Corso di Istituzioni di Matematiche I, Facoltà di Architettura (Roma Tre) Roma, 3 Novembre Le successioni. Versione preliminare

Transcript

1 Corso di Istituzioi di Matematiche I, Facoltà di Architettura (Roma Tre) Roma, 3 Novembre 2005 Le successioi Versioe prelimiare Uo dei cocetti fodametali dell aalisi modera é il cocetto di limite. Per facilitare la compresioe del cocetto di limite é meglio itrodurlo i orima istaza el caso discreto, cioé per le succesioi Dobbiamo quidi itrodurre la ozioe di successioe. Ituitivamete ua successioe è u isieme ifiito di umeri reali disposti i u particolare ordie. Più rigorosamete, ua successioe è ua legge che associa ad ogi umero aturale u umero reale: N R a Usualmete si scrive a per l elemeto simo della successioe. Per idicare tutti gli elemeti della successioe, si dovrebbe usare {a } N ma di solito si abbrevia co {a }. Il comportameto della successioe è iteressate soprattutto quado tede a ( ), ma spesso è utile calcolare la successioe per i primi valori di. La rappresetazioe grafica della successioe aiuta a capire il suo comportameto iiziale: sull asse delle ascisse vegoo rappresetati i umeri aturali, metre ell asse delle ordiate si riportao i valori della successioe a. Vediamo alcui esempi Esempio. i) a =. a = 0, a 2 =, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successioe cresce sempre più al crescere di. ii) a =. a =, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4, graficamete si ha a_ Come si ituisce ache dal grafico al crescere di a si avvicia sempre più a 0. iii) a =

2 2 a = 0, a 2 = 2, a 3 = 2 3, a 4 = 3 4,... a_ Questa successioe si avvicia a quado cresce. iv) a = ( ) (+) a =, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 4,... Questa successioe si avvicia a 0 quado cresce assumedo alterativamete valori positivi e egativi. v) a = ( ) a = 0, a 2 = 2, a 3 = 2 3, a 4 = 3 4, a_ I temii dispari di questa successioe si avviciao a al crescere di metre quelli pari si avviciao a. vi) a = 3 a = 3, a 2 = 3, a 3 = 3, a 4 = 3,... Questa successioe, assume sempre il valore 3. Le successioi di questo tipo si chiamao successioi costati

3 3 vi) a = se(). Di questa successioe diamo solo la rappresetazioe grafica: a_ Itroduciamo ora il cocetto più importate per quato riguarda le successioi: il cocetto di limite. Abbiamo già detto che siamo iteressati al comportameto di {a } per arbitrariamete grade, simbolicamete quado. I questo caso guardiamo come si comporta la successioe e quidi se gli elemeti a si avviciao sempre di più a qualche umero fissato L, se divetao sempre più gradi, se divetao sempre più piccoli, o se si avviciao alterativamete a costati diverse. Nel primo caso diremo che la successioe coverge a L, el secodo e terzo caso la successioe diverge e ell ultimo caso la successioe o coverge. Formalmete diamo le segueti defiizioi Successioi covergeti. Ua successioe {a } si dice covergete a L R (e si scrive {a } L o ache lim a = L) se: per ogi ǫ > 0 esiste N ǫ N tale che se > N ǫ allora a L < ǫ U altro modo equivalete per caratterizzare ua successioe {a } covergete ad u umero reale L è il seguete: comuque fissato u itoro I(L, ǫ) = {x R x L < ǫ} di cetro L e raggio ǫ tutti i termii della successioe trae al più u umero fiito appartegoo ad I(L, ǫ). Cioè per ogi I(L, ǫ) a o appartiee ad I(L, ǫ) per qualche =, 2, 3,..., N ǫ ed a appartiee ad I(L, ǫ) per ogi > N ǫ. Successioi divergeti a +. Ua successioe {a } si dice divergete a + (e si scrive {a } + o ache lim a = + ) se: per ogi M > 0, esiste N M N tale che a > M per tutti gli > N M. Successioi divergeti a. Ua successioe {a } è divergete a (e si scrive {a } o ache lim a = ) se: per ogi M > 0, esiste N M N tale che a < M per tutti gli > N M. Successioi o covergeti. Ua successioe {a } che o sia covergete o divergete si dice o covergete Vediamo cosa possiamo dire sulle successioi che abbiamo visto ell esempio precedete

