1 Variabili Continue come limiti di variabili discrete

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1 8-maggio Variabili Cotiue come limiti di variabili discrete Suppoiamo che sia u umero itero grade, e di avere ua variabile aleatoria U uiforme sull isieme {x ( i = i, i =,,..., }, ossia P (U = i =, i {,,..., } e vogliamo calcolare il valore della probabilità che U sia i u itervallo, ossia P (a < U b, co a < b, ( e, per ua fuzioe g cotiua, E[g(U ]. Il calcolo di (* è relativamete semplice, ifatti, prima di tutto, per a < b, ( P (a < U b = P (U b P (U a, come segue subito osservado che, per ogi variabile aleatoria X vale {X b} = {a < X b} {X a}, da cui P (X b = P (a < X b + P (X a. Per il calcolo della probabilità che X sia ell itervallo (a, b], per ogi a, b, co a < b, basta quidi cooscere la fuzioe x F X (x := P (X x. La fuzioe F X : R [, ], così defiita ha u ruolo molto importate ella defiizioe delle variabili aleatorie cotiue (e o solo cotiue viee detta fuzioe di distribuzioe (o di ripartizioe della variabile aleatoria X. Nel ostro caso {U b} = {a < U b} {U a} e P (U b = P (a < U b + P (U a, quidi, ivece di calcolare direttamete P (a < U b = #{i : < i, a < i b} si può ache più semplicemete osservare che = #{i : < i, a < i b} P (a < U b = P (U b P (U a = #{i : < i, i b} = #{i : < i, i b} Occupiamoci quidi, al variare di x, della probabilità di #{i : < i, i a} #{i : < i, i a}. P (U x = #{i : < i, i x} #{i : < i, i x} = ( Tale probabilità è chiaramete ulla per x ed è chiaramete uguale ad, quado ivece x, i formule P (U x = per x, P (U x = per x,

2 8-maggio Il caso iteressate è quidi il caso i cui x (,. Per tali valori di x, dall espressioe ( si vede subito che, deotado co α la parte itera iferiore di α, P (U x = #{i : < i x} = #{i : < i x } = x, per x (,. Abbiamo detto che ci iteressa il calcolo per grade, e quidi vogliamo vedere se, per che tede ad ifiito, c è u limite per tale probabilità. Si vede facilmete che Ioltre, vale chiaramete che lim P (U x x = lim = x, per x (,. e lim P (U x = lim =, per x. lim P (U x = lim =, per x. Ache il calcolo di (** è relativamete semplice, ifatti, E[g(U ] = g( i P (U = i = g( i. i= i= Ache qui cerchiamo l espressioe per grade ossia vogliamo vedere se esiste fiito (e quato vale il limite per che tede ad ifiito di tale espressioe. Il lettore più atteto e smaliziato si sarà già accorto che vale lim E[g(U ] = lim g( i = g(x dx, tuttavia vale la pea di ricordare come si può arrivare a tale coclusioe. Poiamo x ( i := i, per i =,,..., e otiamo che = i i = x( i x ( i, e riscriviamo i= i= i= g( i = g(x ( i ( x ( i x ( i. La prima uguagliaza è ovvia, i quato x <, per x (,. La terza uguagliaza è ua baalità, metre u pochio meo ovvia è la secoda uguagliaza. Per questo motivo ivitiamo il lettore a cosiderare u esempio {i : < i 5 } = {i : < i } (e 5 = e a ricordare che la defiizioe di parte itera iferiore di α è il massimo degli iteri i tali che i α. Qualuque sia x R si ha x lim = x. ( Ifatti, per defiizioe della parte itera iferiore, si ha Quidi valgoo le segueti disuguagliaze da cui immediatamete segue il limite ( x x x x < x +. x x = x x

