1. Serie Numeriche. 1.1 Serie Numeriche nel campo reale. Definizione 1.1 Data una successione {a n } R costruiamo un altra successione {s n } ponendo

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1 . Serie Numeriche. Serie Numeriche el campo reale Defiizioe. Data ua successioe {a } R costruiamo u altra successioe {s } poedo s j a j. La coppia ordiata {a }, {s }) si dice serie umerica di termie geerale {a }. Se la successioe - che chiameremo successioe delle somme parziali - {s } è regolare idicheremo co il simbolo a il suo limite che si chiamerà somma della serie. Esempio. Serie di Mègoli Studiamo la serie +). Per calcolare s otiamo che pp + ) p p +, p R, p 0, p e quidi s j j ) ) + j ) ) + +. La serie è regolare ed ha per somma. Esempio.2 Serie armoica Studiamo la serie. Proviamo che la serie è divergete a +. Notiamo che, essedo a > 0, la successioe s, quidi la serie, è regolare. Sarà allora sufficiete provare che ua estratta di s è divergete. Si ha: s ) ) ) ) Esempio.3 La serie geometrica 0 q co q R. Se q si ha s +. Sia perciò q. Ricordado la formula per la somma dei termii di ua progressioe geometrica abbiamo, s q q da cui si deduce facilmete il comportameto della serie. Precisamete si trova che la serie coverge se e solo se q < ed i tal caso la sua somma è q. Esempio.4 Studiamo la serie log + ).

2 La serie diverge positivamete. Ifatti, s log + j ) j j logj + ) log j) log + ) +. Notiamo che per determiare il carattere della serie abbiamo proceduto per via diretta. Cioè abbiamo espresso i forma chiusa il termie geerale della successioe delle somme parziali. I geerale, u tale procedimeto è da scosigliare per le difficoltà di carattere algebrico. Cerchiamo quidi delle codizioi dalle quali dedurre il carattere della serie seza essere costretti a maipolare la successioe s. Defiizioe.2 Serie resto). Data ua serie umerica a e u umero k N, diciamo serie resto di ordie k la serie otteuta da qualla data cacellado i primi k termii ovvero la serie k+ a. Teorema. Ua serie ed u suo qualsiasi resto hao lo stesso carattere. Dim. Si ha: s a + + a k + a j s k + jk+ jk+ a j Teorema.2 La successioe dei resti di ua serie covergete è ifiitesima. Dim. Usado le otazioi del teorema precedete abbiamo: R k jk+ a j lim jk+ a j lim s s k s s k da cui lim k R k lim k s s k 0. Teorema.3 Si ha: λa λ a λ 0; a + b ) a + b. trae il caso i cui si preseti la forma +. 2

3 Apputi di Aalisi Matematica I Dim. Basta passare al limite elle eguagliaze λa j λ a j, a j + b j ) a j + j j j j j b j Teorema.4 Codizioe ecessaria e sufficiete affichè la serie a sia covergete è che +p ε > 0 ν N : > ν p N a j < ε. j+ Dim. Basta applicare il criterio di covergeza per le successioi alla successioe s. Corollario. Codizioe ecessaria affichè la serie a risulti covergete è che a 0. Dim. Basta applicare il criterio precedete co p. La codizioe o è sufficiete per la covergeza. Basti pesare alla serie armoica. Ua classe particolare di serie è costituita dalle serie a termii di sego costate. La caratteristica di queste serie è di avere la successioe delle somme parziali mootoa cosicchè tali serie risultao sempre regolari. Teorema.5 cofroto) Siao a, b due serie tali che: 0 a b N. Allora:. b R a R ed i tal caso a b ; 2. a + b + Dim. Dall ipotesi si ha: a j j b j j e ricordado che le somme parziali di ciascua delle due serie soo mootoe segue la. Similmete si prova la 2. b Teorema.6 Sia a ua serie umerica covergete a termii positivi. Sia {k } ua successioe crescete di iteri e sia b a k. Allora b coverge e si ha: b a. Dim. Si ha: b j da cui la tesi per mootoia. j j a kj k a j j j a j N 3

