Esercizi sul principio di induzione

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1 Esercitazioi di Aalisi I, Uiversità di Trieste, lezioe del 0/0/008 Esercizi sul pricipio di iduzioe Esercizio Dimostrare per iduzioe che ( + ), Risoluzioe Le dimostrazioi di ua proprietà P() per iduzioe si basao sempre sul seguete schema: Cosidera il più piccolo valore ammissibile per, diciamolo e prova che P() è vera Dimostra il teorema costituito dalle segueti ipotesi e tesi Hp: P() (cioè la proprietà da dimostrare); Th: P( + ) (cioè la proprietà da dimostrare, ma corrispodete al valore + ) Nel ostro caso: P() si scrive: Hp: che è baalmete vera ( + ), ; ( + )( + ) Th: ( + ), No esistoo strategie uivoche per procedere ella dimostrazioe I casi come quello proposto dove si tratta di provare ua uguagliaza (o ache ua disuguagliaza) l idea base è quella di cercare di esamiare la tesi ed evetualmete di riscriverla i modo da farvi comparire le parti della formula che compaioo ell ipotesi, così da poter sfruttare l ipotesi stessa Nel ostro caso abbiamo ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + )( + ) abbiamo usato l ipotesi (cioè la P()) el passaggio segato co ( ) A questo puto o ci resta che osservare che il risultato otteuto è esattamete quello che si voleva provare Esercizio Dimostrare che se a è u umero reale co a >, allora ( + a) + a, N Risoluzioe Seguedo lo schema idicato dobbiamo procedere co i segueti due passi Dimostrare P(0): ( + a) a, cosa che è baalmete vera Dobbiamo procedere co la dimostrazioe Hp: ( + a) + a; Th: ( + a) + + ( + )a È chiaro che per poter utilizzare l ipotesi occorre che ella formula da dimostrare compaia ( + a) Si può procedere come di seguito idicato ( + a) + ( + a) ( + a) ( ) ( + a)( + a) + a + a + a ( ) + a( + ) + a ( 3) + ( + )a Nel passaggio segato co ( ) abbiamo usato sia l ipotesi che il fatto che ( + a) > 0 i quato a > Nel passaggio segato co ( ) abbiamo raccolto a solo tra il secodo e il terzo termie, lasciado isolato il quarto, perché i questo modo abbiamo potuto otteere u espressioe che cotiee tutti gli addedi preseti al secodo membro della tesi Nel passaggio segato co ( 3 ) abbiamo utilizzato il fatto che a > 0 e duque trascurado questo addedo la somma dimiuisce Abbiamo così provato la tesi ; Luciao Battaia

2 Esercitazioi di Aalisi I, Uiversità di Trieste, lezioe del 0/0/008 Esercizio 3 Dimostrare che ( ), Risoluzioe Procediamo co lo schema ormai abituale P(): 3, che è baalmete vera Hp: ( ) ; Th: ( + ) 3 ( ( + )) La formula da dimostrare cotiee, sia al primo che al secodo membro, ua somma co u umero variabile di addedi, espressioe che è quasi sempre difficile da gestire Possiamo però ricordare la formula provata ell esercizio (), riscrivedo sia l ipotesi che la tesi come segue ( ) ( + ) Hp: ; ( ) ( + )( + ) Th: ( + ) 3 Ora possiamo procedere seguedo lo stesso schema dei precedeti esempi, cioè cercado di riscrivere la tesi i modo da poter facilmete utilizzare l ipotesi ( ) ( + ) 3 ( ) + ( + ) 3 ( ) ( + ) + ( + ) 3 ( ) ( ( + ) + ( + ) ( + ) ) ( ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) 4 Nel passaggio segato co ( ) abbiamo usato l ipotesi Il risultato otteuto è esattamete quato si voleva provare Esercizio 4 Provare che > +, > Risoluzioe P(3): 3 > 3 +, che è baalmete vera () Hp: > + ; Th: ( + ) > ( + ) Per poter utilizzare l ipotesi dobbiamo far comparire il termie ella tesi ( + ) + + ( ) > ( + ) + + ( ) ( 3) > + 3 Nel passaggio segato co ( ) abbiamo usato l ipotesi Nel passaggio segato co ( ) abbiamo operato i modo da far comparire gli addedi che soo preseti al secodo membro della formula da dimostrare Nel passaggio segato co ( 3 ) abbiamo utilizzato il fatto che > 0, visto che >, e quidi trascurado l addedo si ottiee ua quatità più piccola Esercizio 5 Provare che, per ogi N Risoluzioe è divisibile per La formula provata ell esercizio è molto importate e adrebbe memorizzata Si tratta di ua formula storicamete famosa i quato pare che Gauss, all età di 8 ai, e avesse provato il caso particolare co 00 durate u esercizio assegato i classe, forse per puizioe, dal suo maestro Si osservi che la proprietà da dimostrare o è vera per Luciao Battaia