3 8-maggio 3 A questo puto, il lettore avrà ricoosciuto che la precedete somma è ua somma di Riema, che serve per otteere/defiire il valore dell itegrale di g(x sull itervallo (,. Fiiamo co l osservare che il limite della precedete espressioe esiste e vale apputo g(x dx, perché abbiamo assuto che g sia ua fuzioe cotiua. I geerale si dirà che ua variabile aleatoria cotiua U ha distribuzioe uiforme i (, se P (U x = per x P (U x = x per < x < P (U x = per x e, per questa variabile aleatoria, qualuque sia g cotiua, defiiremo E [ g(u ] = g(x dx. Cosideriamo ora u altro esempio. Sia T ( ua variabile aleatoria Geometrica di parametro p = p = λ/, cioè P (T ( = = p( p = λ ( λ, =,,... Come sappiamo T ( si ottiee come tempo (calcolato i umero di prove di primo successo i ua successioe di prove ripetute (ossia uo schema di Beroulli ifiito e quidi Cosideriamo ora la variabile aleatoria 3 P (T ( > = ( p = ( λ, =,,,... X ( = T (. Vogliamo calcolare aalogamete al caso precedete la sua fuzioe di distribuzioe e vedere se ammette limite per che tede ad ifiito. P (X ( x = per x metre Ioltre, sempre per x >, P (X ( x = P (X ( > x per x >. P (X ( > x = P (T ( > x = P (T ( > x = ( λ x = ( λ x Riassumedo, abbiamo dimostrato che (e λ x = e λ x. lim P (X( x = per x ( lim P (X( x = e λx per x >. ( 3 Possiamo pesare sempre X ( come tempo di primo successo, ella situazioe i cui ivece di fare ua prova i ciascua uità di misura i ogi uità di misura si effettuao prove e il tempo è u tempo fisico e NON il umero di prove effettuate. Ad esempio se i ogi ora si effettuao 6 prove (ua al miuto X ( calcola il tempo che si deve aspettare fio al primo successo icluso, co il tempo calcolato i ore. Metre T ( idica il umero di prove effettuate e quidi il tempo calcolato i miuti...

4 4 8-maggio I geerale si dice expoeziale di parametro λ, ua variabile aleatoria tale che P (X x = per x, P (X x = e λ x per x >, e quidi possiamo euciare il risultato precedete dicedo che la variabile aleatoria X (, che è ua Geometrica di parametro λ/ riscalata coverge ad ua variabile espoeziale. Può essere ache iteressate cercare di calcolare approssimativamete P (X ( = x ( ( = λ ( λ, per x ( = /. Chiaramete tale probabilità coverge a zero, ma se opportuamete riscalata, o meglio se moltiplicata per possiamo fare u coto aalogo al precedete ed otteere che, per x ( = /, P (X ( = x ( = λ ( λ = λ ( λ e quidi che, se = tede ad ifiito i modo che x ( che i altre parole sigifica che P (X ( = x ( λ x( λ e ( = λ ( λ x ( rimaga i u isieme limitato 4, allora P (X ( = x ( x( λ e λ. Ifie vediamo come si può approssimare il valore atteso E[g(X ( ] = = g(/p (X ( = / = = = g(x ( λ ( ( λ x ( g(/ λ ( λ = (x ( x ( ( λ, 4 NOTA Cerchiamo di capire il ruolo della codizioe che x ( allora, mostrare che rimaga i u isieme limitato. Sia = tale che x ( B, P (X ( = x ( λ x( λ e = λ ( ( λ x ( λ x( λ e = ( ( λ x ( λ x( e ( λ = ( ( λ ( x ( λ e λ equivale a mostrare che ( P (X ( = x ( log λ x( λ e = x ( I questo modo si vede bee il ruolo della codizioe che x ( ( ( λ log log( λ e (= log. λ rimaga limitato.

5 8-maggio 5 per ua fuzioe g cotiua e limitata. Pur o facedo alcue precisazioi doverose 5, possiamo ituire che la precedete somma può essere approssimata co g(x λ e λx dx. Si oti che i realtà, se prediamo la fuzioe g = χ (a,b] uguale alla fuzioe costate a tratti che vale sull itervallo (, a] e altrove, sappiamo già che ciò è vero: ifatti, da ua parte g(x λ e λx dx = a λ e λx dx = metra dall altra parte, per tale fuzioe g = χ (a,b], E[g(X ( ] = P (X ( (, a] e λa, e abbiamo dimostrato l approssimazioe precedetemete. a d(e λx = (e λx a = e λa, 5 Solo per il lettore più curioso diamo, ad esempio, u idea di come l ipotesi di limitatezza di g sia importate. Ifatti permette di dare ua maggiorazioe (qui solo approssimata al resto g(x ( λ ( ( λ x ( (x ( x ( ( λ g λ ( λ L L = g λ ( λ L ( λ = g λ ( λ L λ g e L. La precedete approssimazioe può essere utilizzata come segue = g(x ( λ ( ( λ x ( (x ( x ( ( λ L = g(x ( λ ( ( λ x ( (x ( x ( + = L g(xλ e λx dx + ERR(, L L g(x ( λ ( λ x ( (x ( x ( dove ERR(, L g e L e quidi, madado L all ifiito, si ottiee l approssimazioe E[g(X ( ] g(xλ e λx dx

