Esercizi settimana 10

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1 y = = 0 0,5 0,5,5 x Esercizi settimaa 0 Esercizi applicati Esercizio. Siao X ) i.i.d. tali per cui X U0, ), si dimostri che X 0. Soluzioe. Per calcolare la covergeza i legge dobbiamo usare la fuzioe di ripartizioe, essedo X U ) abbiamo che per ogi 0 x 0, F X x) = x 0 < x <, x, da cui F X x) = 0 se x < 0 e F X x) = se x > 0, ovvero abbiamo { F 0 x < 0, X = F, F x) = x > 0, ovvero F X x 0. coverge alla fuzioe di ripartizioe della costate 0, per ogi puto di cotiuità Remark. Si oti che i probabilità viee deotata la variabile aleatoria X = a, co a R, la v.a. che assume il valore a co probabilità, ovvero P X = a) =. Esercizio. Siao X ) i.i.d. tali per cui X Geo ), si deisca Y := X. Si calcoli il ite i legge di Y. Soluzioe. a fuzioe di ripartizioe di Y è dato da ) F Y y) = P X > y = P X > y) = )y e y.

2 F Z = = 0 z 0,5 0,5,5 Figura : F Z co λ = Notado che la fuzioe di ripartizioe di ua VAAC espoeziale di parametro è e y, segue che Y Y, co Y Exp). Esercizio 3. Siao X ) i.i.d. tali per cui X Expλ). i) Sia Z := mix,..., X ), Z coverge i legge? ii) Sia Y := maxx,..., X ), Y coverge i legge? E ivece Soluzioe. i) Calcoliamo la fuzioe di ripartizioe di Z. Expλ) da cui per z > 0 abbiamo che Segue immediatamete che, per z > 0, F Z z) = e λz. log Y? F Z z) = e λz =. Abbiamo già dimostrato che Z Siccome F Z z) = 0 per z < 0 abbiamo che globalmete F Z { 0 z < 0, F z) := z > 0, coverge a F deita ovvero abbiamo che Z 0, si veda la gura. ii) Calcoliamo la fuzioe di ripartizioe di Y. Abbiamo per y > 0 F Y y) = P Y y) = F X y) = e λy ),

3 3 F Y = = 0 = 00 0,5 0,5,5 Figura : F Y co λ = y da cui segue F Y y) = e λy ) = 0. Quidi se Y covergesse i legge, la v.a. ite dovrebbe avere fuzioe di ripartizioe ulla ovuque, ma ciò o è possibile e duque Y o coverge i legge, si veda la gura. Abbiamo che, deotado co U := log Y segue che F U u) = P Y u log ) = e λu log ) = ) λu, da cui otteiamo, sfruttado u oto ite otevole, che F U u) = ) 0 λu <, λu = e λu =, λu >, ovvero U coverge i legge alla costate λ, si veda la gur 3. Esercizio 4. Durate u esperimeto dobbiamo misurare ua certa quatità µ. Sappiamo che lo strumeto ha u errore sperimetale che si può modellizzare co ua v.a. X di media 0 e variaza. Sappiamo ioltre che gli errori di due diverse misurazioi si possoo supporre idipedeti. Si eettuao misurazioi e si stima µ tramite la media empirica X := X + + X ) delle misurazioi eettuate. i) Qual è la probabilità di commettere u errore più grade di ii) Vogliamo che X stimi µ a meo di? 00 se = 400? 00 co la probabilità del 99%, quato deve essere grade

4 4 F U = 0 = 00 = 000 0,5,5,5 3 Figura 3: F U co λ = u iii) Vogliamo che X stimi µ a meo di? 0 co la probabilità del 90%, quato deve essere grade Soluzioe. i) Utilizzado il teorema del ite cetrale, deotado Z N 0, ) e co Φ la sua fuzioe di ripartizioe, abbiamo P X 400 ) = P X 400 ) 400 P Z ) 400 = = P ) ) 400 Z 400 = Φ 400 Φ ) ) 400 = Φ ii) Possiamo procedere come al puto i), ovvero P X ) ) = Φ , e risolvedo duque per otteiamo ) Φ ) = Utilizzado la tavola della fuzioe di ripartizioe della gaussiaa stadard otteiamo Φ.58) = 0.995, da cui segue 58. iii) Si deve ripetere il procedimeto fatto ai puti i) e ii) co 0, otteedo ) Φ + 0.9) = 0.95, 0 da cui segue

5 5 F Y = = 0 0,5 0,5,5 y Figura 4: F Y Esercizio 5. Siao X ) i.i.d. tali per cui X U0, ) e deiamo Y = maxx,..., X ). i) Y coverge i legge? Coverge i probabilità? ii) Sia Z := Y ), Z coverge i legge? Soluzioe. i) Calcoliamo la fuzioe di ripartizioe di Y. Essa vale 0 y 0, F Y y) = y 0 < y <, y, da cui segue F Y y) = F y), F y) = { 0 y, y, dove F è la fuzioe di ripartizioe della v.a. costate, si veda la gura 4. Ioltre lo stesso ite vale ache i probabilità, ifatti abbiamo P Y ɛ) = P Y + ɛ) + P Y ɛ) = F Y + ɛ) + F Y ɛ), da cui segue immediatamete per i coti svolti i precedeza che P Y ɛ) = F Y + ɛ) + F Y ɛ) = F + ɛ) + F ɛ) = 0. ii) Calcoliamo la fuzioe di ripartizioe di Z. Abbiamo per z < 0 che vale F Z = 0, metre per z > 0 abbiamo dai coti svolti i precedeza che F Z z) = P Z z) = P Y ) z) = P Y z ) = P Y z ) = z, )

