Lezione 15. Dall algebra commutativa alla geometria algebrica.

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1 Lezioe 5 Dall algebra commutativa alla geometria algebrica. I questa lezioe stabiliamo, i maiera iformale, come i pricipali risultati sugli aelli dimostrati siora possao essere applicati allo studio dei sottoisiemi, dello spazio -dimesioale su u campo, defiiti da sistemi di equazioi poliomiali. Sia K u campo. Cosideriamo, per u itero positivo, K come u isieme di puti, idividuati da -uple di coordiate. Per = e = possiamo pesare, rispettivamete, al piao ed allo spazio tridimesioale. L oggetto di studio della Geometria Algebrica soo le cosiddette varietà algebriche, ossia i sottoisiemi V K che soo gli isiemi delle soluzioi di sistemi di equazioi del tipo f( x,..., x ), f r ( x,..., x ) ove f x,..., x ),..., f ( x,..., x ) K[ x,..., x ] soo poliomi. Alla varietà V così defiita è ( r ( V ) K[ x,..., x possibile associare u sottoisieme I ] : { α α α α } I ( V ) = f ( x,..., x ) K[ x,..., x ] f (,..., ) per ogi (,..., ) V. Questo è evidetemete, u ideale (detto ideale di defiizioe di V), e ( f,..., fr ) I( V ). () Viee da chiedersi se valga l uguagliaza. Vediamo, a questo proposito, u esempio. Esempio 5. Cosideriamo la seguete varietà i K : è immediato costatare che = {(0,0,0) } x V : x x x + x V. Ioltre I (V ) è formato da tutti e soli i poliomi di K x, x, ] che hao termie oto ullo. Quidi I V ) = ( x, x, ). E si ha che [ x ( x ( x x x, x + x, x ) ( x, x, ), x ( f,..., f r ma l iclusioe è stretta. Ifatti x ( x x, x + x, ). Quidi va chiarito il legame che, i geerale, sussiste tra l ideale J = ) e l ideale I (V ). Ripesadoci, il fatto che, i geerale, quest ultimo sia più grade del primo, o dovrebbe stupirci: ifatti, ei puti di V si

2 aullao i poliomi f,..., f r e le combiazioi lieari di questi ultimi (cioè tutti i poliomi apparteeti all ideale J = f,..., f ), ma o solo: vi si aulla, ifatti, ache ogi poliomio ( r f K x,..., x ] tale che, per qualche itero positivo m, [ f r, cioè tale che f ( f,..., f r ) f,...,. Quidi, i geerale, m f sia ua combiazioe lieare di J = ( f,..., fr ) I( V ). () Ci chiediamo se i questo modo abbiamo modificato la () allargado l ideale ( f,..., f r ) i maiera sufficiete da avere l uguagliaza co I (V ). Ciò o è sempre vero. Cosideriamo, ad esempio, i R, la varietà Allora = {(0,0) } V : x + x = 0 V V, e I ( V ) = ( x, x ), e ( x + x ) = ( x + x ) I( ), ove l iclusioe è stretta. Qual è duque la situazioe, i geerale? Possiamo dimostrare che la () è, i realtà, sempre u uguagliaza, purché il campo K sia algebricamete chiuso (codizioe chiaramete o soddisfatta da R). I effetti, l esempio cambia radicalmete se sostituiamo al campo R il campo C. I tal caso, ifatti, si verifica facilmete che x + x = ( x + ix )( x ix ), da cui segue che V = ( α, iα ) α C ( α, iα ) α C e J = ( x + x ) = J = I( V ). { } { } Vale il seguete Teorema 5. (Teorema degli zeri di Hilbert) Sia K u campo algebricamete chiuso, e sia J u ideale di K x,..., x ]. Sia V = V (J ) l isieme dei puti di K i cui si aullao tutti i poliomi [ apparteeti ad J. Allora V è vuoto se e solo se J = K x,..., x ]. Altrimeti, l isieme dei poliomi [ di K x,..., x ] che si aullao i tutti i puti di V è I ( V ) = J. [ Dimostrazioe: vedi [M], Theorem 5.4. Il Teorema degli zeri di Hilbert è il cardie che cogiuge l Algebra Commutativa alla Geometria Algebrica. Vediamo azitutto ua sua applicazioe alla risoluzioe di u problema sugli ideali di poliomi. Esempio 5. Toriamo all Esercizio.9. Dimostriamo che se K è u campo algebricamete chiuso, allora, ell aello K[ x, y, z ] ( xy, yz + xz) = ( xy, yz, xz). () L iclusioe è immediata. Proviamo. Sia J = ( xy, yz + xz), sia V = V (J ). I base al Teorema 5., basta provare che xy, yz, xz I ( V ), cioè che xy, yz, xz si aullao i tutti i puti di K i cui si aullao xy, yz + xz. Si tratta, cioè, di provare l implicazioe

