PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2013

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1 PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 3 Prova scritta del 6//3 Esercizio Suppoiamo che ua variabile aleatoria Y abbia la seguete desita : { hx e 3/x, x > f Y (y) =, x, co h opportua costate positiva. Dopo aver calcolato h, si determii la distribuzioe di X =, e si cofroti (se possibile) il valor medio di X co quello di Y. Y Esercizio poga Sia (X ) ua successioe I.I.D. di variabili aleatorie di tipo B(, 3 ), e si 4 X = X i, per =,,... Dopo aver calcolato valor medio e variaza di X, si trovi, i base a oti teoremi, il limite (quasi certo, i probabilita o i distribuzioe) della successioe i= Y = (4X 3), e successivamete quello della successioe Z = Y. Esercizio 3 Sia X ua variabile aleatoria la cui fuzioe di desita e k θx, x >, f(x; θ) =, altrove, dove θ > e il parametro icogito. Si chiede di (a) calcolare k ed E(X) i fuzioe di θ; (b) forire uo stimatore di θ co il metodo della massima verosimigliaza, sulla base di u campioe casuale X,..., X. Soluzioi compito 6//3 Esercizio Ovviamete, la fuzioe f Y e ua desita se ha itegrale. Essedo x e 3/x dx = 3 e 3/x,

2 si ha x e 3/x dx = 3 ( e 3 ). Pertato e h = 3e3 e 3. La variabile Y comuque o e i L, i quato la fuzioe x x e 3/x e maggiorate di x x e 3, la quale chiaramete o e itegrabile i s.g. Per quato riguarda la X, tale variabile chiaramete assume valori compresi fra e. Se duque x [, ] si ha F X (x) = P ([X x]) = P ([Y x ]) = x h t e 3/t dt = h 3 ( e 3x ), dove h e la costate trovata prima. Se e deduce subito che X ha la seguete desita : f X (x) = 3e3 e 3 e 3x, co x [, ], e ulla altrove. Facilmete poi si trova E(X) = e3 e 3 3xe 3x dx = e3 e 3 {[ xe 3x ] + = e3 e 3 { e 3 3 ( e 3 )} = 3 e 3.8. e 3x dx} = Esercizio Evidetemete, si ha E(X ) = E(X ) = 3 per ogi. I base alle Legge 4 Forte dei Gradi Numeri, si puo allora affermare che X coverge quasi certamete e i L a 3 4, e quidi Y = 4X 3 coverge a allo stesso modo. V (X ) = 3, avremo ache V (X 6 ) = 3. Pertato, per ogi si ha 6 Essedo poi X = 4 X = Y 3. E chiaro allora che Y = 3X, e quidi, i base al teorema del Limite Cetrale, si ottiee che Y coverge i Distribuzioe alla legge N(, 3). Esercizio 3 Per trovare k, basta calcolare l itegrale θx dx = θ θ l, e quidi k = θ θ l. Per determiare E(X), si calcola il seguete itegrale: E(X) = kx θx dx = + θ l.

3 Sulla base di u campioe aleatorio (x,..., x ), la fuzioe di verosimigliaza ha la seguete forma: L(x, x,..., x ; θ) = k θs, ove S = i= x i, purche tutti i valori x,..., x siao maggiori di. Passiamo a logaritmo aturale, e poiamo F (x,..., x ; θ) = l L(x, x,..., x ; θ): abbiamo F (x,..., x ; θ) = l k θs l Massimizzare L equivale a massimizzare F, e cio equivale a massimizzare la fuzioe G(x,..., x ; θ) = θs l + (l θ + θ l ), i quato G e F differiscoo per ua costate. Essedo G (θ) = S l + θ + l, si ottiee facilmete il puto critico θ =, ove x (x ) l = S, e tale puto critico e esattamete la stima di massima verosimigliaza. Prova scritta del 6//3 Esercizio Suppoiamo che ua variabile aleatoria X abbia desita f, e che E(X) =, V (X) =. Si poga ora g(x) = f(x + 3), per ogi x IR. Dopo aver dimostrato che g e ua desita, si trovio valor medio e variaza di ua qualsiasi variabile aleatoria Y che abbia g come desita, e si trovi la desita della stadardizzata di Y. Esercizio Sia Z ua variabile aleatoria discreta, co distribuzioe NB(, p), < p <. Per ogi umero reale s, si poga poi G(s) = + = s P ([X = ]). Dopo aver determiato i valori di s per cui la serie data coverge, si calcoli l espressioe di G(s), e si cofroti G () co E(Z). Esercizio 3 Da u idagie codotta su = 6 studeti diplomati co maturita scietifica, risulta che 6 studeti hao coseguito la laurea trieale i Igegeria ei 5 ai successivi. a) Costruire u itervallo di cofideza al 99% per la proporzioe p degli studeti che hao coseguito la laurea. 3

