1 Alcune premesse sugli spazi di Hilbert

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1 1 Alcue premesse sugli spazi di Hilbert 1.1 Lo spazio di Hilbert Sia H uo spazio vettoriale sul corpo K, che si supporrà essere il corpo dei umeri reali R o quello dei umeri complessi C. È defiito u prodotto scalare H H K che idicheremo co. Esso è tale che, per ogi f, g, h H e α K, soo verificate le segueti proprietà: a) f f 0; b) f f =0 f = 0 ; c) f + g h = f h + g h ; d) αf g = α f g ; e) f g = g f, dove z idica il complesso coiugato di z (z = z se z R). Si oti che Poiamo, per ogi f H, f αg = α f g. f = f f 1/2. Teorema 1.1 Per ogi f, g H, si ha: (disuguagliaza di Schwarz). f g f g. Dimostrazioe. La disuguagliaza è sicuramete verificata se g = 0, essedo i tal caso f g = 0 e g = 0. Suppoiamo quidi g 0. Per ogi α K, si ha 0 f αg 2 = f αg f αg = f 2 α f g α g f + α 2 g 2. Prededo α = f g g 2, si ottiee 0 f 2 2 f g 2 g 2 + f g 2 g 2 = f 2 f g 2, g 4 g 2 da cui la tesi. Si ha che è ua orma su H: a) f 0; b) f =0 f = 0 ; c) αf = α f ; d) f + g f + g. 4

2 Dimostriamo quest ultima: Poiamo, per f, g H, f + g 2 = f + g f + g = f f + f g + g f + g g = f 2 +2R( f g )+ g 2 f 2 +2 f g + g 2 f 2 +2 f g + g 2 =( f + g ) 2. d(f, g) = f g. Si ha che d(, ) è ua distaza che rede H uo spazio metrico: a) d(f, g) 0; b) d(f, g) = 0 f = g ; c) d(f, g) =d(g, f); d) d(f, h) d(f, g)+d(g, h). Diremo che H è uo spazio di Hilbert se, rispetto a tale distaza, H è completo. Nel seguito, H idicherà sempre uo spazio di Hilbert. 1.2 Alcui esempi di spazi di Hilbert Illustriamo tre esempi importati di spazi di Hilbert, che verrao ripresi ache i seguito. 1) Cosideriamo l isieme K N, co la seguete operazioe: se α =(α 1,..., α N ) e β =(β 1,..., β N ) soo due suoi elemeti, α β = N α k βk. Si verificao facilmete le proprietà del prodotto scalare. Notiamo che, se K = R, abbiamo il prodotto scalare usuale, che geera la orma e la distaza euclidea. Sappiamo che i questo caso R N è uo spazio metrico completo, quidi uo spazio di Hilbert. Nel caso i cui K = C, scrivedo ogi α k ella forma α k = a k + ib k, la orma associata al prodotto scalare sopra defiito è ( N ) 1/2 ( N ( ) ) α = α k 2 = a 2 k + b 2 1/2 k. Si può pertato idetificare C N co R 2N, per cui ache i questo caso abbiamo a che fare co uo spazio di Hilbert. Si oti che, el caso N =1, il prodotto scalare è dato da α β = αβ. 5