6 6 8-maggio TEOREMI LIMITE DI DE MOIVRE-LAPLACE Iiziamo co u esempio Esempio.. Ua fabbrica produce degli oggetti. Ogi oggetto può presetare dei difetti di fabbricazioe co probabilità.5. Sappiamo che i u mese produce. oggetti. Si faccia l ipotesi semplificativa che gli eveti A i = {l i-simo oggetto prodotto è difettoso}, per i =,,,. soo (globalmete idipedeti. Vogliamo calcolare a la probabilità che il umero di oggetti difettosi sia 45. b la probabilità che il umero di oggetti difettosi sia al più 45. La risposta esatta, come è oto, è data dall osservare che, posto S = i= A i si tratta di calcolare la probabilità P(S = 45 e la probabilità P(S 45. La variabile aleatoria S segue ua legge biomiale di parametri = e p =.5. Quidi le risposte esatte ai precedeti quesiti soo a P(S = 45 = ( 45 (.5 45 ( b P(S 45 = 45 = P(S = = 45 = ( (.5 (.95 ( Tuttavia il calcolo esplicito di tali probabilità è decisamete complesso e asce spotaeamete il problema di ua sua approssimazioe umerica. Questa lezioe è dedicata apputo al problema dell approssimazioe della legge biomiale. Iiziamo co alcui richiami. Come già sappiamo, la variabile aleatoria S umero di successi su prove, i uo schema di prove ripetute (o schema di Beroulli, segue ua legge biomiale B(, p dove p (, è la probabilità di successo, per ciascua prova. Ciò sigifica che per =,,, P(S = = ( p ( p =!!(! p ( p. (3 Calcolare questo valore quado è grade, o è facile, eache co l ausilio di u computer. E a maggior ragioe o è facile calcolare per =,,, P(S = h= ( p h ( p h = h U primo problema riguarda l espressioe del coefficiete biomiale. superare teedo coto della seguete espressioe ricorsiva! h!( h! ph ( p h. (4 Questo si può i parte P(S = = ( p (5 P(S = + = + p p P(S = (6 Tuttavia rimae il problema che ( p può essere molto piccolo, per grade e così per P(S =, che tede a zero per che tede ad ifiito. L espressioe ricorsiva (6 mostra ache il tipico adameto a campaa della desità discreta di S ( cioè della fuzioe P ( S =, ovvero prima crescete e poi decrescete, co il massimo che viee raggiuto per [p ( p, p + p], come si vede facilmete.

7 8-maggio 7 NOTA DI APPROFONDIMENTO ANDAMENTO A CAMPANA DELLA DISTRIBUZIONE BINOMIALE Dalla formula (6, per e, si ha e quidi P(S = = + p p P(S =, P(S = P(S = se e solo se + ovvero se e solo se ( + p ( p, o meglio p + p. p p Ciò sigifica che P(S = P(S = fio a = p + p, ovvero fio a uguale alla parte itera iferiore di p + p = E[S ] + p. I geerale c è u solo puto di massimo, trae el caso i cui p + p sia u itero, i tale caso allora P(S = = P(S = per = p + p e = p ( p, cioè per i due valori iteri più vicii a p = E[S ]. Riassumedo il massimo di P(S = viee raggiuto per [p ( p, p+p]. Abbiamo visto che se cosideriamo p = p che tede a zero ed che tede ad ifiito, ma i modo che p = λ, si può usare l approssimazioe di Poisso, ma tale approssimazioe dal puto di vista umerico/empirico è soddisfacete/buoa solo se è almeo e p è miore di, 5, e ioltre, per, si abbia λ = p. Nel ostro caso p =, 5 è al limite dei valori ammissibili per p, ma è decisamete troppo grade per poter utilizzare l approssimazioe di Poisso, ifatti λ = p = 5 = 5. Riprediamo il problema di calcolare P(S =. Siamo iteressati almeo ad otteere u valore approssimato. Lo stesso problema se lo poevao già, e a maggior ragioe el diciottesimo secolo. Ua prima risposta fu data da De Moivre per il caso p = /, e poi il caso geerale fu risolto da Laplace. Il risultato otteuto da Laplace può essere riscritto i termii moderi el seguete modo. Teorema. (TEOREMA LOCALE di DE MOIVRE-LAPLACE. Per ogi umero reale y, si defiisca ϕ(y = π e y, e, per ogi itero co =,,,, si defiisca x = x ( := p p( p. Se, per ogi, S è ua variabile aleatoria biomiale di parametri e p, allora si ha che uiformemete per tale che x = x ( P(S = lim = ϕ(x ( p( p varia i u isieme limitato.

