Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino)

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1 Corso di Laurea Trieale i Matematica Calcolo delle Probabilità I doceti G. Nappo, F. Spizzichio Prova di martedì luglio tempo a disposizioe: 3 ore. Scrivere su ogi foglio NOME e COGNOME. Le risposte devoo essere giustificate sui fogli protocollo e riportate el foglio RISPOSTE. ATTENZIONE: cocetrare l attezioe sugli Esercizi e, e dedicare il tempo rimasto a risolvere uo degli altri due. Esercizio. Ricordiamo che ua giorata del gioco del lotto prevede diversi gruppi idipedeti di 5 estrazioi ciascu gruppo di estrazioi corrispode ad ua ruota, che prede il ome dalla città i cui viee effettuata l estrazioe; le 5 estrazioi su ciascua ruota soo effettuate i modo casuale, seza reiserimeto, da u ura coteete i umeri {,,..., 9}. a Si fissi ua giorata e ua ruota ad esempio la giorata del luglio e la ruota di Roma. Calcolare la probabilità che i {il umero 6 vega estratto sulla ruota fissata e ella giorata fissata} ad esempio {il umero 6 vega estratto sulla ruota di Roma il luglio }. ii {i umeri 6 e 39 vegao estratti sulla ruota fissata e ella giorata fissata}. iii {almeo uo tra i umeri 6 e 39 vega estratto sulla ruota fissata e ella giorata fissata}. b Si fissi ora solo la giorata. Calcolare l espressioe della probabilità β che {il umero 6 vega estratto su almeo ua delle ruote ella giorata fissata}. Si cosideri ora ua serie di diverse giorate e, per j,,...,, si poga E j {il umero 6 viee estratto sulla ruota di Roma ella giorata j }, X j Ej le variabili aleatorie biarie idicatrici dell eveto E j, ed ifie S X j. j c Idividuare la distribuzioe di S e scrivere la formula per la desità discreta P S k di S, specificado l isieme dei valori k che S può assumere. d Utilizzado la disuguagliaza di Chebyshev, trovare u valore di per cui risulti P S e Calcolare la probabilità codizioata P S 5 3 S 6. Esercizio. Cosideriamo u gioco i cui si lacia prima ua moeta be equilibrata e poi si laciao due dadi be equilibrati. Il puteggio realizzato dipede, oltre che dai valori otteuti co i dadi, ache dal risultato del lacio della moeta secodo il seguete schema: se esce testa il puteggio è pari al valore del primo dado, se esce croce il puteggio è pari al miimo dei valori dei due dadi. Si poga T l eveto {esce testa}, C l eveto {esce croce} ed A l eveto {si ottiee u puteggio maggiore o uguale a 5} a Calcolare la probabilità di A. b i Sapedo che si è verificato l eveto A, calcolare la probabilità che sia uscita testa. ii Sapedo che si è verificato l eveto A, calcolare la probabilità che sia uscita croce. c Posto X il puteggio otteuto, calcolare la distribuzioe di X. d Calcolare il valore atteso di X.

2 Esercizio 3. Siao A e B due eveti idipedeti co probabilità p A e p B rispettivamete. a Calcolare P A A B. Si cosiderio le variabili aleatorie biarie X A A e X B B, idicatrici di A e B rispettivamete. Sia ifie W X A + X B A + B. b Esprimere gli eveti {W }, {W }, {W } e {W } attraverso gli eveti A, A, B, B e calcolare la distribuzioe di W. c Calcolare la distribuzioe cogiuta di X A e W. d Calcolare i P X A W, ii P X A W. e Calcolare approssimativamete p A P A, p B P B, el caso i cui A {X >.88} e B {Y }, dove X ed Y soo due variabili aleatorie idipedeti, co X gaussiaa di valore atteso µ e variaza σ ed Y gaussiaa stadard. f Spiegare il motivo per cui A {X >.88} e B {Y } soo idipedeti e calcolare approssimativamete P X A W. Esercizio. Sia X ua variabile aleatoria co desità per x < c + x f X x 3 per x < c x 3 per x < per x a Trovare il valore di c e disegare il grafico di f X. b Calcolare P X. c Calcolare EX attezioe: è possibile trovarlo seza fare calcoli?.

