Principio di induzione e sue applicazioni

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1 Uità didattica di matematica Luca Aluffi Pricipio di iduzioe e sue applicazioi Collocazioe Questa uità didattica è idirizzata ad ua classe III di u liceo scietifico tradizioale ed è da affrotare ella secoda parte del I quadrimestre. Modulo di apparteeza: Ricorsioe, progressioi e iduzioe La scasioe del modulo i uità didattiche è la seguete: U.D 1: Successioi umeriche e ricorsioe U.D : Progressioi aritmetiche e geometriche U.D 3: Pricipio di iduzioe matematica Prerequisiti Per affrotare i maiera adeguata l uita didattica, è ecessario che gli alui posseggao i segueti prerequisiti: L isieme dei umeri aturali Modelli ricorsivi e successioi defiite per ricorreza Progressioi aritmetiche e geometriche No credo che sia ecessaria ua verifica a parte dei prerequisiti, poiché le idicazioi sulle coosceze ecessarie alla compresioe di questa uità didattica possoo essere dedotte dalle verifiche sommative delle uità didattiche precedeti. 1

2 Obiettivi Possiamo distiguere fra obiettivi cogitivi (sapere) e obiettivi operativi (saper fare). SAPERE (Obiettivi cogitivi) Compredere il sigificato di u ragioameto iduttivo. Compredere la differeza fra idagie scietifica e dimostrazioe matematica. Compredere tutti i passi della verifica di u processo di iduzioe. SAPER FARE (Obiettivi operativi) Saper eseguire semplici dimostrazioi per iduzioe. Saper applicare il pricipio d iduzioe alle progressioi aritmetiche e geometriche. Saper applicare il pricipio d iduzioe a dimostrazioi di tipo geometrico. Saper ricooscere i limiti di applicabilità del ragioameto iduttivo. Coteuti e tempi CONTENUTI TEMPI Itroduzioe al cocetto di iduzioe. Differeza fra idagie scietifica e dimostrazioe matematica. Difficoltà el geeralizzare cocetti di carattere particolare. Il pricipio di iduzioe matematica. Esercizi. Verifica formativa e correzioe. ore ore 1 ora Il pricipio di iduzioe matematica geeralizzato. Applicazioi del pricipio di iduzioe alla progressioi aritmetiche e geometriche. ore Verifica sommativa. TOTALE: ore 9 ore

3 Metodologia e strumeti Per quato riguarda la metodologia, verrao affiacate a lezioi di tipo frotale, lezioi iterattive, per stimolare l iteresse e la partecipazioe attiva degli studeti. Nella trattazioe verrao utilizzati lavori di gruppo sotto la supervisioe dell isegate, ma verrà ache richiesta la collaborazioe idividuale degli alui ell eseguire dimostrazioi alla lavaga. Per quato riguarda gli strumeti, è richiesto l utilizzo solo della tradizioale lavaga e del libro di testo. Verifiche Si prevede ua verifica formativa della durata di 30 miuti relativa alla prima parte dell uità didattica co domade teoriche a completameto e domade a risposta chiusa, mirate ad accertare la compresioe e la coosceza degli argometi trattati. Si prevede quidi ua prova sommativa, della durata di ore, i cui sarao coivolti vari livelli di appredimeto (coosceza, compresioe, applicazioe, aalisi) di tutti gli argometi trattati el corso dell uità didattica. Attività di recupero Si prevede di utilizzare la mezzora successiva alla verifica formativa, per la correzioe degli esercizi alla lavaga. Per quato riguarda il recupero, verrao svolti esercizi alla lavaga sotto la guida dell isegate. Per gli alui che dimostrio ella verifica sommativa careze ella compresioe degli argometi trattati, si rederà ecessario u iterveto di recupero pomeridiao, mirato al raggiugimeto degli obiettivi ecessari per affrotare seza lacue gli argometi successivi. 3