6 6,5 F Z = = 0 e z 0,5 0,5 0,5,5 z Figura 5: F Y da cui segue che, per z > 0, abbiamo F Z z) = z ) = e z, che è la fuzioe di ripartizioe di Z Exp) e quidi Z Z, si veda la gura 5. Esercizio 6. Siao X ) i.i.d. tali per cui X U0, ) e deiamo Z := i) Z coverge i probabilità? siπx k ). k= ii) Si calcoli P Z > ) 0 Soluzioe. i) Abbiamo E siπx k ) = siπx)dx = 0, 0 da cui applicado la legge dei gradi umeri Z := siπx k ) p E siπx ) = 0. k=

7 7 ii) Calcoliamo la variaza della v.a. siπx k ), abbiamo duque Var siπx k ) = E si πx k ) = Segue allora dal teorema del ite cetrale che Z = siπx ) + + siπx ) 0 si πx)dx =. N 0, ), e quidi abbiamo che P Z > ) 0 = ) Z P > 0 P + P ) Z > = 0 ) Z < = Φ 0 ) + Φ 0 dove abbiamo deotato co Φ la fuzioe di ripartizioe della v.a. N 0, ). ), 0 Esercizio 7. Siao X ) i.i.d. tali per cui P X = ) = P X ) =. 0.) i) Si calcoli E log X ; ii) Sia Y := X... X ), coverge i probabilità? Si calcoli il ite; iii) Sia W := X... X ), coverge i legge? Si calcoli la legge ite; Soluzioe. i) Da 0.) otteiamo che P log X = log ) = P log X = log ) =, da cui segue E log X = log + log = 0. ii) Sia Z := log X, allora possiamo scrivere Y come ) Y = exp Z + + Z ). Abbiamo già calcolto el puto precedete che E log X = 0,

8 8 da cui segue, applicado la legge dei gradi umeri Z + + Z ) p 0,. Dalla cotiuità della fuzioe espoeziale segue allora che ) P Y ɛ) P Z + + Z ) δ 0,, e duque abbiamo dimostrato che Y p. iii) Procededo i maiera aaloga al puto precedete abbiamo che ) W = exp Z + + Z ). Applicado ora il teorema del ite cetrale, e sfruttado il fatto che VarZ i = log ), otteiamo che Z + + Z ) N 0, log ) ),. Duque possiamo calcolare, per w > 0, ) ) log w F W z) = P W w) = P Z + + Z ) log w Φ,, log dove abbiamo idicato co Φ la fuzioe di ripartizioe della v.a. N 0, ). Per w < 0 abbiamo ivece F W w) = 0. Derivado la fuzioe di ripartizioe otteiamo ora F w) = w log f ) log w = log e log w) log ), 0.) πw log dove abbiamo deotato co f la desità della v.a. N 0, ). Quidi abbiamo dimostrato che W coverge ad ua v.a. co desità data da 0.). Esercizi teorici Esercizio 8. Si cosideri u compoete elettroico costituito da compoeti collegate i serie. Ogi compoete ha u tempo di vita T i Expλ), i =,..., idipedete. Sia X il tempo di vita del dispositivo, si calcoli P X > ɛ). Soluzioe. Siccome le compoeti soo collegate i serie abbiamo che X = mit,..., T ) Expλ). Abbiamo quidi che P X > ɛ) = e λɛ = 0.

9 9 Esercizio 9. Si assuma di scegliere idipedetemete puti co distribuzioe uiforme el cerchio di raggio R e cetro l'origie degli assi. Qual è la probabilità che la miima distaza r dall'origie sia maggiore di. Quato vale il ite per della probabilità precedete? Soluzioe. Abbiamo già calcolato che la probabilità che la miima distaza dall'origie sia maggiore di r, r R valeva r R ). Sostituedo r co r otteiamo che la probabilità che la r miima distaza sia maggiore di vale da cui segue immediatamete che ) r R, ) r R = e r R. Esercizio 0. Si mostri che + k e k! = e z dz. π k=0 Soluzioe. Cosideriamo X ) i.i.d. co X P o). I particolare abbiamo che X + + X P o). Allora, sfruttado la desità discreta di ua v.a. di Poisso, abbiamo che + e k=0 k k! = P S < + ) = P S < + ) ) S = P <. Dal fatto che EX i = e VarX i =, segue dal teorema del ite cetrale che ) P S < = Φ), co Z N 0, ) e Φ la sua fuzioe di ripartizioe, da cui + k e k! = e z dz. π k=0 0 egeda: : esercizio da sapere all'esame; : esercizio dicile