1. Tra angoli e rettangoli

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1 . Tra agoli e rettagoli Attività : il foglio A4 e le piegature Predi u foglio di carta A4 e piegalo a metà. Cota di volta i volta quati rettagoli si ottegoo piegado a metà più volte il foglio. Immagia ora di effettuare 6 piegature. Quati soo, secodo te, i rettagoli otteuti? Riassumi i risultati completado la seguete tabella: Numero di piegature Numero di rettagoli R () Sapresti geeralizzare il risultato per piegature? Co piegature, il umero di rettagoli formati R () è.. Prova ad esplicitare il ragioameto seguito. Idicato co R () il umero di rettagoli otteuti co piegameti, sapresti idicare il modo per calcolare R ( +) a partire da R ()? Attività 2: la somma degli agoli iteri di u poligoo Nella tabella seguete ti vegoo presetati poligoi co 3, 4, 5, 6 lati; per oguo di essi, cota il umero di lati del poligoo, disega tutte le diagoali usceti da uo stesso vertice e cota il umero di triagoli che si vegoo a formare tramite le diagoali e da ciò cerca di trarre quato vale la somma degli agoli iteri del poligoo (ricorda che la somma degli agoli iteri di u triagolo è pari a 80 ): 6

2 poligoo N lati N triagoli Somma agoli iteri S () Leggedo la 2 e 4 coloa, riesci a trovare ua formula geerale che esprima la somma degli agoli iteri di u poligoo S () i fuzioe del umero di lati? S () Ripredi i poligoi precedeti e cosiderali ella tabella sottostate, uo alla volta: idividua i oguo di essi u triagolo, disegado ua diagoale; quale figura completa il poligoo iiziale? da questa cosiderazioe, cerca di trovare u legame tra la somma degli agoli iteri di u poligoo di + lati ed uo di lati (la prima riga è già completata come esempio): poligoo Somma agoli iteri Se idividuo u triagolo (la cui somma degli agoli iteri è 80 ), il poligoo viee completato da u altro triagolo (la cui somma degli agoli iteri si può idicare ache co S(3)) S ( 4) S(3) Se idividuo u triagolo (la cui somma degli agoli iteri è 80 ), il poligoo viee completato da S (5) Se idividuo u triagolo (la cui somma degli agoli iteri è 80 ), il poligoo viee completato da S (6) I geerale, idicato co S () la somma degli agoli iteri di u poligoo di lati, sapresti idicare il modo per calcolare S ( +) a partire da S ()?.. 7

3 Tutto quato abbiamo fiora visto può essere dimostrato utilizzado il pricipio di iduzioe. Il pricipio d'iduzioe afferma che, per dimostrare che ua proprietà P () vale per ogi N, è sufficiete dimostrare questi due fatti: a) (base di iduzioe) P () vale per 0, o P (0) b) (passo iduttivo) per u geerico, se vale P () allora vale P ( +) allora P () è vera per ogi aturale. Nel passo iduttivo, si deve dimostrare P ( +) assumedo P (), che i questa sottoderivazioe si chiama ipotesi iduttiva. L' effetto domio forisce ua metafora esplicativa per il pricipio d'iduzioe L'idea ituitiva co cui si può compredere il seso dell'euciato è quella di u "effetto domio": affiché le tessere da domio disposte lugo ua fila cadao tutte, soo sufficieti due codizioi: che cada la prima tessera che ogi tessera sia posizioata i modo tale che cadedo provochi la caduta della successiva. Il pricipio d'iduzioe estede questa idea al caso i cui la fila sia composta da ifiite tessere. Se si deve dimostrare che P () vale per ogi m, allora la base può essere ache m. I questo caso si deve dimostrare che: a) P (m) è vera ( m è u aturale qualuque); b) l'essere vera P () implica la validità di P ( +) ; allora P () è vera per ogi aturale maggiore od uguale a m. I risultati che hai otteuti ei problemi precedeti possoo essere dimostrati applicado il pricipio di iduzioe. 8

4 PER IL DOCENTE Tra agoli e rettagoli Classe cosigliata: ^ Strumeti: evetualmete calcolatrice o Excel PREREQUISITI Defiizioe di poteza e proprietà delle poteze i N Elemeti di calcolo letterale Elemeti di geometria euclidea OBIETTIVO DELL ATTIVITA Costruire ua modellizzazioe geometrica di ua situazioe Verificare ua cogettura Compredere il pricipio iduttivo CONCETTI SOGGIACENTI (evetualmete sviluppabili) La ricorsioe (vedi scheda La torre di Haoi ) Dimostrare iduttivamete ua proprietà Attività : il foglio A4 e le piegature Poiché è impossibile realizzare ella pratica 6 piegature, i ragazzi soo obbligati a prevedere quati rettagoli si ottegoo piegado il foglio 6 volte. Il docete deve verificare che i ragazzi giugao al risultato R( ) 2 co 0. Idicato co R () il umero di rettagoli otteuti co piegameti, si ha: R ( + ) R( ) 2 Il docete che lo ritiee opportuo, può focalizzare l attezioe sul fatto che si è data ua defiizioe ricorsiva: a tal proposito, si può vedere la scheda La torre di Haoi e la relativa presetazioe di questo cocetto. Attività 2: la somma degli agoli iteri di u poligoo Il docete deve verificare che, co la prima tabella, i ragazzi giugao alla coclusioe che S ( ) 2 80, co 3, dove è il umero di lati del poligoo covesso. ( ) Nella secoda tabella, gli studeti devoo vedere che, ogi volta che idividuao u triagolo, il poligoo viee completato da u poligoo co u lato i meo, quidi S ( + ) S( ) Ache qui, come già rilevato ella prima attività, il docete che lo ritiee opportuo, può evideziare la preseza di u ragioameto ricorsivo. 9

5 Il docete può ora presetare il pricipio di iduzioe e, se lo ritiee opportuo, ache la dimostrazioe per iduzioe dei risultati otteuti elle due attività: Attività R 2 ( ) co 0 ( è il umero di piegature) 0 a) 0: co 0 piegameti ho rettagolo (il foglio A4 iiziale), cioè R ( 0) 2 quidi la proprietà è vera per 0 b) Supposto vero che co piegature ottego R( ) 2 rettagoli, è vero che co + piegature ottego + R ( + ) 2 rettagoli? Vediamo: Allora per il pricipio di iduzioe, la proprietà è vera per ogi. R ( + ) R( ) Attività 2 S ( ) ( 2) 80 co 3 ( è il umero dei lati del poligoo) a) S (3) 80 (3 2) 80 quidi la proprietà è vera per 3 b) Supposto vero S (), dimostrare S ( +) : S ( + ) S( ) ( 2) 80 ( ) 80 Allora per il pricipio di iduzioe, la proprietà è vera per ogi 3. 0