4 Il pricipio di iduzioe e le sue applicazioi La successioe dei umeri aturali 1,, 3, 4, o ha termie poiché, dopo qualuque itero si può scrivere l itero successivo +1. Questa proprietà dell isieme dei umeri aturali si esprime dicedo che vi soo ifiiti umeri aturali. La successioe dei umeri aturali rappreseta l esempio più semplice e ituitivo dell ifiito matematico, che ha u importaza fodametale ello sviluppo della matematica modera. L iduzioe è il procedimeto che cosiste el passare da affermazioi di carattere particolare ad affermazioi di carattere geerale. Il procedimeto iverso, dal geerale al particolare, è ivece chiamato deduzioe. U esempio di affermazioe di carattere geerale è tutti i umeri che termiao co 5 soo divisibili per 5, metre u affermazioe di carattere particolare è 145 termia co 5. Dalla prima affermazioe possiamo allora dedurre che 145 è multiplo di 5. Questo ci sembra logicamete impeccabile e ache baale. Assai più fragile, dal puto di vista logico, è ivece il procedimeto dell iduzioe. Dal fatto che 145 è multiplo di 5 posso cocludere, per iduzioe, che tutti i umeri che termiao per 5 soo multipli di 5 (vero!), ma potrei ache cocludere che tutti i umeri di tre cifre soo multipli di 5 (falso!) o che tutti i umeri che iiziao co 1 soo multipli di 5 (falso!). No è sempre così ovvio quale sia la strada giusta per passare dal particolare al geerale e, soprattutto, o c è essu motivo per cui ua proprietà che vale i u caso o ache i diversi casi debba ecessariamete valere per tutti i casi. Si tratta di saper cogliere la giusta geeralizzazioe. Cosideriamo questo problema: quato vale la somma dei primi umeri aturali? Si dice che per puizioe al matematico Gauss fosse stato assegato a scuola il compito di calcolare la somma dei primi 1000 umeri aturali. Gauss trovò u modo semplice per fare il suo compito, dimostrado fi da giovae le sua gradi capacità di matematico. Pesò di scrivere i umeri da 1 a 1000 uo di seguito all altro su ua retta, e ella riga sotto gli stessi umeri i ordie decrescete:

5 Notò così che la somma dei umeri su ogi coloa è sempre uguale all ultimo umero, 1000, più 1. Il umero delle coloe è ivece pari ai umeri che si voglioo sommare, Sommado quidi tutti i umeri della tabella otterremo 1000 volte la quatità I questo modo però, poiché ogi umero è stato scritto due volte, ottego il doppio della quatità cercata Quidi la somma dei primi 1000 umeri aturali sarà: S1000 = = Questo ragioameto si può ripetere per qualuque umero prevededo così che la somma dei primi umeri aturali sarà: S ( + 1) =. A questo puto vogliamo mettere i discussioe la legittimità della geeralizzazioe che abbiamo fatto: dalla verifica di ua legge per casi particolari abbiamo dedotto la validità geerale della legge stessa. Per far capire qual è il puto debole el ragioameto seguito, prediamo i cosiderazioe la seguete proposizioe P: P : ogi umero della forma , co N, è primo. Per affrotarla, cosideriamo la famiglia di proposizioi: dove k rappreseta u qualsiasi umero aturale. P (k) : il umero k + k + 41 è primo Facciamo otare ai ragazzi che la proposizioe P è vera se e soltato se soo vere tutte le particolari P(k), al variare di k i N. Possiamo verificare isieme agli alui la verità di P(k) per i primi umeri aturali: P (1) = 43, P () = 47, P (3) = 53, P (4) = 61 Il risultato è sempre u umero primo. Ma è davvero sempre così? Diciamo che 4 casi soo troppo pochi, bisogerebbe provare acora. Ma quati? P (6) = 83, P (7) = si direbbe proprio di sì... soo tutti umeri primi. Proviamoe ache co u umero grade : P (7) = = 797. Bisogerebbe provare a vedere se 797 è primo o o. 5