3 xy yz + xz (I) (II) xy yz xz (A) (B) (C) I base alla (I), xy, cioè vale (A). Ioltre x, oppure y. Nel primo caso xz, el secodo caso yz. I base alla (II), el primo caso segue che yz, el secodo caso segue che xz. Quidi, i etrambi i casi, si ha xz = yz, e duque valgoo (B) e (C), come volevasi. Abbiamo così provato la () quado il campo K è algebricamete chiuso. I realtà l uguagliaza vale sempre. Basta osservare che ( yz ) = yz( yz + xz) xyz ( xy, yz + xz), da cui yz ( xy, yz + xz), e cocludere duque che xz = yz + xz yz ( xy, yz + xz). Se l esempio precedete può o sembrare particolarmete complicato, la situazioe cambia el prossimo esempio. Esercizio 5.4 I K [ x, x, x] si cosideri l ideale I = ( x, x, x). Sia, ioltre, J l ideale geerato dalle somme di tutti i moomi privi di quadrati aveti lo stesso grado. Provare che, se K è algebricamete chiuso, allora J = I. Svolgimeto: L iclusioe è ovvia. Per provare possiamo provare che V ( J ) V ( I ) (e seguirà che J = I( V ( J )) I( V ( I)) = I ), ovvero che xx x xx + xx + xx x + x + x (I) (II) (III) x x x (A) (B) (C) Se vale (I), si ha che uo tra x, x, x è ullo. Suppoiamo, per fissare le idee, che x (cioè che valga (A)). Allora x x = xx, quidi dalla (II) segue che x x. Allora uo tra x e x è ullo. Suppoiamo, per fissare le idee, che sia x, i modo che valga la (B). Allora dalla (III) segue che x, cioè vale la (C). Alla stessa coclusioe si giuge, per simmetria, i tutti gli altri casi. Abbiamo duque provato che, se K è u campo algebricamete chiuso, allora, i K x, x, ], gli ideali J xx x xx xx xx x x x I x x x [ x = (, + +, + + ), = (,, ) soo tali che V ( J ) = V ( I ), cioè, essi defiiscoo i K la stessa varietà, che è l isieme ridotto al solo puto ( 0,0,0). Nell esempio precedete, gli ideali I e J soo diversi, ma ammettoo etrambi u sistema miimale di geeratori. La situazioe è be diversa el prossimo esercizio. 4 Esercizio 5.5 Sia K u campo algebricamete chiuso. Provare che la varietà di K defiita dalle 6 equazioi x x = x x = x x = x x = x x = x x 0 (4) =

4 può essere defiita da equazioi. Svolgimeto: Si possoo otteere le equazioi richieste applicado la costruzioe dell Esercizio 5.4 al cotrario. Proviamo che il sistema xx xx4 (I) xxx4 + xx x4 + xx x4 + xx x (II) xx + xx + xx 4 + xx + xx4 + xx4 (III) equivale a (4). Ovviamete, ogi soluzioe di (4) è ache soluzioe di (I), (II) e (III). Viceversa, 4 suppoiamo che il puto ( x, x, x, x4 ) K sia soluzioe del sistema formato da (I), (II), (III). Da (I) segue che ua delle coordiate del puto è ulla; suppoiamo, seza ledere la geeralità, che sia x. Allora x xx4 = xx x4 = xx x, per cui dalla (II) segue che x xx4. Quidi ua delle ultime tre coordiate del puto è ulla. Per fissare le idee, possiamo supporre, seza ledere la geeralità, che sia x 0. Dalla (III) segue allora che x x = x x = x x = x x = x x 0, per = 4 4 = cui x x 0. Abbiamo così provato che il puto cosiderato è soluzioe della (4), come volevasi. 4 = Esercizio 5.6* Sia K u campo algebricamete chiuso. Provare che la varietà di 5 equazioi x x = x x = x x = x x = x x = x x = x x = x x = x x = 6 K defiita dalle x x4 = x x5 = xx6 = x4 x5 = x4 x6 = x5 x6 può essere defiita da 5 equazioi. U opportua tecica computazioale cosete, egli Esercizi 5.5 e 5.6, di trovare, per ua varietà di K defiita da u certo umero r di moomi, altre equazioi, i umero s miore di r, che la defiiscoo ugualmete. No è u caso se si ha sempre s (vedi ache gli Esercizi 5. e 5.4). Teorema 5.7 (Eisebud, Graham Evas jr.) Sia A u aello poliomiale oetheriao di dimesioe. Allora, per ogi ideale proprio I di A esistoo f,..., f A tali che I = ( f,.., f ). Dimostrazioe: vedi [EG], Theorem. Dal Teorema 5.7 segue che, se K è u campo algebricamete chiuso, ogi varietà di K può essere sempre defiita da u sistema di equazioi. Per poter leggere l euciato i questi termii, bisoga sapere che due ideali di K [ x,..., x ] defiiscoo la stessa varietà se e solo se hao lo stesso radicale. Per redersee coto, occorre approfodire la ozioe di varietà V ( I ) di K associata ad u ideale I di K x,..., x ]. [ Lemma 5.8 Sia K u campo. Per ogi ideale I K[ x,..., x ] si ha che V ( I ) = V ( I ). Ioltre, ogi ideale di defiizioe di ua varietà è u ideale radicale.

