In questo capitolo approfondiremo le nostre conoscenze su sequenze e collezioni,

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1 Cotare sequeze e collezioi Coteuto Sequeze e collezioi di elemeti distiti Sequeze e collezioi arbitrarie 3 Esercizi I questo capitolo approfodiremo le ostre coosceze su sequeze e collezioi, acquisedo gli strumeti idispesabili per il calcolo combiatorio Sequeze e collezioi di elemeti distiti I questa sezioe impareremo a cotare le sequeze e le collezioi seza elemeti ripetuti Sequeze seza ripetizioe Nei problemi di coteggio iterviee molto spesso la ozioe di fattoriale di u umero aturale Defiizioe Sia u umero aturale Il fattoriale di è { ( ) per,! per Osservazioe (Formula di Stirlig) È piuttosto laborioso calcolare! per valori alti di Si può però dimostrare (si veda la Sezioe 6) che! è asitotico a π(/e) per, cioè lim! π(/e)

2 6 Cotare sequeze e collezioi La seguete tabella mostra l accuratezza di tale approssimazioe, detta approssimazioe di Stirlig, già per valori di piuttosto piccoli: ! π(/e) Esempio 3 Utilizzado la formula di Stirlig è possibile forire ua stima del umero di cifre decimali di! Il umero delle cifre decimali di u aturale è uguale a [log ] +, dove [x] idica la parte itera o floor di x Per la formula di Stirlig si ha log! log ( π (/e) ) (log (π) + ) + log (/e) log (π) + + log e 5797 Il umero di decimali cercato è duque approssimativamete uguale a 58 Si può verificare che i realtà! ha esattamete proprio 58 cifre decimali James Stirlig (69-77) Si usa qui il fatto che se a e b soo due successioi divergeti a + co a b ( sta per asitotico) per +, allora log a log b Si faccia attezioe che i geerale per ua fuzioe f se a b o è detto che f (a ) f (b ) per +

3 Sequeze e collezioi di elemeti distiti 7 Quate soo le sequeze di lughezza fissata seza ripetizioi, ovvero di elemeti distiti, di u isieme fiito? Defiizioe 4 Siao, N Idichiamo co S(, ) il umero di -sequeze seza ripetizioi di I, ovvero il umero di -sequeze di elemeti distiti di I Osservazioe 5 Per il Teorema 3 S(, ) è ache il umero di -spartizioi (C,, C ) di I co al più u elemeto i ogi C i, i,, Il valore di S(, ) si ricava facilmete utilizzado la ozioe di prodotto codizioato ed il pricipio di moltiplicazioe itrodotti el capitolo precedete Teorema 6 Siao, N Allora! se, S(, ) ( )! altrimeti I particolare S(, ) e S(, )! per ogi N Dimostrazioe Se >, o vi soo -sequeze seza ripetizioi di I, e quidi S(, ) Sia ora Se si ha S(, ) : ifatti la sequeza vuota è l uica -sequeza di I Suppoiamo L isieme delle -sequeze seza ripetizioe di I è u prodotto codizioato di molteplicità (,,, ( )): ifatti possiamo scegliere uo qualuque degli elemeti di I come prima compoete della sequeza; per la secoda compoete abbiamo scelte, o potedo ripetere l elemeto scelto per la prima compoete; abbiamo scelte per la terza compoete, e così via Per il pricipio di moltiplicazioe l isieme delle -sequeze seza ripetizioe di I ha pertato cardialità ( ) ( ( ))! ( )! Esempio 7 I quati modi è possibile redigere ua lista di persoe? Qual è la probabilità che il Sig Caruso sia al secodo posto della lista? Soluzioe Ua tale lista è semplicemete ua -sequeza seza ripetizioi dell isieme delle persoe: vi soo pertato S(, )! liste possibili Pertato P(Caruso secodo) umero di liste co Caruso secodo umero totale di liste Ogi lista co Caruso secodo è idividuata dalla sequeza delle altre persoe che formao la lista; queste pertato soo ( )! La probabilità cercata quidi vale ( )!/! /