3 2) Cosideriamo l isieme l 2 (K), costituito dalle successioi (α k ) k 1 i K tali che α k 2 < +. Si può verificare che, per α =(α k ) k 1 e β =(β k ) k 1, ha seso porre α β = α k βk, e che soo soddisfatte le proprietà del prodotto scalare. Si può ioltre dimostrare che l 2 (K), co tale prodotto scalare, è uo spazio di Hilbert. 3) Cosideriamo l isieme L 2 ([a, b], K), costituito dalle fuzioi f :[a, b] K, itegrabili secodo Lebesgue, tali che ache f 2 sia itegrabile. Si può verificare che, per f, g L 2 ([a, b], K), ha seso porre f g = b a f(x)g(x) dx. (I alcue applicazioi, potrebbe risultare utile moltiplicare l itegrale per u opportua costate.) Le proprietà del prodotto scalare soo di facile verifica, purché si covega di idetificare due fuzioi qualora coicidao quasi ovuque. Si può ioltre dimostrare che L 2 ([a, b], K), co tale prodotto scalare, è uo spazio di Hilbert. Qualora o ci sia pericolo di ambiguità, idicheremo tale spazio co L 2 (a, b). Osserviamo che l uso dell itegrale di Lebesgue è qui fodametale. Se ad esempio cosiderassimo solamete fuzioi itegrabili secodo Riema, o si avrebbe la completezza dello spazio. 4) Sull isieme W 1,2 ([a, b], K), costituito dalle fuzioi f :[a, b] K, assolutamete cotiue co derivata f i L 2 ([a, b], K), si può defiire il prodotto scalare f g = b a [f(x)g(x) + f (x)g (x) ] dx. Si può dimostrare che, ache i questo caso, si tratta di uo spazio di Hilbert. Tale spazio viee spesso idicato, più semplicemete, co W 1,2 (a, b). 1.3 Alcue proprietà fodametali Si può verificare la seguete disuguagliaza: f g f g. Ne segue che la orma è ua fuzioe cotiua. Dalla disuguagliaza di Schwarz segue ioltre che il prodotto scalare è cotiuo elle sigole compoeti. Se (f ) è ua successioe i H tale che lim f = f, potremo quidi scrivere f = lim f, f g = lim f g ; 6

4 se ioltre la serie f k coverge, avremo f k g = lim f k g = lim f k g = lim f k g = f k g. Teorema 1.2 Per ogi f, g H, si ha (idetità del parallelogramma). Dimostrazioe. Essedo f + g 2 + f g 2 =2 f 2 +2 g 2. f + g 2 = f 2 +2R( f g )+ g 2, f g 2 = f 2 2R( f g )+ g 2, sommado le due si ottiee l idetità cercata. Qualora, per f, g H, si abbia f, g =0, diremo che f e g soo tra loro ortogoali. Più i geerale, diremo che ua famiglia (f k ) k i H (fiita o ifiita) è ortogoale se f j,f k = 0 per ogi j k. Teorema 1.3 (di Pitagora) Euciamo tre situazioi, i ordie di geeralità crescete. I) Se f e g soo ortogoali, allora f + g 2 = f 2 + g 2. II) Se (f 1,f 2,..., f ) è ua famiglia ortogoale, allora 2 f k = f k 2. III) Sia (f k ) k ua successioe di vettori a due a due ortogoali. Allora f k coverge f k 2 coverge ; i tal caso, si ha: 2 f k = f k 2. Dimostrazioe. I) Essedo f g = 0, si ha: f + g 2 = f 2 +2R( f g )+ g 2 = f 2 + g 2. 7

5 II) Si procede per iduzioe, usado I): f 1 + f f +1 2 = (f 1 + f f )+f +1 2 III) Usado II), per ogi m, si ha = f 1 + f f 2 + f +1 2 =( f f f 2 )+ f f k = k=m f k 2. Essedo H completo, si può applicare il criterio di Cauchy per stabilire che, se la serie f k 2 coverge, allora coverge ache f k, e viceversa. Suppoiamo ora che le due serie covergao. Allora, per la cotiuità della orma, 2 2 f k = lim 2 f k = lim f k = lim f k 2 = f k 2. k=m 1.4 Sottospazi U sottoisieme M di H si dice varietà lieare se, comuque presi f, g Me α, β K, si ha che αf+βg M. No è detto i geerale che ua varietà lieare sia uo spazio di Hilbert, i quato la completezza si matiee solamete se M è u isieme chiuso (ricordiamo che u isieme è chiuso se e solo se cotiee il limite di ogi sua successioe covergete). Diremo quidi che M è u sottospazio di H se è ua varietà lieare chiusa. U esempio di varietà lieare che o sia u sottospazio è, i L 2 ([a, b], K), l isieme C([a, b], K) delle fuzioi cotiue. I effetti, si può dimostrare che la sua chiusura è tutto L 2 ([a, b], K). Teorema 1.4 Se M è ua varietà lieare, la sua chiusura M è acora ua varietà lieare, e pertato è u sottospazio. Dimostrazioe. Siao f, g M e α, β K. Esistoo due successioi (f ) e(g ) tali che f,g M per ogi e lim f = f, lim g = g. Allora αf + βg M, e lim (αf + βg )=αf + βg, per cui αf + βg M. Teorema 1.5 Se (M k ) k è ua famiglia (ache o umerabile) di sottospazi, allora la loro itersezioe è acora u sottospazio. Dimostrazioe. Segue dal fatto che l itersezioe di varietà lieari è ua varietà lieare, e l itersezioe di isiemi chiusi è u isieme chiuso. 8

