ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del TEMA 1. {e x 1. x 2 f(x) = 0 per x = 2.

Transcript

1 ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del TEMA 1 Esercizio 1 [7 puti] Si cosideri la fuzioe {e x 1 x per x f(x = 0 per x =. i Determiare il domiio D di f, le sue evetuali simmetrie e studiare il sego; determiare i limiti di f agli estremi di D e gli evetuali asitoti; ii si dica se f è cotiua i tutto R. iii calcolare la derivata e studiare la mootoia di f e determiare gli evetuali puti di estremo relativo ed assoluto; calcolare i limiti sigificativi di f ; i particolare si dica se f è derivabile i tutto R; NON è richiesta la derivata secoda; iv disegare u grafico qualitativo di f. Esercizio [6 puti] Studiare al variare di x R la covergeza semplice ed assoluta della serie Esercizio [6 puti] Risolvere l equazioe e disegare le soluzioi sul piao di Gauss. Esercizio 4 [6 puti] Calcolare il limite al variare di α R. =1 (x 1 ( +. z z + zz = 4 Im(iz (4 cos x α 4x 4 lim x 0 x 4 si x Esercizio 5 [7 puti] a Studiare la covergeza dell itegrale geeralizzato al variare di α R; b calcolarlo per α = 1. π 0 x α si( x dx Tempo a disposizioe: tre ore. Il cadidato deve cosegare questo foglio assieme al foglio itestato. La brutta copia o va cosegata: viee corretto solo ciò che è scritto sul foglio itestato. È vietato teere co sé, ache speti, telefoi e calcolatrici di qualsiasi tipo e usare libri e apputi, ad eccezioe di quato si trova scritto sul retro del presete foglio. Ogi affermazioe deve essere adeguatamete giustificata. La parte facoltativa ha rilevaza solo per il voto fiale, o per l ammissioe all orale.

2 SVILUPPI DI MCLAURIN DELLE PRINCIPALI FUNZIONI ELEMENTARI Per x 0, si hao e x = 1 + x + x + + x! + o(x log(1 + x = x x + x (1 + x a = 1 + ax + x +1 + o(x ( a(a 1 x a + + x + o(x si x = x x x+1 5! ( + 1! + o(x+ cos x = 1 x x 4! (! + o(x+1 ta x = x + x 15 x5 + + o(x 6 sih x = x + x 5! + + x+1 ( + 1! + o(x+ cosh x = 1 + x 4! + + x (! + o(x+1 tah x = x x 15 x5 + o(x 6 arcsi x = x x + 40 x5 + + dove (! 4 (! ( + 1 x+1 + o(x + arcta x = x x x o(x+ arsih x = x 1 6 x + 40 x5 (! 4 (! ( + 1 x+1 + o(x + artah x = x + x x o(x+ ( a = a(a 1... (a + 1!

3 Esercizio 1 [7 puti] Si cosideri la fuzioe ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del f(x = TEMA {e x 1 x+ per x 0 per x =. i Determiare il domiio D di f, le sue evetuali simmetrie e studiare il sego; determiare i limiti di f agli estremi di D e gli evetuali asitoti; ii si dica se f è cotiua i tutto R. iii calcolare la derivata e studiare la mootoia di f e determiare gli evetuali puti di estremo relativo ed assoluto; calcolare i limiti sigificativi di f ; i particolare si dica se f è derivabile i tutto R; NON è richiesta la derivata secoda; iv disegare u grafico qualitativo di f. Esercizio [6 puti] Studiare al variare di x R la covergeza semplice ed assoluta della serie Esercizio [6 puti] Risolvere l equazioe e disegare le soluzioi sul piao di Gauss. Esercizio 4 [6 puti] Calcolare il limite al variare di α R. =1 (x + ( +. Im(z z zz = 8i(z z 4(cosh x α x 4 lim x 0 x 4 arcta x Esercizio 5 [7 puti] a Studiare la covergeza dell itegrale geeralizzato al variare di α R; b calcolarlo per α = 1. π 0 x α 1 si( x dx Tempo a disposizioe: tre ore. Il cadidato deve cosegare questo foglio assieme al foglio itestato. La brutta copia o va cosegata: viee corretto solo ciò che è scritto sul foglio itestato. È vietato teere co sé, ache speti, telefoi e calcolatrici di qualsiasi tipo e usare libri e apputi, ad eccezioe di quato si trova scritto sul retro del presete foglio. Ogi affermazioe deve essere adeguatamete giustificata. La parte facoltativa ha rilevaza solo per il voto fiale, o per l ammissioe all orale.

4 SVILUPPI DI MCLAURIN DELLE PRINCIPALI FUNZIONI ELEMENTARI Per x 0, si hao e x = 1 + x + x + + x! + o(x log(1 + x = x x + x (1 + x a = 1 + ax + x +1 + o(x ( a(a 1 x a + + x + o(x si x = x x x+1 5! ( + 1! + o(x+ cos x = 1 x x 4! (! + o(x+1 ta x = x + x 15 x5 + + o(x 6 sih x = x + x 5! + + x+1 ( + 1! + o(x+ cosh x = 1 + x 4! + + x (! + o(x+1 tah x = x x 15 x5 + o(x 6 arcsi x = x x + 40 x5 + + dove (! 4 (! ( + 1 x+1 + o(x + arcta x = x x x o(x+ arsih x = x 1 6 x + 40 x5 (! 4 (! ( + 1 x+1 + o(x + artah x = x + x x o(x+ ( a = a(a 1... (a + 1!