4 Corollario.2 Siao a, b due serie a termii positivi che cotegao gli stessi termii. Allora si ha: a b. Dim. Basta applicare due volte il teorema precedete. Studiamo adesso alcue codizioi sufficieti per la covergeza delle serie a termii positivi. Teorema.7 del rapporto) Sia a ua serie a termii positivi. Suppoiamo che esistoo h [0, [ e ν N tali che a + h > ν. a Allora la serie coverge. Dim. Dall ipotesi si ha: e quidi la tesi dal teorema di cofroto. a ν+k+ ha ν+k h 2 a ν+k h k a ν+ Teorema.8 Sia a ua serie a termii positivi. Suppoiamo che esiste ν N tale che Allora la serie diverge. a + a > ν. Dim. La successioe a è mootoa crescete e quidi o può tedere a zero. Viee violata la codizioe ecessaria di covergeza. Corollario.3 criterio del rapporto) Sia a ua serie a termii positivi. Suppoiamo che a esiste lim + a l R. Allora:. Se l > la serie diverge; 2. Se l < la serie coverge; 3. Se l ulla può dirsi. La dimostrazioe è ua ovvia cosegueza del teorema precedete e del teorema della permaeza del sego. Co riferimeto al caso 3. otiamo che la serie armoica e la serie di Megoli si trovao etrambe al caso 3. ma hao carattere diverso. 4

5 Apputi di Aalisi Matematica I Teorema.9 della radice) Sia a ua serie a termii positivi. Suppoiamo che esistoo h [0, [ e ν N tali che a h > ν. Allora la serie coverge. Dim. Si ha: a h e la tesi è immediata per cofroto. Teorema.0 della radice) Sia a ua serie a termii positivi. Suppoiamo che esiste ν N tale che a > ν. Allora la serie diverge. Dim. Si ha: a e la tesi segue dalla codizioe ecessaria di covergeza. Corollario.4 criterio della radice) Sia a ua serie a termii positivi. Suppoiamo che esiste lim a Allora:. Se l > la serie diverge; 2. Se l < la serie coverge; 3. Se l ulla può dirsi. Teorema. Raabe) Sia a ua serie a termii positivi. Suppoiamo che esiste Allora:. Se l > la serie coverge; 2. Se l < la serie diverge; 3. Se l ulla può dirsi. lim ) a a + l R. Attraverso i criteri del rapporto e della radice si possoo studiare le serie il cui termie geerale preseta u tasso di decadimeto più che poliomiale. Falliscoo etrambi, ad esempio, per la serie armoica geeralizzata) α > 0. Talvolta risulta utile il criterio di Raabe. Comuque α proviamo il seguete risultato dovuto a Cauchy. 5

6 Teorema.2 di codesazioe) Sia a ua serie a termii positivi tale che 0 a + a N. Allora le serie a e 0 2 a 2 hao lo stesso carattere. Dim. Si ha: σ 2 k a 2 k a + 2 {a 2 + a 3 + a 4 ) + a a 8 ) + + a a 2 )} ovvero D altra parte a + 2s 2 a ) a + 2s 2 s s 2 2 k σ a + 2s 2 N. a k a + a 2 + a 3 ) + a 4 + a a 7 ) + + a a 2 ) a + 2a a a 2 σ e la tesi segue applicado due volte il teorema di cofroto. Usado il teorema di codesazioe è possibile studiare la serie armoica geeralizzata. Esempio.5 Studiamo la serie α α > 0. Applicado il teorema di codesazioe, è sufficiete cooscere il carattere della serie 2 α ) α > 0 0 che è ovviamete oto i quato serie geometrica. Pertato la serie armoica geeralizzata coverge se e solo se α >. Dal teorema di cofroto segue immediatamete il Teorema.3 del cofroto asitotico) Siao a e b due serie a termii positivi. a Se lim b l > 0 allora le due serie hao lo stesso carattere. Osservazioe. Il teorema si può riformulare el modo seguete: Se a o), e b o) e a l b + o) allora le due serie hao lo stesso carattere. Adesso, per mostrare l utilità dei vari criteri di covergeza, studiamo alcue serie umeriche. Esempio.6 se +. Ifatti, se + o ). 6