6 Corollario 1.6 Dato u isieme U H, esiste u uico sottospazio M tale che a) M cotiee U, b) se M è u sottospazio che cotiee U, allora M cotiee M. Dimostrazioe. Si defiisce M come itersezioe di tutti i sottospazi coteeti l isieme U. Si ha che M è u sottospazio e si verificao immediatamete a) e b). L isieme M, la cui esisteza è stabilita el teorema precedete, è il più piccolo sottospazio che cotiee U; si dice che M è il sottospazio geerato da U. Dati due sottospazi M 1 e M 2, l isieme M 1 + M 2 = {f + g : f M 1,g M 2 }. è ua varietà lieare, ma o sempre è u sottospazio. Cofrotiamolo co il sottospazio geerato dall uioe M 1 M 2, che idichiamo co M 1 M 2. Teorema 1.7 Si ha: M 1 M 2 = M 1 + M 2. Dimostrazioe. Sia M 1 che M 2 soo coteuti i M 1 M 2. Essedo quet ultimo ua varietà lieare, ache M 1 + M 2 è coteuto i esso; essedo ioltre chiuso, avremo M 1 + M 2 M 1 M 2. Viceversa, sia M 1 che M 2 soo coteuti i M 1 + M 2. Quidi ache la loro uioe lo è. Ma M 1 + M 2 è u sottospazio, quidi deve coteere M 1 M 2. Se (M k ) k è ua successioe di sottospazi, si defiisce M k come l isieme degli elemeti otteuti come somma di ua serie covergete f k, co f k M k. Si verifica che è ua varietà lieare. Come el caso di ua somma di due sottospazi, lo cofrotiamo co il sottospazio geerato dall uioe degli M k, che idicheremo co M k. Teorema 1.8 Si ha: M k = M k. Dimostrazioe. Tutti gli M k soo coteuti i M k. Essedo quest ultimo u sottospazio, cotiee ache gli elemeti otteuti come somma di ua serie covergete f k, co f k M k, quidi cotiee M k; essedo ioltre chiuso, avremo M k M k. Viceversa, tutti gli M k soo coteuti i M k. Quidi ache la loro uioe lo è. Ma M k è u sottospazio, quidi deve coteere M k. 9

7 1.5 Sottospazi ortogoali Diremo che due isiemi U e V soo ortogoali se f U g V f g =0. Idicheremo co U l isieme dei vettori di H che risultao ortogoali ad ogi vettore di U. Teorema 1.9 U è u sottospazio di H. Ioltre, Ū = U. Dimostrazioe. Siao f, g U e α, β K. Allora, per ogi u U, si ha αf + βg u = α f u + β g u =0, per cui αf + βg U. Quidi U è ua varietà lieare. Vediamo che è u isieme chiuso. Sia (f ) ua successioe i U tale che lim f = f. Allora, per ogi u U, f u = lim f u =0, per cui f U. Quidi U è u sottospazio. Siccome U Ū, si ha che Ū U. D altra parte, se f U e g Ū, allora esiste ua successioe (g ) i U tale che lim g = g; quidi f g = lim f g = 0 ; e segue che f Ū, da cui U Ū. Teorema 1.10 Se M 1 e M 2 soo due sottospazi ortogoali, allora M 1 M 2 = M 1 + M 2. Ioltre, M 1 + M 2 = M 1 M 2, ossia ogi f M 1 + M 2 si può scrivere i u uico modo come f = f 1 + f 2, co f 1 M 1 e f 2 M 2. Dimostrazioe. Dobbiamo dimostrare che l isieme M 1 + M 2 è chiuso. Sia (f ) ua successioe i esso tale che lim f = f. Possiamo scrivere f = f,1 + f,2, co f,1 M 1 e f,2 M 2. Per Pitagora, f m f 2 = f m,1 f,1 2 + f m,2 f,2 2, e siccome (f ) è di Cauchy, lo soo di cosegueza ache (f,1 ) e(f,2 ). Quidi esistoo i limiti lim f,1 = f 1 e lim f,2 = f 2, ed essedo M 1 e M 2 chiusi, si ha che f 1 M 1 e f 2 M 2. Ne segue che f = f 1 + f 2 M 1 + M 2. Questo dimostra che M 1 + M 2 è chiuso. Suppoiamo che si possa scrivere f = f 1 + f 2 = f 1 + f 2, co f 1, f 1 M 1 e f 2, f 2 M 1. Per Pitagora, si ha per cui f 1 = f 1 e f 2 = f 2. f 1 f f 2 f 2 2 = f 1 f 1 + f 2 f 2 2 =0, 10

