CENNI SULLE PROGRESSIONI, LE SERIE, LE RELAZIONI DI RICORRENZA E I NUMERI DECIMALI.

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1 CENNI SULLE PROGRESSIONI, LE SERIE, LE RELAZIONI DI RICORRENZA E I NUMERI DECIMALI. Ua progressioe (o successioe) è u isieme iþito di umeri reali P = {a co =,,...} = {a,a,...}. La somma dei primi termii della progressioe si idica co S = a + a a = P a i. Quado cosideriamo tutti i termii della progressioe, cioè quado facciamo tedere si usa scrivere formalmete S = S = P a i.sè detta somma della serie associata alla progressioe. Ci soo casi di progressioi per cui la serie coverge cioè S è u umero Þito. Negli altri casi S o esiste oppure è = ±. Si dice progressioe aritmetica ua progressioe i cui a + = a + d co d uguale ad u umero Þsso detto ragioe aritmetica della progressioe (i altri termii si ha: a = a, a = a + d, a 3 = a +d, a = a +( )d). ESEMPIO:,, 3, 4,... si ha a =e d = 0, 8, 6, 4,... si ha a =0e d = 3, 3. 3,... si ha a = 3 e d =0. Per ua progressioe aritmetica si ha S = a +(a + d)+(a +d)+... +(a +( )d) e ache: S =(a +( )d)+(a +( )d)+.. +(a + d)+a Sommado le due righe uguali si ottiee: S = (a +( )d ESEMPIO: Þo a =.Siha:a =3,d= 3,=per cui la somma è S = (6 33) = 4 Si dice progressioe geometrica ua progressioe i cui a + = a d co d uguale ad u umero Þsso detto ragioe geometrica della progressioe (i altri termii si ha: a = a, a = ad, a 3 = ad,a = ad ). ESEMPIO:, 4, 8, 6... si ha a =e d =,, 4... si ha a =e d = 3, 3. 3,... si ha a = 3 e d =. Per ua progressioe geometrica si ha: S = a + ad + ad ad ( ) ds = ad + ad ad

2 Sottraedo le due righe si ottiee: S = a( d ) d ESEMPIO: Þo a =si ha a =e d =, e =per cui: S = ( ( ) ) = Se d < allora d 0 quado (ifatti se d <, prededo sufficietemete grade possiamo redere d arbitrariamete piccolo) e quidi la serie associata ad ua progressioe geometrica coverge: S = S = a d ESEMPIO: si ha: a =48,d= < per cui la 4 somma iþita è 64. Si dice progressioe di Fiboacci ua progressioe i cui ogi termie (a partire dal terzo) è la somma dei due termii precedeti: a = a + a per =3, 4, 5,... metre per =, si poe a = a = a (i altri termii si ha: a = a, a = a, a 3 =a, a 3 =3a, a 4 =5a,...). ESEMPIO: I umeri di Fiboacci si ottegoo poedo a =;siottiee:,,, 3, 5, 8, 3,,...questi umeri hao proprietà affasciati e itervegoo i moltissimi campi della matematica e della biologia come sarà mostrato a lezioe. Se si cosiderao i rapporti tra i umeri di Fiboacci,,, 3, 3 5, 5,... si 8 ota che soo tutti e > 0. Sia R = a /a l -esimo rapporto, e sia R = R il limite dei rapporti (che esiste per l osservazioe precedete). Siccome a = a + a, dividedo per a si ottiee: a = a + a a cioè /R = R + e, passado al limite, ª /R = R + cioè R + R =0, le cui soluzioi soo: R = 5, R = ª 5. Si ottiee quidi, scartado la impossibile soluzioe egativa, R = 5 =

