Precorso di Matematica. Parte IV : Funzioni e luoghi geometrici

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1 Facoltà di Igegeria Precorso di Matematica 1. Equazioi e disequazioi Parte IV : Fuzioi e luoghi geometrici Richiamiamo brevemete la ozioe di fuzioe, che sarà utilizzato i quest ultima parte del precorso Defiizioe. Si dice fuzioe (reale di variabile reale) u applicazioe del tipo: f : U R R, co U u qualuque sottoisieme o vuoto di R. Le ozioi di immagie di u elemeto, fuzioe iiettiva, suriettiva ecc. fao riferimeto alle aaloghe ozioi date per le applicazioi (v. Parte I). U esempio otevole di fuzioe è il seguete: Esempio. Sia f : R R la fuzioe defiita da: { x se x 0 f(x) := x = x se x < 0. Tale fuzioe è chiamata fuzioe valore assoluto. Per esercizio, verificare che f o è e iiettiva e suriettiva Defiizioe. Si dice equazioe geeralizzata u espressioe del tipo f(x) E dove f è ua fuzioe ed E è u sottoisieme di R. I particolare, se E = {0}, l espressioe f(x) = 0 si dice equazioe. Se ivece E = [0, + ), l equazioe geeralizzata diveta: f(x) 0 e si dice disequazioe Esempio. Se f(x) = x 1 ed E = [1, 2) {3}, l equazioe geeralizzata associata è: x 1 [1, 2) {3}. Se ivece E = {0}, si ottiee l equazioe: x 1 = 0. Ifie, se fosse E = [0, + ), si otterrebbe la disequazioe x

2 1.3. Defiizioe. U isieme di equazioi e/o disequazioi si dice sistema. E importate idividuare i valori della variabile per i quali la scrittura di u sistema abbia seso. Tale isieme si dice domiio del sistema Esempio. Se si cosidera il sistema Σ : x 2 x 1 = 2 x 2 3 = 0 è chiaro che il suo domiio è dato da R \ {1}. I geerale, vale sempre il seguete fatto: il domiio di u sistema è l itersezioe dei domii delle sigole equazioi e disequazioi Defiizioe. Si dice soluzioe di u equazioe geeralizzata f(x) E di domiio D u umero α D tale che f(α) è u elemeto di E, cioè f(α) E è vera. Si dice soluzioe di u sistema u umero che sia soluzioe di tutte le equazioi geeralizzate che compogoo il sistema. L isieme di tutte le soluzioi di u sistema Σ si dice spazio delle soluzioe di Σ Esempio. Se si cosidera il sistema Σ : x 2 x 1 = 2 x(x 2 3) = 0 si vede facilmete che la prima equazioe ammette come uica soluzioe {0} e la secoda ha esattamete tre soluzioi: {0, 3, 3}. Pertato lo spazio delle soluzioi di Σ è S = {0}. U equazioe f(x) = 0 si dice idetità se il suo spazio delle soluzioi coicide col domiio. U sistema si dice impossibile se o ammette soluzioi ovvero se il suo spazio delle soluzioi è l isieme vuoto. Due sistemi si dicoo equivaleti se hao lo stesso spazio delle soluzioi. Nei corsi successivi sarao studiate ache equazioi e disequazioi co più di ua variabile reale. Diamo qui u breve ceo di questa ozioe Defiizioe. Si dice fuzioe reale di due variabili reali u applicazioe del tipo: f : U V R dove U e V soo sottoisiemi o vuoti di R e U V deota il loro prodotto cartesiao Esempio. Si cosideri la fuzioe f : R 2 = R R R 2