8 Teorema 1.11 Se (M k ) k soo sottospazi a due a due ortogoali, si ha M k = M k. Ioltre, M k = M k, ossia ogi f M k si può scrivere i u uico modo come f = f k, co f k M k. Dimostrazioe. Dobbiamo dimostrare che l isieme M k è chiuso. Sia (f ) ua successioe i esso tale che lim f = f. Possiamo scrivere f = f,k, co f,k M k. Per Pitagora, f m f 2 = f m,k f,k 2, e siccome (f ) è di Cauchy, lo soo di cosegueza ache le (f,k ). Quidi esistoo i limiti lim f,k = f k, ed essedo gli M k chiusi, si ha che f k M k. Vogliamo ora vedere che f = f k. Fissiamo ε> 0. Da quato sopra, esiste u 1 tale che m, f m,k f,k 2 ε 2, ossia N f m,k f,k 2 ε 2 per ogi N 1. Passado al limite per m si ha N f k f,k 2 ε 2 per ogi N 1, per cui ache f k f,k 2 ε 2. Per Pitagora, ( f k f,k ) coverge e abbiamo che ( f 2 k f,k ) = f k f,k 2 ε 2. Quidi coverge ache f k = ( f k f,k )+ f,k e da quato sopra si ha che f k f = ( f k f,k ) ε, il che dimostra che lim f = f k, ossia f = f k. Abbiamo quidi che M k è chiuso. Sia ora f = f k = f k, co f k, f k M k ; allora, per Pitagora, f k f k 2 = ( f k f 2 k ) =0, per cui f k = f k per ogi k. 11

9 1.6 La proiezioe ortogoale Teorema 1.12 Dato u sottospazio M, e f H, esiste uo ed u solo f M tale che f f = d(f,m). Ioltre, f f M. Dimostrazioe. Sia (f ) ua successioe i M tale che lim f f = d(f,m). Applicado l idetità del parallelogramma a (f f ) e (f f m ), si ha f f m 2 2 f f 2 +2 f m f 2 4d(f,M) 2. Ne segue che (f ) è ua successioe di Cauchy, e quidi coverge verso u certo f M. Chiaramete, si ha f f = d(f,m). Ioltre, f è l uico ad avere questa proprietà, perchè se f è tale che f f = d(f,m), applicado l idetità del parallelogramma a (f f) e (f f) si vede che f f 2 =4d(f,M) 2 4 f 1( f + f) 2 2 0, e perciò f = f. Ifie, se per assurdo ci fosse u g M tale che f f g 0, allora, posto g = f f f,g + g M, co semplici passaggi si ottiee g 2 ( ) 2 f g 2 = f f f f g 2 <d(f,m) 2, g ua cotraddizioe. L applicazioe che a f associa f si dice proiezioe ortogoale su M, e si idica co P M : f = P M f. Corollario 1.13 Sia M ua varietà lieare i H. Allora M = H M = {0}. Dimostrazioe. Se M = H, allora M = M = H = {0}. D altra parte, se M H, esiste u f H che o appartiee al sottospazio M. Per il teorema precedete, f P M f è o ullo e appartiee a M = M. Corollario 1.14 Se M è u sottospazio di H, si ha che H = M M : ogi elemeto f H si può scrivere i u uico modo come f = f 1 + f 2, co f 1 M e f 2 M. Dimostrazioe. Per ogi f H, si scrive f = P M f +(f P M f), per cui H = M+M. Ioltre, essedo M e M ortogoali, si ha M+M = M M. Corollario 1.15 Per ogi varietà lieare M di H, si ha che (M ) = M. Dimostrazioe. Chiaramete, M (M ), e siccome (M ) è chiuso, M (M ). D altra parte, se o valesse l uguagliaza, si potrebbe trovare u u 0 (M ) \{0} tale che u 0 M. Ciò è assurdo, i quato H = M (M ). 12