4 b) Quale dev essere il valore miimo di affiché, co gli stessi dati, l itervallo di cofideza abbia meta ampiezza? (Detta Φ la fuzioe di ripartizioe della distribuzioe ormale N(, ), utilizzare la seguete tabella: Φ(.6).94 Φ(.645).95 Φ(.8).96 Φ(.96).975 Φ(.33).99 Φ(.58).995) Soluzioi compito 6//3 Esercizio Si puo facilmete osservare che la variabile aleatoria Y = X 3 ha proprio la desita g. Si trova duque facilmete E(Y ) = E(X) 3 = 3, e V (Y ) = V (X) =. Ioltre, la stadardizzata di Y e Y + 3, cioé X, e quidi la desita di Y é f. Esercizio Dalla legge della distribuzioe biomiale egativa, si vede subito che ove q = p. G(s) = + = ps(qs) = ps + m= (qs) m Poiche la serie i questioe e di tipo geometrico, essa coverge sez altro se s <, e i tal caso si ha G(s) = ps q poi G (s) = Esercizio 3. Ua semplice derivazioe forisce qs p ( qs) e G () = p : si coclude quidi che E(X) = G (). Detta X la variabile aleatoria dei laureati tra gli itervistati, X segue ua distribuzioe biomiale co probabilita di successo p. Sfruttado l approssimazioe ˆp( ˆp) ormale, gli estremi dell itervallo di cofideza cercato soo ˆp ± z a, dove ˆp =., = 6 e, dalla tabella, z a.58. Pertato l itervallo di cofideza e [ ] , [.684,.36]. 6 6 L ampiezza dipede da i ragioe quadratica iversa: per dimezzare tale ampiezza bastera moltiplicare per 4: duque, occorre u campioe di almeo 4 persoe, co la stessa media di laureati. Prova scritta del 3//3 4

5 Esercizio Suppoiamo che ua variabile aleatoria Y abbia la seguete desita : { hx e x f Y (x) =, x >, x, co h opportua costate positiva. Dopo aver calcolato h, si determii la distribuzioe di X =, e si cofroti (se possibile) il valor medio di X co quello di Y. Y Esercizio Sia (X ) ua successioe I.I.D. di variabili aleatorie discrete del tipo di Poisso, P (λ), e si poga S = X i, i= T = S λ, per =,,... Dopo aver calcolato valor medio e variaza di S e di T, si dimostri che la differeza é idipedete da e da m. Esercizio 3 E(T m T ) E((T T m ) ) Siao X,..., X variabili aleatorie I.I.D., co distribuzioe di Beroulli, B(, p). Adoperado l approssimazioe gaussiaa, quato dev essere grade perché sia miore di la probabilita che risulti X p( p) p >? (Detta Φ la fuzioe di ripartizioe della distribuzioe ormale N(, ), utilizzare la seguete tabella: Φ(.6).94 Φ(.645).95 Φ(.8).96 Φ(.96).975 Φ(.33).99 Φ(.58).995) Esercizio Soluzioi compito 3//3 Per trovare la costate h, bisoga calcolare l itegrale x e x dx : mediate la sostituzioe t = x, e quidi dx = t dt, si puo scrivere x e x dx = t e t / t dt = 5 e t dt = e t dt = π

6 com é be oto dalla distribuzioe N(, ). Duque, la costate h é π. Ora, per trovare la distribuzioe di Y =, calcoliamo la sua fuzioe di ripartizioe: per X y > avremo F Y (y) = P ([ X y]) = P ([X > y ]) = Applicado di uovo la sostituzioe t =, l itegrale diviee x F Y (y) = y Derivado, si perviee ifie alla desita di Y : y π e t / dt. f Y (y) = π e y, π x e x dx. ovviamete solo per y >, metre f Y (y) = se y. La distribuzioe di Y é quella che spesso viee deomiata ormale ripiegata. Per calcolare E(Y ), basta svolgere il seguete itegrale (praticamete immediato): ye y dy =, π π essedo y la derivata dell espoete y. Quato al valor medio di X, é facile cotrollare che la fuzioe x hx e x o é itegrabile i [, + [, i quato preseta i + u ifiitesimo di ordie. Esercizio Com é be oto, abbiamo E(X ) = V (X ) = λ per ogi, e quidi E(S ) = V (S ) = λ (per l idipedeza delle X la variaza della somma coicide co la somma delle variaze), e coseguetemete E(T ) =, ogi. V (T ) = V (S ) = λ per Si deduce subito che E(T ) = V (T ) + E (T ) = λ per ogi, e quidi E(T T m) = ( m)λ. valutiamo ora E((T T m ) ), poedo > m e m = h. Allora possiamo scrivere T T m = h i=m+ (X i λ). Poiché le v.a. X i λ soo a media ulla e idipedeti, il valor medio del loro quadrato coicide co la loro variaza, che é λ. Ache la loro somma ha media ulla, e quidi il mometo secodo di T +h T coicide co la sua variaza, che a sua volta é la somma delle variaze delle X i, per i =...h. I defiitiva, E[(T T m ) ] = V (T T m ) = hλ = ( m)λ. Allora chiaramete la differeza E(T m T ) E((T T m ) ) é ulla, e quidi idipedete da e m. 6

7 Esercizio 3 Essedo E(X ) = p, e V (X ) = p( p), troviamo p( p) X p = X e quidi la codizioe X p > p( p) equivale a richiedere che ossia p( p) X p( p) > X >. Adoperado l approssimazioe ormale per X, la probabilita richiesta é di circa se si ha =.58, ossia se é il primo itero maggiore di (5.8), cioé =