7 Apputi di Aalisi Matematica I Esempio.7 log ) + ha lo stesso carattere della serie armoica geeralizzata. α Ifatti, log + ) α ) α + o α. Esempio.8 se2 2 coverge. Ifatti, se o 4 ). Esempio coverge Ifatti, ) o 2. Esempio.0 log k, k N, α > 0 ha lo stesso carattere della serie armoica geeralizzata. α Ifatti, applicado il teorema di codesazioe, la serie data ha lo stesso carattere della serie k 2 α ) la quale risulta covergete per α > e divergete se α idipedetemete dal valore di k. Notiamo icidetalmete che, come cosegueza della covergeza della serie si ha: log k lim α 0. Esempio e x2 ) ; È ua serie geometrica di ragioe e x2 ) e quidi coverge se e solo se il modulo della ragioe è miore di ovvero, per x > log 2. Esempio.2 2 ) ; La serie diverge. Ifatti, aplicado il criterio del rapporto si trova + ) +) ) ) + ) + ) 2)! + )!) 2!) )! + ) + ) )2 + 2) +. Esempio.3!) 2 ; La serie coverge. Applicado il criterio del rapporto si ha: + ) + + )!) 2!)2 0. 7

8 Esempio.4! ; La serie coverge. Applicado il criterio del rapporto si ha: ) + )! + ) +)! + e <. Esempio ; Ifatti, ragioado come el caso della serie di Mègoli si ha: ), N 2 + e quidi s 2 ) 2 2. Esempio ) ; La serie coverge. Ifatti, applicado il criterio della radice si ha: 3 + ) e 3 <. Esempio.7 0 log 2 x log x ), x > 0; La serie è geometrica di ragioe q log 2 x log x) e quidi coverge se e solo se q < ovvero per x < e 5 2. Esempio.8 )) log 2 + x ; Posto q log x), applicado il criterio del rapporto si ha che la serie coverge se q <. Esempio.9 x2! + arctag ) ; Usado il criterio del cofroto asitotico si vede che la serie ha lo stesso carattere della serie. Quest ultima serie si studia poi co il criterio della radice trovado che coverge x R. x2! Esempio ) x 2 ; 2 Applichiamo il criterio del rapporto. ) ) ) x 2 2 x 2+2 +) ) x 2 x 2 e quidi la serie è covergete se e solo se x <. 8

9 Apputi di Aalisi Matematica I log ; Esempio.2 La serie coverge. Ifatti, log 2 2. Esempio.22 2 log! ; Cofrotiamo co la serie defiitivamete si ha: e quidi la serie data diverge. 2! log. Ifatti, ricordado che log log! 0 si deduce che, almeo Esempio.23 2 ; cofrota co α.).2 Serie a termii di sego o costate Prelimiarmete mostriamo la validità della seguete formula di sommazioe per parti. Lemma 2. Abel) Posto A a k, si ha: q q a b A q b q A p b p + A b b + ) p, q N 0, p q. Dim. p q a b p q q A A )b p p q A b p A b b + ) + A q b q A p b p. p q A b p q A b p q mp A m b m+ Servedoci del Lemma di Abel possiamo dimostrare il seguete teorema di Cauchy - Dirichlet. Teorema 2. Sia data la serie 0 a b. Suppoiamo che b b + 0 ed ioltre esista M : A j0 a j M N. Allora la serie 0 a b coverge. Dim. Proviamo che la serie coverge verificado il criterio di Cauchy. Ricordiamo che b 0 ovvero che ε > 0 ν N : > ν 0 < b < ε e quidi, se > ν, p N, si ha: +p a k b k A +pb +p A b + k +p k A k b k b k+ ) M b +p + b + +p k b k b k+ ) M b +p + b + b b + + b + b b +p b +p ) 2Mb < ε. ) 9

10 Teorema 2.2 Suppoiamo che la serie 0 a sia covergete. Sia ioltre b ua successioe mootoa e limitata. Allora la serie 0 a b è covergete. Dim. Suppoiamo, ad esempio, che la successioe b sia decrescete e chiamiamo l il suo limite. Applicado il teorema precedete si ha che la serie 0 a b l). Dal fatto che a b a b l) + a l la tesi si ottiee applicado il teorema precedete alla serie + 0 a b l). Come corollario si ha il seguete criterio di covergeza di Leibiz. Teorema 2.3 Sia data la serie 0 ) a tale che: 0 < a + < a, a 0. Allora la serie è covergete. Osservazioe 2. Nelle stesse ipotesi del teorema appea dimostrato si ha: s s Mb, N. Dim. Ifatti, + s s a j b j lim k j k a j b j j lim a b b + ) + a + a + )b + b +2 ) b k b k )a a k ) k +b k a a k ) Mb N. e, el caso del teorema di Leibiz la disuguagliaza prede la forma seguete s s b N. Defiizioe 2. La serie 0 a si dice Assolutamete covergete se la serie 0 a coverge. I geerale covergeza e covergeza assoluta o soo equivaleti. Ifatti, si ha: Teorema 2.4 Ua serie Assolutamete covergete è covergete. Dim. Applicado il criterio di covergeza di Cauchy si ha: +p j a j +p j a j < ε. 0

