Am1c Soluzioni Tutorato III Derivate

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1 Amc Soluzioi Tutorato III Derivate Mercoledì Marzo 009 Filippo Cavallari Esercizio I tutti i casi calcoleremo il limite del rapporto icremetale: () lim + h lim h 0 h h 0 h ( + ) ( + h )( + h + ) h( + h + ) + h () lim lim lim h 0 h h 0 h 0 + h + (3) Ricordado che ta ( α β ) ( ) ( ) taα + ta β + e otado che taα ta β ta + tah ta ta si lim lim cos si ha 0 y 0 ta + h ta ta tah tah ta tah lim lim + lim h 0 h h 0 h h 0 h ta tah ( ) tah ( + ta ) lim + ta h 0 h ta tah (4) k k h ( ) + h k lim lim lim h h 0 h h 0 h h 0 k 0 k k 0 k k Esercizio Utilizzado la regola di derivazioe del prodotto si ottiee: ( fgh) ' ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( )( ) ' ( ) ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( )( ) ' 0 fg 0 h 0 fg 0 h 0 f 0 g 0 f 0 g 0 h 0 fg 0 h ( 0 ) ' ' ' f ( ) g ( ) h( ) + f ( ) g ( ) h( ) + f ( ) g ( ) h ( ) Esercizio 3 Si ottiee () r () r (3) (4) + ta cos 3 (5) cos l (7) e ( 3 ) (8) (6) ( ) ( ) l

2 ta (9) cos ( π ) () π l π cos ta (0) l si + si + l cos si( e ) e cos e e () ( ) + cos (3) si + e ( + 3) + 3 (5) e + l ( + ) + + l 3 l (7) cos ( + 4) ( + 4) 4 π 5 π 5 +π arcta ( ) + (9) ( ) ( ) 5 π l + + l (4) ad + ae + be cd ( d + e) ( ) si ( l ) + cos l + (6) ( ) si cos si l si + cos l l l arcsi ta (0) e cos( 30 ) ( 90 7 ) + si ( 30 ) ( + ta ) Esercizio 4 o y o 0 y 0 < 0 y o 3 o y arcsi (8) ( ) Esercizio 5 Dall ipotesi si ricava che α f ( ) f ( y) α f ( ) f ( y) y 0 y e quidi y facedo tedere y ad e applicado il teorema dei carabiieri si ottiee che f ( ) f ( y) α 0 lim lim y 0 y y y perché α > quidi f '( ) 0 R cioè la fuzioe è costate. Esercizio 6 a. È immediato verificare dalla defiizioe che sih ( ) sih ( ) e cosh ( ) cosh ( ), cioè il seo iperbolico è dispari e il coseo iperbolico è pari. Riportiamo i grafici delle due fuzioi:

3 y sih y cosh e + e e e e + + e e + e b. cosh sih 4 4 c. Applicado le regole di derivazioe si vede facilmete che ( sih ) ' cosh ( cosh ) ' sih d. Applicado la regola di derivazioe di fuzioe iversa si ricava che ( sih ) ' + ( cosh ) ' ' + si ha che s ( ) + ' c ( ). Quidi da s( 0) sih ( 0) 0 c ( ) cosh ( ) 0 segue l asserto f. ( ) ' tah tah cosh g. Si ottiee e. Posto s( ) l ( + + ) e c( ) l ( ) e () cosh(cosh(sih )) sih(sih ) cosh ( ) ( 3 ) () cosh l sih( arcta ) (3) e cosh ( arcta ) +

4 Esercizio 7 () Dato che risulta ( ) a, b R. Ioltre poiché b 7. f 0 3 lim a + b lim 7e 4 3 la fuzioe è cotiua lim a + b b lim 7e 7 la fuzioe è derivabile ell origie se () Dato che risulta f ( ) lim lim + ( a + b) ( a + b) fuzioe è cotiua se b 0. Ioltre poiché 4a + b 4a + b 4a + b la + + 8a lim a lim + a + a la fuzioe è + + ( ) derivabile ell origie se a Esercizio 8 I tutti i casi utilizzeremo il metodo di dimostrazioe per iduzioe: () Base iduttiva: d d α α α Passo iduttivo: suppoiamo che e quidi d d ( ) ( α ) α α α... + α d d d α α d α + α α ( α ) ( α + ) α ( α ) ( α + ) () Base iduttiva: dalle formule di addizioe del seo si ottiee che π d si + cos si d Passo iduttivo: suppoiamo che e quidi d d si si ( π + ) π π π si si si + ( ) cos + ( ) si +

5 (3) Base iduttiva: dalle formule di addizioe del coseo si ottiee che Passo iduttivo: suppoiamo che e quidi π d cos + si cos d d d (4) Base iduttiva: cos cos ( π + ) π π π cos cos cos + ( ) si + ( ) cos + Passo iduttivo: suppoiamo che e quidi ( + ) ( + ) ( ) ( ) d a + b a c d a b c ad bc d c + d c + d c + d d a + b ad bc ( ) c ( ) ( )! d c + d c + d ( ) c ( )! ( ) d a + b a + b d ad bc d c + d c + c + d d ( ) c ( )!( ad bc) d ( c d ) + c ( ) c ( )!( ad bc) ( c + d ) ad bc ( ) c ( )! ( c + d ) Esercizio 9 Notiamo che la fuzioe è cotiua \{ 0} + + R i quato prodotto e composizioe di α lim si 0 e 0 R \ 0. Affiché lo sia ache ell origie fuzioi cotiue. Affiché f ( ) è cotiua ell origie deve risultare che quidi 0 α >. Aalogamete fuzioe è derivabile { } deve esistere fiito il limite del rapporto icremetale. Osserviamo che

6 α f ( 0 + h) f si 0 ( 0 h ) lim lim h α lim h si h 0 h h 0 h h 0 h che o esiste se 0 < α ed è uguale 0 se α > (il caso α 0 o lo cosideriamo perché la fuzioe o è eache cotiua!). Ifie usado le regole di derivazioe si ottiee che: f ' si cos α α ( ) α R \{ 0} che è cotiua el suo campo di esisteza. Quidi per quato visto prima f '( ) ell origie se e solo se cioè se α >. α limα si α cos 0 0 è cotiua