Soluzione del Problema di Natale.

Transcript

1 Soluzioe del Problema di Natale. Idicheremo, per comodità, ua particella Mxyzptl co M(d, = (m + ; m 1,..., m, dove m+ è il puto di che rappreseta il suo ucleo mxyzptl +, e gli m i rappresetao le sue subparticelle mxyzptl, tutte a distaza d > 0 tra di loro. Il raggio di M(d, è r(d, = d(m +, m i (uguale per ogi i, per defiizioe. Per volume occupato dalla particella M(d, si itede il volume dell iviluppo covesso M(d, : questo è il più piccolo isieme covesso che cotiee tutti i puti m +, m 1,..., m della particella.1 Dire che ua particella (ovvero u isieme di puti è -dimesioale vuol dire che tutti i suoi puti soo coteuti i uo spazio affie di dimesioe, e o soo coteuti i alcu sottospazio di dimesioe più piccola. D ora i poi, per brevità, se M(d, è veramete -dimesioale (e o di meo diremo semplicemete che è ua Mxyzptl. Attezioe a o cofodere il (che idica il umero di mxyzptl che la particella possiede co l i pedice (che idica che M(d, è coteuta i u sottospazio affie di R N di dimesioe esattamete uguale a. Ricordiamo ifie che Spa aff (p 1,, p è per defiizioe il più piccolo sottospazio affie coteete i puti p 1,, p. Pertato: i puti p 1,, p soo i posizioe geerale se dimspa aff (p 1,, p = 1 M(d, = (m + ; m 1,..., m è -dimesioale se dimspa aff (m+, m 1,, m =. Sia duque M(d, = (m + ; m 1,..., m ua Mxyzptl. Sia π := Spa aff (m 1,..., m, e siao r(d, e v (d, rispettivamete il raggio di M(d, e il volume da essa occupato. Dimostreremo che: (a gli m i soo sempre i posizioe geerale, duque dim(π = 1; (b il baricetro G = bar{m 1,..., m } delle mxyzptl è l uico puto di π a ugual distaza da tutti gli m i, ed esso verifica d(g, m i = 1 2 d; (c due qualsiasi Mxyzptl sature soo tra loro cogrueti; (d se M(d, è ua Mxyzptl satura, allora il suo volume è v (d = ( + 1 d. (1! 2 L asserzioe (a è precisamete il puto (i del problema. Ioltre, da (a e (b seguoo immediatamete (ii e (iii. Ifatti M(d, ha dimesioe almeo 1 per (a; quidi, per (b, ha dimesioe 1 se m + π, e dimesioe altrimeti. Ne segue che, per fissato, il massimo per cui ua M(d, ha dimesioe è + 1: ua Mxyzptl satura ha duque esattamete + 1 mxyzptl, e ciò accade se e solo se il suo ucleo m + appartiee allo spazio affie π geerato dai suoi mxyzptl e e occupa il baricetro. Il puto (iv, cioè la formula per il raggio di ua Mxyzptl satura, è quidi data dalla formula della distaza d(g, m i calcolata i (b, i cui = + 1, cioè: r (d = 2( + 1 I puti (c e (d rispoderao esattamete ai puti (v e (vi. d. (2 1 U isieme S si dice covesso se per ogi P, Q S si ha che tutto il segmeto P Q S. 1