4 8 Cotare sequeze e collezioi Esempio 8 (Numero di fuzioi iiettive) Nell Esempio 9 abbiamo visto come ogi fuzioe f : I l I m, l, m N, sia idividuata da ua l-sequeza di I m ; la fuzioe f è iiettiva se e solo se la sequeza associata è priva di ripetizioi Pertato S(m, l) rappreseta ache il umero di fuzioi iiettive f : I l I m Esempio 9 Qual è la probabilità che due (o più) persoe i u gruppo di 5 persoe scelte a caso siao ati lo stesso gioro? (questo è il famoso Paradosso del compleao) Soluzioe Etichettiamo le 5 persoe co I 5 I giori del loro compleao costituiscoo ua 5-sequeza di I 365 La probabilità che le 5 persoe o siao ate lo stesso gioro è Q(365, 5) : , 43 Pertato la probabilità cercata è Q(365, 5), 569 I umeri Q(, ) :! ( )! soo detti di Ramauja3 ; essi sarao studiati ella Sezioe 63, dove e verrà data ua stima per valori alti di e Collezioi seza ripetizioe (sottoisiemi) Accato alla ozioe di fattoriale, grade importaza ricopre ache quella di biomiale di ua coppia di umeri aturali Defiizioe Siao, due umeri aturali Il biomiale su è il umero! se,!( )! altrimeti Osservazioe Si osservi, e si tega a mete, che per ogi N,,, Ioltre segue immediatamete dalla defiizioe la seguete simmetria: {,, } Vedremo i seguito che è u umero itero per ogi, N 3 Sriivasa Ramauja (887-9)

5 Sequeze e collezioi di elemeti distiti 9 5exp(8) Figura Grafico dei valori assuti da C(, ) e C(, ) Osservazioe Fissato, il biomiale cresce per che varia tra e la parte itera [/] di /, e decresce da [/] + a Ifatti per ogi si ha + se e solo se + Pertato, per fissato, il biomiale assume valore massimo i [/] Tramite la Formula di Stirlig si vede che tale valore è asitotico a + π per + Defiizioe 3 Siao, N Idichiamo co C(, ) il umero di -collezioi seza ripetizioe di I, ovvero il umero di sottoisiemi di elemeti di I Osservazioe 4 Per il Teorema 3 C(, ) è ache il umero di -risoluzioi (,, ) di co i per ogi i,,

6 3 Cotare sequeze e collezioi Teorema 5 Siao, N Allora I particolare N C(, ) S(, )! Dimostrazioe Se ( ) >, o vi soo -collezioi seza ripetizioi di ( I,) e quidi C(, ) Sia ora Se, si ha C(, ) : ifatti la collezioe vuota è l uica -collezioe di I Suppoiamo Si cosideri la fuzioe che associa ad ogi -sequeza seza ripetizioi di I la -collezioe che si ottiee dimeticado l ordie degli elemeti (vedi Figura ) -collezioi seza -sequeze di I 3 ripetizioi di I 3 [,] (,) (,) [,3] [,3] (,3) (3,) (,3) (3,) Figura Fuzioe che associa ad ogi -sequeza seza ripetizioi di I 3 la -collezioe che si ottiee dimeticado l ordie degli elemeti Tramite tale fuzioe ogi -collezioe seza ripetizioi è immagie di esattamete! sequeze seza ripetizioi, precisamete le -sequeze che si ottegoo ordiado i tutti i modi possibili i suoi elemeti Per il pricipio di divisioe 39 le -collezioi seza ripetizioe di I soo duque S(, )/! Esempio 6 Siao iteri Abbiamo visto utilizzado la defiizioe di biomiale che Tale formula si può ache ricavare osservado che ( scegliere ) tra oggetti equivale a scartare tra oggetti; duque il umero C(, ) delle possibile scelte

