1. Suddivisione di triangoli

Transcript

1 1. Suddivisioe di triagoli 1.1 Il problema proposto da Silvao Rossetto La costruzioe descritta dalla figura seguete divide il triagolo C, rettagolo i, i due parti equiestese: r t s C g P g 1 K M 1

2 1) Precisare la costruzioe e dare ua dimostrazioe; ) estedere la costruzioe i modo che il triagolo sia diviso i tre parti equiestese; ) descrivere la successioe dei segmeti K 1, K, K,, K, (K ) ella suddivisioe del triagolo i parti equiestese. Si può estedere questa costruzioe della divisioe i aree equivaleti ad altre classi di triagoli? Ci soo altre costruzioi, che rispettio altre codizioi, per la suddivisioe del triagolo i aree equivaleti?

3 1. Suddividere u triagolo i parti equiestese di Silvao Rossetto, Nio zaloe, ldo oiti, Maria atii, Giovai Porcellao, Silvia Porretti, Gaetao Speraza Il problema è suddiviso i cique parti. Parte prima: precisare la costruzioe e dare ua dimostrazioe. La prima richiesta del problema è di iterpretare la figura (che si immagia trovata i u testo seza tate spiegazioi) e di dare ua dimostrazioe. Per chi usa Cabri è del tutto aturale pesare alla costruzioe della figura co questo programma. Il problema può idicare u modo di proporre esercizi di geometria i laboratorio: si propoe ua figura co elemeti caratterizzati da date proprietà, si chiede di costruirla co u software di geometria diamica (iterpretado ed esplicitado le dovute relazioi tra gli elemeti della figura), sulla figura poi si esplorao ulteriori proprietà o relazioi. Descriviamo la costruzioe della figura co Cabri: 1) Disegare il segmeto ; ) portare per la perpedicolare r ad ; ) su r predere il puto C; 4) costruire M puto medio di ; 5) disegare la circofereza g 1 di cetro M e raggio M; 6) costruire la perpedicolare s ad passate per M; 7) segare il puto P, itersezioe di s co la circofereza g 1 ; 8) disegare la circofereza g di cetro e raggio P; 9) segare il puto K, itersezioe di g co il lato ; 10) costruire la perpedicolare t al lato passate per K. La retta t divide il triagolo i due parti equivaleti: Cabri forisce ua coferma sperimetale attraverso gli strumeti poligoo e area che possiamo usare per mettere alla prova la cogettura e passare poi alla sua dimostrazioe. Prima della dimostrazioe possiamo ache cercare se il fatto che il triagolo C è retto i (cioè il puto C è preso sulla retta r perpedicolare ad ) è esseziale per la costruzioe. questo scopo si può svicolare C dalla retta r. Co Cabri si usa lo strumeto Ridefiizioe di u oggetto del meù delle costruzioi.

4 Spostado C fuori dalla retta (fig. 1) si osserva facilmete che le due aree o soo più i relazioe: torao ad esserlo se la retta t viee presa parallela al lato C e o perpedicolare al lato (fig. ). r t s C g H P g 1 K M Figura 1 Questa osservazioe apre la strada alle dimostrazioi di questo e dei puti successivi. Studiamo il caso della figura, cioè il caso di u triagolo qualsiasi. I triagoli C e KH (H itersezioe di t co C) soo simili (lati paralleli): il rapporto delle aree è il quadrato del rapporto di similitudie. 4

5 C t s g H P g 1 K M Figura Calcoliamo il rapporto di similitudie dei due triagoli C e KH: K P e quidi, passado al quadrato, l area del triagolo KH è metà dell area del triagolo C. Secoda parte: estedere la costruzioe i modo che il triagolo sia diviso i tre parti equiestese. Ripartiamo dal geerico triagolo C. Dividiamo il lato i tre parti uguali (fig. ). 5

6 Descriviamo la costruzioe della figura co Cabri: 1) Disegare u puto C o apparteete alla retta r passate per e ; ) disegare la retta s passate per e C; ) disegare la circofereza g 1 di cetro C e raggio C; 4) segare il puto D, itersezioe di r co la circofereza g 1 ; 5) disegare la circofereza g di cetro D e raggio DC; 6) segare il puto E C, itersezioe di s co la circofereza g ; 7) disegare la retta t passate per ed E; 8) costruire la retta t 1 passate per D e parallela a t; 9) segare il puto M 1, itersezioe di t 1 co r; 10) costruire la retta t passate per C e parallela a t; 11) segare il puto M, itersezioe di t co r. t t 1 t s r M M 1 C g D g 1 E Figura 6

7 Tracciamo la circofereza g di diametro. Portado per M 1 ed M le perpedicolari ad, si segao i puti P 1 e P loro itersezioi co la circofereza g (fig. 4). Putado i si tracciao le circofereze g 1 e g che itersecao i K 1 e K. Dimostriamo che le parallele per K 1 e K al lato C dividoo il triagolo i tre parti equiestese. g g 1 C H P P 1 g H 1 K M K 1 M M 1 Figura 4 Poiché il problema chiede che le aree dei tre triagoli K 1 H 1, K H, C siao i rapporto 1/, /, 1, il rapporto tra i rispettivi lati dovrà essere:,, 1 7