10 1.7 Basi di uo spazio di Hilbert Diremo che ua famiglia ortogoale (e k ) k è ortoormale se e k = 1 per ogi k. Ua famiglia ortoormale (e k ) k è ua base per lo spazio di Hilbert H se, preso f H, si ha [ k f e k =0] f =0. Diremo che H è separabile se esiste ua sua base fiita o umerabile. Suppoedo oto il caso della base fiita, tratteremo ora il caso di ua base ifiita. Teorema 1.16 Sia (e k ) k 1 ua successioe ortoormale i H. Le segueti proposizioi soo equivaleti: a) (e k ) k 1 è ua base di H; b) H = {e k} ; c) per ogi f H, f = f e k e k (serie di Fourier); d) per ogi f, g H, f g = f e k g e k ; e) per ogi f H, f 2 = f e k 2 (idetità di Parseval). Dimostrazioe. a) b) Per assurdo, sia {e k} u sottospazio proprio di H. Allora esiste u f 0 ad esso ortogoale, per cui f e k = 0 per ogi k, i cotraddizioe col fatto che (e k ) k è ua base. b) c) Cosideriamo i sottospazi M k = {αe k : α K}, a due a due ortogoali. Essedo H = {e k } = M k = M k, per f H si ha che f = f k, co f k M k. Allora f k = α k e k e ej f e j = α k e k = α k e k e j = α j, per ogi j, da cui la formula cercata. c) d) Presi f, g H, abbiamo f g = f e k e k g = f e k e k g = f e k e k g. d) e) È sufficiete predere f = g. e) a) Sia f H tale che, per ogi k, f e k =0. Allora f 2 = f e k 2 =0, per cui f = 0. 13

11 Esempi. 1) Per quato riguarda lo spazio di Hilbert K N, possiamo facilmete verificare che ua base è data dai vettori e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e N = (0, 0, 0,..., 1). I questo spazio, tutte le basi hao lo stesso umero di elemeti, cioè N, e questo umero viee chiamato dimesioe dello spazio. Ogi elemeto α =(α 1,..., α N ) i K N si può scrivere come α = N α e k e k = N α k e k, che risulta pertato l aaloga della serie di Fourier. 2) Nello spazio di Hilbert l 2 (K), ua base è costituita dalle segueti successioi: e 1 = (1, 0, 0, 0,...), e 2 = (0, 1, 0, 0,...), e 3 = (0, 0, 1, 0,...),... Per ogi α =(α k ) k 1 l 2 (K), la serie di Fourier si può scrivere come α = α e k e k = α k e k. 3) I L 2 ([a, b], K), si è defiito il prodotto scalare f g = b a f(t)g(t) dt. Cosideriamo separatamete i casi i cui K = C o K = R. Se K = C, ua base è data da (e k ) k Z, dove e k :[a, b] K è la fuzioe così defiita: ( ) 1 2πki e k (t) = exp b a b a t, per ogi k Z. La serie di Fourier di ua fuzioe f L 2 ([a, b], C) si scrive come f = ˆf k e k, dove ˆf k = f e k = k= 1 b b a a ( f(t) exp 2πki ) b a t dt. Si oti che la serie va itesa ell ambito della metrica itrodotta su L 2 ([a, b], C): si ha lim f ˆf k e k =0, + k= 14

