetazioi che differiscoo per l ordie degli addedi. La risposta è data dalle cosiderazioi precedeti, cioè dalle soluzioi di x x ( lo 5 zero è il cassetto vuoto ) ed è : el caso 5 e si trovao le 6 decomposizioi segueti : 50, 4,3, 3, 4, 05. Pesado a 5 come alla somma di 5, agli come pallie e ai addedi della somma come cassetti l esercizio dato è equivalete all esercizio ) ( è possibile mettere 5 pallie i cassetti ei 6 modi segueti: 5,0; 4,; 3,;,3;,4; 0,5. ). 3) I quati modi possiamo mettere pallie idetiche (e quidi idistiguibili) i 6 cassetti (umerati da a 6) i modo tale che essu cassetto sia vuoto? Soluzioe. Poiamo le pallie i ua riga: possiamo ripartire la riga i 6 parti usado 5 sbarre per otteere ua delle cofigurazioi richieste. Per esempio la cofigurazioe OO/OOO/O/OO/OOO/O idica che vi soo due pallie el primo cassetto, tre el secodo,ua el terzo, due el quarto, tre el quito e ua el sesto. Ora, vi soo buchi (tra le dodici pallie) i cui iserire 5 pareti per otteere sei cassetti e ogi sbarretta ha posizioi i cui può essere iserita e i essu buco ve e possoo essere due perché ciò corrispoderebbe a u cassetto vuoto. Vi soo duque altrettate ripartizioi di pallie. possibilità e quidi 5-8 -

32 4) I quati modi possiamo scrivere il umero aturale o ullo come somma di umeri aturali o ulli? Si cosiderao diverse due rappresetazioi che differiscoo per l ordie degli addedi. Soluzioe : Pesado a come alla somma di, agli come pallie e alle somme come cassetti, l esercizio 3) geeralizzato ci dice che le possibilità soo. 5 Per esempio, il umero 5 si può scrivere i 4 modi come somma di due aturali o ulli : Si dimostra ifatti la Proposizioe 9. Se A è u isieme di ordie s, il umero delle combiazioi co ripetizioe r di classe r, elle quali ogi elemeto compare almeo ua volta, è C r -, s-. s - 9 -

33 Appedice Gli assiomi di Peao Alla base del cotare vi soo l isieme N dei umeri aturali, a tutti be oto fi dalle scuole elemetari, e le sue proprietà. L isieme N dei umeri aturali viee formalmete determiato dai cique assiomi segueti, dovuti al matematico Giuseppe Peao ( ): i) 0 è u umero aturale ii) a ogi umero aturale corrispode u altro umero aturale, uico, detto successore di iii) due umeri aturali distiti hao due successori distiti iv) 0 o è il successore di essu umero aturale v) qualuque sottoisieme A di N avete le due proprietà a) 0 A b) per tutti gli N, A il successore di A deve essere l isieme N. L assioma v) viee detto Pricipio di iduzioe matematica. Ivece di A si può dire " ha la proprietà P". Co questa termiologia il pricipio di iduzioe matematica diveta l assioma seguete: v ) qualsiasi proprietà dei umeri aturali valida per 0 e valida per il successore di ogiqualvolta valga per vale per tutti i umeri aturali. Dagli assiomi di Peao si può dedurre formalmete tutta l aritmetica; il primo passo cosiste ell' itrodurre l operazioe di somma di umeri aturali, i base alla quale, idicato co il successore di 0, si trova subito che il successore di è, l operazioe di moltiplicazioe e el dimostrare le proprietà. No ci ioltriamo i queste defiizioi, acceiamo solo al fatto