11 Apputi di Aalisi Matematica I Esempio 2. La serie ) è covergete ma o assolutamete covergete. Teorema 2.5 Sia a ua serie tale che a b + oc ) dove la serie b è covergete metre la serie c è assolutamete covergete. Allora la serie a risulta covergete. Dim. Per ipotesi si ha: a b oc ) e quidi a b ) è assolutamete covergete, quidi a a b ) + b coverge. Esempio 2.2 La serie è covergete. Ifatti, ) e! 0 N, θ ]0, [ :! e 2πe θ /2 e quidi ) e! ) θ )) 2π 2 + o ) ) ) θ 2π 2 2π + o 3/2 3/2 da cui quato affermato perché la serie ) è covergete per il teorema di Leibiz metre la serie ) θ 3/2 è assolutamete covergete..3 Proprietà associativa e commutativa Defiizioe 3. Sia data la serie a. Sia {k } ua successioe di iteri crescete. A partire dalla serie data possiamo costruire la successioe b k jk + a j e la serie b. Diciamo che la serie a gode della proprietà associativa se la serie b coverge per ogi scelta possibile della successioe {k } ed ioltre b a Esempio 3. La serie 0 ) o gode della proprietà associativa. Ifatti, + ) + ) + ) ) + ) + ) 0. 0 Teorema 3. Ogi serie regolare gode della proprietà associativa. Dim. Ifatti la successioe delle somme parziali della serie b è ua estratta della successioe delle somme parziali della serie a.

12 Defiizioe 3.2 Diciamo che la serie b è u riordiameto della serie a se esiste ua corrispodeza biuivoca j : N N tale che: b a j N. Defiizioe 3.3 Diciamo che la serie a gode della proprietà commutativa se ogi suo riordiameto è covergete e la somma di tutti i riordiameti è uguale alla somma della serie data. Teorema 3.2 Ogi serie assolutamete covergete gode della proprietà commutativa. Dim. Il teorema è stato già provato el caso delle serie a termii positivi. Sia a la serie i questioe. Poiamo a + max{a, 0}, a max{ a, 0}, e aalogamete, Si ha: b + max{b, 0}, b max{ b, 0}. 0 a + a ; 0 a a e quidi dall ipotesi segue che le serie a+, queste ultime a termii positivi possiamo dire che a soo etrambe covergeti. Essedo b + a + ; b a. Allora, per differeza, coverge ache il riordiameto e si ha: b b + b a + a a. che è la tesi. Teorema 3.3 Riema - Dii) Sia a ua serie covergete ma o assolutamete covergete. Allora assegati ad arbitrio α β, α, β R è possibile costruire u riordiameto della serie data tale che α, β siao rispettivamete massimo e miimo limite per la successioe delle somme parziali delle serie riordiata. Dim. Si ha: + 0 a a +. Siao {P j } e {Q j } rispettivamete i termii positivi ed i moduli dei termii egativi della serie data ello stesso ordie i cui si presetao i + 0 a. Naturalmete, + 0 P + 0 Q +. 2

13 Apputi di Aalisi Matematica I Adesso assegamo due successioi {α }, {β } tali che α α, β β. Sia m il miimo itero tale che P + P P m > β, e sia k il miimo itero tale che P + P P m Q + Q Q k ) < α I maiera simile si determiao i umeri m 2, k 2,..., m, k. Posto ifie x P + P P m Q + Q Q k ) + P m + + P m P m2 Q k + + Q k Q k2 ) P m + + P m P m y P + P P m Q + Q Q k ) + P m + + P m P m2 Q k + + Q k Q k2 ) P m + + P m P m Q k + + Q k Q k ) Sfruttado la miimalità dei umeri m, k si ha: { x β P m y α Q k e, passado al limite per, si ottiee la tesi..4 Serie Prodotto secodo Cauchy Defiizioe 4. Date due serie umeriche 0 a, 0 b chiamiamo serie prodotto secodo Cauchy - o prodotto di covoluzioe - la serie i cui il termie geerale è il prodotto delle rispettive somme parziali, ovvero ) a b a k b k I geerale la serie prodotto di sue serie covergeti o è covergete come mostra il seguete Esempio 4. La serie 0 ) ) o lo è. Il termie geerale della serie prodotto è: ) + è covergete per il teorema di Leibiz. Mostriamo che la serie ) k + ))k + ). 3