5 Dimostrazioe: L iclusioe segue dal fatto che I I : u puto che aulla tutti i poliomi di I i particolare aulla tutti i poliomi di I. Proviamo l'iclusioe. Sia α V ( I), e sia m m f I. Allora esiste u itero m > 0 tale che f I, così f ( α ), da cui segue che f ( α ). Data l'arbitrarietà di f, si coclude che α V ( I ). La secoda affermazioe è ovvia. Corollario 5.9 Sia K u campo. Siao I e J ideali di K [ x,..., x ]. Se I J, allora V ( I ) V ( J ). Se K è algebricamete chiuso, vale ache il viceversa, ed i tal caso, i particolare, si ha I = J se e solo se V ( I ) = V ( J ). Dimostrazioe: Se I J, allora i ogi puto i cui si aullao tutti i poliomi di J si aullao, i particolare, tutti poliomi di I, ossia V ( I ) V ( J ), e quidi, per il Lemma 5.8, si ha V ( I ) V ( J ). Viceversa, se V ( I ) V ( J ), allora ogi poliomio che si aulla i ogi puto di V ( I ) si aulla, i particolare, i ogi puto di V ( J ), ossia I ( V ( I )) I ( V ( J )). Se K è algebricamete chiuso, dal Teorema 5. segue allora che Lemma 5.0 Sia K u campo, e siao I e J ideali propri di K[ x,..., x ]. Allora V ( I J ) = V ( IJ ) = V ( I ) V ( J ). Dimostrazioe: La prima uguagliaza segue dall Esercizio.7 b) alla luce del Corollario 5.9. Proviamo la secoda uguagliaza. I base al Corollario 5.9, essedo IJ I, IJ J, si ha che V ( I ) V ( J ) V ( IJ ). Proviamo l altra iclusioe. Sia v u puto di K i cui si aullao tutti i poliomi di IJ. Se esistessero f ( x) I, g( x) J, tali che f ( v) 0, g( v ) 0, allora i v o si aullerebbe il poliomio f ( x) g( x) IJ, cotro l ipotesi. Quidi i v si aullao tutti i poliomi di I, oppure tutti i poliomi di J. Ciò prova che V ( IJ ) V ( I) V ( J ). Nota I ciascuo degli esercizi precedeti abbiamo determiato due diversi sistemi di equazioi che defiiscoo la stessa varietà. I base al Corollario 5.9 essi geerao due diversi ideali I e J di K x,..., x ] che hao lo stesso radicale, sotto l ipotesi che K sia algebricamete chiuso. I realtà, [ i tutti gli esempi cosiderati, si ha I = J sempre, ache se K o è u campo algebricamete chiuso, azi, ache se K è u qualsiasi aello commutativo uitario. Per dimostrarlo, aturalmete, o si deve passare attraverso il Teorema degli zeri di Hilbert, ma si devoo ivece effettuare calcoli diretti ell aello dei poliomi. Tutti i dettagli si possoo trovare i [SV]. I J. D ora i poi supporremo, salvo avviso cotrario, che il campo K sia algebricamete chiuso. Osservazioe 5. Ua varietà algebrica V = V ( I) K deve essere pesata o tato come associata all ideale I, ma come associata al suo ideale di defiizioe I( V ) K[ x,..., x ] (ed i effetti si ha V = V ( I( V )).) Le proprietà geometriche di ua varietà dovrao allora corrispodere a proprietà algebriche comui a tutti gli ideali che lo hao come radicale. Tra queste proprietà vi è, i base all Esercizio 4.0, la dimesioe di Krull dell aello quoziete K[ x,..., x ]/ I( V ), detto aello delle coordiate di V. Occorre allora defiire opportuamete la dimesioe della varietà V. Richiamiamo di seguito alcue ozioi iereti al corso di Geometria Algebrica. Sull isieme K si defiisce topologia di Zariski la topologia i cui chiusi soo le varietà algebriche di K. U isieme chiuso si dice irriducibile se o è uioe di due sottoisiemi chiusi