3 FOGLIO RISPOSTE della prova di Martedì luglio NOME e COGNOME... caale NAPPO caale SPIZZICHINO ORALE: luglio... dopo il 6 luglio... dopo il settembre... Esercizio. ai... aii... aiii... b β... c P S k... k... d... e P S 5 3 S 6... Esercizio. a P A... b i... b ii... c distribuzioe di X X PX k d EX... Esercizio 3. a P A A B... b {W }..., {W }..., {W }..., {W }... W PW h X W c di P X A W..., dii P X A W... e p A P X > p B P Y... f idipedeza: svolto o svolto P X A W... Esercizio. a c... grafico di f X : svolto o svolto b P X... c EX... 3

4 RISPOSTE della prova di Martedì luglio Esercizio. ai... 8 aii... 8 aiii b β c P S k k 7 k k k,,...,, d 53 e P S 5 3 S 6. Esercizio. a P A 9. b i 3 b ii. c distribuzioe di X X PX k 7 7 d EX Esercizio 3. a P A A B p A p A +p B p A p B b {W } A B, {W } A B A B, {W } A B, {W } A B W PW h p A p B p A p B + p A p B p A p B X W c p A p B p A p B p A p B p A p B di P X A W p A p A +p B p A p B, dii P X A W e p A P X > p B P Y.5 p A p B p A p B + p A p B f idipedeza: svolto o svolto P X A W Esercizio. a c 3 grafico di f X : svolto o svolto b P X 3 8 c EX

5 Corso di Laurea Trieale i Matematica Calcolo delle Probabilità I doceti G. Nappo, F. Spizzichio SOLUZIONI della prova di Martedì luglio tempo a disposizioe: 3 ore. Esercizio. Ricordiamo che ua giorata del gioco del lotto prevede diversi gruppi idipedeti di 5 estrazioi ciascu gruppo di estrazioi corrispode ad ua ruota, che prede il ome dalla città i cui viee effettuata l estrazioe; le 5 estrazioi su ciascua ruota soo effettuate i modo casuale, seza reiserimeto, da u ura coteete i umeri {,,..., 9}. a Si fissi ua giorata e ua ruota ad esempio la giorata del luglio e la ruota di Roma. Calcolare la probabilità che i {il umero 6 vega estratto sulla ruota fissata e ella giorata fissata} ad esempio {il umero 6 vega estratto sulla ruota di Roma il luglio }. ii {i umeri 6 e 39 vegao estratti sulla ruota fissata e ella giorata fissata}. iii {almeo uo tra i umeri 6 e 39 vega estratto sulla ruota fissata e ella giorata fissata}. soluzioe di a i: La probabilità cercata vale 8. Ifatti si tratta di estrarre 5 pallie da u ura che cotiee 9 pallie di cui biaca quella co il umero 6 e le rimaeti 89 rosse, e posto A {il umero 6 viee estratto sulla ruota fissata e ella giorata fissata}, si ha che A B B B 3 B B 5, dove B i {l i-esima pallia estratta è biaca}{il 6 esce alla i-esima estrazioe } e quidi P A P B + P B + P B 3 + P B + P B Alterativamete, poiché ai fii dell eveto A si può pesare che si tratti di estrazioi i blocco si vice qualuque sia l ordie di estrazioe del umero 6, si può ache otteere il risultato co il seguete metodo P A !! 85! 9! 5! 85! 89! 5! 9!! soluzioe di a ii: La probabilità cercata vale , 9. Ifatti si tratta di estrarre 5 pallie da u ura che cotiee 9 pallie di cui biache quella co il umero 6 e quella co il umero 39 e le rimaeti 88 rosse, e posto A {i umeri 6 e 39 vegoo estratti sulla ruota fissata e ella giorata fissata}, si ha che A B B B B 3... B B 5 {i,j} {,,3,,5} B i B j, dove B i {l i-esima pallia estratta è biaca} e quidi si ha P A P B B + P B B P B B 5 Si ricordi che P B k P B per k,, 3,, 5: 9 ifatti Ω i, i, i 3, i, i 5, co i h tutti distiti, i h {,,..., 9} e Ω , ioltre, ad esempio, B i, 6, i 3, i, i 5, co i h tutti distiti, i h {,,..., 5, 7,..., 9} e B , da cui immediatamete P B B Ω 9. Alterativamete P B P B P B B + P B P B B Si tega coto che P B i B j P B ip B j B i 9 89 e che i sottoisiemi {i, j} di cardialità di {,, 3,, 5}, soo tati quati le combiazioe di 5 elemeti di classe, ovvero 5 5! 5 3 5! 3! 3 5