3 defiita da f(x, y) = 2x 2 + xy y 3. E chiaro che il domiio di tale fuzioe è R 2. Le ozioi di equazioe geeralizzata, equazioe, disequazioe, sistema ecc. i più variabili soo aaloghe a quelle date i ua variabile. Se alcue tra le variabili vegoo cosiderate umeriche, esse vegoo chiamate parametri. Per ogi valore che si attribuisce ai parametri, si ottiee ua diversa equazioe, come mostra il seguete esempio Esempio. Si cosideri l equazioe ax 2 x = 0, co a parametro reale. Le soluzioi di tale equazioe soo: S = {0, 1/a}, se a 0; S = {0}, se a = Fuzioi circolari Nell aalisi matematica è covezioe misurare gli agoli i radiati. Si cosideri el piao ua circofereza Γ di cetro l origie O e di raggio r e sia A il puto di itersezioe di Γ co il semiasse positivo delle x. Per ogi puto P Γ, si cosideri l arco di circofereza AP (percorso i seso atiorario). La misura i radiati dell agolo ÔAP di cetro O è il umero AP r. Se r = 1, si ottiee la circofereza trigoometrica. Chiaramete su di essa la misura i radiati di u agolo coicide co la lughezza dell arco corrispodete Defiizioe. Fissato x R, cosideriamo l uico puto P della circofereza trigoometrica tale che AP = x. Si dice coseo di x, e si idica co cos x, l ascissa del puto P; si dice seo di x, e si idica co si x, l ordiata del puto P. E evidete che vale la seguete fodametale idetità trigoometrica: si 2 x + cos 2 x = 1. Dalla defiizioe precedete, si ha immediatamete che seo e coseo soo fuzioi reali di variabile reale defiite su tutto R. E facile vedere che, per ogi k Z: si(x + 2kπ) = si x cos(x + 2kπ) = cos x 3

4 ovvero le fuzioi six e cos x soo periodiche di periodo 2π. Altre relazioi otevoli soo: si(x + π) = si x, cos(x + π) = cos x si(x + π/2) = cos x, cos(x + π/2) = si x. Ifie citiamo le formule di addizioe (da cui si possoo ricavare facilmete le formule di duplicazioe e bisezioe): cos(α + β) = cos αcos β si αsi β cos(α β) = cos αcos β + si αsi β. si(α + β) = si αcos β + cos αsi β si(α β) = si αcos β cos αsi β Itroduciamo due ulteriori fuzioi trigoometriche, dette rispettivamete tagete e cotagete defiite da: tg x = si x cos x ; cos x ctg x = six. La fuzioe tagete è defiita per ogi x tale che cos x 0, cioè il suo domiio è D = R \ {π/2 + kπ k Z}. Aalogamete la fuzioe cotagete è defiita per ogi x tale che si x 0, cioè il suo domiio è D = R \ {kπ k Z}. Etrambe soo periodiche, ma di periodo π. Citiamo alcui esempi di equazioi e disequazioi che coivolgoo fuzioi trigoometriche: si x = k, cos x = k, tg x = k si x k, cos x k a six + b cos x = c. 3. Rappresetazioe trigoometrica dei umeri complessi L applicazioe f : C R 2 defiita da z = a + ib (a, b) è chiaramete biiettiva. Abbiamo visto che, fissato u sistema di coordiate cartesiae (ortogoali) (O; x, y) el piao, i puti del piao soo i corrispodeza biuivoca co le coppie di umeri reali. Pertato si hao le corrispodeze biuivoche: C R 2 {puti del piao}. Ciò sigifica che, fissato u riferimeto (O; x, y) el piao, si può rappresetare (i modo uivoco) ogi umero complesso z = a + ib come u puto del piao di coordiate (a, b). Osserviamo che i puti dell asse x corrispodoo ai umeri reali o, più i geerale, alla parte reale dei umeri complessi, e che i puti dell asse y corrispodoo ai umeri immagiari, o, più i geerale, alle parti immagiarie. 4