6 propriamete coteuti i esso. La dimesioe (topologica) di u isieme chiuso si defiisce come l estremo superiore delle lughezze delle catee formate da suoi sottoisiemi chiusi irriducibili. Se P,..., P r soo i primi miimali di I ( V ), allora dal fatto che I( V ) = P Pr, i base al Lemma 5.0, segue che V = V ( P ) V ( P r ). Si prova allora che la varietà V è irriducibile se e solo se I ( V ) è u ideale primo. I base al Corollario 5.9, l assegazioe V I ( V ) stabilisce ua corrispodeza biuivoca tra le varietà irriducibili di K e gli ideali primi di K[ x,..., x ]. I geerale, V ( P ),..., V ( P r ) si dicoo le compoeti irriducibili di V. Esempio 5. Nell Esercizio 4. abbiamo cosiderato, ell aello A = K[ x, y], l ideale radicale I x xy x xy y y = ( +, + ), e l aello quoziete A / dim A =. Cosideriamo i K la varietà V = V ( I ), defiita da = A I. Abbiamo provato che ossia x xy x xy y y + = +, x( x y + ) = y( x y + ). Questa codizioe equivale a richiedere che sia x = y oppure x y +. Quidi I = I( V ) e V {(0,0)} = r, ove r è la parallela alla prima bisettrice passate per il puto (0,). La varietà V è duque l uioe di u puto (dimesioe topologica 0) e di ua retta (dimesioe topologica ): queste soo le varietà associate, rispettivamete, agli ideali P = ( x, y) e P = ( x y + ), che soo i primi miimali di I. Ora, se W è ua varietà irriducibile coteuta i V, allora W = V ( P), dove P è u ideale primo tale che P P P. Allora P P oppure P P. Ma i A, le catee di ideali primi coteeti P hao lughezza massima 0, quelle coteeti P hao lughezza massima. Duque le catee di varietà irriducibili coteute i V hao lughezza massima, ossia dimv =. I geerale, le catee di varietà irriducibili coteute i V = V ( P ) V ( P r ) soo i corrispodeza biuivoca co le catee di ideali primi coteeti uo degli ideali P i. Se e deduce il seguete Teorema 5. Sia K u campo algebricamete chiuso e sia A = K[ x,..., x ], e sia V ua varietà di K. Allora dimv = dim A / I ( V ). Dimostrazioe: vedi [I],.9. Osservazioe 5.4 Sia K u campo algebricamete chiuso e, elle ipotesi dell Osservazioe 5., sia M u ideale massimale coteete I. Ci chiediamo cosa sia la varietà V ( M ) rispetto alla varietà V = V ( I ).

7 Si ha, per il Corollario 5.9, V ( M ) V, e, ioltre, dim V ( M ) = dim A / M i base al Teorema 5. ed al Corollario 4.0. Proviamo che V ( M ) è formata da u sigolo puto. Suppoiamo per assurdo che vi siao due puti distiti u = ( α,..., α), v = ( β,..., β ) V ( M ). Allora, per ogi f M = I( V ( M )), essedo f ( u) = f ( v ), ed i virtù di quato stabilito ell Esercizio 0., si ha che f ( x α,..., x α ) ( x β,..., x β ). Duque M ( x α,..., x α ) ( x β,..., x β ), il che, data la massimalità di M, è possibile se e solo se M = ( x α,..., x α ) = ( x β,..., x β ), ossia se e solo se u = v. Quidi ogi ideale massimale defiisce u puto (e viceversa, ache quado K o è algebricamete chiuso, ogi puto è defiito da u ideale massimale): al puto u = ( α,..., α ) K corrispode l ideale massimale M = ( x α,..., x α ) K[ x,..., x ]. Cocludiamo questa lezioe dado u idea del sigificato geometrico della localizzazioe rispetto ad u ideale massimale. Esempio 5.5 Cosideriamo, el piao reale R, la retta V defiita da y. Il suo aello delle coordiate è R[ V ] = R [ x, y]/( y). La localizzazioe di quest ultimo rispetto all ideale massimale ( x, y) R [ x, y]/( y) (che corrispode all origie) è ( [ x, y ]/( y )) [ x ]( x ) Cosideriamo ioltre la parabola W di equazioe suo aello delle coordiate R R. ( x, y) R[ x, y]/( y) y x, ed effettuiamo la localizzazioe del R[ W ] = R [ x, y]/( y x ) rispetto allo stesso ideale: ( ) R [ x, y ]/( y x ) R [ x, x ] = R [ x ] ( x ). ( x, y) R[ x, y]/( y x ) Ritroviamo, a meo di isomorfismo, lo stesso aello. Il motivo geometrico è il seguete: itoro all origie, la retta e la parabola si assomigliao. (Attezioe: questo o ha ulla a che vedere co la codizioe di tageza!). ( x, x )