8 8 8-maggio I altre parole, per ogi a < b si ha lim sup : x ( [a,b] p( p P(S = ϕ(x ( = Rimadiamo la dimostrazioe alla sezioe successiva e facciamo alcue osservazioi. Osservazioe.. Sappiao che P(S = tede a zero per che tede ad ifiito, tuttavia, se opportuamete riscalato (i questo caso moltiplicato per p( p si ha che P(S = coverge ad u limite fiito, el seso precisato dal teorema locale di De Moivre e Laplace. Ioltre il teorema può essere usato per calcolare i modo approssimato P(S =, ovvero P(S = exp{ ( p p( p π p( p } dove la otazioe a b sigifica che b è defiitivamete diverso da zero e lim a b =. Il teorema di De Moivre e Laplace garatisce quidi che p( p P(S = ϕ(x ( = P(S = P(S = = ϕ(x ( π exp{ ( p p( p p( p p( p } sotto la codizioe che = dipeda da i modo che limitato. p = x ( p( p si matega i u isieme Rimae da capire, almeo ituitivamete come mai viee i mete proprio di guardare a questo rapporto. Il motivo è semplice, ifatti da ua parte la variabile aleatoria stadardizzata di S è S = S E(S V ar(s = S p p( p e quidi, ovviamete, e d altra parte {S = } = { S p = p( p x ( x ( p ( p = = p( p p } = {S p( p = x ( }, p( p. Quidi il teorema limite locale di De Moivre-Laplace si può riformulare dicedo che, per ogi a < b, lim sup : x ( [a,b] P(S = x ( ϕ(x ( (x( x ( =. (7 Questa osservazioe è alla base di u importate risultato, oto come teorema limite itegrale di De Moivre-Laplace, ossia il Teorema.. Prima di euciare questo risultato fodametale possiamo spiegare euristicamete i che cosa cosiste e come ci si arriva a partire dal teorema locale.

9 8-maggio 9 Prima di tutto si osservi che P(S = P(S x ( = e quidi, dalla (7, possiamo scrivere i {,,...,}: x ( i x ( i {,,...,}: i ϕ(x i (x ( i P(S = i = x ( i. A sua volta, teedo coto del fatto che x ( = p = p p( p p approssimazioe del seguete itegrale e quidi P(S x ( ϕ(x dx = x ( π e x dx. i {,,...,}: i P(S = x ( i, la precedete somma è ua Il Teorema Cetrale del Limite, ella sua forma itegrale asserisce proprio questo, e i modo più preciso. Teorema.. Sia S (per ogi ua variabile aleatoria Bi(, p. Allora, uiformemete i a e b, co a < b, vale: lim P(a < S p b b = p( p a π e x dx. (8 I altre parole { lim sup a<b P(a < S p b b p( p a π e x dx } = (9 Come cosegueza si ha ache che per ogi x R { lim sup x P( S p x p( p x π e y dy } = ( No daremo i queste ote la dimostrazioe di tale risultato. Tuttavia vogliamo illustrare alcue cosegueze dei due teoremi di De Moivre-Laplace. Esempio. (Esempio. - secoda parte. A questo puto possiamo utilizzare i due risultati di De Moivre-Laplace per poter calcolare i modo approssimato le probabilità dei puto a e b dell esempio.. I particolare, essedo p = 5 ed p( p = 5 95 = 5 95 = 475, possiamo affermare che a P(S = 45 = P( S = ϕ( = e π 475 3, 3. b P(S 45 = P( S Φ( = Φ(, 94 = Φ(, 94, 6. U altra cosegueza importate cosiste ell otteere ua dimostrazioe alterativa della legge dei gradi umeri, almeo el caso della frequeza dei successi i prove ripetute. Riportiamo qui di seguito ua uova dimostrazioe della Legge dei Gradi Numeri per questo caso.