7 di oggetti è uguale al umero oggetti Il seguete risultato motiva il termie biomiale Sequeze e collezioi di elemeti distiti 3 C(, ) dei possibili scarti di Proposizioe 7 (Formula del biomio) Siao Il coefficiete di x y ell espasioe di (x + y) è Più precisamete lo sviluppo di (x + y) è dato da x y + xy + x y ++ x y+ x y Dimostrazioe La formula è baalmete vera per Sia ora Moltiplicado x + y per se stesso volte otteiamo ua somma di moomi del tipo x y ; il termie x y appare ogiqualvolta egli fattori si sceglie per volte la x e per volte la y I fattori ei quali si sceglie la x formao ua -collezioe( dell isieme degli fattori; essi duque possoo essere selezioati i C(, ) ) modi Il termie x y pertato si ripete C(, ) volte e questo è duque il coefficiete del moomio x y ello sviluppo del biomio La seguete formula ricorsiva è di uso frequete Proposizioe 8 (Formula ricorsiva per i biomiali) Siao, N Allora + Dimostrazioe Trattiamo i modo distito i casi <, e > Se < o, per la defiizioe di biomiale le eguagliaze da dimostrare divetao rispettivamete le idetità + e + Suppoiamo ora >, ovvero > Utilizzado la defiizioe del biomiale si ha + ( )! ( )!( )! + ( )!!( )! ( )! ( )!( )! + ( )!( )!( )( )!!!( )!

8 3 Cotare sequeze e collezioi Alterativamete si poteva osservare che C(, ) è il umero di sottoisiemi di elemeti di I Questi si possoo suddividere i due classi disgiute: quelli che cotegoo e quelli che o lo cotegoo La prima classe ha tati elemeti quati soo i sottoisiemi di elemeti di {,, }: basta aggiugere a ciascuo di questi ultimi il umero La secoda classe è costituita ( dai sottoisiemi ) di elemeti di {,, } La prima classe ha C(, ) elemeti, la secoda e ha C(, ) La proposizioe precedete mostra che per calcolare i biomiali co primo argometo uguale a è sufficiete cooscere i biomiali co primo argometo uguale a Questa cosiderazioe è alla base della costruzioe del triagolo di Tartaglia-Pascal 4 5 : Essedo, il triagolo di Tartaglia-Pascal è simmetrico rispetto alla verticale che passa per il suo vertice I valori e sui lati poi soo tutti uguali ad uo Utilizzado la formula ( ) +, provata sopra, possiamo facilmete ricavare i valori di ua riga cooscedo i valori della riga precedete: questi ifatti soo uguali alla somma dei due valori adiaceti della riga sopra Esplicitado i valori dei biomiali alla luce di quato appea osservato, il triagolo di Tartaglia-Pascal assume i segueti valori: 4 Niccolò Tartaglia ( ) 5 Blaise Pascal (63-66)

9 Sequeze e collezioi di elemeti distiti Il triagolo di Tartaglia-Pascal può ache essere rappresetato tramite il seguete schema otteuto applicado la regola a b c c a + b Seguoo i valori dei primi biomiali Verifichiamo ella successiva proposizioe altre iteressati idetità combiatorie: Proposizioe 9 Siao, due umeri aturali Allora + + ; ;

10 34 Cotare sequeze e collezioi Dimostrazioe Le tre formule soo baalmete vere per Sia ora Il termie C(, i) cota il umero di sottoisiemi di I i di cardialità i Pertato la somma di essi al variare di i tra e è uguale al umero di sottoisiemi di I, che per la Proposizioe ( 3 ) vale Il umero C(, ) rappreseta il umero di sottoisiemi di cardialità di I U geerico sottoisieme di elemeti di I è formato da elemeti di {,, } e da elemeti di { +,, ( }, ) per qualche {,,, } La prima scelta può essere fatta i C(, ) modi, metre la secoda scelta può essere fatta i C(, ) modi Si ottiee quidi che il umero di modi per scegliere u sottoisieme di I formato da elemeti, di cui esattamete scelti i {,,, } è Il umero totale di sottoisiemi di elemeti di I è quidi dato dalla somma di questi termii per,,, 3 Per dimostrare la formula, utilizziamo la tecica dell iduzioe (su ) Per l idetità è vera dato che + + Suppoiamo ora che l idetità sia vera per u dato valore di, e dimostriamola per + Vogliamo i altre parole provare che () + + La somma dei primi termii a primo membro coicide co per ipotesi iduttiva, duque possiamo sostituire il termie a siistra dell uguagliaza i () co Ora, per la Proposizioe 8 esso coicide co + Foriamo ua dimostrazioe alterativa del ( puto 3 iterpretado ) dal puto di vista + + combiatorio i biomiali coivolti Ifatti è il umero di ( + + )- sequeze biarie co esattamete copie di ed + copie di : ua tale sequeza ifatti è determiata quado si cooscoo le posizioi, ad esempio, dei