6 Poiché 797 è miore di 841, che è il quadrato di 9, basta verificare che o sia divisibile per i umeri primi miori di 9. Facedo u po di coti, si può cocludere che è primo pure lui. Co u ragioameto iduttivo simile al caso precedete, sembra ovvio dedurre la validità della proposizioe per qualsiasi umero aturale; coclusioe che si rivela però errata o appea si prede i cosiderazioe il caso k = 40, per il quale si ottiee: ( ) = 40 (40 + 1) + 41 = = 41. La proposizioe P(40) risulta pertato falsa e da questo segue la falsità della proposizioe geerale. Duque ua proprietà che vale per i primi 39 umeri, può cessare di valere per il quaratesimo! Propoiamo qualche altro esempio di cogetture verificate dai primi umeri aturali, ma false i geerale. Il fatto che l iduzioe sia u processo delicato è testimoiato dal fatto che ache alcui fra i più gradi matematici el passato hao commesso qualche passo falso. Cosideriamo ua cogettura sbagliata fatta da ietemeo che Fermat! Fermat, dopo aver verificato che 0 + 1= 3, 1 + 1= 5, umeri primi, cogetturò ifatti che tutti i umeri del tipo 3 + 1= 17, + 1 = 57, soo tutti + 1 fossero primi. Più tardi però Eulero trovò che +1 è ivece u umero composto! Facedo u po di coti otteiamo ifatti che: = = ed è quidi composto. Cosideriamo u altro esempio o corretto dovuto a Leibiz. Dopo aver dimostrato che: è divisibile per 3, è divisibile per 5 e è divisibile per 7, Leibiz affermò che, per tutti i umeri dispari k, k è divisibile per k. 9 Egli stesso però si accorse i seguito che = 510 o è divisibile per 9 e che la sua cogettura era falsa. Cosideriamo u ultimo esempio la cui iesattezza è verificabile solo sviluppado programmi su computer che riescao a gestire umeri molto molto gradi. Per il biomio troviamo che, qualsiasi sia il valore di N, o riusciamo mai a otteere u quadrato perfetto. 6

7 Possiamo passare tutta la vita a sostituire a uo dopo l altro milioi e milioi di umeri seza mai otteere u quadrato perfetto. Ma ecco che se, dopo miliardi di prove, affermassimo che il biomio o è mai u quadrato perfetto commetteremmo u errore. Ifatti si è trovato che c è almeo u valore di per cui si ottiee u quadrato! Questo succede per = Questi esempi sottolieao i problemi che si possoo icotrare el geeralizzare risultati particolari: la verifica di ua proposizioe per u certo umero di casi, ache molto grade, o può garatire la sua validità geerale. Questa costatazioe sega ua differeza fodametale tra il metodo di idagie della matematica e quello delle scieze empiriche. Il metodo iduttivo dell idagie scietifica, ifatti, cosiste proprio el procedere da ua particolare serie di osservazioi di u certo feomeo alla formulazioe di ua legge geerale che govera il verificarsi di quel feomeo. Il grado di certezza co cui la legge è i tal modo stabilita dipede dal umero delle sigole osservazioi e delle coferme: ogi legge e teoria scietifica è quidi vera fio a prova cotraria, fio a quado, cioè, qualche osservazioe o qualche esperimeto o la cotraddica o e limiti la validità. Questo modo di procedere o appartiee alla matematica: ogi cogettura, seppur verificata i moltissimi casi, o rappreseta altro che u ipotesi (magari molto attedibile) e diveta u teorema soltato quado è stata dimostrata, cioè quado si può far vedere che essa è cosegueza logica ecessaria delle ipotesi che si accettao come valide. Duque alcue proprietà possiamo verificarle per molti umeri, magari per miliardi, ma questo o può garatirci la loro validità uiversale. Ci propoiamo di trovare uo strumeto matematico i grado di garatirci la validità di affermazioi otteute per iduzioe. Cosideriamo la successioe dei umeri aturali e immagiiamo che ogi umero geeri il successivo. Ecco che allora abbiamo u capostipite, il umero 1, che è ua specie di Adamo dei umeri, il quale geera il umero, che geera il 3, ecc. Diremo che ua proprietà dei umeri aturali è ereditaria se si trasmette di padre i figlio, cioè da u umero al successivo. Dire che ua proprietà dei umeri aturali è ereditaria sigifica affermare 7