3 Esercitazioi di Aalisi I, Uiversità di Trieste, lezioe del 0/0/008 3 P(0): 9 +, che è chiaramete divisibile per Hp: è divisibile per Th: (+)+ è divisibile per I questo caso abbiamo ua prima difficoltà rispetto agli esercizi precedeti, dove la proprietà da dimostrare era già espressa da ua formula sulla quale abbiamo fatto delle maipolazioi algebriche: ache i questo caso coverrà riscrivere sia l ipotesi che la tesi traducedo la proprietà data co ua formula Hp: k per u opportuo valore di k N Th: (+)+ h per u opportuo valore di h N Possiamo ora procedere seguedo lo schema più volte adottato (#) (+) Abbiamo operato i modo da fare comparire gli stessi addedi che compaioo ell ipotesi Purtroppo o possiamo usare direttamete il primo membro della formula che compare ell ipotesi; possiamo però riscrivere riscrivere l ipotesi stessa i uo dei due modi che seguoo: 9 + k 6+ oppure 6+ k 9 + Utilizzado la prima di queste due espressioi (ma sarebbe lo stesso se utilizzassimo la secoda), possiamo procedere co la formula (#) (+) (k 6+ ) che è esattamete quato si voleva provare 99k k (9k ) h, Esercizi su estremo superiore e iferiore i R Esercizio 6 Si determiio gli estremi superiore e iferiore del seguete isieme di reali, precisado ache se si tratta oppure o di massimo o miimo A + N, > 0 Risoluzioe Comiciamo co l osservare che l isieme A è limitato sia superiormete che iferiormete Proviamo ora, come coviee spesso fare i situazioi come questa, a scrivere esplicitamete alcui elemeti dell isieme (cioè a tetare di scrivere l isieme stesso per elecazioe, aziché mediate proprietà caratteristica): i molti casi (ma o sempre!) questo aiuta a compredere la struttura dell isieme stesso valori di elemeti di A / /3 3 3/4 La tabella suggerisce che, al crescere di, gli elemeti dell isieme crescoo avvicadosi sempre più a, seza mai arrivarci La cosa è cofermata se si riscrive il geerico elemeto di A ella forma seguete: + + : ora la supposta cresceza è resa evidete dal fatto che /( + ) decresce (si tratta di ua frazioe co umeratore costate e deomiatore crescete) L estremo iferiore dell isieme, che coicide co il miimo, sarà allora /, metre l estremo superiore sarà e l isieme o ha massimo Luciao Battaia

4 Esercitazioi di Aalisi I, Uiversità di Trieste, lezioe del 0/0/008 4 La verifica che è proprio l estremo superiore si può fare direttamete utilizzado le due proprietà dell estremo superiore stesso: sup(a) x, x A; ε > 0 esiste almeo u x A tale che x > sup(a) ε (cioè se mi piazzo appea a siistra di sup(a) devo trovare alla mia destra almeo u elemeto di A (che potrebbe ache essere sup(a) stesso el caso che sup(a) sia cotemporaeamete massimo) La prima propietà è ovvia i questo caso; per la secoda scegliamo ε > 0 e cerchiamo, se ve e soo, tutti gli elemeti di A che soo maggiori di ε + > ε + > ε + < ε + > ε > ε, e di siffatti ce e soo addirittura ifiiti (si ricordi che l isieme dei aturali maggiori di u qualuque aturale è sempre ifiito) Osservazioe La difficoltà ella risoluzioe di esercizi sulla ricerca di estremi superiore e iferiore è legata al fatto che, a questo puto del corso, o soo dispoibili gli strumeti fodametali dell aalisi (limiti e derivate) e quidi bisoga fare solo ragioameti elemetari Dispoedo delle teciche che sarao successivamete studiate, si sarebbe potuto tracciare il grafico della fuzioe f(x) x /(x + ) per dedure poi quello della successioe / +, dal cui esame sarebbe stato elemetare trarre le coclusioi per questo problema Si vedao i grafici qui di seguito Esercizio 7 Si determiio gli estremi superiore e iferiore del seguete isieme di reali, precisado ache se si tratta oppure o di massimo o miimo x A x + x R Risoluzioe La strategia risolutiva o può ripercorrere quella dell esercizio precedete Possiamo itato osservare che l estremo superiore e iferiore di A esistoo sicuramete perché A è limitato sia Luciao Battaia