8 Ed ifatti possiamo calcolare: K P M M P 1 1 ( ) + ( ) e, i modo aalogo, ( ) K P M M P ( ) + ( ) 1 + ( ) Co questo è dimostrata la secoda parte. Parte terza: descrivere la successioe dei segmeti K 1, K, K,, K (K ) ella suddivisioe del triagolo i parti equiestese. Chiedere che il triagolo sia segmetato i parti equiestese, equivale a chiedere che i corrispodeti triagoli abbiao aree i rapporto: 1/, /, /,, m/,, 1 co l area del triagolo C dato. Le basi di tali triagoli dovrao essere ei segueti rapporti co il lato del triagolo dato:,,,..., m,..., 1 Per la dimostrazioe possiamo calcolare, come sopra, l m-esimo e- lemeto della sequeza: 8

9 K M M P m m m m m P ( ) + ( ) ( ) m + m m m m e costatare che corrispode a quello atteso. Quarta parte: Si può estedere questa costruzioe della divisioe i aree equivaleti ad altre classi di triagoli? questa domada si è già risposto sopra osservado che il fatto che il triagolo sia rettagolo o ha relazioe co la soluzioe espressa. Il problema azi si può riformulare el modo seguete: dato u triagolo dividerlo i parti equiestese co rette parallele ad uo dei lati. Questa formulazioe può suggerire ua prima variate del problema: dato u triagolo lo si divida i due parti equiestese co ua retta parallela rispetto a ciascuo dei tre lati (come i figura 5); dimostrare che il rapporto tra l area del triagolo itero e quello dato è costate. C rea di z 0, cm rea di C, cm Rapporto tra le aree 0, x H y z y x y x K K' Figura 5 9

10 Il triagolo C viee diviso a metà tre volte dalle tre rette parallele ai lati. Le tre rette dividoo il triagolo i sette parti: parallelogrammi (x), trapezi (y) e il triagolo z. I tre parallelogrammi soo equiestesi ifatti per la costruzioe K K ' 1 e lo stesso vale per i segmeti corrispodeti sugli altri lati. Di cosegueza ache i trapezi (y) soo equiestesi (per differeza di aree). Ioltre per la bisezioe si ha: x + y + z x + y; da cui segue la relazioe y + z x. Dalle codizioi del problema si può ricavare il sistema (riga #1 del listato seguete, che riporta i calcoli svolti co Derive) e, dato che x è doppio dell area del triagolo KH (simile al triagolo C, riga #), calcolare l area di z posta uguale a 1 l area di C. Quita parte: Ci soo altre costruzioi, che rispettio altre codizioi, per la suddivisioe del triagolo i aree equivaleti? Le costruzioi più semplici, forse troppo, soo quelle della suddivisioe i triagoli otteuti dividedo la base i parti uguali e uedo i 10

11 puti co il vertice opposto, oppure suddividedo il triagolo i triagoli uguali (e simili a quello dato) tagliadolo co rette equidistati parallele ai lati. Ci soo però altre codizioi che portao a costruzioi più itrigati e iteressati: 1. dividere il triagolo i due parti co ua retta perpedicolare ad u lato; le tre rette perpedicolari ai lati, che dividoo il triagolo a metà, cocorroo ello stesso puto?. dato il triagolo e fissato u puto el piao, tracciare la retta per il puto che divide il triagolo i due parti uguali. 1. Ipotesi di utilizzo didattico di Silvao Rossetto Il problema si propoe come modalità di utilizzo del laboratorio d iformatica per svolgere co la classe u attività di approfodimeto: si propoe ua costruzioe geometrica co ua figura e qualche relazioe esseziale. Si chiede di precisare la costruzioe, di formulare cogetture, di dimostrare qualche proprietà, di esplorare estesioi ecc. Per questo problema è sembrato aturale l utilizzo del programma di geometria diamica Cabri. Il problema si presta ad attività a diversi livelli scolastici. Si può proporre al bieio come applicazioe della similitudie. Nelle esperieze codotte si è otata ua difficoltà degli allievi, dovuta ache al periodo e ai tempi dispoibili, di risolvere autoomamete il problema. Sembra poi di osservare egli allievi ua maggiore familiarità co il rapporto di similitudie (lieare) e ua difficoltà a vedere il rapporto tra le aree. Nell esplorazioe delle estesioi, si può icappare i problemi che o si sao risolvere, pur essedo espressi i termii del tutto elemetari. Questo o deve essere temuto dall isegate come u pericolo, ma essere visto come ua importate opportuità didattica per mostrare agli allievi ache questo aspetto della matematica e il fatto, che dovrebbe essere ovvio, che da ua parte esistoo acora questioi aperte e dall altra l isegate o è il depositario di ua verità rivelata. 11