Tutoraggio AM1 17/12/2015. sin(x) arctan(x) 2) lim sup / inf x 0 + cos(x) sin( 1 x ) e x2 cos 2 (x 3 ) x 2 + ln(3x + 2) δ(x) δ(x) =

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1 Tutoraggio AM1 17/12/2015 Per la parte teorica sui if e sup vedi le ote su iti iferiori e superiori di fuzioi. A) Date due successioi a },b }, mostrare le segueti proprietà (escludere i casi i cui si abbia + o 0 ): 1. sup(a + b ) sup(a ) + sup(b ) 2. if(a ) + if(b ) if(a + b ) Suppoedo che a che b siao ua successioi positive mostrare che 3. sup(a b ) sup(a ) sup(b ) e che se a a si ha 4. sup(a b ) = a sup(b ) B) Studiare il sup, if delle segueti successioi 1) a = + ( 1) ( 1) 2) a = + ( 1) ) 3) a = (1 + ( 1) 4) 3( 1) + 5 cos(π/2) ( 1) cos(2π/). C) Calcolare i segueti iti 1) sup / if x + si(x) arcta(x) 2) sup / if x 0 + cos(x) si( 1 x ) 3) sup / if x + e x2 cos 2 (x 3 ) x 2 + l(3x + 2) 5) sup / if x + δ(x) δ(x) = 2 si(x) + 5x2 4) sup / if x + x x 1 x Q 1 altrimeti 6) sup / if x + log(1 + 1 x ) si(x)δ(x) δ(x) = 1 x Q x altrimeti D) Siao f(x) = 6 arcsi( x) e g(x) = π + 3(4x 1) 1. Mostrare che f(x) g(x) per x [0, 3/4]. 2. Quate radici ha l equazioe f(x) = g(x) i [0, 1]. 1

2 Soluzioi A) Siao a e b due successioi, allora 1) p k, a p + b p sup k a + sup k b = sup p k (a p + b p ) sup k sup(a + b ) sup(a ) + sup(b ) a + sup b = k 2) p k, a p + b p if k a + if k b = if p k (a p + b p ) if k a + if k b = if(a + b ) if(a ) + if(b ) 3) p k, a p b p sup k a sup k b = sup p k (a p b p ) sup k sup(a b ) sup(a ) sup(b ) a sup b = k 4) Supporremo a R. Dalle relazioi di cui sopra si ottiee immediatamete che sup(a b ) a sup(b ), d altra parte sappiamo ache che k tale che k si ha a (a ε). Duque > k a b (a ε)b, pertato da cui la tesi. B) Vale che sup(a b ) (a ε) sup(b ) ε > 0 1. possiamo maggiorare la successioe come + ( 1) ( 1) sup + ( 1) ( 1) Osserviamo quidi che la sottosuccessioe = sup = 1. a 2 = è tale che a 2 = 1 duque il ite superiore è proprio 1. I maiera del tutto aaloga + ( 1) ( 1) if + ( 1) ( 1) = if = 0, ed ora la sottosuccessioe a 2+1 raggiuge 0 che è quidi il ite iferiore. 2

3 2. Procediamo come sopra: a = sup a sup = 1 3, possiamo ioltre osservare che la sottosuccessioe a 2 è tale che a 2 = 1/3. Aalogamete a quato fatto sopra si scopre che if a 1/3 e che la successioe a 2+1 raggiuge questo ite. 3. Come sopra: ( a 1 + ) 1 ( = sup a sup 1 + ) 1 = e Osserviado che a 2 raggiuge proprio il ite, si ha che sup a = e. I maiera del tutto aaloga si trova che if a = 1 e. 4. Le sottosuccessioi covergeti della successioe i cosiderazioe devoo essere defiitivamete ua delle segueti : c k = 4 ( 3 5 2π ) a k = 1+5c k = c = cos 1 1/3 1+5c k = Le quali covergoo rispettivamete a 4 3 k = 4 a k = 1 k 3 k = k = Duque sup a = 4/3 e if a = 1/3 C) Adiamo a calcolare i segueti iti: 1. Sia f(x) = si(x) arcta(x), allora sicuramete f(x) arcta(x) e f(x) arcta(x), duque sup f(x) arcta(x) e if f(x) arcta(x), da cui sup f(x) π/2 e if f(x) π/2. Cosideriamo ora le successioi:x 1 = π/2 + 2π e x 2 = 3π/2 + 2π, allora si calcola facilmete che f(x1 ) = π/2 f(x2 ) = π/2. Questi soo duque rispettivamete il ite superiore ed iferiore. 2. Sia f(x) = cos(x) si(1/x). I u itoro positivo dell origie vale sicuramete che f(x) cos(x) 1 e f(x) cos(x) 1, da cui, procededo come sopra if f(x) 1 sup f(x) 1. 3