8 Per avere u cofroto, cosideriamo ora l uioe delle bisettrici dei quadrati, ossia la varietà defiita dall equazioe x y. Questa, itoro all origie, è formata da due rami (preseta u icrocio ). Ci aspettiamo che la differeza rispetto alla retta e alla parabola emerga dall esame della localizzazioe, ell origie, dell aello delle coordiate. Si ha ( x y x y ) R [, ]/( ), x y x y x y (, ) R[, ]/( ) che o è isomorfo a R [ x] ( x ). Ifatti o è itegro: si ha il seguete prodotto ullo x + y + ( x y ) x y + ( x y ) ( x y ) =, (5) i cui essuo dei fattori è ullo. Se, ad esempio, il primo fosse ullo, allora si avrebbe ( f ( x, y) ( x y ))( x y ( x y )) ( x y ) = per qualche f ( x, y) ( x, y). Ma l uguagliaza si ha se e solo se x y divide f ( x, y)( x + y), cioè se e solo se x y divide f ( x, y ), ed i tal caso, però, f ( x, y) ( x, y). Duque il primo fattore i (5) o può essere ullo. Aalogamete si prova che il secodo fattore o è ullo. Osservazioe 5.6 I realtà, la somigliaza stabilita ella prima parte dell esempio precedete tra la retta V e la parabola W è globale. Tra V e W sussiste ifatti u isomorfismo di varietà algebriche, ossia u applicazioe bigettiva a compoeti poliomiali V W ( x,0) ( x, x ) la cui iversa è dello stesso tipo: W V ( x, x ) ( x,0) A questa corrispode u isomorfismo tra i corrispodeti aelli delle coordiate, che soo etrambi isomorfi a R [ x].

9 U aaloga relazioe o sussiste ivece tra la retta e la curva del piao reale di equazioe x y, illustrata ella figura qui sotto. Ifatti o soo isomorfi gli aelli R [ x] e R [ x]/( x y ). Il primo è regolare, metre o lo è il secodo: o è regolare la sua localizzazioe rispetto all ideale ( x, y), come stabilito ell Esercizio 4.8 (b). Questa macaza di regolarità corrispode alla preseza, ell origie 0, di ua sigolarità della curva. Nell origie si aullao etrambe le derivate parziali del poliomio f ( x, y) = x y, ossia f f è ullo il vettore ( ), ( ) x 0 y 0. I geerale, dati m poliomi f,..., fm K[ x,..., x ], si defiisce matrice jacobiaa di f,..., f m la matrice f i J ( f,..., fm) =, j i,..., m x = j =,..., il cui determiate (el caso i cui sia m = ) è detto jacobiao. Questa matrice svolge u ruolo fodametale ell idividuazioe delle sigolarità. Il prossimo euciato è riferito, per comodità, a varietà passati per l origie, ma ciò o lede la geeralità: è sempre possibile ricodursi a tale situazioe tramite u opportua traslazioe. Teorema 5.7 (Criterio dello jacobiao) Sia K u campo, e siao f,..., fm K[ x,..., x ] poliomi aveti termie oto ullo. Allora, posto A = ( K[ x,..., x ]/( f,..., f )), si ha m ( x,..., x ) emb.dim = rak (,..., )( 0 ). A J f f m

10 I particolare, A è regolare se e solo se dim A = rak J ( f,..., f m )( 0 ). x Dimostrazioe: Si oti che A è u aello locale avete M = (,..., ) come uico ideale massimale, e A/ M K. Si poga ioltre M = ( xi,..., x ), I = ( f,..., f m ). Ifie, idichiamo co M ed I i sotto-k-spazi di K[ x,..., x ] geerati dai poliomi omogeei di grado apparteeti ad M ed M + I rispettivamete. Allora x emb.dim A = dim K M / M = dim K M /( M + I) = dim K M / I. Ma M ha come base xi,..., x, metre u sistema di geeratori di I è formato T J ( f,..., f )( 0 )( x,..., x ). Ciò coclude la dimostrazioe. da m