6 Alterativamete, poiché ai fii dell eveto A si può pesare che si tratti di estrazioi i blocco si vice qualuque sia l ordie di estrazioe dei umeri 6 e 39, si può ache otteere il risultato co il seguete metodo P A ! 3! 85! 9! 5! 85! 88! 5! 9! 3! soluzioe di a iii: La probabilità cercata vale , 86. Ifatti, posto C {il umero 39 viee estratto sulla ruota fissata e ella giorata fissata}, teedo coto del pricipio di esclusioe/iclusioe, la probabilità cercata è P A C P A + P C P A C i quato P C P A e A C A. b Si fissi ora solo la giorata. Calcolare l espressioe della probabilità β che {il umero 6 vega estratto su almeo ua delle ruote ella giorata fissata}. soluzioe di b la probabilità cercata vale β 7 8, 5663 Ifatti, posto D {il umero 6 o esce su essua delle ruote ella giorata fissata} si tratta di calcolare la probabilità dell eveto complemetare D, e quidi 7 β P D P D P R R R P R P R P R, 8 dove R i {il umero 6 esce sulla ruota i-esima, ella giorata fissata}, per i,...,, cosicché P R i P R i Si cosideri ora ua serie di diverse giorate e, per j,,...,, si poga E j {il umero 6 viee estratto sulla ruota di Roma ella giorata j }, X j Ej le variabili aleatorie biarie idicatrici dell eveto E j, ed ifie S X j. j c Idividuare la distribuzioe di S e scrivere la formula per la desità discreta P S k di S, specificado l isieme dei valori k che S può assumere. soluzioe di c: La distribuzioe di S è biomiale di parametri e θ 8, ovvero P S k k θ k θ k k 7 k k 8 8, k,,...,. Ifatti basta cosiderare che gli eveti E j soo relativi a giorate distite e formao ua famiglia di eveti completamete o globalmete idipedeti ed S cota il umero dei successi i giorate, dove successo alla j-esima prova sigifica {esce il 6 sulla ruota di Roma, ella giorata j}. d Utilizzado la disuguagliaza di Chebyshev, trovare u valore di per cui risulti P S soluzioe di d: Basta predere 53 6

7 Ifatti, P S θ..9 se e solo se P S θ >..9.. Ioltre, per la disuguagliaza di Chebyshev, P S θ V ars θ θ >.. θ θ, dove l ultima disuguagliaza vale i quato x x per ogi x [, ]. Basta predere i modo che valga θ θ 7 8 8, ovvero θ θ , 69, 3 e quidi basta predere 53. Si osservi che i questo caso coosciamo esattamete θ e quidi o coviee utilizzare la secoda maggiorazioe, ovvero o coviee procedere richiededo che, ovvero 5, I questo modo ifatti si ottiee u valore di molto più grade del ecessario. e Calcolare la probabilità codizioata P S 5 3 S 6. soluzioe di e: La probabilità cercata vale. Ifatti, per la formula di Bayes P S 5 3 S 6 P S 5 3P S 6 S 5 3 P S θ 3 θ 5 3 θ 3 θ, 6 θ 6 θ i quato, sapedo che elle prime 5 giorate si soo avuti 3 successi, il calcolo della probabilità dell eveto {S 6} si riduce a calcolare la probabilità che sulle successive 5 giorate si ottegao altri 3 successi, ovvero P S 6 S θ 3 θ. Di cosegueza P S 5 3 S Alterativamete, posto S 5 S S 5, il umero di successi otteuti elle cique giorate dalla sesta alla decima icluse, si ha che S 5 ed S 5 soo idipedeti e co la stessa distribuzioe, ioltre {S 5 3} {S 6} {S 5 3} {S 5 3} e quidi P S 5 3 S 6 P {S 5 3} {S 6} P S 6 P {S 5 3} P {S 5 3} P S 6 P {S 5 3} {S 5 3} P S θ 3 θ 5 3 θ 3 θ θ 6 θ 6 7