5 Tale rappresetazioe geometrica è detta piao di Argad Gauss. Per determiare u umero complesso z = a+ib si può, ad esempio, idividuare il puto A del piao che lo rappreseta (cioè il puto di coordiate (a, b)), e di cosegueza il vettore OA ad esso associato, determiado il modulo ρ di OA (cioè la sua lughezza) e l agolo α che esso forma co la direzioe positiva dell asse x. Si ha duque: ρ = a 2 + b 2, cos α = α = ua soluzioe del sistema siα = a a2 + b 2 b a2 + b Defiizioe. Sia z = a + ib C. Co la precedete iterpretazioe, ρ è detto modulo di z e si idica co z e α è detto argometo di z e si idica co arg(z). Duque z è idividuato dalla coppia (ρ, α) e si scriverà ache z = (ρ, α). Ioltre ρ ed α si dicoo coordiate trigoometriche di z. Notiamo che arg(z) si misura i radiati ed è defiito a meo di u multiplo itero di 2π, cioè se z = (ρ, α), ache (ρ, α + 2kπ), per ogi itero k, rappreseta le coordiate trigoometriche di z. Ovviamete, le espressioi di a e b i fuzioe di ρ e α soo a = ρ cosα ; b = ρ siα; duque z = a + ib = ρ(cos α + i si α). Tale espressioe si dice rappresetazioe trigoometrica del umero complesso z. Tale rappresetazioe è uica, a meo di u multiplo itero di 2π, cioè vale la seguete 3.2. Proposizioe. Siao z = ρ(cos α + i si α) e z = ρ (cosα + i si α ) due umeri complessi. Allora z = z se e solo se ρ = ρ e α α = 2kπ, per u opportuo k Z Esempio. Sia z = 1 + i. Allora z = (1 + 1) 1/2 = 2; arg(z) = α è soluzioe di cos α = 1 2 si α = 1. 2 Duque, ad esempio, α = π/4; pertato z = 2(cos π/4 + i si π/4) è la rappresetazioe trigoometrica di z. La rappresetazioe trigoometrica è particolarmete utile per il calcolo del prodotto di due umeri complessi e i particolare per calcolare le poteze di u umero complesso. Ifatti, sia z = a + ib = ρ(cosα + i siα) e z = a + ib = ρ (cos α + i si α ). Duque zz = ρρ [(cos αcos α si α si α ) + i(si α cos α + cos α siα )] 5

6 da cui, per le ote formule trigoometriche: zz = ρρ (cos(α + α ) + i si(α + α )). (1) Cioè il prodotto di due umeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli e per argometo la somma degli argometi. I particolare z 2 = ρ 2 (cos2α + i si 2α) e i geerale vale la seguete: 3.3. Proposizioe. Per ogi itero positivo si ha 4. Radici -esime di u umero complesso z = ρ (cos α + i si α). (2) Come visto i precedeza, il umero i è ua soluzioe dell equazioe X 2 = 1. Poiché C è u campo, ache i appartiee a C; ioltre è ovviamete soluzioe della stessa equazioe. Ci chiediamo se i e i soo tutte le soluzioi di questa equazioe e, più i geerale, come calcolare tutte le soluzioi dell equazioe X = z, ove z è u umero complesso. Se z è reale, le soluzioi reali di tale equazioe soo be ote; ifatti se è dispari esiste ua ed ua sola soluzioe reale, che si deota co z. Se ivece è pari e z reale positivo, si hao due soluzioi reali deotate co ± z. Ifie essua soluzioe reale si ha per pari e z reale egativo. Sia ora z u qualuque umero complesso e sia x ua soluzioe dell equazioe, cioè u umero complesso tale che x = z. Rappresetiamo z e x i forma trigoometrica: z = ρ(cosα + i si α) ; x = σ(cosφ + i si φ). Sostituedo i x = z si ha: σ (cosφ + i siφ) = ρ(cosα + i si α). Pertato, per la proposizioe 2.4, σ = ρ e φ α = 2kπ, per k Z. Duque σ = ρ ; Posto φ k = α+2kπ, osserviamo che φ 0 = α, φ = α + 2kπ φ 1 = α + 2π,, φ 1 = co k Z. α + 2( 1)π. Le fuzioi trigoometriche seo e coseo degli agoli φ k soo distite per ogi k = 0, 1,..., 1, i quato φ i φ j < 2π. Pertato ache le radici x k = σ(cosφ k + i si φ k ) soo distite per k = 0, 1,..., 1. Sia ora k = : si ottiee φ = α + 2π = α + 2π = φ 0 + 2π. Duque x = x 0. Aalogamete si può vedere che x +1 = x 1 e così via. Abbiamo duque provato il seguete 6