10 8-maggio Teorema.3 (LEGGE DEI GRANDI NUMERI, per il caso di eveti. Sia S il umero di successi i uo schema di prove ripetute, allora qualuque sia η > lim P({ S p η} =. Dimostrazioe. [attraverso il Teorema itegrale di De Moivre - Laplace] Prima di tutto osserviamo che S p η S p η η S p η η S p η p( p p( p p( p η p( p S p η p( p p( p di cosegueza P({ S ( p η} = P η p( p S p η p( p p( p e quidi,posto γ = γ(, p := η p( p, si ha P({ S p η} γ γ π e x dx dove l ultimo limite discede dal Teorema itegrale... Dimostrazioe del Teorema locale di De Moivre-Laplace La dimostrazioe del teorema locale di De Moivre-Laplace (Teorema. si basa sulla formula di Stirlig! = π +/ e e θ co < θ < ( Per la dimostrazioe di questa affermazioe rimadiamo il lettore alla sezioe., dove e diamo ua dimostrazioe 6. Iiziamo subito utilizzado la precedete formula per riscrivere il valore di 6 La dimostrazioe, per la verità, è icompleta perché viee solo dimostrato che esiste ua costate C tale che! = C +/ e e θ co < θ <, ma C o viee calcolata esplicitamete (cofrotare Lemma.3..

11 8-maggio P(S = :! P(S = =!(! p ( p π +/ e e θ = π +/ e e θ π ( +/ e ( e θ p ( p = +/ e θ e θ e θ π +/ ( +/ p ( p = +/ π +/ ( +/ p ( p e θ θ θ = / ( p ( ( p e θ θ θ π / ( / da cui P(S = = F G H, dove / F = / ( / = ( G = ( p ( ( p π H = e θ θ θ Co queste posizioi si ha che, co otazioi ovvie, p( p P(S = ( G ϕ(x ( = p( p F ϕ(x ( H = F G H Cosidereremo i tre fattori separatamete. Passado ai logaritmi F G H = exp { log( F + log( G + log(h }, si vede subito che, per mostrare quidi la covergeza a di ciascuo dei tre logaritmi della formula precedete coverge a zero. p( p P(S= ϕ(x (, basta mostrare che Per otteere la covergeza uiforme basta mostrare poi che ciascuo dei logaritmi coverge uiformemete a zero. I u primo mometo diamo solo la dimostrazioe iformale della covergeza, seza porre attezioe alla covergeza uiforme. La covergeza uiforme viee trattata elle ote di approfodimeto, dedicate solo ai lettori più curiosi. Ioltre, i tali ote, seza perdere i geeralità, supporremo che esista u B > tale che a = B e b = B, ossia supporremo che sia tale che x ( B. I tutti e tre i casi è fodametale l osservazioe che, poiché x = x ( := p p( p si ha che = p + p( px ( e = ( p p( px (. (

12 8-maggio Ioltre, teedo coto di ( si ha che p = p + p( p x ( p p = + p x( (3 e che ( p ( ( p p( p x = ( p p = ( p x(, (4 CASO DI F = p( p F Come sappiamo F = p( p F = p p( p ( = ( p e quidi log( F = Teedo coto di (3 e di (4 coviee scrivere = ( log( p p + log(( log( F = ( log( p + log( ( p [ ( p ( p ] log + p x( + log ( p x( Da cui immediatamete si vede che log( F tede a zero quado tede all ifiito, se x ( rimae i u limitato. Solo per il lettore più curioso La covergeza è uiforme: ifatti, basta teere coto del fatto che log( r r ( r, per r <, da cui log( r r, per r < /, e che, per ogi tale che x ( B e per sufficietemete grade, etrambi p p p p p x( p B e ( p x( ( p B soo miori o uguali di /.