4 4 Esempio 2. i) a = Dato u qualsiasi M > 0 tutti gli > M + 2 hao la proprietà che a = > M + 2 > M quidi a è divergete a + ii ) a = Visto che al crescere di il umero diveta sempre più piccolo pur rimaedo u umero positvo si ituisce che il limite della succesioe deve essere 0. Dobbiamo però dimostrarlo usado la defiizioe di limite data sopra. Fissiamo ǫ > 0. Voglio trovare N ǫ N per cui, se > N ǫ, allora a 0 = a = < ǫ. Poichè < ǫ > ǫ scegliamo come N ǫ u qualsiasi itero maggiore di ǫ. iii ) a = Riscriviamo la successioe come a = =. Per quato visto i ii) si ituisce che il limite della succesioe a = deve essere. Dobbiamo però dimostrarlo usado la defiizioe di limite data sopra. Fisso ǫ > 0. Voglio trovare N ǫ N tale che se > N ǫ, allora a < ǫ Poichè : a = = = si ha che per tutti gli > ǫ risulta a = < ǫ. Quidi scegliamo come N ǫ u qualsiasi itero tale che N ǫ > ǫ. iv ) a = ( ) (+) Il ragioameto usato ell esempio ii ) vale ache i questo caso. Ifatti visto che = si ha: a 0 = ( )(+) 0 = = Quidi fissato ǫ > 0 basta scegliere N ǫ u qualsiasi itero tale che N ǫ > ǫ per avere che per ogi > N ǫ si abbia a 0 = a = < ǫ. v) a = ( ) Come già otato i precedeza si ha che,al crescere di, i temii dispari di questa successioe si avviciao a metre quelli pari si avviciao a. Vediamo come formalizzare questa affermazioe e dimostrare che a o coverge. Fissiamo ǫ > 0. Se > ǫ è dispari a + = + = < ǫ. metre se > ǫ è pari a = = < ǫ. Quidi metà della successioe coverge a (la parte co gli dispari) metre l altra metà coverge +( la parte co gli pari). Poichè la successioe o coverge. Vediamo adesso u teorema che geeralizza l esempio v), i cui abbiamo otato che o è possibile che la successioe coverga cotemporaeamete a e, cioè che il limite di ua successioe è uivocamete determiato.

5 Teorema di uicià del limite. Se {a } L allora L è uico. Dimostrazioe. Per dimostrare questo teorema usiamo la dimostrazioe per assurdo. Suppoiamo che esistao due limiti diversi: {a } L, {a } L co L L. Sia ǫ = L L 3. Visto che {a } L, allora N tale che a L < ǫ > N. Visto che {a } L, allora N tale che a L < ǫ > N. Allora > N = max{n,n } si ha: che è ua cotraddizioe. L L = L a + a L L a + a L < 2ǫ < L L Operazioi sui limiti di successioi covergeti. Siao {a } e {b } due successioi covergeti: {a } L, {b } L. Allora: () {a + b } L + M (2) {ca } cl c R (3) {a b } LM (4) Se M 0,b 0 N allora { a b } L M. Dimostrazioe. La dimostrazioe dei 4 casi è molto simile e quidi discutiamo solo il primo caso. Sappiamo che la successioe {a } è covergete e quidi: Ioltre la successioe {b } è covergete e quidi: ǫ > 0, N N tale che a L < ǫ > N. ǫ > 0, N N tale che b M < ǫ > N. Fisso ǫ > 0 e scelgo ǫ = ǫ = ǫ 2 e N = max{n,n }. Allora a + b L M a L + b M < ǫ 2 + ǫ 2 = ǫ e quidi la successioe somma {a + b } coverge ad A + B. 5 Esempio 3. i) Cosideriamo la successioe {a } = Si ha che = = 7 5 ( ) + 5. Quidi visto che b = 7 5 uovo usado () che ( ) coverge a 0 (per () e (2) visti sopra) e che c = 5 coverge a lim = 5 5 si ha, di ii) a = Dividedo umeratore e deomiatore per (che equivale a moltiplicare a per, otteiamo: a = =

6 6 Posto b = e c = , abbiamo che lim b = lim = 7 e lim c = lim = 5 e quidi {a } 7 5. Ua successioe {a } si dice limitata se esiste M > 0 tale che a M, N. Esempio 4. i ) Ogi successioe covergete è limitata. Ifatti se {a } L, allora preso ǫ = si ha che esiste N N tale che per ogi > N si ha a L <. Quidi per ogi > N si ha a < + L. Poichè gli N più piccoli di N soo u umero fiito possiamo sempre trovare il più grade fra di loro, cioè poiamo M = max N a. Allora posto M = max{l +,M } abbiamo che a M N. ii ) La successioe a = ( ) è limitata visto che a ma o é covergete. iii) La successioe a = 3 + se() è limitata; ifatti a 4 N. Operazioi sui limiti di successioi II. Sia {a } ua successioe limitata e sia {b } ua successioe divergete a +. Allora: () {a + b } + (2) { a b } 0 (3) Assumiamo che a L 0, allora {a b } + (4) Se C > 0 è ua costate allora {Cb } + Dimostrazioe. Come per il teorema precedete discutiamo solo u caso e precisamete il (3). Poichè a L 0 abbiamo che esiste N 0 tale che a L < L 2 per ogi > N 0. Quidi per ogi > N 0 si ha: L 2 < a < 3L 2. Dato M > 0 poichè b + esiste N M tale che b > 2M L quado > N. Allora per ogi > max{n M,N 0} si ha a b > L 2 b > L 2M 2 L = M e quidi {a b } diverge a +. La codizioe che a L 0 ella parte (3) del precedete teorema è ecessaria come si evice dal seguete esempio