5 ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del TEMA Esercizio 1 [7 puti] Si cosideri la fuzioe {e x 1 x per x f(x = 0 per x = i Determiare il domiio D di f, le sue evetuali simmetrie e studiare il sego; determiare i limiti di f agli estremi di D e gli evetuali asitoti; ii si dica se f è cotiua i tutto R. iii calcolare la derivata e studiare la mootoia di f e determiare gli evetuali puti di estremo relativo ed assoluto; calcolare i limiti sigificativi di f ; i particolare si dica se f è derivabile i tutto R; NON è richiesta la derivata secoda; iv disegare u grafico qualitativo di f. Esercizio [6 puti] Studiare al variare di x R la covergeza semplice ed assoluta della serie Esercizio [6 puti] Risolvere l equazioe e disegare le soluzioi sul piao di Gauss. Esercizio 4 [6 puti] Calcolare il limite al variare di α R. =1 (x + 1 ( + 5. z z z z = i Im( z z (e x α x 4 lim x 0 x 4 sih x Esercizio 5 [7 puti] a Studiare la covergeza dell itegrale geeralizzato al variare di α R; b calcolarlo per α = 1. π 8 0 x 1 α si( x dx Tempo a disposizioe: tre ore. Il cadidato deve cosegare questo foglio assieme al foglio itestato. La brutta copia o va cosegata: viee corretto solo ciò che è scritto sul foglio itestato. È vietato teere co sé, ache speti, telefoi e calcolatrici di qualsiasi tipo e usare libri e apputi, ad eccezioe di quato si trova scritto sul retro del presete foglio. Ogi affermazioe deve essere adeguatamete giustificata. La parte facoltativa ha rilevaza solo per il voto fiale, o per l ammissioe all orale.

6 SVILUPPI DI MCLAURIN DELLE PRINCIPALI FUNZIONI ELEMENTARI Per x 0, si hao e x = 1 + x + x + + x! + o(x log(1 + x = x x + x (1 + x a = 1 + ax + x +1 + o(x ( a(a 1 x a + + x + o(x si x = x x x+1 5! ( + 1! + o(x+ cos x = 1 x x 4! (! + o(x+1 ta x = x + x 15 x5 + + o(x 6 sih x = x + x 5! + + x+1 ( + 1! + o(x+ cosh x = 1 + x 4! + + x (! + o(x+1 tah x = x x 15 x5 + o(x 6 arcsi x = x x + 40 x5 + + dove (! 4 (! ( + 1 x+1 + o(x + arcta x = x x x o(x+ arsih x = x 1 6 x + 40 x5 (! 4 (! ( + 1 x+1 + o(x + artah x = x + x x o(x+ ( a = a(a 1... (a + 1!

7 Esercizio 1 [7 puti] Si cosideri la fuzioe ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del f(x = TEMA 4 {e x 1 x+ per x 0 per x = i Determiare il domiio D di f, le sue evetuali simmetrie e studiare il sego; determiare i limiti di f agli estremi di D e gli evetuali asitoti; ii si dica se f è cotiua i tutto R. iii calcolare la derivata e studiare la mootoia di f e determiare gli evetuali puti di estremo relativo ed assoluto; calcolare i limiti sigificativi di f ; i particolare si dica se f è derivabile i tutto R; NON è richiesta la derivata secoda; iv disegare u grafico qualitativo di f. Esercizio [6 puti] Studiare al variare di x R la covergeza semplice ed assoluta della serie Esercizio [6 puti] Risolvere l equazioe e disegare le soluzioi sul piao di Gauss. Esercizio 4 [6 puti] Calcolare il limite al variare di α R. =1 (x ( + 5. Im ( z z z z = 4 Re (iz (α e x x 4 lim x 0 x 4 ta x Esercizio 5 [7 puti] a Studiare la covergeza dell itegrale geeralizzato al variare di α R; b calcolarlo per α = 0. π 4 0 x α si( x dx Tempo a disposizioe: tre ore. Il cadidato deve cosegare questo foglio assieme al foglio itestato. La brutta copia o va cosegata: viee corretto solo ciò che è scritto sul foglio itestato. È vietato teere co sé, ache speti, telefoi e calcolatrici di qualsiasi tipo e usare libri e apputi, ad eccezioe di quato si trova scritto sul retro del presete foglio. Ogi affermazioe deve essere adeguatamete giustificata. La parte facoltativa ha rilevaza solo per il voto fiale, o per l ammissioe all orale.

8 SVILUPPI DI MCLAURIN DELLE PRINCIPALI FUNZIONI ELEMENTARI Per x 0, si hao e x = 1 + x + x + + x! + o(x log(1 + x = x x + x (1 + x a = 1 + ax + x +1 + o(x ( a(a 1 x a + + x + o(x si x = x x x+1 5! ( + 1! + o(x+ cos x = 1 x x 4! (! + o(x+1 ta x = x + x 15 x5 + + o(x 6 sih x = x + x 5! + + x+1 ( + 1! + o(x+ cosh x = 1 + x 4! + + x (! + o(x+1 tah x = x x 15 x5 + o(x 6 arcsi x = x x + 40 x5 + + dove (! 4 (! ( + 1 x+1 + o(x + arcta x = x x x o(x+ arsih x = x 1 6 x + 40 x5 (! 4 (! ( + 1 x+1 + o(x + artah x = x + x x o(x+ ( a = a(a 1... (a + 1!