12 ossia Si usa ache scrivere Poedo, per k Z, c k = scriveremo quidi b lim + a f(t) f(t) 1 b a ˆfk = 1 b a f(t) k= k= k= b a 2 ˆf k e k (t) dt =0. ˆf k e k (t). ( f(t) exp 2πki ) b a t dt, ( ) 2πki c k exp b a t. (1) Se K = R, ua base è data da ( ) ( ) 2 2π 2 2π 1, b a cos b a t, b a si b a t, ( 2 b a cos 2 2π ) ( 2 b a t, b a si 2 2π ) b a t, ( 2 b a cos 3 2π ) ( 2 b a t, b a si 3 2π ) b a t,... La serie di Fourier di ua fuzioe f L 2 ([a, b], R) si scrive quidi come dove, per k N, a k = 2 b a f(t) a ( ( ) ( )) 2πk 2πk a k cos b a t + b k si b a t, (2) b a ( ) 2πk f(t) cos b a t dt, b k = 2 b a b a ( ) 2πk f(t) si b a t dt. Si oti che, se la stessa fuzioe f :[a, b] R viee cosiderata come ua fuzioe a valori i C, avremo che f L 2 ([a, b], C) e potremo scrivere la serie di Fourier, otteedo la (1). Le relazioi tra i coefficieti di (1) e di (2) soo le segueti: c k = 1 (a 2 k + ib k ) se k<0, 1 (a 2 k ib k ) se k 0. Nel seguito, per ua fuzioe f L 2 ([a, b], R), useremo idifferetemete l ua o l altra delle due scritture per la sua serie di Fourier. 15

13 La questioe se i (1) e i (2) valga o meo l uguagliaza putuale è be più complessa e ha impegato molti dei migliori matematici dal mometo i cui fu euciata, da Fourier, el Per ua fuzioe f i L 2 ([a, b], K), Carleso ha dimostrato (el 1966) che essa vale per quasi ogi t, ossia al di fuori di u isieme trascurabile. U esempio di Du Bois-Reymod mostra che la serie potrebbe o covergere i alcui puti ache se f è cotiua, metre è oto dai lavori di Dirichlet che l uguagliaza vale sempre se f è di classe C 1. D altra parte, se si suppoe solamete che f sia itegrabile secodo Lebesgue su [a, b], u esempio di Kolmogorov ha mostrato che la serie può o covergere per ogi t. 1.8 Applicazioi lieari Dati due spazi di Hilbert H e H, diremo che u applicazioe A : H H è lieare se, presi f, g H e α, β K, si ha che A(αf + βg) =αa(f)+βa(g). Scriveremo spesso Af al posto di A(f). Teorema 1.17 Due spazi di Hilbert H, H separabili aveti dimesioe ifiita soo sempre isomorfi: esiste cioè u applicazioe lieare biiettiva A : H H tale che, presi f, g H, si ha Af Ag = f g. Dimostrazioe. Sia (e k ) k ua base di H e(e k ) k ua base di H. Preso f H, ricordado la serie di Fourier f = f e k e k, defiiamo Af = f e k e k. Tale serie coverge per il teorema di Pitagora perchè, per l idetità di Parseval, la serie f e k 2 coverge. Essa è precisamete la serie di Fourier di Af. Si vede facilmete che A : H H è lieare. Vediamo che A è iiettiva: se fosse Af = 0, allora sarebbe f e k = 0 per ogi k, per cui dovrebbe essere f = 0. Vediamo che è suriettiva: dato h H, scriviamo la sua serie di Fourier h = h e k e k, e poiamo si vede allora che Af = h. f = h e k e k ; 16