13 8-maggio 3 CASO DI H Grazie alla Formula di Stirlig (si veda Lemma.3. log(h = θ θ θ < + + ( [ ] = + p + p( p x ( + p p( p x ( = + + p( p p + x ( p( p ( p x ( Da cui immediatamete si vede che log(h tede a zero quado tede all ifiito, se x ( rimae i u limitato. Solo per il lettore più curioso La covergeza di log H a zero è uiforme, ifatti dalla precedete disuguagliaza si ha che, se B x ( B, allora log(h + +. p( p p( p p B ( p B p( p Si osservi che, per sufficietemete grade sia p p( p B soo strettamete positivi. B che ( p

14 4 8-maggio CASO DI G = G ϕ(x ( Comiciamo co l osservare che per cui [ (p log( G = log G = ( ( p G ϕ(x ( = ( p ] + (x( ( ( p = log e (x ( ( p ( ( p + ( log + (x( Ioltre, ricordado le espressioi (3 e (4, rispettivamete di p e di ( p, coviee scrivere log( G = log ( p A questo puto poiamo per cui si ottiee = p p log ( p = p [ + ( p [ s = s = ( ( log ( p + (x( ( ( p ( p log p ] ( p x( log + p ( p x( p p x( ] log ( p p x( e t = t = ( p p ( p x( p ( p x( + (x( + (x( log( G = p ( + s log( + s ( p ( t log( t + (x( Ricordiamo che (si veda la sezioe.3 ( r log( r = ( r ( r + r + O(r3 = r + r r r3 + ( ro(r3 = r r + O(r3, e osserviamo che, se x ( si matiee limitato allora s = s = p p x( = O( e t = t = p ( p x( = O(. Si ottiee allora che log( G = p ( s s + O(s3 + ( p ( t t + O(t3 + (x( = ps + ( pt ( p s + ( p t ( + p O(s 3 + ( p O(t 3 + (x( = (x( ( + p O( 3 ( + ( p O( 3 + (x( = O( dove la peultima uguagliaza dipede dal fatto che, per defiizioe di s e t si ha ( ps + ( pt = p p p x( + ( p = x ( p( p + p( p =, p ( p x( e ioltre p s + ( p t = p p p p x ( + ( p ( p x ( = ( p + p x ( = x (...

15 8-maggio 5 Solo per il lettore più curioso Ache i questo caso la covergeza di log G a zero è uiforme. Ifatti basta dimostrare che esiste ua costate L tale che, per sufficietemete grade e per ogi x ( B p O ( ( 3 + ( p O( ( 3 L. Prima di tutto, è oto che (si veda la disugualgiaza (7 ella sezioe.3 R 3 (r := [ r ] log( r r + r 3 3( r per r <, e quidi, dall uguagliaza ( r log( r = ( r ( r + r + R 3(r = r + r r r3 + ( rr 3(r, si ottiee che, sempre per r <, ossia, per r < / ( r log( r r r r 3 + r r 3 3( r, O(t 3 = ( r log( r r r Di cosegueza, se x ( p t = ( p x( r 3 ( + 3 B, allora vale la disuguagliaza 3 = 3 r 3. p ( p B < <, per > p ( p B e aalogamete p p s = p x( p B < ( p <, per > B, p ( da cui, per > MB, co M = max p ( p, ( p p, si ha ( ( p O 3 ( + ( p O( 3 3 ( p p p B 3 3 ( p + ( p ( p B 3 L.

16 6 8-maggio Solo per il lettore più curioso Perché la covergeza uiforme dei logaritmi a zero implica la covergeza uiforme della fuzioe Vogliamo dimostrare che, se log g (x coverge a zero uiformemete, allora g (x coverge a d uiformemete. Iiziamo osservado che, dallo sviluppo di Taylor i per la fuzioe espoeziale, cioè per y exp(y. Ricordiamo che, per ua fuzioe x f(x si ha f(x = f( + f (x + f (ξx, dove ξ è u umero tra e x, se x >, ovvero tra x e, se x <, o meglio ξ = xθ(x, co θ(x (,. Per la fuzioe espoeziale si ha e quidi per ogi α tale che α A exp{α} = + α + α exp{θ(αα} exp{α} = α + α exp{θ(αα} α + α exp{θ(αα} α + α exp{ α } A + A exp{a} Quidi poiché se allora g (x = exp{log g (x} sup log g (x A e lim A =, x I sup x I g (x = sup x I exp{log g (x} A + A exp{a }.

