Prove d'esame a.a

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1 Prove d'esame aa Adrea Corli dicembre Soo qui raccolti i testi delle prove d'esame assegati ell'aa, relativi al Corso di Aalisi Matematica I (semestrale, crediti), Laurea i Igegeria Civile e Ambietale, teuto da me presso l'uiversità degli Studi di Ferrara -- - Prima prova parziale { } log Sia A = ; =, Calcolare l'isieme dei maggiorati, miorati, sup e if di A log(!) Disegare i graci approssimativi delle fuzioi f(x) = log x, g(x) = e x, h(x) = log( x) 4 Sia f ua fuzioe pari e g ua fuzioe dispari Dire se g f e f g soo pari, dispari o o simmetriche Dare u esempio di ua fuzioe h tale che h( x) = h(x) ( ) 5 Calcolare u asitotico semplice di f(x) = ( x) tg per x + e di g(x) = si (e x ) cos x per x 6 Calcolare gli asitoti (orizzotali, verticali, obliqui) della fuzioe f(x) = x x Disegare quidi u graco approssimativo di f 7 Calcolare il lim x + ( x + x + ) x 8 (Matlab) Usare u ciclo for per calcolare e quidi rappresetare gracamete gli elemeti della successioe deita da a =, a = per =,,, + a x Secoda prova parziale (Matlab) Usare u ciclo for per calcolare simbolicamete gli itegrali dx, per = x /,,, e creare u vettore coteete i tre risultati log x Calcolare lim x x x Calcolare ua primitiva della fuzioe f(x) = Dipartimeto di Matematica, Uiversità di Ferrara log(si x) tg x

2 4 Dire per quali α > è covergete l'itegrale x α dx 5 Dire per quali α > l'equazioe xe αx = ha ua soluzioe positiva, citado u teorema oto Rappresetare co u disego 6 Si cosideri la fuzioe f(x) = x i [, ] Dire se f è cotiua e se è derivabile Disegare u graco approssimativo di f e di f Perché o si può applicare il teorema di Lagrage a f, relativamete all'itervallo [, ]? Far vedere co u calcolo diretto che la tesi del teorema rimae valida 7 Calcolare l'area della regioe di piao coteuta el semipiao y e compresa tra i graci delle fuzioi f(x) = log( + x) e g(x) = log( x), per x [, ] Rappresetare co u disego 8 Studiare la fuzioe f(x) = e x x 4// Si cosideri la fuzioe f(x) = x 4 + x 6x x + Scrivere u breve script di Matlab che e calcola uo zero e che disega il graco di f e della sua derivata umerica i uo stesso graco Calcolare estremo superiore ed iferiore dell'isieme A = soo rispettivamete massimi e miimi di A Studiare la covergeza semplice e assoluta della serie { cos ( ) } ; =,,, e dire se ( ) ( ) si 4 Motivare il fatto che la fuzioe f(x) = π + arctg x è ivertibile Calcolare f Disegare u graco approssimativo di f e di f 5 Dire se la fuzioe f(x) = x log x è di classe C el suo domiio Disegare u graco approssimativo di f 6 Cercare a > i modo che a 7 Dire se è covergete l'itegrale dx = + x x log(x) dx 8 Studiare la fuzioe f(x) = x 4 + x 6x x +, specicado i particolare quati zeri ha 4// (( ) ( ) ) q q + Calcolare il lim per q R (a) : = + 4, (b) : si( π ) Per quali valori dei parametri a >, b > e c > la fuzioe f(x) = x a + asitoto obliquo? 4 Calcolare le derivate delle fuzioi x e log x ( + x) si xb x c ha u

