Tutorato di AM210. A.A Docente: Prof. G.Mancini Tutore: Andrea Nardi Soluzioni 3-25 Ottobre Si sta chiedendo di vedere che

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1 Uiversitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea i Matematica Tutorato di AM20 AA Docete: Prof GMacii Tutore: Adrea Nardi Soluzioi 3-25 Ottobre 203 Si sta chiededo di vedere che J g f = J gf J f ove J é la matrice Jacobiaa Vediamo le due parti dell'uguagliaza separatamete Abbiamo che g fx, y = gxy, x 2, y 6 = e xy, cosx 3 y 7 := h x, y, h 2 x, y = hx, y, hx,y J h = h 2x,y h x,y y h 2x,y y ye = xy xe xy 3x 2 y 7 six 3 y 7 7y 6 x 3 six 3 y 7 Adiamo ora a calcolare J g : e J g = u 0 0 vz siuvz uz siuvz uv siuvz e J gf = xy 0 0 x 2 y 6 six 3 y 7 xy 7 six 3 y 7 x 3 y six 3 y 7 z Ie y x J f = 2x 0 0 6y 5 Per cui abbiamo che ye J gf J f = xy xe xy 3x 2 y 7 six 3 y 7 7x 3 y 6 six 3 y 7 che é eettivamete J h 2 Essedo ft, gt = 0 t R, allora, deedo γt C R, R 2 come γt := t, gt, si ha che γ t =, g t e duque, per la regola di derivazioe di fuzioi composte, si ha che: 0 = d dt 0 = d dt ft, gt = d dt fγt = ft, gt, γ t = = ft, gt + ft, gt g t t R y Duque preso t = 0 si ottiee che: da cui otteiamo l'asserto 0 = f0, 0 + f0, 0 g 0 y

2 3 Presa fx, y si ha che fx, y = f f x, y, y x, y := f x x, y, f y x, y Passiamo a coordiate polari: sia g, θ := f cosθ, siθ Abbiamo che: g = f x cosθ + f y siθ g θ = siθf x + cosθf y per la regola di derivazioe di fuzioi composte A partire da queste due relazioi, per trovare f x e f y, dobbiamo combiare i maiera opportua le derivate parziali di g, θ I particolare per trovare f x bisogerá sottrarre i maiera opportua le derivate parziali di g, θ i maiera che f y si aulli e viceversa per calcolare f y Duque: da cui g siθ Aalogamete da cui Quidi g cosθ + f cosθ, siθ = g θ cosθ = f xcotθ + taθ = f x f x = g cosθ g θ siθ g θ siθ = f ycotθ + taθ = f y f y = g siθ + g θ cosθ g, θ cosθ g θ, θ siθ siθ cosθ siθ cosθ Passiamo a coordiate polari: sia g, θ := f cosθ, siθ Abbiamo che: g = f x cosθ + f y siθ g θ = siθf x + cosθf y g = f xx cos 2 θ + f xy si2θ + f yy si 2 θ g θθ = cosθf x + 2 si 2 θf xx 2 si2θf xy siθf y + 2 cos 2 θf yy Dobbiamo ora, i maiera opportua, trovare ua combiazioe lieare che ci isoli le derivate secode di f cosθ, siθ Sommiamo le derivate secode di g, θ per togliere le derivate miste di f cosθ, siθ Abbiamo che g θθ 2 A questo puto otiamo che + g = f xx + f yy cosθf x siθf y g θθ, θ 2 + g, θ + g, θ = f cosθ, siθ, g, θ siθ + g θ, θ cosθ 2

3 Adiamo ad usare la formula otteuta per calcolare i Laplaciai delle fuzioi richieste: a Vediamo prima chi é P x, y: P x x, y = x2 + y 2 P y x, y = y x2 + y 2 perció 2 P 2 x, y = y 2 x 2 + y P y 2 x, y = x 2 x 2 + y P x, y = x2 + y 2 Essedo g, θ = si ha che g θθ, θ = 0 = g, θ g, θ = P cosθ, siθ = Essedo = x 2 + y 2 l'uguagliaza é provata b Abbiamo che: perció F 2x x, y = + x 2 + y 2 F 2y x, y = y + x 2 + y 2 2 F 2 x, y = 2 2x2 + 2y 2 + x 2 + y F y 2 x, y = 2 2y2 + 2x 2 + x 2 + y 2 2 F x, y = + x 2 + y 2 Essedo h, θ = log + 2 si ha che h θθ, θ = 0 h, θ = h, θ =