17 8-maggio 7. FORMULA DI STIRLING La formula di Stirlig permette di calcolare i modo approssimato!: lim! = (5 π +/ e I realtà vale ua forma più precisa della formula di Stirlig, ossia,! = π +/ e e θ co < θ < (6 I queste ote o dimostreremo le precedeti formule (5 e (6, ma solo che esiste ua costate C R per cui lim! +/ e = ec, (7 azi i realtà mostreremo la forma più precisa della formula di Stirlig, ma sempre co la costate da determiare, ossia o dimostreremo ivece il fatto che e C coicide co π. Tuttavia, dopo aver euciato il teorema limite cetrale di De Moivre e Laplace ella sua forma itegrale, e daremo ua giustificazioe euristica. Lemma.3.. Esiste ua costate C R tale che, per ogi, esiste u umero θ per cui vale la seguete uguagliaza! = e C +/ e e θ co < θ < (8 Va detto che è possibile dimostrare che C = log( π. di cosegueza si ha! = π +/ e e θ co < θ < (9 Dimostrazioe. La dimostrazioe che daremo qui segue quella del libro di W. Feller: A Itroductio to Probability Theory ad its Applicatios Vol. I

18 8 8-maggio NOTA DI APPROFONDIMENTO MOTIVAZIONE EURISTICA della Formula di Stirlig: (o è ecessaria per la compresioe del seguito Vediamo qui sotto come può veire i mete la formula di Stirlig Per il calcolo di! si può procedere el seguete modo utilizzado le tavole dei logaritmi (ed era l uico modo prima dell avveto dei computer: prima si osserva che e successivamete che! = exp{log(!}, log(! = log(, = Quidi si usa la tavola dei logaritmi per calcolare log(, si esegue la somma e poi si usa la tavola i seso iverso per calcolare i modo approssimato!. Per tale calcolo si può utilizzare il seguete criterio itegrale, per otteere co ua certa approssimazioe la somma dei logaritmi i log(! = = log(: La fuzioe log(x è crescete e quidi log(x dx < log( < + log(x dx Sommado per =,,,, si ottiee log(xdx < log(! < + log(xdx e quidi, ricordado che log(x dx = x log(x x + costate (come si vede subito derivado o itegrado per parti, si ottiee che α := log( < log(! < ( + log( + ( + + =: β Quidi log(! è i u itervallo (α, β di ampiezza ( + log( + log( = ( + log( + + log( + + log( che è acora isoddisfacete, visto che cresce co. Tuttavia si può sperare che il puto di mezzo dell itervallo (α, β, ovvero la semisomma (α + β = {( + log( + + log( } sia più vicia a log(!. Si oti che (aggiugedo e togliedo ( + log( tale semisomma si può ache esprimere come (α + β = ( + / log( + + ( + log( e che + ( + log( = ( + log( si matiee limitato. Ciò giustifica l idea di fare il cofroto tra log(! e ( + / log(.

19 8-maggio 9 Passado ai logaritmi ella formula (8, dobbiamo dimostrare che esistoo ua costate C e u θ (, tali che log(! ( + / log( + + θ = C. ( A questo scopo mostreremo che e, posto lim log(! ( + / log( + = C, ( d : = log(! ( + / log( +, ( mostreremo che le successioi {d } e {d } soo mootoe, e più precisamete che {d } è mootoa o crescete e {d } è mootoa o decrescete. Di cosegueza etrambe le successioi soo covergeti e etrambe allo stesso umero C (d C e d C e ioltre Grazie a quest ultima disuguagliaza e all evidete idetità d < C < d. (3! = +/ e e d, e posto θ : = d C, si ha immediatamete la tesi, ossia che cioè, apputo, la formula cercata.! = e C +/ e e θ co < θ <. No rimae quidi che mostrare la mootoia delle due successioi {d } e {d }. Prima di tutto otiamo che dalla defiizioe (3 si ha d d + = log(! ( + / log( + log(( +! + ( + + / log( + ( +, teedo coto che log(( +! = log(! + log( + si ha quidi Posto si ha e quidi d d + = ( + / log( log( + + ( + + / log( + = ( + / log( + ( + / log( + = ( + / log( + t = +, + / = ( + = t, e + = + t t. d d + = ( + / log( + = t log ( +t t. Da u oto risultato di aalisi (si veda la formula (8 della sezioe sui richiami di aalisi d d + = h= t h h + = t h h +. (4 h=

20 8-maggio Ciò mostra che d d + è chiaramete positivo e quidi la mootoia della prima successioe (e più precisamete d + d. Ioltre, sempre per t = +, dalla equazioe (4 si ottiee che t h d d + = h + t h = (t h = t t = 3 t = 3 ( + h= h= h= = = ( ( + da cui la mootoia della secoda successioe: e ciò coclude la prova. d d + ( +

