A.S ABSTRACT

Transcript

1 ILLUSIONI GEOMETRICHE E NUMERI DI IBONACCI A.S GUGLIELMO SACCO (C) ENRICO IZZO (C) ABSTRACT I questo articolo vegoo messe i luce alcue "illusioi" geometriche elle quali giocao u ruolo chiave le proprietà dei umeri di iboacci.. PREREQUISITI Iiziamo itroducedo i umeri di iboacci e le loro proprietà. I NUMERI DI IBONACCI La successioe di iboacci è ua successioe di umeri iteri aturali defiibile assegado i valori dei due primi termii, 0 : ed :, i modo tale che per ogi successivo sia : - - co > ; ; ; 3; 5; 8; 3; ; 34. ecc Di particolare utilità per la dimostrazioe è la proprietà secodo la quale: il ite che tede ad ifiito del rapporto tra u umero tra il suo precedete è uguale al umero irrazioale 5 ϕ,68.. (umero aureo). IDENTITÀ DI CASSINI Per ogi si ha: ( ) Dimostrazioe (per iduzioe) Per, si ha ( ) 0 Suppoiamo ora che sia vera: ( ) e proviamo che: ( ) Da, ricaviamo e,

2 sostituedo i ( ) troviamo ( ) ( ) cioè ( ) ( ) che o è altro che l idetità ( ) cambiata di sego. 3. L'ILLUSIONE DEI QUADRATI 3. COSTRUZIONE Il puto di parteza della costruzioe è quello di tracciare i puti della serie di iboacci su di ua semiretta, otteedo il seguete risultato: Cotiuado, si costruiscoo quadrati aveti come dimesioi i umeri di iboacci corrispodeti: 3 5 8

3 Tracciado gli assi cartesiai e colorado diversamete ogi quadrato, si tracci ua liea che passi per il vertice i alto a destra di ogi quadrato escludedo il primo. Ad ua prima osservazioe sembrerebbe ua retta, ovvero che esista ua retta che passi per il vertice i alto a destra di ogi quadrato ad eccezioe del primo. Tuttavia o è così: la retta che abbiamo tracciato o appartiee a tutti i vertici i alto a destra dei quadrati, come poteva sembrare ad ua prima osservazioe. Lo scarto co il quale la retta o appartiee ai vertici o è casuale. E che questo scarto si matiee costate all'ifiito per tutta la serie dei umeri di iboacci, è possibile dimostrarlo el modo che segue. 3. LA RETTA CARTESIANA La dimostrazioe ecessita di richiami sul coefficiete agolare di ua retta Defiizioe il coefficiete agolare di ua retta el piao cartesiao è il valore del parametro "m" ell'equazioe: mq. Proprietà Il coefficiete agolare rappreseta ioltre la tagete dell'agolo α che la retta forma co il semiasse positivo delle, ovvero mta α.

4 Il coefficiete agolare della retta passate per i puti P( P ; P ) e Q( Q ; Q ) vale: P Q m P Q 3. ALLINEAMENTO DI TRE VERTICI DI TRE QUADRATI CONSECUTIVI. Se applichiamo la formula del coefficiete agolare alla retta passate per i vertici del secodo e del terzo dei quadrati costruiti, cioè la retta passate per i puti A(;) e B(4;) si ottiee m 4 Se vogliamo ripetere il calcolo per il terzo e il quarto dei quadrati costruiti, dobbiamo 3 cosiderare i puti B(4;) e C(7;3). Si ottiee i questo caso: m Avedo le due rette coefficiete agolare diverso, i puti o soo allieati, come poteva apparire iizialmete C(7;3) B(4;) A(;). Questo ragioameto può essere geeralizzato per ua qualuque tera di vertici cosecutivi, ovvero per le tere di puti. Osserviamo itato che se P ( ; ) e P ( ; ) soo due vertici i alto a destra di due quadrati cosecutivi si ha: e Presi ora tre vertici cosecutivi P, P e P dimostriamo che i coefficieti agolari delle rette P P e P P soo diversi e che quidi i tre puti o soo allieati. Per quati visto prima i due coefficieti agolari valgoo:

5 , m, m E allora sufficiete dimostrare che:. Per assurdo se fosse: allora e questo cotraddice l idetità di Cassii (vedi ) Quidi si giuge alla coclusioe che i puti o soo allieati, tuttavia estededo questo ragioameto per che tede all'ifiito, si oti come il coefficiete agolare della illusoria retta si avvicii sempre più al valore: Ifatti ricordado che: e che vale si ha: -

6 4. L'ILLUSIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI. 4.. SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE. I geometria il secodo teorema di euclide è u teorema cocerete il triagolo rettagolo e può essere euciato i due modi diversi a secoda della proprietà che si desidera sottolieare: a) mediate l'equiestesioe tra figure: I u triagolo rettagolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipoteusa è equivalete al rettagolo che ha per lati le proiezioi dei due cateti sull'ipoteusa. b) mediate relazioi e segmeti: I u triagolo rettagolo l'altezza relativa all'ipoteusa è media proporzioale tra le proiezioi dei due cateti sull'ipoteusa. h c c Se idichiamo co c, c e h rispettivamete le lughezze delle proiezioi dei due cateti e l altezza relativa all ipoteusa si ha: c c h COSTRUZIONE Utilizzado acora l idetità di Cassii ( ) è possibile co tre umeri di iboacci cosecutivi costruire dei falsi triagoli rettagoli che soddisfao il secodo teorema di Euclide a meo di ua uità. L'errore che si commette è sempre di ±. Se ad esempio si costruisce u triagolo di altezza 5 e proiezioi dei lati sulla base pari a 3 e 8 assega all'altezza ed alle due basi che si formao tre umeri cosecutivi di iboacci (es: 3,5 e 8) si ottiee l apparete triagolo rettagolo i figura: L illusioe cresce co l aumetare della gradezza dei umeri di iboacci scelti.

7 5. CONCLUSIONE. Il presete lavoro ha messo i luce alcue curiose proprietà dei umeri di iboacci che be si prestao alla costruzioe di figure igaevoli (vedi [4] pag.46). Ne viee fuori da ua parte la ricchezza delle proprietà di questa importati umeri, ma ache la ecessità e la poteza della matematica che co i suoi strumeti aalitici riesce a svelare le illusioi prodotte da ua erroea percezioe della realtà. 6. BIBLIOGRAIA E SITOGRAIA [] [] Massimo Bergamii, Aa Trifoe, Graziella Barozzi, Talete Le gradezze geometriche, la similitudie, lo spazio, Zaichelli [3] [4] Nicholas alletta, Il libro dei paradossi, Logaesi