7 Esempio 3. Sia a = 2. Cosideriamo le segueti successioi che divergoo a + : b = ; c = 2 ; d = 3. Allora 7 a b = 2 = 0 a c = 2 2 = a d = 3 2 = +. Aalogamete si possoo dare dei criteri quado {b } e cosi via. La seguete tabella riassume le ostre coosceze sulle operazioi co i limiti: il puto iterrogativo sta a sigificare che a priori o si può dire iete e si deve aalizzare caso per caso (vedi esempio qui sopra): lim lim lim a + b lim b a lim b L L M 0 L + M LM M L > 0 0 L 0? L < 0 0 L 0? ? L > L < ? 0 L > 0 0 L < ? 0 + M > M < ?? M > 0 M < ?? ? +?? +?? +? Alcui dei puti iterrogativi soo facilmete elimiabili per alcui sottocasi, per esempio: suppoiamo lim a = L > 0 e lim b = 0. Se sappiamo che b > 0 per tutti gli N allora: lim a b = +. I realtà basta di meo: è sufficiete che esista N 0 tale che b > 0 per tutti gli > N 0.

8 8 Come si vede si icotrao problemi quado b tede a 0 i modo alterate per esempio b = se(). Ifatti i quasto caso la successioe a b (co a come sopra) o coverge. Il seguete teorema è di fodametale importaza el calcolo dei limiti di successioi. Teorema del cofroto. Siao {a }, {b } e {c } tre successioi tali che b a c N. () Se lim b = L = lim c. Allora lim a = L. (2) Se lim b = +. Allora lim a = + (3) Se lim c =. Allora lim a = Dimostrazioe. Dimostriamo solo la prima affermazioe. Le dimostrazioi delle altre due affermazioi seguio la stessa liea dimostrativa e soo lasciate per esercizio al lettore. Sia ǫ > 0 fissato. Per ipotesi abbiamo che sia b che c covergoo ad L e quidi esistoo N b ǫ e N ǫ c tali che se > N b ǫ allora b L < ǫ e se > N c ǫ allora c L < ǫ. Se deotiamo co N ǫ il piú grade tra N b ǫ e N c ǫ abbiamo che per > N ǫ c si ha L ǫ < b < L + ǫ e L ǫ < c < L + ǫ per ipotesi abbiamo b a c N e quidi otteiamo: L ǫ < b a c < L + ǫ per ogi > N ǫ che per defiizioe equivale a dire che a coverge a L. Esempio 5. i) b = 2 Poichè: 0 2 abbiamo che, posto a = 0 e c =, soo verificate le ipotesi del Teorema del cofroto (visto che be sappiamo che lim = 0), e quidi lim 2 = 0 ( ) ii) b =. 2 I questo caso abbiamo che 2 b 2. Ma abbiamo appea visto che 0 e sappiamo dal proposizioe sulle operazioi sui limiti che lim 2 a = lim a se a coverge, quidi: lim = 0 da cui possiamo cocludere per il Teorema del cofroto 2 che ( ) lim = 0 2 Adesso vediamo i limiti di alcue fra le successioi più frequetemete usate.

9 9 Limiti otevoli. () Sia a = α co α R. Allora + se x > lim a = se x = 0 se < x < Ioltre se α a o coverge. (2) Sia a = α co α R, α > 0. Allora lim a = (3) Sia {a } = { bmm +...b +b 0 c k k +...c +c 0 }, dove b 0,...,b m, c 0,..., c k soo umeri reali, allora (4) lim =. lim a = + se m > k e b m c k > 0 se m > k e b m c k < 0 0 se m < k se m = k Dimostrazioe. () Sia α >. Allora α = + h dove h > 0. Quidi, usado la disuguagliaza di Beroulli, abbiamo: b m ck α = ( + h) ( + h) Ora h diverge a + quado cresce e quidi la successioe diverge. Sia 0 < α <. Allora α = +h dove h > 0. Quidi, usado la disuguagliaza di Beroulli, abbiamo 0 < α = ( + h) ( + h) = + h < h Ora lim h = 0 e quidi per il teorema del cofroto, si ha {a } = {α } 0. Sia < α < 0. Sia β = α, allora < 0β <. Quidi per quato appea visto {b } = {β } 0 e {c } = { β } 0. Poichè β α β per ogi, il teorema del cofroto ci dice che {a } = {α } 0. Sia α <. La successioe altera valori positivi e egativi co il modulo crescete, e quidi la successioe o coverge. (2)Sia α >. Allora α >, quidi abbiamo α = + b co b > 0. Per la disuguagliaza di Beroulli: α = ( + b ) + b e quidi : 0 < b α