14 Per provare che la serie prodotto o coverge mostriamo che il valore assoluto del termie geerale o tede a zero. Ifatti, k + ))k + ) + ) +. D altra parte ci soo i segueti risultati: Teorema 4. Mertes) Se 0 a, 0 b soo due serie delle quali ua coverge e l altra assolutamete covergete allora la serie prodotto è covergete. Teorema 4.2 Se 0 a, assolutamete covergete. 0 b soo assolutamete covergeti allora la serie prodotto è Esempio 4.2 La costate di Eulero - Mascheroi Cosideriamo la serie log + ). Usado la formula di Taylor arrestata al secodo ordie si ha: e perciò la serie coverge. Ioltre log + )) o 2 ) o 2 s k k log k + H log k e quidi, chiamado γ la somma della serie, otteiamo che la ridotta della serie armoica diverge logaritmicamete. La costate γ si chiama costate di Eulero - Mascheroi. No è oto se si tratti o o di umero razioale. Possiamo studiare la serie Dal fatto che log lim lim H log ) lim H H log. H lim H log ) H. segue che la serie da studiare ha lo stesso carattere della serie vede facilmete attraverso il criterio di codesazioe. 2 log che è divergete e si 4

15 Apputi di Aalisi Matematica I Esempio 4.3 Studiamo la serie ) a dove Si ha: a + a + 2 ) + 3 2) + + k e quidi la serie data è k k k + ). ) k + + k ) H + ) H + ) A. Verifichiamo le ipotesi del teorema di Leibiz. Ricordado che H log γ segue A H + H log + log Verifichiamo adesso la decresceza di A. Co semplici calcoli si vede che la disuguagliaza A + < A è equivalete alla disuguagliaza H + ) > che è vera perché H >. La serie quidi coverge per il teorema di Leibiz. Ioltre la serie risulta assolutamete divergete perché lim H + log + H lim log 0. Esempio 4.4 Studiamo la serie se ) se ). La serie è a termii positivi. Applicado la formula di Taylor, si trova se ) 3 + o 3 quidi, da cui segue che la serie data è covergete..5 Ua osservazioe sui umeri reali se ) se ) ) o 2 5

16 Sia x 0 R, suppoiamo x 0 > 0 per fissare le idee. Poiamo C {0,,..., 9}. Come sappiamo esiste u uico umero C 0 N 0 tale che C 0 x 0 < C 0 +. Adesso cerchiamo C C tale che Portado a forma itera si trova che C 0 + C 0 x 0 < C 0 + C +. 0 x 0 0C 0 < C x 0 0C 0 e C è uico per le proprietà del umero parte itera. Abbiamo quidi Cerchiamo adesso C 2 C tale q C 0 + C 0 x 0 < C 0 + C q + 0. j0 q + C x 0 < q + C Procededo come prima si trova u uico umero co i requisiti richiesti. Cotiuado i questo modo abbiamo C j 0 j x C j 0 < 0 j + 0 N j0 da cui, passado al limite per si trova che x 0 0 C 0. I questo modo i umeri reali si possoo vedere come particolari serie umeriche. Ogi umero reale è somma di ua serie di umeri razioali, ovvero si rede cocreta l affermazioe Q R. Ioltre se si vuole costruire ua successioe di umeri razioali covergete al umero x 0 basta predere la successioe delle somme parziali della serie otteuta. I particolare, dalla serie si può spiegare la regola della frazioe geeratrice. Per esempio, vogliamo covertire i frazioe il umero 0, 3. Si ha: 0, Covertiamo i frazioe il umero 2, 34. Si ha: 2, , ) Serie a termii complessi 6