8 che si trasmette da u umero al successivo e cioè che, se vale per u umero, allora vale ache per + 1. Il cosiddetto pricipio di iduzioe matematica afferma che se ua proprietà vale per il umero 1 ed è ereditaria, trasmettedosi di padre i figlio, allora vale per tutti i umeri. Per dimostrare la validità di u affermazioe per iduzioe è ecessario duque verificare: 1. che la proposizioe valga per il umero 1, (cioè per Adamo );. che se la proposizioe vale per ogi umero k, allora vale ache per il successivo k + 1, (cioè che è ereditaria). Bisoga cioè: 1. Verificare direttamete la proposizioe per = 1, detta base dell iduzioe.. Supporre valida la proposizioe per u ipotetico umero aturale che idichiamo co k (ipotesi iduttiva) e provare mediate u ragioameto logico o passaggi di tipo algebrico validi per ogi possibile valore di k, che da essa cosegue ecessariamete la validità della proposizioe per il umero successivo, cioè per k +1 (passo dell iduzioe). Questo modo di procedere ci forisce uo schema di ragioameto che ci permette di dimostrare la validità di ua certa proposizioe per tutti i umeri. Riprediamo ora il problema lasciato precedetemete i sospeso e adiamo a dimostrare, applicado la tecica ora descritta, che effettivamete la cogettura che avevamo fatto era corretta. Proposizioe La somma dei primi umeri aturali è data dalla formula per ogi umero aturale. P () : ( 1) = Dimostrazioe per iduzioe 1. Verifichiamo la base dell iduzioe: ( + ) 11 1 = 1. La proposizioe P(1) è vera. 8

9 . A partire dalla seguete ipotesi iduttiva: suppoiamo che sia vera la proposizioe P(k) per u certo umero aturale k; cioè ( + 1) k k k =, dobbiamo dimostrare che dall ipotesi iduttiva cosegue ecessariamete la validità di P ( k +1), cioè la formula che otteiamo dalla P() assumedo = k + 1 (passo dell iduzioe): k + ( k + 1) = ( k + 1) ( k + ). Cosiderado il primo membro dell uguagliaza, applicado l ipotesi iduttiva abbiamo: ( k) + ( k + 1) = kk ( + 1) ( 1) ( 1) ( 1)( ) ( 1) kk + + k + k k + k + = + + = =. Mediate passaggi algebrici che soo validi per qualsiasi umero aturale k, abbiamo così svolto il passo dell iduzioe. La ostra dimostrazioe è così termiata. Quella che, verificata solo per alcui casi, o era altro che ua semplice cogettura, ha acquistato adesso la validità uiversale di u teorema. 9

10 VERIFICA FORMATIVA 1) L iduzioe è il procedimeto che cosiste el passare da affermazioi di carattere ad affermazioi di carattere. ) Dopo aver osservato che: 1 = 1 = = 4 = = 9 = = 16 = 4 sega co ua crocetta le coclusioe che possiamo tirare: [ ] La somma dei primi umeri primi si può otteere dalla formula: [ ] La somma dei primi umeri dispari si può otteere dalla formula: [ ] I umeri dispari soo ifiiti P ( ) P ( ) [ ] No possiamo dedurre essua coclusioe seza aver provato almeo i primi 100 casi [ ] No possiamo dedurre essua coclusioe = = 3) Data l affermazioe: è sempre divisibile per 6 per ogi umero aturale. a. Verificare la base dell iduzioe. b. Idividuare l ipotesi iduttiva. c. Verificare usado l ipotesi iduttiva il passo dell iduzioe. Possiamo allora cocludere che 10

11 Esamiiamo adesso ua proprietà geometrica che la classe ha sicuramete esamiato el bieio che ci porterà ad ua geeralizzazioe del pricipio di iduzioe. I u poligoo covesso di lati, la somma degli agoli iteri è ( - ) volte agoli piatti: P () =( ) π Aalizzado l euciato della proposizioe, si può far otare alla classe che ua differeza salta immediatamete agli occhi rispetto al caso precedete: i questo caso, le proposizioi P(0), P(1) e P() o hao alcu seso, essedo almeo tre i lati di u poligoo. Chiediamo allora di suggerire qualche strada per aggirare l ostacolo e riuscire lo stesso ad applicare il pricipio d iduzioe. L idea è che ci si può riportare al caso precedete semplicemete cambiado il capostipite Adamo. Otteiamo quidi il seguete: PRINCIPIO D INDUZIONE MATEMATICA GENERALIZZATO Sia 0 u umero aturale e P ua certa proprietà che soddisfa le segueti codizioi: 1. P ) è vera; ( 0. se è vera P (k) allora è vera ache P ( k +1), per ogi umero aturale k 0. Allora la proposizioe P () è vera per ogi umero aturale 0. Siamo adesso elle codizioi di dimostrare il ostro risultato. Dimostrazioe 1) Base dell iduzioe: d 3 = 0. ) Suppoiamo che, per u geerico k 3, risulti: ( ) Cosideriamo, allora, u poligoo covesso di k + 1 lati. Pk ( ) = k π (Ipotesi iduttiva) Dobbiamo dimostrare (passo dell iduzioe) che dall ipotesi iduttiva cosegue ecessariamete che il umero delle sue diagoali è dato dalla ( ) Pk ( + 1) = k 1 π. 11

