Ottavio Serra La costante C di Eulero-Mascheroni e la funzione Gamma. 1. =

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1 Ottavio Serra La costate C di Eulero-Mascheroi e la fuzioe Gamma la costate C di Eulero Mascheroi è defiita come il limite della seguete successioe: [] a = +/+/3+ +/ log(+) Il termie a è la differeza tra la ridotta ma della serie armoica e il logaritmo aturale di + Ma è ache il limite della successioe [] b = +/+/3+ +/ log() Dimostriamo che la [] è crescete e la [] è decrescete a a - = / log(+) + log() = / log(+/) >0 perchè (+/) < e log(+/) < Aalogamete, b b - = / log() + log( ) = / log[+/( )] < 0 perché [+/( )] >e log(+/) > Segue che la [] è mootòa crescete e il suo limite è l estremo superiore dell isieme dei suoi valori, così come il limite della [] è l estremo iferiore dell isieme dei suoi valori Siccome a < b, ogi b è u maggiorate della [] e ogi a è u miorate della [] Ma b a = log(+/) 0 per, perciò, per Lim a = Lim b = C Questo risultato ci dice che la serie armoica diverge come il logaritmo Però ci dice poco sul valore umerico di C o per lo meo occorre arrivare a u valore di molto grade per otteere C co u umero abbastaza grade di cifre La tabella seguete cotiee i calcoli da me effettuati direttamete co le successioi [] e [] C per difetto C per eccesso Come si vede, per otteere tre cifre decimali di C deve essere 4096 e per avere C a meo di u cetesimo di milioesimo (8 cifre decimali esatte) occorre u valore di maggiore di 68 milioi (= ) Il calcolo bruto di cui sopra ci dà C = Per otteere ua precisioe maggiore co meo grade occorre procedere diversamete, co teciche più raffiate

2 Studiamo dapprima la successioe [3] s = /(+)+/(+)+ +/() La successioe [3] è crescete, perché s s ( ) = 0 Ioltre la [3] è limitata, perché s < /(+) < ( )() Perciò la [3] coverge a u umero positivo) s< e, per ogi, s < s Cerchiamo ora ua maggiorazioe di s cosiderado la successioe estratta s k ( ) ( ) k k ) k k sk k k k k s = s + /(), cioè s < s < s + /() Risulta Posto k=, si ottiee 3 Toriamo ora alla costate C, cercado ua maggiorazioe a partire dalla [] che dà valori per difetto (la [] è crescete), cosiderado la successioe estratta a ( ) log( ) a s log Ma Lim a = Lim a = C s = lim s = log() Abbiamo così otteuto per la successioe [3] [3 bis] Lim ( ) log Toriamo ora alla maggiorazioe di C Ricordado che s < log, otteiamo a log log( ) e quidi [4] [5] C log I defiitiva, a C a log La doppia limitazioe [5] o è molto strigete: ifatti, per otteere il valore di C arrotodato alla 3 terza cifra decimale occorre che sia almeo uguale a 000 (log 0 ) Per avere molte cifre esatte di C co piccoli valori di (limitado tra l altro la propagazioe degli errori di trocameto) occorre sommare la serie co metodi più poteti, come la formula di Eulero Mac Lauri [6] y y y( x) dx y y( ) y ( ) E, k k Tr k k 70 co E Tr i modulo miore di y (5) () /(46!), (ell ipotesi che la seie [6] coverga) Cugiai: Metodi dell Aalisi umerica, UTET; Collaa Schaum: Aalisi umerica, ETAS

3 log k k k k Nel ostro caso, poiamo y = NB log( ) log k k Si oti che l itegrale che compare ella [6] vale (-+)-(+)log(/(+)) = (+)log((+)/), perciò, fatti i coti, ua buoa approssimazioe per C, trocado al termie (/)y () icluso, è data dalla formula seguete: [7] k C ( log ) ( )log k k k ( ) Per l implemetazioe, sia diretta, sia co l accelerazioe [7], vedi Scegliedo maggiore o uguale a 500, l errore scede al di sotto di 0-5, come si evice dalla seguete tavola: 3 La formula [4] si presta per otteere u approssimazioe (per difetto) dell ridotta ma della serie armoica: [8] k C log k, l approssimazioe essedo tato migliore quato maggiore è (Nota ) Vedi il mio sito digiladerliberoit/ottavioserra0 cartella Eseguibili sottocartella Calcolo programma Eulero 3

4 4 Nota storica e complemeti Eulero, el 78, calcolò le prime 6 cifre dello sviluppo decimale di questa costate Mascheroi, el 790, el suo Adotatioes ad calculum itegrale Euleri, arrivò fio alla tretaduesima cifra Ma, di queste 3, come fece otare Joha vo Solder el 809, solo le prime 9 erao corrette Naturalmete, i calcolo erao effettuati co carta e pea E iteressate sapere che o si è acora riusciti a stabilire se la costate di Eulero-Mascheroi sia o meo u umero trascedete, come e e π, e eache se sia u umero razioale o u umero irrazioale Ora co grossi calcolatori soo state otteute (Jo Borwei) cifre; quelle che riporto soo le prime 33 cifre: 0, La costate C trova diversi legami co importati fuzioi dell aalisi, per esempo co la fuzioe euleriaa Γ(z) defiita come l itegrale improprio [9] z t z t e dt (), assolutamete covergete se la parte reale del umero complesso z è 0 positiva Itegrado per parti, si trova [0] Γ(z+) = z Γ(z) Siccome Γ() =, per ogi itero positivo risulterà Γ(+) =! Duque, la fuzioe Γ(z) geeralizza il fattoriale Calcolo ora Γ(/) partedo dal famoso risultato dello stesso Eulero x [] e dx ( x y ), che si ottiee dall itegrale doppio 0 calcolare La [0] è importate el calcolo statistico (distribuzioe ormale di Gauss) Dalla [9], per sostituzioe si ottiee: x t e dx e t dt ( ) ( ) 0 Duque 0 [] ( ) Dalla relazioe ricorsiva [0] si ottiee poi e dxdy R 3 ( ), ( ), ecc, facile da La costate C è poi legata alla fuzioe Γ(z) dalla relazioe: C = Lim x [ x ( )] x Ioltre, detti p =, p =3, p 3 =5, la successioe dei umeri primi, risulta p Lim log p i C e i pi Sempre Eulero dimostrò che la costate C e la fuzioe Γ(z) soo legate dall idetità: 4

5 [3] Cz e z ( z) ( ) z z/ e Siccome la dimostrazioe è difficile, ho testato l idetità [3] per z =, per z =05, per z = 5, per z = - 05, perché più su ho calcolato Γ()=, Γ(05)=774539, Γ(5)= , Γ(05)= La [9] o coverge se la parte reale di z è miore o uguale a zero, però la relazioe ricorsiva [0] ci fa capire che la fuzioe Γ(z) è prolugabile aaliticamete ache a valori egativi di Re(z), pur- 5

6 chè o iteri (provate a calcolare Γ(0) applicado la [0]) Siccome però l itegrale improprio [9] o coverge per Re(z)<0, ache se o itera, l idetità [3] cosete il calcolo per Re(z)<0 (o itero) (Questo lo potete verificare co carta e pea) (Questo ivece o potete verificarlo co carta e pea) Nota Bee: tutte le tabelle soo state otteute col mio programma Eulero Vedi il mio sito citato i ota 6