17 Apputi di Aalisi Matematica I Cocludiamo questo capitolo sulle serie umeriche co u breve ceo alle serie umeriche a termii complessi. Sia quidi {a } ua successioe a termii complessi. I modo simile a quato fatto el caso reale costruiamo la successioe delle somme parziali chiamiamo il suo limite - i C - somma della serie. Si poe duque s a lim 0 a k. È immediato il seguete Teorema 6. La serie 0 a coverge ed ha per somma il umero s se e solo se le due serie reali 0 Ra e 0 Ia soo covergeti rispettivamete a Rs, Is. I modo simile si da la ozioe di serie assolutamete covergete. Diciamo cioè ua serie assolutamete covergete quado coverge la serie dei moduli. Teorema 6.2 Ua serie assolutamete covergete è covergete e si ha: a 0 a. 0 Dim. Poichè Ra, Ia a si ha la covergeza della serie delle parti reali e della serie delle parti immagiarie da cui la covergeza della serie. Ioltre, dalle disuguagliaze j0 a j a j j0 a j N j0 e quidi, passado al limite j0 a j a j j0 Esempio 6. La serie geometrica Studiamo la serie 0 z, z C. La serie coverge assolutamete per z < e o coverge per z perchè il termie geerale o è ifiitesimo. Esempio 6.2 Studiamo la serie z, z C. La serie coverge assolutamete per z < e o coverge per z > perchè il termie geerale o è ifiitesimo. Studiamo la serie per z. Posto z e iθ, la serie da studiare diveta: eiθ. Applicado il criterio di Cauchy - Dirichlet si trova che la serie coverge qualuque sia θ 2kπ, k Z..7 L espoeziale complesso 7

18 Studiamo adesso ua delle fuzioi più importati di tutta la Matematica. La fuzioe espoeziale complessa. Defiizioe 7. La serie z! 0 è assolutamete covergete i C quidi poiamo per defiizioe e z 0 z! z C. Teorema 7. Si ha lim + z ) e z z C. Dim. Proviamo che ε > 0 ε N : > ε z k k! + z ) < ε da cui poi facilmete si deduce la tesi. Fissato z 0 C siao z C, m N : z < z 0 m. Applicado la formula di Newto, z k k! + z ) k2 k2 Per quato riguarda II abbiamo: II z k k! z k k! z m+ + z m + )! z m+ m + )! j0 ) z k k k! k)! k z k k! c, k) m k2 ) k2 z k k! z k k! c, k) + c, k) km+ z k c, k) I + II. k! m z 2 ) m + 2)m + 3) + + z m m + 2) ) j z z m+ m + 2 m + )! z m+2 z 0 m+ m + )! 0 se m. Possiamo quidi scegliere m i modo che II < ɛ 2. Per I si ha ivece: ferma restado la scelta fatta per m), II m k2 c, k) z k k! m k2 c, k) z 0 k k! se perchè, come facilmete si verifica per iduzioe su k, lim c, k)

19 Apputi di Aalisi Matematica I Teorema 7.2 Si ha:. e z+w e z e w, 2. e z e z 3. e z e Rz z, w C z C z C. Dim. Per provare la. utilizziamo il teorema pecedete ed il fatto che le serie soo tutte assolutamete covergeti. Si ha: e z+w z + w) ) z k w k!! k 0 0 z w e z e w.!! k! k)! zk w k Per provare la 2. basta passare al limite ell idetità: + z ) + z. ) Proviamo ifie la 3. da cui la tesi. e z 2 e z e z e z e z e 2Rz e Rz ) 2 Defiizioe 7.2 Poiamo cos t Re it se t Ie it ; t R. ovvero cos t eit + e it 2 se t eit e it ; t R. 2i Teorema 7.3 Per ogi t R si ha: se t ) t )! 0 cos t ) t2 2)!. 0 Dim. Ifatti, dalla defiizioe segue cos t eit + e it it) + it) 2! 0 ) 2)! t2 t R ı + )! t 9

20 Similmete, se t eit e it it) it) 2ı 2i! 2ı 0 ) 2 + )! t2+ t R. 0 ) ı t! 0 Osservazioe 7. Se t [0, [ la serie del seo soddisfa le ipotesi del teorema di Leibiz e quidi si ottiee, se t t. Teuto coto che, se t > la diseguagliaza è ovvia e della simmetria, si ottiee: se t t t R. Come ulteriore applicazioe del teorema di Leibiz, si trae ifie, t t3 3! se t t t [0, [. Procededo similmete co la serie del coseo si trova t2 2 cos t t [0, [ da cui, cos t t 2 2 t [0, [ Osservazioe 7.2 Notiamo che si ha: se t j0 ) j 2j + )! t2j+ + ot 2+ ), t 0, cos t j0 ) j 2j)! t2j + ot 2 ), t 0. Ifatti, per N, e t <, si ha: se t ) j 2j + )! t2j+ j0 + j+ + j+ ) j 2j + )! t2j+ Similmete si dimostra la formula per il coseo. 2j + )! t2j+ t j+ 2j + )! t2j ) ot 2+ ) 20