21 8-maggio Solo per il lettore più curioso Ua osservazioe matematico-probabilistica su come otteere la costate π ella formula di Stirlig I realtà la dimostrazioe del teorema locale (Teorema. è ificiata dal fatto che abbiamo utilizzato la formula di Stirlig, metre abbiamo dimostrato solo la formula Stirlig co e C al posto di π. La dimostrazioe del Teorema locale. o è completa e di cosegueza ache quella del teorema itegrale.(che è basata sul teorema locale, o sarebbe completa. I realtà abbiamo dimostrato solo che lim P(S = e (x ( e C p( p = e avremmo potuto dimostrare solo che { lim sup a<b P(a < S p b b p( p a e C e x dx } = Tuttavia, siccome, qualuque sia, P(a < a < S p b=, pur di scegliere p( p p = p/( p e b > p = ( p/p p( p p( p ad esempio a < M e b > M dove M := max{p/( p, ( p/p}. Necessariamete deve valere che M lim dx = ovvero che lim e C M M M e C e x e x dx =. Ua strategia per trovare la costate C potrebbe esssere quella di trovare quato vale il limite (per dell itegrale di exp{ x } sugli itervalli [ M, M]. Poiché si può dimostrare che M lim e x dx = π, M si ottiee così la costate cercata, ovvero e C = π.

22 8-maggio Solo per il lettore più curioso Ceo di dimostrazioe del fatto che ϕ(x è ua desità. ATTENZIONE SERVONO DELLE NOZIONI SUGLI INTEGRALI DOPPI Per la dimostrazioe del fatto che + e x dx = π, si può procedere come segue: è equivalete mostrare che ( + e x dx = π, ossia che + e x + dx e y dy = π. Ma il prodotto dei due itegrali qui sopra si può iterpretare come u itegrale doppio + + e x +y dx dy Poedo x +y = r e facedo variare θ (, π] si ottiee che il precedete itegrale si può riscrivere come + π e r π rdr dθ = dθ + e r rdr = π d( e r / = π.

23 8-maggio 3.3 Richiami di aalisi SOMMA RIDOTTA della serie GEOMETRICA: { m α m+ α = α, per α m +, per α =. = Sia α u umero reale e sia s m = s m (α := Ovviamete se α = si ha s m = m +. Passiamo quidi al caso α. Si oti che m = α s m+ = m+ = α = m α + α m+ = s m + α m+ = e che s m+ = m+ = m+ α = + = α = + quidi, dalle due uguagliaze precedeti, si ha m m α h+ = + α α h = + αs m, h= h= s m + α m+ = + αs m ovvero s m αs m = α m+, da cui e quidi s m = s m (α := ( αs m = α m+ m = α = αm+ α, per α SOMMA DELLE SERIE GEOMETRICA PER α < Dall espressioe precedete pert la somma ridotta e teedo coto che α m+ tede a zero se α < si ha immediatamete che la serie geometrica è assolutamete covergete e che = α =, per α <. α Ifie è facile vedere 7 che α = = α, per α < α 7 Ifatti α = α = = α = α h= α h = α, per α <. α

24 4 8-maggio SVILUPPO IN SERIE DEL LOGARITMO: Ua cosegueza immediata delle espressioi precedeti per la serie geometrica e del fatto che, per t < è la seguete: log( t = t t s ds = log( t = = s ds = = = t s ds = = s + +, t +, per t <, (5 + che a sua volta, osservado che log( + t = log( ( t, porta immediatamete a log( + t = = ( t+ Ioltre le due serie precedeti soo assolutamete covergeti. Si oti che dalla (5 segue immediatamete che, per t <. (6 + co R 3 (t = O(t 3, ifatti log( t = t + t + R 3(t R 3 (t = log( t [t + t ] = t + + = 3 t + = t 3 3( t per t <. (7 UN ALTRO SVILUPPO IN SERIE Nella dimostrazioe della Formula di STIRLING si utilizza la seguete idetità, che deriva dallo sviluppo i serie del logaritmo. Ifatti t log ( +t t h t =, per t <. (8 h + h= t log ( +t [ ] t = log( + t log( t = [ t t = t { = ( t+ + + = t + } = + t = { = ( + t + ] + ( t+ i quato le due serie soo assolutamete covergeti. Di cosegueza = ] } [( t+ + + t+ + t log ( +t t = t = =h t+ + = t h= t h+ h + = t h h +. h=