10 0 Il teorema del cofroto ci assicura che lim b = 0. Da cui, per i teoremi sulle operazioi co i limiti, otteiamo: lim α = lim + b = + lim b =. Sia < 0α <. Allora α <, e quidi α = +c dove c > 0. Per la disuguagliaza di Beroulli e quidi da cui ricaviamo che ( + c ) + c ( ) α = = + c ( + c ) + c 0 c α. Il teorema del cofroto ci dice che lim c = 0. Per cocludere usiamo i teoremi sulle operazioi co i limiti e abbiamo: lim α = lim + h = + lim c =. (3) Per trovare il limite di {a } = { bmm +...b +b 0 c k k +...c +c 0 }, bisoga dividere il umeratore e il deomiatore per la poteza massima di, cioè per m se m > k, oppure per k se m k. Poi si calcola il limite usado le operazioe tra limiti e otado che 0 se q > 0. q (4) Cosideriamo la successioe b = a = = ( ). Allora b > per ogi, quidi possiamo scrivere b = + c co c > 0. Ora per la disuguagliaza di Beroulli si ha = b = ( + c ) + c. Quidi Allora 0 c. a = b 2 = ( + c ) 2 = + 2c + c e visto che lim + 2 = il teorema del cofroto ci dice che lim a =. Le teciche appea itrodotte ell ultimo puto ci permettoo di dimostrare ache il seguete risultato: Proposizioe. Sia A >, allora per ogi d Z. d lim A = 0 A Dimostrazioe. Iizieremo dimostrado che lim = 0. Come el caso della radice -esima di faremo vedere che la successioe b = ( A ) coverge a 0. Ma allora ache a = A coverge a 0,i

11 quato a = b 2. Poichè A > possiamo scrivere A = + h co h > 0 e la disuguagliaza di Beroulli assicura che ( A) = ( + h) + h. Duque si ha 0 ( A ) + h h applicado il teorema del cofroto otteiamo che otare che e che d A > e quidi lim Successioi Mootoe. d d A = 0. d A = Ua succesioe a si dice mootoa crescete se: Similmete a si dice mootoa decrescete se: ( coverge a 0. Per trattare il caso geerale basta A) d volte {}}{ ( ) d... ( ) A d A a a + N. a a + N. Vediamo alcui esempi di successioi mootoe cresceti e decresceti cresceti Successioi mootoe decresceti La ragioe per cui si studiao le successioi mootoe e che risultao piú cotrollabili quado si cerca di calcolare il limite, el seso che o covergoo ad u limite fiito oppure divergoo ma o possoo o ammettere limite. No dimostreremo questo risultato ma ci limiteremo ad euciarlo formalmete qui sotto Teorema. (limiti di successioi mootoe) Sia a ua succesioe mootoa crescete (rispettivamete decrescete), allora a) Se a è limitata allora a è covergete. b) Se a o è limitata allora a diverge a + (rispettivamete diverge a ). Usiamo subito questo teorema per dimostrare che la successioe a = ( + ) coverge. Il valore di tale limite viee deotato co e ed é il famoso umero di Nepero. Per il teorema sulle successioi mootoe ci

12 2 basta far vedere che a è sia mootoa (crescete) che limitata. A tale scopo ci serve itrodurre u altra successioe b = ( +; + ) se dimostriamo che () a è mootoa crescete cioè ( ) ( ), N (2) b é mootoa decrescete allora si ha a a b b N e quidi a oltre ad essere mootoa crescete àche limitata e quidi per il teorema sulle successioi mootoe risulta essere covergete. Ci riame quidi solo da verificare () e (2). Ache i questo caso useremo la disuguagliaza di Beroulli, pecisamete faremo dopo alcue semplici maipolazioi algebriche vedremo che la disuguagliaza ((*)) ( + ) ( + ) + + è equivalete alla disuguagliaza ((**)) ( ) + + ( + ) 2 e quest ultima disuguagliaza é la disuguagliaza di Beroulli per h = (+) 2 : ( ) + ) ( + ) 2 + ( + )( ( + ) 2 = ( + ) = + = + + Ma facciamo esplicitamete i coti per dimostrare che (*) è vera se e soltato se `vera (**) ( + ) ( + ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( + ) 2 ( ( + ) 2 ( ) + + ( + ) 2 ( ) + ( ) Quidi abbiamo verificato che a è mootoa crescete. La verifica che b è mootoa decrescete procede lugo le stesse liee e viee lasciata come utile esercizio. ) +