4 che é quello che volevamo F cosθ, siθ = I puti stazioari di ua fuzioe fx, y soo quei puti che aullao il suo gradiete Ua volta otteuti essi, per sapere se soo massimi o miimi bisoga trovare la matrice Hessiaa di fx, y data da H f x, y = 2 f x, y 2 x, y 2 f y 2 f y x, y 2 f y 2 x, y ove 2 f y = 2 f y per la teoria Ua volta trovata la matrice Hessiaa, calcoliamo quato vale il suo determiate i ogi puto stazioario Possoo accadere le segueti cose: Se deth f x 0, y 0 < 0 allora x 0, y 0 é u puto di sella; Se deth f x 0, y 0 > 0 allora x 0, y 0 é: u massimo se 2 f 2 x 0, y 0 < 0; u miimo se 2 f 2 x 0, y 0 > 0; Se deth f x 0, y 0 = 0 o possiamo dire ulla ed occorrerá fare u ulteriore aalisi per dedurre se x 0, y 0 é u puto di massimo, di miimo o di sella Detto questo partiamo co la risoluzioe degli esercizi: a f x, y = x 3 x, y y 3 x 3 = x = 0, 0 y 3 = y x = 0, ± y = 0, ± Quidi f x, y ha 9 puti stazioari: P =,, P 2 =, 0, P 3 =,, P = 0,, P 5 = 0, 0, P 6 = 0,, P 7 =,, P 8 =, 0, P 9 =, La matrice Hessiaa el ostro caso é 2x H f x, y = y 2 Notiamo che: H f P = H f P 3 = H f P 7 = H f P 9 = 0 H f P = H f P 6 = ; H f P 2 = H f P 8 = ; 0 0 H f P 5 = ; 0 8

5 Il determiate della matrice Hessiaa ei puti P, P 3, P 5, P 7 e P 9 é egativo, idi tali puti soo di sella; Il determiate della matrice Hessiaa egli altri puti é positivo, soo puti di massimo o di miimo Per i puti P e P 6 si ha che 2 f < 2 0, soo puti di massimo Ivece per i puti P 2 e P 8 si ha che 2 f > 0, soo puti di miimo 2 b f 2 x, y = 3x 2 y+y 3 y, x 3 +3xy 2 x = 0, 0 y3x 2 + y 2 = 0 xx 2 + 3y 2 = 0 Se y = 0 ella prima riga abbiamo che xx 2 = 0 ella secoda Duque otteiamo i puti P =, 0, P 2 = 0, 0, P 3 =, 0 3x 2 + y 2 = 0 Se y 0 il sistema diveta xx 2 + 3y 2 = 0 Se x = 0 ella secoda riga otteiamo che y 2 =, otteiamo i puti P = 0,, P 5 = 0, Se x 0 il sistema diveta 3x 2 + y 2 = 0 x 2 + 3y 2 = 0 y 2 = 3x 2 y 2 = x 2 = x x 2 = 0 y = ± 2 x 2 = ± 2 3x 2 + y 2 = 0 x 2 = Quidi abbiamo otteuto i puti: P 6 = 2, 2, P7 = 2, 2, P8 = 2, 2, P9 = 2, 2 Ora: 6xy 3x H f2 x, y = 2 + 3y 2 3x 2 + 3y 2 6xy Facedo i coti troviamo che il determiate dell'hessiaa ei puti P i, i =,, 5, é egativo, essi soo puti di sella Nei macati puti il determiate é ivece positivo Per i puti P 6 e P 9 si ha che 2 f 2 = 3 2 > 0, tali puti soo miimi Per i puti P 7 e P 8 si ha che 2 f 2 = 3 2 < 0, tali puti soo massimi c f 3 x, y = 3x 2 3y 2, 6xy = 0, 0 x 2 = y 2 xy = 0 x = y = 0 Pertato l'uico puto stazioario é P = 0, 0 abbiamo che 6x 6y H f3 x, y = 6y 6x I questo caso Duque il determiate dell'hessiaa é ullo se calcolato i P Notiamo che f 3 0, 0 = 0 Se cosideriamo puti vicii all'origie del tipo, si ha che f 3, = 2 < 3 0 Cosiderati i puti vicii all'origie del tipo, si ha che f 3, = 2 3 > 0 5