8 Esercizio. Cosideriamo u gioco i cui si lacia prima ua moeta be equilibrata e poi si laciao due dadi be equilibrati. Il puteggio realizzato dipede, oltre che dai valori otteuti co i dadi, ache dal risultato del lacio della moeta secodo il seguete schema: se esce testa il puteggio è pari al valore del primo dado, se esce croce il puteggio è pari al miimo dei valori dei due dadi. Si poga T l eveto {esce testa}, C l eveto {esce croce} ed A l eveto {si ottiee u puteggio maggiore o uguale a 5} a Calcolare la probabilità di A. soluzioe di a: P A 9 Ifatti, gli eveti T e C formao ua partizioe dell eveto certo, e quidi, per la formula delle proabilità totali si ha P A P T P A T + P CP A C P X 5 + P mix, X 5 P X 5 + P X 5, X 5 P X 5 + P X 5P X , dove si è posto X i il valore del dado i, per i,. b i Sapedo che si è verificato l eveto A, calcolare la probabilità che sia uscita testa. ii Sapedo che si è verificato l eveto A, calcolare la probabilità che sia uscita croce. soluzioe di b: i P T A 3 ii P C A Ifatti per la formula di Bayes P T P A T P T A P T P A T + P CP A C P X 5 P X 5 + P mix, X Ifie P C A P T A 3. c Posto X il puteggio otteuto, calcolare la distribuzioe di X. X soluzioe di c: PX k Ifatti X assume solo i valori iteri da a 6 e P X k P T P X k T + P CP X k C P X k + P mix, X k P X k, X > k + P X > k, X k + P X k, X k 6 + P X kp X > k + P X > kp X k + P X kp X k k + 6 k k + 9 k 9 k

9 P 6 9 k come verifica si oti che k Ioltre va sottolieato che P mix, X k si puo calcolare ache co la formula P mix, X k P X k, X k + P X k, X k P X k, X k, oppure co la formula P mix, X k P X k, X k P X k +, X k +. d Calcolare il valore atteso di X. soluzioe di d: EX Ifatti EX 6 kp X k k 6 k 9 k k , Esercizio 3. Siao A e B due eveti idipedeti co probabilità p A e p B rispettivamete. a Calcolare P A A B. p soluzioe di a: P A A B A p A +p B p A p B Ifatti P A A B P A A B ed essedo A e B idipedeti si ha P A B P A P A + P B P A B P A A B P A P A + P B P AP B p A p A + p B p A p B Si cosiderio le variabili aleatorie biarie X A A e X B B, fuzioi idicatrici di A e B rispettivamete. Sia ifie W X A + X B A + B. b Esprimere gli eveti {W }, {W }, {W } e {W } attraverso gli eveti A, A, B, B e calcolare la distribuzioe di W. soluzioe di b: {W } A B, {W } A B A B, {W } A B e {W } A B e di cosegueza P W P A B P AP B p A p B p A p B + p A p B P W P A B + P A B p A p B + p A p B p A + p B p A p B P W P W + P W P A B p A p B verifica: P W + P W + P W p A p B + p A p B + p A p B + p A p B p B p A p B + p A p B +p A p B +p A p B p B +p B p A p B +p A p B c Calcolare la distribuzioe cogiuta di X A e W. X W soluzioe di c: p A p B p A p B p A p B p A p B 9