5 Esercitazioi di Aalisi I, Uiversità di Trieste, lezioe del 0/0/008 5 superiormete che iferiormete Dodiché possiamo provare a valutare quali siao i reali che appartegoo a questo isieme (i termii della fuzioe f(x) x /(x + ) si tratta di trovare l isieme immagie), adado a vedere per quali λ R è possibile trovare u x tale che Si trova, successivamete, x x + λ x x + λ x λ(x + ) λx x + λ 0 Quest equazioe ha soluzioi se λ 0 (el qual caso ha la soluzioe x 0) e, se λ 0, quado il discrimiate è o egativo, ovvero per λ Se e deduce che l isieme A può essere scritto come [ A, ] Questo premette di cocludere immediatamete che sup(a) max(a), if(a) mi(a) Ache i questo caso il tracciameto del grafico della fuzioe f(x) x /(x + ) avrebbe risolto subito tutti i problemi Esercizio 8 Si determiio gli estremi superiore e iferiore del seguete isieme di reali, precisado ache se si tratta oppure o di massimo o miimo 3 A 4 + N, > 0 Risoluzioe Osserviamo che l isieme è evidetemete iferiormete limitato metre sempre o essere superiormete limitato, perché al crescere di il umeratore della frazioe 3 /(4 + ) cresce molto più rapidamete del deomiatore Proviamo ache qui a costruire ua tabella coteete gli elemeti dell isieme A corrispodeti ai primi valori di valori di elemeti di A 3/5 4/3 3 7/3 Luciao Battaia

6 Esercitazioi di Aalisi I, Uiversità di Trieste, lezioe del 0/0/008 6 La tabella suggerisce che si tratta successioe crescete al crescere di Proviamo a riscriverla i u altro modo, eseguedo la divisioe del umeratore per il deomiatore, co la regola della divisioe di poliomi [ /6 ] [ (4 + ) ] 6 Questa scrittura mostra che gli elemeti dell isieme si ottegoo, a parte il fattore moltiplicativo 3, sommado il valore costate /6 a 4 + 6(4 + ) Quest ultima è la somma tra ua quatità che cresce al crescere di, co ua distaza costate di /4 tra u termie e il successivo, e ua quatità che decresce al crescere al crescere di, ma co ciascu termie largamete iferiore a /4: la somma risulta essere quidi crescete al crescere di Duque si ha mi(a) 3, sup(a) + 5 La cresceza della successioe a mostrado che a + > a : /(4 + ) poteva ache essere verificata co calcolo diretto, a + > a la qual cosa è palesemete vera ( + ) > > 0, Esercizio 9 Si determiio gli estremi superiore e iferiore del seguete isieme di reali, precisado ache se si tratta oppure o di massimo o miimo 3 si A N, > 0 Risoluzioe Poiché 3 si si 3, l isieme risulta essere limitato (0 si / ) Ioltre, al crescere di, si / tede sicuramete a 0 Quidi 3 è cadidato a essere il sup(a) Proviamoe direttamete la secoda proprietà (la prima è evidete) Fissato ε > 0, adiamo a cotrollare se ci soo elemeti dell isieme che superao 3 ε: 3 si > 3 ε si Poiché si, basterà risolvere < ε, ovvero > ε, che ha ifiite soluzioi Duque 3 è il sup dell isieme ma o è il max perché si > 0 per ogi Per la ricerca dell if, o del mi, basterà trovare il più grade dei umeri si / Ora si si < ε >, perché π 6 < < π e si π 6 Per tutti gli altri si ha si < Questo basta per cocludere che 3 si è il miimo dell isieme Luciao Battaia