14 Ifie, si ha: Af Ag = f e k g e k = f g. Diremo che l applicazioe lieare A : H H è limitata se esiste u umero reale γ 0 tale che, per ogi f H, I tal caso, defiiamo Si verificao le proprietà della orma: Af γ f. Af A = sup f 0 f = sup Af. f =1 a) A 0; b) A =0 A = 0 ; c) αa = α A ; d) A + B A + B. Ioltre, se A : H H e B : H H, possiamo cosiderare l applicazioe composta B A : H H, che idicheremo semplicemete co BA. Se etrambe soo limitate, si ha BA B A. Teorema 1.18 U applicazioe lieare è limitata se e solo se è cotiua. Dimostrazioe. Sia A : H H limitata. Allora Af Ag = A(f g) A f g ; quidi A è lipschitziaa e pertato cotiua. Viceversa, sia A : H H o limitata. Allora per ogi umero aturale esiste u f H tale che Af > f. Posto g = f f, si ha che lim g = 0 e ( ) Ag = A f = Af f f 1; essedo A(0) = 0, l applicazioe A o può essere cotiua. Idicheremo co L(H, H ) l isieme delle applicazioi lieari cotiue da H a H. Possiamo rederlo uo spazio metrico itroducedo la distaza d(a, B) = A B. Teorema 1.19 Co tale distaza, L(H, H ) è uo spazio metrico completo. 17

15 Dimostrazioe. Sia (A ) ua successioe di Cauchy i L(H, H ). Dalla A A m A A m, si ha che la successioe delle orme ( A ) è di Cauchy i K e pertato coverge. Dalla A f A m f A A m f, si ha che, per ogi f H, la successioe (A f) è di Cauchy i H e pertato coverge. Defiiamo A : H H poedo Af = lim A f. Si vede facilmete che A è lieare; ioltre, Af = lim A f (lim A ) f, per cui A L(H, H ). Resta da verificare che lim A = A. Fissiamo ε> 0. Essedo (A ) di Cauchy, esiste u tale che, se m e, allora A A m ε, da cui A f A m f ε f, per ogi f H. Passado al limite per m + si ha che, se, allora A f Af ε f, per ogi f H, e quidi A A ε. Se H = H, scriveremo L(H) ivece di L(H, H ). Teorema 1.20 Se M è u sottospazio, si ha P M L(H). Se ioltre M {0}, si ha P M =1. Dimostrazioe. Presi f, g H e α, β K, si può scrivere i u uico modo f = f 1 + f 2 e g = g 1 + g 2, co f 1,g 1 M e f 2,g 2 M, dove f 1 = P M f e g 1 = P M g. Quidi αf + βg = α(f 1 + f 2 )+β(g 1 + g 2 )=(αf 1 + βg 1 )+(αf 2 + βg 2 ), co αf 1 + βg 1 M e αf 2 + βg 2 M. Per l uicità della scomposizioe, si deve avere P M (αf + βg) =αf 1 + βg 1 = αp M f + βp M g. 18

16 Questo dimostra la liearità di P M. Per il Teorema di Pitagora, abbiamo ioltre f 2 = f f 2 2 f 1 2 = P M f 2, da cui la limitatezza di P M : per ogi f H, si ha P M f f, per cui P M 1. Ifie, se M {0}, prededo f M\{0} si ha P M f = f. Ne segue che P M = 1. Sia ora g H fissato e G : H K defiito da G(f) = f g. Si vede facilmete che G L(H, K) e G = g. Vediamo che vale ache il viceversa. Teorema 1.21 (di Riesz) Data G L(H, K), esiste u uico g H tale che G(f) = f g, per ogi f H. Dimostrazioe. Sia M = {f H : G(f) = 0}. Si verifica facilmete che M è u sottospazio di H. Se M = H, basta predere g = 0; altrimeti, scegliamo u w M co w = 1 e poiamo g = G(w) w. Allora G(g) = G(w) 2 = g 2 e per ogi f H si ha che f G(f) g M. Quidi, G(g) f g = ( f G(f) ) G(g) g + G(f) G(g) g g = G(f) G(g) g 2 = G(f). Verifichiamo ora che tale g è uico. Se ce e fossero due, g 1 e g 2, per ogi f H si avrebbe che f g 1 = f g 2 e quidi f g 1 g 2 = 0. Prededo f = g 1 g 2 si vede che deve essere g 1 = g 2. 19