12 Siao A 1, A,..., A k, A k + 1 i vertici del ostro poligoo. Cosideriamo il poligoo di vertici A, 1 A,..., A k : per esso vale l ipotesi iduttiva e, co l aiuto della seguete figura A k+1 A k A 1 A osserviamo che il poligoo co k +1 lati si può cosiderare come l uioe di u poligoo di k lati e di u triagolo. La somma degli agoli iteri del poligoo di k +1 lati sarà uguale allora alla somma degli agoli iteri del poligoo di k lati e degli agoli iteri del triagolo. Quidi: Pk ( + 1) = Pk ( ) + π = ( k ) π + π = ( k 1) π. Abbiamo così provato il passo dell iduzioe e quidi la validità geerale della proposizioe. Richiamado le defiizioi di progressioe aritmetica e geometrica, propoiamo a questo puto la dimostrazioe per iduzioe di quelle formule che soo già state studiate ell uità didattica precedete. È questo il mometo di far cogliere il profodo legame che c è tra la defiizioe ricorsiva di ua successioe e il pricipio d iduzioe. Proviamo a dimostrare quidi tutte quelle formule che avevamo ricavato ed imparato ad usare ell uità didattica precedete, seza però dare ua dimostrazioe rigorosa. Possiamo adesso ricavare isieme la dimostrazioe di alcue formule, per poi lasciare agli alui le altre per esercizio e per verifica della compresioe sia del pricipio di iduzioe che delle successioi stesse. Per esempio possiamo dimostrare che la somma dei primi termii di ua progressioe aritmetica è S a + a 1 =. 1

13 Dimostrazioe Come abbiamo visto ell uità didattica precedete: Procediamo duque co la verifica 1) della Base dell iduzioe: S1 = a1 a = a 1 1 a = a1+ d a3 = a + d = a1+ d a = a1 + ( 1) d a1 + ak ) a partire dalla ipotesi iduttiva Sk = k dobbiamo otteere la validità della relazioe a1+ ak + 1 per il passo k + 1: Sk + 1 = ( k + 1). Ifatti si può osservare che: S = S + a = S + a + k = k+ 1 k k+ 1 k 1 d a1 + a k = k + a1 + k d = a + a k = ( k + 1). 13

14 VERIFICA SOMMATIVA 3 1. Dimostrare che i umeri della forma soo multipli di 3, per ogi.. Cosiderare la progressioe aritmetica di ragioe 3 il cui primo elemeto sia 10. Dimostrare per iduzioe che il termie eesimo a della progressioe è dato dalla a = ( 1). 3. Dimostrare per iduzioe la seguete formula: ( + 1) (+ 1) =, per ogi N Dimostrare che il umero delle diagoali di u poligoo covesso di vertici è dato dalla formula: ( 3) d =. 5. Come sai, i ua serie geometrica di ragioe q il termie -esimo è dato dalla formula a = a 1 q 1, per ogi umero aturale. Utilizzado la formula precedete, dimostra per iduzioe che la somma S dei primi termii di ua serie geometrica è data dalla formula (ach essa ota): S = a 1 1 q 1 q. 14

15 VALUTAZIONE ES. 1 ES. ES. 3 ES. 4 ES. 5 PUNTI Puteggio massimo: 18 puti Dato il puteggio grezzo p il voto V i decimi si calcola applicado: p V = 1+. Si prevede quidi che i voti possao adare da u miimo di 1 ad u massimo di