7 4.1. Teorema. L equazioe X = z, co z C e z 0 ha soluzioi complesse distite x 0,..., x 1 (dette radici -me di z) della forma x k = σ(cos φ k + i si φ k ), per k = 0, 1,..., 1 ove σ = z e φ k = arg(z)+2kπ Osservazioe. Notiamo che tutte le x k hao modulo uguale, pari a σ. Ioltre gli argometi distiti φ 0, φ 1,..., φ 1 soo tali che φ i φ i 1 = 2π/, per ogi i. Nel piao di Argad Gauss si rappresetao perciò come puti apparteeti al cerchio di cetro O e raggio σ, che dividoo l agolo 2π i parti uguali, a partire da α/. I altri termii gli x k rappresetao i vertici di u poligoo regolare di lati iscritto ella circofereza di raggio σ Esempio. Le soluzioi di X 2 = 1 soo: x k = (cosφ k + i si φ k ), k = 0, 1. Scrivedo 1 i forma trigoometrica 1 = cos 0 + i si0, si vede che α = 0 e quidi φ 0 = 0, φ 1 = 2π/2 = π. Pertato x 0 = cos 0 + i si 0 = 1, x 1 = cos π + i si π = Esempio. Le soluzioi di X 3 = 8 soo: x k = 2(cosφ k + i si φ k ), k = 0, 1, 2. Poiché 8 = 8(cos0+i si 0), α = 0 e quidi φ 0 = 0, φ 1 = 2π/3, φ 2 = 4π/3. Da cui: x 0 = 2, x 1 = 2(cos 2π/3 + i si2π/3) = 1 + i 3, x 2 = 2(cos 4π/3 + i si4π/3) = 1 i Geometria aalitica del piao Ricordiamo che ua retta del piao è il luogo dei puti del piao le cui coordiate (x, y) soddisfao u equazioe del tipo ax + by + c = 0 dove a, b, c soo parametri reali e a e b o soo etrambi ulli. I particolare, se b 0, dividedo ambo i membri della precedete equazioe per b, si ottiee u equazioe equivalete (detta equazioe ormale) del tipo: y = mx + q. Il umero m si dice coefficiete agolare della retta ed è facile vedere che coicide co la tagete dell agolo che la retta forma co la direzioe positiva dell asse delle x. Il umero q si dice itercetta e coicide co l ordiata del puto di itersezioe della retta co l asse y. Si oti che l equazioe ormale o descrive tutte le rette del piao: soo escluse quelle parallele all asse x, che corrispodoo al caso b = 0, e soo del tipo x = k. Vale il seguete fatto: 5.1.Proposizioe. Siao r ed r due rette del piao di equazioi: r : y = mx + q ; r : y = m x + q. 7

8 Allora: r e r soo parallele m = m ; r e r soo ortogoali mm = 1. Diamo ora qualche ceo sulle coiche, itroducedole come luoghi geometrici, cioè come isiemi di puti del piao caratterizzati da proprietà geometriche Defiizioe. - Si dice ellisse il luogo dei puti del piao per i quali è costate la somma delle distaze da due puti fissati (detti fuochi). - Si dice iperbole il luogo dei puti del piao per i quali è costate la differeza delle distaze da due puti fissati (detti fuochi). - Si dice parabola il luogo dei puti del piao equidistati da u puto fissato (detto fuoco) e da ua retta fissata (detta direttrice). I u opportuo sistema di riferimeto, le equazioi delle coiche itrodotte sopra hao ua forma particolarmete semplice, detta forma caoica: ellisse: x 2 a + y2 2 b = 1 2 x 2 iperbole: a 2 y2 b 2 = 1 parabola: y = 2px 2. Tuttavia, i geerale, ua coica è il luogo puti del piao di coordiate (x, y) che soddisfao u equazioe poliomiale di secodo grado i due variabili, cioè del tipo: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0. 8