4 Cosideriamo allora le successioi x 1 = 1/(π/2 + 2π) 0 + e x 2 = 1/(3π/2 + 2π) 0 +, si calcola facilmete che f(x1 ) = 1 f(x2 ) = 1. Duque questi soo rispettivamete il ite superiore ed iferiore. 3. Sia f(x) = e x2 cos 2 (x 3), si vede facilmete che questa fuzioe o è itata superiormete: sia ifatti x = 3 2π., allora f(x ) = + = sup f(x) = +. Viceversa si oti che f(x) 1, ovvero if f(x) 1, e possiamo cosiderare la successioe data da x = 3 π/2 + 2π, allora f(x ) = 1 = if f(x) = x x è la parte frazioaria di x, che è sempre compresa i [0, 1). Cosideriamo allora le successioi x 1 = e x 2 = 1/, si vede immediatamete che f(x1 ) = 0 f(x2 ) = (( 1 ) ( 1)) = (1 1 ) = 1. Duque il ite superiore è 1 e quello iferiore è Riscriviamo la fuzioe i cosiderazioe come x 2 +l(3x+2) 2 si(x)+5x x Q f(x) = 2 x2 +l(3x+2) 2 si(x)+5x altrimeti 2 Sui razioali la fuzioe ha ite 1/5 metre sugli irrazioali coverge a 1/5, e segue che questi soo rispettivamete il ite superiore ed iferiore. 6. I questo caso la fuzioe è della forma log(1 + 1 f(x) = x ) si(x) x log(1 + 1 x ) si(x) x Q altrimeti Osserviamo che sui razioali si ha metre sugli irrazioali log(1 + 1 x x ) si(x) = 0 f(x) x log(1 + 1 ) = sup f(x) x x log(1 + 1 x + x ) = 1 f(x) x log(1 + 1 ) = if f(x) x x log(1 + 1 x + x ) = 1 4

5 Come successioi che raggiugoo il ite superiore ed iferiore cosideriamo x 1 = π/2 + 2π e x 2 = 3π/2 + 2π, le quali soo successioi irrazioali. Duque il ite superiore è 1 e quello iferiore è 1. D) Cosideriamo la fuzioe h(x) = f(x) g(x)) = 6 arcsi( x) π 3(4x 1), la quale è cotiua e derivabile i (0, 1), si ha h (x) = x 2 x 4 3 la quale è positiva per x (0, 1/4) (3/4, 1) ed è ulla i x 1 = 1/4 ( dove abbiamo u massimo) ed i x 2 = 3/4 ( dove abbiamo u miimo). I particolare si osservi che h(x 1 ) = 0, questo sigifica che i [0, 3/4] la fuzioe è egativa, perciò vale che f(x) g(x). Per cocludere l equazioe f(x) = g(x) si può riscrivere come h(x) = 0. Ua radice l abbiamo trovata ( x 1 = 1/4 ), metre osserviamo che h(x) < 0 se x [0, 3/4] metre h(1) = 2π 3 3 > 0. Dato che la fuzioe è strettamete crescete ell itervallo [3/4, 1], ecessariamete deve esistere u altra radice della fuzioe, la quale è ache uica i [3/4, 1] per la stretta mootoia della fuzioe. Ne segue che le radici dell equazioe soo solamete due. 5