2 Per quato riguarda il puto (vii del problema, è ecessario precisare matematicamete come si misura la strettezza delle subparticelle m i detro ua Mxyzptl satura: se per misura aturale della loro strettezza si prede la distaza tra esse, è chiaro che le mxyzptl starao sempre strette (o larghe uguali i ogi dimesioe (essedo d(m i, m j = d per ogi ; se ivece si prede per misura della loro strettezza il volume -dimesioale a disposizioe di ciascua di esse, cioè v (d = v(d, allora otiamo che la crescita/decrescita +1 di questa fuzioe dipede iizialmete dalla dimesioe, ma v (d 0 per per d (oppure r fissato. I tale ipotesi pertato, a parità di distaza d (o di raggio r, le mxyzptl starao sempre più strette ma mao che la dimesioe sale. (Questa aalisi vi mostra che spesso tradurre matematicamete u problema fa parte del problema stesso, e può dar luogo a risultati diversi! Ifie, per quato riguarda l ultima domada, è sufficiete otare che presi i R +1 gli ( + 1 puti m i := d 2 e i (multipli della base caoica {e 1,..., e +1 }, isieme al loro baricetro m + = bar{m 1,..., m +1} questi foriscoo u comodo modello esplicito di ua particella Mxyzptl satura: è ifatti costituita da + 1 mxyzptl tutti a distaza d tra loro (verificare!, ed è coteuta ello spazio euclideo -dimesioale dato dall iperpiao fodametale H +1 : x x +1 = d 2. I vertici i e j di possoo essere scambiati tra loro tramite la cogrueza lieare h i,j : R +1 R +1 (be defiita impoedo h i,j (e i = e j, h i,j (e j = e i ed h i,j (e = e per i, j. Poiché ogi Mxyzptl satura è cogruete a per (c, ciò mostrerà che ogi Mxyzptl satura è regolare. Dimostreremo ora (a, (b, (c, (d per iduzioe sul umero di mxyzptl. Questo vuol dire: dimostrare che soo vere quado = 0 fissato (base dell iduzioe; quidi mostrare che, se soo vere fio a 1 0 (ipotesi iduttiva, allora esse soo vere ache per (passo iduttivo. Base iduttiva, per 0 = 2 (il primo per cui ci sia qualcosa da dimostrare. La proprietà (a è immediata, poiché M(d, 2 = (m + ; m 1, m 2, dove m 1, m 2 soo 2 puti a distaza d > 0, quidi i posizioe geerale. Le proprietà (b è evidete: i effetti, l uico puto sulla retta π 2 a ugual distaza da m 0, m 1 è il loro puto medio (o baricetro, e la formula per d(g 2, m i è quella della distaza dal puto medio del segmeto m 1 m 2 ai suoi estremi. La proprietà (c segue dal fatto che due segmeti di lughezza d, i qualsiasi spazio R N, soo ovviamete tra loro cogrueti. Ifie, le formule i (d per = 2 dà esatramete d, i quato il volume i dimesioe 1 coicide co la lughezza. Passo iduttivo: suppoiamo (a, (b, (c, (d vere fio a 1, e dimostriamole per. Sia duque M(d, = (m + ; m 1,..., m ua Mxyzptl co mxyzptl. Cosideriamo l isieme M(d, 1 = (G 1 ; m 1,..., m 1, co G 1 := bar{m 1,..., m 1 }. Questo, per l ipotesi iduttiva (a e (b (e per quato spiegato alle ll.-10/-5 di pag.1, è ua Mxyzptl 2 satura, e i puti m 1,..., m 1 soo i posizioe geerale; ioltre, sempre per ipotesi iduttiva, ha raggio r 2 e volume v 2 dati dalle formule (2 e (1. 2

3 Mostriamo che M(d, soddisfa (a. Cosideriamo le proiezioi ortogoali p di m e p+ di m + su π 1. Per ogi i < si ha, per il teorema di Pitagora, d(m i, p 2 = d 2 d(m, π 1 2 (idipedete da i (3 d(m i, p+ 2 = r 2 d(m +, π 1 2 (idipedete da i (4 duque per ipotesi iduttiva (b si ha p = p + = G 1. Ora, se per assurdo si avesse m π 1, si avrebbe ache m =p =G 1 per l ipotesi iduttiva (b; quidi, sempre per Pitagora, d(m +, m i 2 = d(m +, G d(g 1, m i 2 > d(m +, G 1 2 = d(m +, m 2 per i, il che è escluso dalla defiizioe di Mxyzptl. Poiché m π 1, i puti m 1,, m soo duque i posizioe geerale. Mostriamo ora che M(d, soddisfa (b. Suppoiamo che m + sia u puto di π = Spa aff (m 1,, m a ugual distaza da tutte le m i, i = 1,...,. Poiché p = p + = G 1, deduciamo che m = G 1 + h v m + = G 1 + g v (5 per u vettore uitario v π ortogoale a π 1, e per qualche h > 0 e g R. Verifichiamo ora che g = h > 0. (6 Si cosideri ifatti il triagolo isoscele m i m+ m e il triagolo rettagolo m i G 1m, come elle figure I&II qui sotto relative ai due casi g > 0 oppure g < 0: m m i d r( r(1 r( m+ g G 1 h m i d r(1 r( m h G g m + 1 r( Figura I Figura II Scrivedo, per brevità, r( = r(, d, si ha, i etrambi i casi descritti dalle due figure r( 1 2 = r( 2 g 2 = (r( + g (r( g = h (2r( h duque r( = r( 12 +h 2 2h = d2 2h. D altra parte M(d, 1 è satura per ipotesi iduttiva (poiché G 1 π 1 quidi si ha r( 1 2 = ( d2 = ( 2 r( 1 = (h2 + r( 12 da cui: h r( = d2 2h = r( 12 + h 2 2h = 1 h < h (7 Siamo quidi sempre el caso della figura I, cioè g = h r( > 0. Sostituedo a r( l espressioe i (7 deduciamo la (6, cioè che g = h. 3