3 Questo umero è detto sezioe aurea e rappreseta il modo di dividere u segmeto di lughezza uitaria i ua parte media proporzioale tra l itero segmeto e la parte restate: :R = R :( R). Questo rapporto gioca u ruolo fodametale ella storia dell arte ed era già coosciuto dai greci. Altre osservazioi sui umeri di Fiboacci e la sezioe aurea sarao esposte a lezioe. La relazioe che deþisce la progressioe di Fiboacci è u esempio di relazioe di ricorreza. I geerale ua relazioe di ricorreza lieare di ordie k è ua espressioe della forma: a k u +k + a k u +k a u + + a 0 u = f() Dove a i èuumerorealeperi =0,...k, a k 6=0e f() è ua fuzioe reale del umero itero. Quado f() =0la relazioe è detta omogeea, altrimeti è detta iomogeea. Cosideriamo la relazioe u + u =0. E ua relazioe di ricorreza lieare omogeea di ordie. Se suppoiamo u 0 =, otteiamo u =, u =... è facile mostrare che u =. Si oti che per risolverla è ecessario u valore iiziale. La più geerale relazioe di questo tipo si scrive: au + + bu =0 La cui soluzioe è, ovviamete, u = α A dove α = b/a e A = u 0. Studiamo ora le relazioi lieari e omogeee di ordie la cui forma geerale è: au + + bu + + cu =0 No cosideriamo la soluzioe baale u =0per tutti gli. Suppoiamo (seguedo l isegameto del caso precedete) che la soluzioe cercata sia della forma u = α A co A 6= 0Allora deve essere: aα + A + bα + A + cα A =0 Quidi si ottiee (dividedo per u u diversodazero,cheesisteper ipotesi) aα + bα + c =0. Ciò sigiþca che α deve essere soluzioe della seguete equazioe di secodo grado, detta equazioe ausiliaria: ax + bx + c =0 Rimadiamo lo cotiuazioe dello studio delle relazioi di ordie a dopo aver trattato i maggior dettaglio le equazioi di secodo grado e i umeri complessi, e limitiamoci a esamiare il caso della relazioe di Fiboacci: a = a + a ( ) che riscriviamo: u + u + u =0per 0 co u 0 =e u = 3

4 L equazioe ausiliaria è x x =0, le cui soluzioi soo: ½ α = ¾ ½ 5+, β = ¾ 5 Se suppoiamo u 0 =e u =(servoo due codizioi iiziali) allora la soluzioe geerale è: u = Aα + Bβ Co A e B determiati dalle codizioi: Che, risolte, dao: u 0 ==A + B u ==Aα + Bβ B = β β α = α β α A = α β α = β β α Cocludedo, el caso dei umeri di Fiboacci, si ha: u = β+ α + β α Notare il risultato apparetemete sorpredete : èuumeroitero per ogi. 5 OSSERVAZIONI SUI NUMERI DECIMALI. I umeri decimali si dividoo i termiati (se possoo essere scritti esattamete co u umero Þito di cifre sigiþcative) e o termiati, che a loro volta possoo essere periodici e o perodici, questi ultimi soo detti ache irrazioali (i primi due tipi, i termiati e i periodici, soo detti ache razioali). Esempidiumeriirrazioalisoo, 3,π, R. Ua frazioe del tipo ha ua espasioe decimale termiate se e solo se gli uici fattori primi di soo e 5. Lo stesso vale per frazioi irriducibili di tipo m. Si usa idicare il periodo di u decimale periodico co ua liea: = =0. Questo umero può essere scritto Questa è ua progressioe geometrica di primo termie 0 ³ eragioe 0 percui,comedeveessere,lasuasommaiþita è proprio = Questo schema di calcolo è utile per trovare ua frazioe che rappreseti u 4

5 dato decimale periodico. Cosideriamo =0., =0.0, =0.00, allora, ad esempio: 0.34 = = = 6 E vero ache il viceversa: ogi frazioe rappreseta u decimale termiate o periodico, ifatti basta cosiderare le frazioi del tipo già visto sopra. Cosa si può dire circa la lughezza del periodo di u umero periodico? Ad esempio = ha lughezza 6. I geerale, se cosideriamo co primo la lughezza del periodo è sempre u divisore di, 7 metre se o è primo, è u divisore di q dove q èufattoreprimo di. C è u teorema che dice: la lughezza del periodo di è il più piccolo k per cui il umero (k volte 9) è divisibile per. Adesempio, ha 9 periodo 8, ma come facciamo a trovarlo co u display da meo di 8 cifre? Ecco u algoritmo per trovare periodi arbitrariamete lughi co display da k cifre: Cosideriamo m co m<. Passo : poiamo r = m, i =e scriviamo il umero 0. Passo : calcoliamo r i / =0.abcdefgh Þo alla k-esima cifra decimale e scriviamo abcdefgh dopo il umero Þ qui otteuto. Passo 3: calcoliamo r i 0.abcdefgh = r i+ 0 k Passo 4: seik il periodo è il umero otteuto, altrimeti i i+ e si va al passo. Esempio: 9 coudisplayda6 cifre: /9 = , il umero Þ qui otteuto è = 0 6 /9 = , il umero Þ qui otteuto è = /9 = , il umero Þ qui otteuto è ik =8 8 quidi /9 = Esempio: = SOMME NOTEVOLI E DIMOSTRAZIONI PER INDUZIONE. Trattado le serie appaioo spesso alcue otevoli formule di calcolo: X ( +) i = = 5