6 Essedoci puti prossimi all'origie i cui la fuzioe é positiva ed altri i cui la fuzioe é egativa, abbiamo che P é u puto di sella d f x, y = x 3 3x 2 siy, x 3 x 3 = 3 cosy = 0, 0 x2 siy x 3 cosy = 0 Se x = 0 il sistema é valido y, i puti P y = 0, y soo stazioari Se x 0 il sistema diveta x = 3 siy y = π 2 + kπ cosy = 0 x = 3 k Notiamo che se k = 2s abbiamo i puti P 2s = 3, π 2 + 2sπ e se k = 2s + abbiamo i puti P 2s+ = 3, π 2 + 2s + π L'Hessiaa di f x, y é 2x H f x, y = 2 6x siy 3x 2 cosy 3x 2 cosy x 3 siy Abbiamo che H f P 2s = H f P 2s+ = Essedo il suo determiate positivo e 2 f 2 > 0, abbiamo che soo tutti puti di miimo L'Hessiaa calcolata ei puti P y é ulla Notiamo che i puti del tipo 0, kπ soo miimi, perché f x, kπ = x > 0 = f0, kπ x 0 Tutti gli altri puti soo di sella: i puti del tipo 0, π 2 + kπ soo tali che, presi itori destri e siistri dell'asse y ad altezza π 2 + kπ si ottiee u cambio di sego, metre f 0, y = 0 y Ad esempio se y = π 2 si ha che f, π 2 = 3 < 0 metre f, π 2 = 3 + > 0 Co lo stesso ragioameto si puó estedere il discorso a tutti i puti che o siao del tipo 0, kπ e f 5 x, y = 2xy 2, 2yx 2 = 0, 0 xy 2 = 0 yx 2 = 0 Se x = 0 e cosegue che ache y = 0 e otteiamo il puto P = 0, 0 Se ivece x 0 si ha che y = ± ella prima riga e che x = ± ella secoda Pertato otteiamo i puti: P 2 =,, P 3 =,, P =,, P 5 =, Essedo 2y H f5 x, y = 2 xy xy 2x 2 abbiamo che il suo determiate ei puti ±, ± é egativo, idi soo puti di sella Nel puto P ivece il determiate é positivo, ed essedo 2 f 5 2 P = 2 < 0 si ha che é u puto di massimo 6

7 f f 6 x, y = x 3 2x 2 +8x, y 3 y = 0, 0 x = 0,, 2 xx x 2 = 0 y = 0, ± = abbiamo 9 puti: y = 0, ± P = 0, 0, P 2 = 0,, P 3 = 0,, P =, 0, P 5 =,, P 6 =,, P 7 = 2, 0, P 8 = 2,, P 9 = 2, Ora: 2x H f6 x, y = 2 2x y 2 H f6 P = H f6 P 7 = 8 0 = puti di sella H f6 P 2 = H f6 P 3 = = puti di miimo H f6 P 5 = H f6 P 6 = = puti di sella H f6 P 8 = H f6 P 9 = = puti di miimo H f6 P = = puto di massimo 0 g f 7 x, y = y 3 six, y 3 3y 2 y 3 six = 0 cosx = 0, 0 y 3 = 3 y2 cosx Come per f x, y otteiamo puti del tipo P x = x, 0, P 2s = 2sπ, 3 e P2s+ = 2s + π, 3 Svolgedo coti aaloghi otteiamo che i puti P 2s = 2sπ, 3 e P 2s+ = 2s + π, 3 soo di miimo Ache i tal caso H f7 x, 0 ha determiate ullo e co coti idetici π a sopra si ha che i puti del tipo 2 + kπ, 0 soo miimi e gli altri puti di sella h f 8 x, y = 2xy 2, 2x 2 y y = 0, 0 xy 2 = 0 xy 2 = mai = Quidi la fuzioe o ha puti critici x x i f 9 x, y =, y +2y = 0, 0 = 0 x 2 +y 2 x 2 +y 2 y + 2 = 0 y 2 cioé soltato se x = y = 0 0, 0 o é u puto dove o esiste f 9, dove la fuzioe o é parzialmete derivabile Noostate ció la fuzioe ha u miimo assoluto i 0, 0 j f 0 x, y = x 3 x + e x e x y 3, e x y 3 = 0, 0 y = e x x = 0, ± x 3 = x y = e x, otteiamo i puti: 7

8 P = 0,, P 2 =, e e P 3 =, e Essedo y = e x el calcolo dell'hessiaa omettiamo i termii che cotegoo e x y essedo ulli i tutti e tre i putiovviamete el calcolo delle derivate soo ecessari!!! Duque H f0 x, y = 2x e il determiate dell'hessiao é ullo i tutti e 3 i puti Comiciamo co l'aalisi del puto P : abbiamo che f 0 P = 0 Notiamo che i puti del tipo 0, ± la fuzioe assume valori positivi, metre cosiderato il puto, si ha che f 0, = 2 + e = 2 2 < 0 2 Quidi P é u puto di sella Procediamo co l'aalisi di P 2 : abbiamo che f 0 P 2 = f 0, e ± = + > ; f 0 +, e e > ; f 0, e e + > ; f 0 +, e + = ee e > ; f 0, e e > ; f 0 +, e e > ; f 0, e e > I tutte i puti prossimi a P 2 si ha che la fuzioe assume valori piú gradi di, P 2 é u puto di miimo Cocludiamo co l'aalisi di P 3 : abbiamo che f 0 P 3 = Possiamo be credere che per P 3 valga u discorso aalogo a quello che é valso per P 2 Chiamata gx = x 2x 2 si ha che f 0 x, y = gx + e x y Notiamo che g + = > e g = > Essedo e x y 0 x, y abbiamo che f 0 x, y i u itoro di P 3 sará sempre piú grade di Quidi ache P 3 é u puto di miimo NB Nelle scorse soluzioi alla e della prima stima relativa all'esercizio 7c del tutorato u x 3 diveta x 3 Pare chiaro che é solo u errore di battitura If you have a problem Better Call Fra 8