4 Dalla (6, segue ora che m + coicide co G = bar(m 1,..., m : difatti, sfruttado l idetità (valida per l ipotesi iduttiva 1 G 1 m i = 0 e usado (5&(6, troviamo m + m i = m + G 1 + G 1 m i = g v + h v = 0 e cioè m + soddisfa l idetità caratteristica del baricetro. Ifie, utilizzado etrambe le formule i (7 si deduce: r( = 1 Allora, si trova per ricorreza: r( = 2 ( 1( 2 ( ( 2 (( 1( 22 ( 3 2 ( ( 3 2 ( ( 2( ( 1 r(2 r( 1. cioè r( = 2( 1 1 r(2 = d, dal mometo che r(2 = d. 2( Poiché r (d = r( + 1, d = r( + 1, poedo = + 1 ella precedete formula otteiamo fialmete l espressioe (2 per il raggio di ua Mxyzptl satura. Osservazioe e passat: dalla (2 si possoo coseguetemete dedurre i valori, per = + 1, + 1 (d = 2 d g 1 +1(d = 2( + 1 d ; (8 e queste due formule mostrao ua cosa iteressate: per oguo dei triagoli (m i, m+, m j tede ad u triagolo rettagolo isoscele, ed il baricetro G tede ad avviciarsi ad ogua delle ( 1-facce del simplesso. È curiosa la geometria dei simplessi -dimesioali per 0! Mostriamo quidi (c. Suppoiamo che M(d, +1 = {m + ; m 1,..., m +1} e M (d, +1 = {m + ; m 1,..., m +1} siao due Mxyzptl sature i R N (duque = +1 di ugual raggio r, e duque ugual d. Cosideriamo come prima le Mxyzptl 1 sature M(d, = (G ; m 1,..., m e M (d, = (G ; m 1,..., m, dove G := bar{m 1,..., m } e G := bar{m 1,..., m }. Deotiamo π e π i sottospazi affii geerati dalle mxyzptl di M(d, e M (d, rispettivamete, e chiamiamo v, v i due vettori uitari ortogoali a π, π tali che m +1 = G + (d v m +1 = G + (d v come i (5. Cosideriamo ifie gli spezzameti di R N i somme dirette ortogoali: R N = π Rv V = π Rv V dove V = ( π Rv e V = ( π Rv soo i rispettivi complemeti ortogoali, e scegliamo basi ortogoali {b 1,..., b 1 } e {b +1,..., b N } per π e V, e basi ortogoali {b 1,..., b 1} e {b +1,..., b N } per π e V. Per ipotesi iduttiva esiste cogrueza F : R N R N tale che F (M(d, = M (d,, e duque (a meo di riordiare i vertici di M(d, possiamo supporre che F (G = G 2. Abbiamo quidi F (X = F (X G + G co F applicazioe lieare ortogoale. Defiiamo allora F +1 : R N R N come F +1 (X = F +1 (X G + G, dove F +1 è l applicazioe lieare (be defiita da: F (b i se X = b i, 1 i 1 F +1 (X = v se X = v se X = b j, + 1 j N b j 2 Ua proprietà delle affiità facile da verificare è che F (bar{p 1,..., p } = bar{f (p 1,..., F (p }. Verificarlo! 4

5 L applicazioe F +1 così defiita è ua cogrueza, poiché F +1 è ortogoale (ifatti mada basi ortogoali i basi ortogoali. Essa coicide per costruzioe co F su π, duque mada acora M(d, i M (d, ; ioltre, poiché F +1 (v := v, essa mada ache m +1 i m +1 perché F +1 (m +1 = F +1 (G + v = F +1 ( v + G = h v + G = m +1 e duque M(d, + 1 e M (d, + 1 soo cogrueti tramite F +1. Mostriamo ifie (d. Calcoliamo il volume v dell iviluppo covesso M(d, + 1 di M(d, + 1 π +1. Come prima cosideriamo la Mxyzptl 1 M(d, defiita dai primi mxyzptl e dal loro baricetro G, e coteuta i π, e chiamiamo v il vettore uitario ortogoale a π. Notiamo che, se chiamiamo π,t l isieme dei puti di π +1 a distaza t da π e poiamo M(d, t = M(d, + 1 π,t, si ha M(d, + 1 = M(d, t. 0 t h Notiamo altresì che l applicazioe affie f t : M(d, 0 M(d, t ( t f t (P = P t = P + P m porta effettivamete M(d, 0 i M(d, t (e i modo biuivoco. Difatti: d(p t, π = ( ( t t ( P P t v = P m v = P G + G ( t m v = = t Ioltre, l applicazioe f t cotrae le distaze del fattore ( t : ifatti, per il teorema di Talete, si ha d(p t, Q t /d(p, Q = ( t/t, v. figura III. m +1,t m i p pt q qt Figura III t G Se e deduce che v (d = h 0 ( vol 1 M(d, t dt = h+1 Per ricorreza, e utilizzado (8, si trova allora v (d = ( =2 h +1 (d v 1 (d = d! 0 ( h+1 t = = 1 v 1 (ddt = ( + 1 d! ( h+1 2 v 1 (d. 5