34 che, a partire dagli assiomi di Peao è possibile dotare N di u ordiameto totale, il cosueto ordiameto secodo gradezza, defiito come la relazioe seguete : dati m, N, m x N tale che mx. Si può provare che tale relazioe è ua relazioe di ordie totale verificate la seguete proprietà : v") dato comuque u sottoisieme o vuoto A di N, A possiede u primo elemeto, cioè u elemeto m tale che m a, a A. Diciamo allora che la relazioe data è u buo ordiameto e che l isieme N è bee ordiato. La proprietà v") può veire assuta come quito assioma al posto del pricipio di iduzioe matematica. I tal caso è semplice dimostrare la validità del pricipio di iduzioe : assumiamo quidi che N sia u isieme bee ordiato e dimostriamo il Pricipio di iduzioe matematica ( a forma ) Sia ( P() ) ua successioe di proposizioi tali che i) P(0) (P( 0 )) è vera ( base dell iduzioe ) ii) La verità di P() implica la verità di P( ), 0 ( 0 ) (ipotesi iduttiva) Allora P() è vera, 0 ( 0 ). Dimostrazioe. Sia S {x > 0 ( 0 ) P(x) è falsa }. Suppoiamo, per assurdo, che S o sia vuoto. Per l assioma del buo ordiameto di N, S ha u primo elemeto, che idichiamo co m. Cosideriamo ora la proposizioe P(m) : poiché m S, P(m) è falsa; ioltre, poiché m è il primo elemeto di S, m S (e m 0 ( 0 )), quidi la proposizioe P(m-) è vera e la ii) ci dice allora che P(m) è vera. Abbiamo ua cotraddizioe, duque S è vuoto. I modo del tutto aalogo si dimostra il Pricipio di iduzioe matematica ( a forma ). Sia ( P() ) ua successioe di proposizioi tali che i) P(0) (P( 0 )) è vera ( base dell iduzioe ) ii) La verità di P(), 0 ( 0 ) < m, implica la verità di P(m) (ipotesi iduttiva) Allora P() è vera, 0 ( 0 ). Il pricipio di iduzioe matematica si rivela molto utile per dimostrare proposizioi il cui euciato dipeda da N. Vediamoe egli esempi l uso corretto

35 Esempi ) Si provi la validità della formula di Gauss : ( ). Soluzioe : i questo caso P() è l affermazioe : la somma dei primi aturali è ( ).. Base dell iduzioe :, quidi P() è vera Ipotesi iduttiva : P() è vera, cioè Proviamo la verità di P( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Il pricipio di iduzioe matematica ( forma) ci permette di cocludere che P() è vera. Dalla formula di Gauss segue subito la formula che ci dà la somma dei primi termii di ua successioe aritmetica di termie iiziale a e di ragioe d a (a d) (a d) (a (-)d) (a ( )d), che aturalmete può essere dimostrata idipedetemete per iduzioe su. Lasciamo per esercizio la verifica della formula che dà la somma dei primi termii di ua successioe geometrica di termie iiziale a e ragioe q : a aq aq aq - a aq q. ) Come esempio di applicazioe del pricipio di iduzioe matematica ella a forma, dimostriamo la ota proposizioe P() : ogi umero aturale > può essere fattorizzato i u prodotto di umeri primi. Base dell iduzioe. P() è vera : ifatti è u umero primo ed è lui la sua fattorizzazioe. Ipotesi iduttiva : vale P(), < m Proviamo P(m). Abbiamo due casi : i) m è primo ed è lui la sua fattorizzazioe ii) m o è primo, allora m m m, co m,m <m. Per l ipotesi iduttiva m e m fattorizzao i umeri primi e così avviee quidi per m

36 - 33-3) Proviamo, usado l iduzioe, la proprietà 5. del capitolo 3, già provata co il metodo delle scelte : Siao A e B due isiemi fiiti dello stesso ordie. Le biiezioi tra di essi soo!. Sia ( base dell iduzioe ). Se A e B hao u elemeto ciascuo l uica biiezioe è quella che li fa corrispodere ( e! ) Ipotesi iduttiva : suppoiamo di sapere che tra due isiemi di ordie - vi soo (-)! biiezioi. Sia ora A di ordie : ua biiezioe di A i B (ach esso di ordie ) si ottiee dado ua biiezioe su - elemeti e dado l immagie dell elemeto rimasto : si hao così (-)! biiezioi co la stessa immagie per il primo elemeto di A, (-)! co la stessa immagie per il secodo elemeto di A,, (-)! co la stessa immagie per l -simo elemeto di A. I totale le biiezioi cercate soo (-)! (-)! (-)!. (-)!!. Proviamo ifie usado l iduzioe la formula del biomio di Newto : Teorema. Siao x e y due umeri reali arbitrari e u qualsiasi itero o egativo. Allora ( ) y x y x 0. Dimostrazioe. Procediamo per iduzioe su.. Se 0 allora y x y x e ( ) 0 y x. Duque la formula vale per 0.. Suppoiamo che valga ( ) y x y x 0 allora si ha: ( ) ( ) y x y y x x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y x y x y x y x Pertato, per il pricipio di iduzioe, la formula è vera per ogi itero 0.