10 Ifatti P X A, W P A A B P A B p A p B ; P X A, W P A [A B A B] P A B p A p B ; P X A, W P A A B P ; P X A, W P A A B P ; P X A, W P A [A B A B] P A B p A p B ; P X A, W P A A B P A B p A p B ; d Calcolare i P X A W, ii P X A W. soluzioe di d: i P X A W P A A B P X A W p A p B p A p B + p A p B p A p A p B p A +p B p A p B p A p A +p B p A p B ii e Calcolare approssimativamete p A P A, p B P B, el caso i cui A {X >.88} e B {Y }, dove X ed Y soo due variabili aleatorie idipedeti, co X gaussiaa di valore atteso µ e variaza σ ed Y gaussiaa stadard. soluzioe di e: P A.33 P B.5 Ifatti, essedo X ua variabile aleatoria di legge gaussiaa co valore atteso µ e variaza σ, la variabile aleatoria Z X µ σ X ha legge gaussiaa stadard, e quidi P A P X >.88 P X >.88 P Z > Ivece il calcolo di P Y P Y π e y dy è u calcolo esatto, i quato Y è ua gaussiaa stadard e π e y dy. f Spiegare il motivo per cui A {X >.88} e B {Y } soo idipedeti e calcolare approssimativamete P X A W. soluzioe di f: Gli eveti A e B si possoo scrivere come A {X >.88} {X I} e B {Y } {Y J}, per gli itervalli o limitati I.88, e J [,, le variabili aleatorie X ed Y soo idipedeti, e quidi P X I, Y J P X IP Y J, ovvero A e B soo idipedeti. Ioltre dal precedete puto d sappiamo che P X A W P A A B P X A W p A p A + p B p A p B Esercizio. Sia X ua variabile aleatoria co desità per x < c + x f X x 3 per x < c x 3 per x < per x

11 a Trovare il valore di c e disegare il grafico di f X. soluzioe di a: c 3 Ifatti + c c x f X x dx + x 3 dx + c 3 c 3. f X x dx + f X x dx [ x 3 dx c x + x + c ] x x + + [x x ] x x Figura : Grafico di f X x. L area tratteggiata rappreseta P X. Alterativamete, il grafico di f X deve essere del tipo i figura. Si vede immediatamete e si può verificare ache aaliticamete che la fuzioe f X simmetrica rispetto all asse x, ovvero che f X x f X x, e quidi è + x f X x dx c f X x dx c c c 3 c 3. b Calcolare P X. soluzioe di b: P X x 3 dx c [x x ] x x

12 c + Figura : Grafico di f X x, prima di calcolare il valore di c Ifatti i geerale se X ammette desità di probabilità f X x allora quidi P a X b P a < X < b b a f X x dx, P X f X x dx c + x 3 dx + c f X x dx + c f X x dx [ ] x x 3 dx c x + x + [x x x + c Alterativamete, ache qui, sfruttado la simmetria di f X si possoo semplificare i calcoli: P X c c f X x dx f X x dx x 3 dx c [x x c ] x x 6 c ] x x c Calcolare EX attezioe: è possibile trovarlo seza fare calcoli?. soluzioe di c: EX

13 Ifatti EX + c x f X x dx x + x 3 dx + c 5 5 x f X x dx + x f X x dx [x x x 3 dx c c + x5 5 ] x x [ x + x5 5. Del resto basta osservare che la desità è simmetrica rispetto allo zero per otteere immediatamete che il valore atteso è ullo 3. Ifatti si tratta di itegrare la fuzioe gx x f X x che è ua fuzioe dispari: g x x f X x x f X x gx Si oti che per otteere questo risultato, o è stato ecessario utilizzare il valore di c. ] x x R 3 + I realtà ciò vale i quato l itegrale del valore assoluto è fiito, cioè x fxx dx <. Ifatti i questo caso, essedo x f X x f X x per x, e x f X x per x >, si ha Z + x f Xx dx Z + x f Xx dx Z + f Xx dx <. 3