6 X i = X ( + )( +) 6 i 3 = ( +) 4 Per dimostrare formule di questo tipo riguardo i umeri iteri, e altre che vedremo i seguito, si usa u potete mezzo di dimostrazioe, detto prova per iduzioe. Sia P () ua affermazioe riguardo il umero, questa affermazioe è vera per tutti gli iteri positivi se: ) P () èvera. ) P (k) vera implica P (k +)vera. Ifatti se P () è vera, il puto ) implica che è vera P () ;acoralo stesso puto implica che P (3) è vera e così via. Osservazioi utili: Il puto ) può essere sostituito da : P (a) è vera per u certo umero itero a; iquestocasop () risulta vera per tutti gli iteri a. Il puto ) può essere sostituito da ) bis : P (k) vera per tutti i k<m implica P (m) vera. Ad esempio sia P () l affermazioe che P i = (+). Allora P () è l affermazioe, ovviamete vera, che P che P (k) P (k +). Se assumiamo vera P (k) si ha: kx i = ma per cui, k(k +) = kx i +(k +)= i == (+). Occorre ora provare k(k +) kx Xk+ i +(k +)= i Xk+ i = (k +)(k +) +(k +)= (k +)(k +) che è proprio l affermazioe P (k +) equidilaformula P i = (+) risulta vera per tutti gli. 6

7 ALTRI ESEMPI DI INDUZIONE a) Sia P () l affermazioe che dati a e b iteri, e u itero > 0, allora a b divide a b. Ovviamete P () è vera; ora osserviamo che: a k+ b k+ = a k (a b)+b(a k b k ) Per cui se P (k) èvera,ecioèa b divide a k b k, è immediato osservare che allora a b divide ache a k+ b k+ (ifatti, i virtù della formula precedete, questo termie è la somma di due termii ciascuo dei quali è divisibile per a b ). Ne risulta che P () è sempre vera. b) Sia P () l affermazioe che dati a e b iteri, e u itero dispari > 0, allora a + b divide a + b. (Questa affermazioe riguarda solo gli iteri dispari, e o tutti gli iteri positivi; il metodo di iduzioe va così modiþcato: Sia P () ua affermazioe riguardo il umero dispari, questa affermazioe è vera per tutti gli iteri dispari se: ) P () èvera. ) bis P (k) vera per tutti i k dispari <implica P () vera. Ifatti se P () è vera, il puto ) bis implica che è vera P (3) ;acoralo stesso puto implica che P (5) è vera e così via). Ovviamete P () è vera; ora osserviamo che: a + b = a (a + b) b(a b ) Se è dispari, allora =m e quidi a + b = a (a + b)+b(a b )=a (a + b)+b(a m + b m )(a m b m ) Se ora m è dispari abbiamo Þito, perchè m<e quidi a m + b m per ipotesi è divisibile per a + b. Se ivece m è pari, siottieem =r e quidi: a + b = a (a + b)+b(a m + b m )(a r + b r )(a r b r ) Se ora r è dispari abbiamo Þito, perchè r<m<e quidi a r + b r per ipotesi è divisibile per a + b. Se ivece r è pari, si ottiee r =l esi procede ello stesso modo. Osservado che l<r<m<si vede che il procedimeto si deve arrestare a u umero dispari (el peggiore dei casi ) perchè è u umero positivo e il piu piccolo umero positivo è. Esempio = risulta divisibile per 3+=5. c) Se + è primo, allora è ua poteza di due. 7

8 Ifatti deve essere pari, altrimeti (per il puto b) + sarebbe divisibile per +=3. Quidi =k, k<,e ache k deve essere pari (per lo stesso motivo di prima += k +=4 k +sarebbe divisibile per 4+=5, quidi k =r co r<k<. Il ragioameto termia come prima co e quidi =... Notate che il viceversa o è vero: 5 =3ma 3 += o è primo. 8