11 Sequeze e collezioi di elemeti distiti 35 zeri Fissata ua tale sequeza, l ultimo può essere i posizioe + (qualora la sequeza veda tutti gli all iizio), +,, + + (qualora la sequeza termii co ) I geerale l ultimo è ecessariamete i posizioe + + j per u opportuo j co j ; esso è seguito da ua sequeza di, ed è preceduto da ua ( + j)-sequeza biaria che cotiee esattamete volte Le sequeze che hao l ultimo i posizioe + + j soo tate quate le (( + j)-sequeze ) ( biarie ) + j + j elle quali compare volte Essedo quest ultime pari a, j le ( + + )-sequeze biarie elle quali compare + volte soo quidi + + j + j j Vediamo ora alcui esempi di applicazioe dei cocetti descritti Esempio (La passeggiata di G Polya 6 ) Si immagii che il seguete diagramma descriva il reticolo di strade di ua città Ogi vertice è idividuato da ua coppia (, ) dove è il umero della riga e è il umero della coloa Vogliamo determiare quate diverse passeggiate coducoo dal vertice (, ) al geerico vertice (, ) Possiamo descrivere u qualuque cammio cogiugete il vertice (, ) al vertice (, ) attraverso ua sequeza di Siistra - Destra: ad esempio u cammio che cogiuge (, ) a (3, ) è (S, S, D); u altro cammio cogiugete i medesimi vertici è (S, D, S), oppure acora (D, S, S) I geerale per arrivare al vertice (, ) 6 György Pólya ( )

12 36 Cotare sequeze e collezioi si deve voltare esattamete volte a destra e, di cosegueza, volte a siistra Ogi cammio è uivocamete idividuato da ua -sequeza di {S, D} ella quale compare esattamete volte il simbolo D Ua tale sequeza è determiata dalle posizioi della D: pertato vi soo possibili cammii che coducoo da (, ) a (, ) Esempio Quate mai di 5 carte si possoo formare utilizzado u mazzo stadard di 5 carte? Se si sceglie ua mao di 5 carte a caso, qual è la probabilità che tutte le carte appartegao allo stesso seme? 3 Se si sceglie ua mao di 5 carte a caso, qual è la probabilità di otteere esattamete 3 assi? Soluzioe Ua mao di 5 carte è ua 5-collezioe seza ripetizioi di I 5, e quidi ci soo C(5, 5) 5!/(47!5!) mai di 5 carte Per trovare la probabilità richiesta, dobbiamo trovare il umero di 5-collezioi seza ripetizioi di carte dello stesso seme L isieme di tali collezioi costituisce u prodotto codizioato Ifatti ua tale collezioe può essere otteuta tramite la seguete procedura i fasi: prima scegliedo il colore, e poi prededo 5 carte di quel colore La prima fase ha 4 possibili esiti (i 4 semi) La secoda fase cosiste ello scegliere ua 5-collezioe seza ripetizioi di carte scelte tra le 3 carte di uo stesso seme; per essa vi soo C(3, 5) 3!/(5!8!) 87 esiti Quidi per il pricipio di moltiplicazioe vi soo possibili mai composte da carte tutte dello stesso seme; pertato si ha P(5 carte dello stesso seme) 4 C(3, 5) C(5, 5) 98( %) 3 L isieme delle mai co 3 assi è u prodotto codizioato Ifatti ua mao co 3 assi può essere otteuta i due fasi co la seguete procedura: prima scegliamo 3 dei quattro assi, e questo può essere fatto i C(4, 3) 4 modi; poi dobbiamo completare la mao utilizzado carte scelte tra 48 possibili (le carte del mazzo che o soo assi), e questo può essere fatto i C(48, ) 8 modi Quidi per il pricipio di moltiplicazioe i tutto ci soo mai co esattamete tre assi, e quidi la probabilità richiesta è: C(4, 3) C(48, ) C(5, 5) 74( 7%) Esempio Dobbiamo scegliere u comitato di persoe da u isieme formato da 7 doe e 4 uomii Dire i quati modi può essere scelto se il comitato è formato da 5 persoe, 3 doe e uomii; il comitato può avere u qualuque umero di compoeti (purché i umero strettamete positivo), ma deve avere u uguale umero di doe e di uomii;