3 5 Si cosideri la fuzioe f(x) = arctg ( x) Disegare u graco approssimativo Discutere l'ivertibilità di f; calcolare la sua iversa (evetualmete di ua sua restrizioe) e disegare il graco 6 Sia f ua fuzioe di classe C i [, + ), co f() = E' vero che f (x) f(x) x? 7 Calcolare + x dx 8 Studiare la fuzioe f(x) = No è richiesto lo studio della derivata secoda x x // Calcolare il domiio e poi le derivate delle fuzioi f(x) = x l x, g(x) = + cot x, h(x) = + l x Sia a > ; calcolare x e ax dx ta x Calcolare lim x x log( + x), lim (x x + )l x 4 Calcolare, usado la deizioe di limite, il lim +log 5 Disegare u graco approssimativo delle fuzioi f(x) = x( x) e g(x) = x( x ) i [, ], stabiledo i particolare la loro posizioe reciproca Calcolare il puto x [, ] i cui la distaza verticale f(x) g(x) tra i due graci è massima, specicado a quato ammota x 6 Calcolare x 4 dx 7 Studiare la covergeza delle serie 8 Studiare la fuzioe f(x) = x x + 4, log(log ) Sia E = { x R; /6/ } e < e x Calcolare sup E, if E e, se esistoo, max E, mi E Siao a e b umeri reali co b > Studiare il comportameto della serie di a e b = a al variare + b Disegare u graco approssimativo della fuzioe f(x) = x, facedo vedere come lo si deduce, passo dopo passo, da quello della fuzioe l(x) = x Dedurre dal graco i puti di o derivabilità della fuzioe f 4 Applicare il teorema di Lagrage alla fuzioe f(x) = tg x ell'itervallo [, π/4], calcolado il puto c che compare ell'euciato del teorema Rappresetare co u disego

4 si x 5 Esiste il lim x + + cos? Se sì, calcolarlo; se o, provare che o esiste x 6 Calcolare l x cosh x dx semplicado il più possibile i calcoli 7 Provare, tramite i criteri di covergeza oti, che l'itegrale geeralizzato è covergete Quidi calcolarlo 8 Studiare la fuzioe f(x) = x + x x(x + ) dx /7/ ( Calcolare il lim log( + ) + ) log ( ) ( ) Siao f e g due fuzioi Calcolare la derivata della fuzioe composta h(x) = f g( x) Calcolare esplicitamete h el caso g(y) = y e f(y) = g(y) 4 Esistoo fuzioi f tali che o esiste il lim x + f(x) ma esiste ivece il lim x + f (x)? 5 Sia f la fuzioe deita i [, ] così: f(x) = se x [, ] [, ], f(x) = se x (, ) Disegare u graco di f Calcolare F (x) = x f(t) dt Disegare u graco di F E' derivabile la fuzioe F? Commetare 6 Trovare u umero a > i modo che 7 Calcolare x e x dx a tah x dx = Rappresetare co u disego 8 Si cosideri la fuzioe f(x) = si(log x) Determiare il domiio, i limiti sigicativi, i puti stazioari, la cresceza Dedurre da queste iformazioi u graco approssimativo /9/ Dire se esiste b > tale che < log b deitivamete si e x Calcolare, se esistoo: (a): lim x e x ; (b): lim x + (log ( + x ) x log ) 4 Dire se la fuzioe f(x) = x (e x ) è cotiua, derivabile, di classe C 5 Si cosideri la fuzioe f(x) = e x ell'itervallo [a, b], co < a < b Applicare il teorema di Lagrage, calcolado esplicitamete u puto c Applicare il teorema della media itegale, calcolado esplicitamete u puto d Spiegare il risultato otteuto 6 Calcolare x + x dx 4

5 7 Sia a > Calcolare l'area della regioe del primo quadrate, compresa tra i graci delle fuzioi f(x) = x e g(x) = x e la retta y = a Rappresetare co u disego ( ) 8 Studiare la fuzioe f(x) = arctg + x 4/9/ Calcolare estremo superiore, estremo iferiore e, se esistoo, massimo e miimo dell'isieme {e x ; x [, + )} ( ( ) ) k Calcolare il lim k= Dire se esistoo o meo i segueti limiti; i caso aermativo, calcolarli (a) lim x + xe si x ; (b) lim x + si (e x ) 4 Sia f(x) = x x Disegare u graco approssimativo di f Disegare i graci di f(x ), f(x) +, f(x), f(x/) 5 Ha soluzioi l'equazioe log x + x =? 6 Calcolare e x + dx 7 Sia f la fuzioe deita da f(x) = x log x se x > e f() = Dire perché f è itegrabile i ogi itervallo [, a], co a > Calcolare la fuzioe itegrale di f relativa al puto 8 Studiare la fuzioe f(x) = x x 5