Analisi Matematica I

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1 Aalisi Matematica I Apputi delle lezioi teute dal Prof. A. Foda Uiversità di Trieste, CdL Fisica e Matematica, a.a. 016/017 Lezioe 1 del 03/10/016: I umeri aturali e il pricipio di iduzioe Descriviamo l isieme N dei umeri aturali elecadoe le pricipali caratteristiche. I) È defiita ua relazioe d ordie co le segueti proprietà: per ogi scelta di m,, p i N, a), b) [m e m] m =, c) [m e p] m p ; ioltre, tale relazioe d ordie è totale : d) m o m. Se m, scriveremo ache m. Se m e m, scriveremo m < oppure > m. II) Esiste u primo elemeto 0 : si ha 0 per ogi N. III) Ogi elemeto ha u successivo : si ha < e o esiste alcu elemeto m tale che < m e m <. Si itroducoo i simboli 0 = 1, 1 =, = 3, ecc. IV) (Pricipio di iduzioe) Se S è u sottoisieme di N tale che i) 0 S, ii) S S, allora S = N. È sottiteso che la codizioe ii) deve valere per N qualsiasi. Possiamo quidi leggerla i questo modo: ii) se per u certo si ha che S, e cosegue che ache S. Il pricipio di iduzioe può essere usato per defiire ua successioe di oggetti A 0, A 1, A, A 3,... Si procede i questo modo (defiizioe per ricorreza): 1

2 j) si defiisce A 0 ; jj) suppoedo di aver defiito A per u certo, si defiisce A. I tal modo, se idichiamo co S l isieme degli per cui A è defiita, si ha che S verifica i) e ii). Quidi S coicide co N, ossia tutti gli A soo defiiti. Ad esempio, possiamo defiire le operazioi di addizioe e moltiplicazioe i N. Dato a N, vogliamo defiire a +, per ogi N. Poiamo j) a + 0 = a, jj) a + = (a + ). Si vede i questo modo che a + 1 = a + 0 = (a + 0) = a (quidi, da ora i poi, per ogi N, scriveremo idifferetemete o + 1). Dato a N, vogliamo defiire a, per ogi N. Poiamo j) a 0 = 0, jj) a = a + (a ). Si vede i questo modo che a 1 = a 0 = a + (a 0) = a + 0 = a, a = a 1 = a + (a 1) = a + a, e così via. Nella pratica, spesso si omette il ella moltiplicazioe. Ioltre, si usa scrivere c = b a se c + a = b, e c = b se c a = b, co a 0. a Possiamo ioltre defiire le poteze a poedo, per a 0, j) a 0 = 1, jj) a +1 = a a. Si vede i questo modo che a 1 = a a 0 = a 1 = a, a = a a 1 = a a, e così via. Se a = 0, si poe 0 = 0 per ogi 1, metre resta o defiito 0 0. Ifie, defiiamo il fattoriale! poedo j) 0! = 1, jj) ( + 1)! = ( + 1)!. Il pricipio di iduzioe può ioltre essere usato per dimostrare ua successioe di proposizioi P 0, P 1, P, P 3,... Si procede i questo modo (dimostrazioe per iduzioe): j) si verifica P 0 ; jj) suppoedo vera P per u certo, si verifica P +1. Se idichiamo co S l isieme degli per cui P è dimostrata, si ha che S verifica i) e ii). Quidi S coicide co N, ossia tutte le P soo dimostrate. I questo modo si possoo dimostrare le varie proprietà delle operazioi di addizioe, moltiplicazioe e delle poteze, che supporremo da ora i poi ote. Esempio 1. Dimostriamo la seguete uguagliaza: se a 1, 1 P : k=0 a k = a+1 1 a 1. 1 Si supporrà qui che sia a 0 = 1 ache qualora a = 0.

3 Vediamo P 0 : 0 k=0 a k = a1 1 a 1 ; essa equivale all idetità a 0 = 1 e pertato è vera. Suppoiamo ora che P sia vera, per u certo N; allora +1 a k = k=0 a k + a +1 k=0 = a a +1 a 1 = a+ 1 a 1, per cui ache P +1 è vera. Abbiamo quidi dimostrato che P è vera per ogi N. Lezioe del 05/10/016: Il pricipio di iduzioe e la formula del biomio La formula dimostrata ell Esempio 1 si può geeralizzare ella seguete: ( ) a +1 b +1 = (a b) a k b k. k=0 La dimostrazioe è aaloga. I particolare, si ha: a b = (a b)(a + b), a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ), a 4 b 4 = (a b)(a 3 + a b + ab + b 3 ), a 5 b 5 = (a b)(a 4 + a 3 b + a b + ab 3 + b 4 ),... Esempio. Vogliamo dimostrare che, presi due umeri aturali a e, si ha la seguete disuguagliaza di Beroulli: P : (1 + a) 1 + a. Vediamo che vale P 0, essedo sicuramete (1 + a) a. Suppoiamo ora vera P per u certo e verifichiamo P +1 : (1+a) +1 = (1+a) (1+a) (1+a)(1+a) = 1+(+1)a+a 1+(+1)a, per cui ache P +1 è vera. Quidi, P è vera per ogi N. Aalogamete a quato detto ella ota precedete, ache qui si supporrà che a 0 = 1, b 0 = 1 ache ei casi i cui risultio del tipo

4 I alcui casi potrebbe essere comodo iiziare la successioe delle proposizioi, ad esempio, da P 1 ivece che da P 0, o da ua qualsiasi altra di esse. Il pricipio di dimostrazioe resta aturalmete lo stesso: se e verifica la prima e si dimostra che da ua qualsiasi di esse segue la successiva. Altri esempi ed esercizi. Si possoo dimostrare per iduzioe le segueti formule: Si oti l uguagliaza ( + 1) =, ( + 1)( + 1) =, = ( + 1) = ( ). Defiiamo ora, per ogi coppia di umeri aturali, k tali che k, i coefficieti biomiali ( )! = k k!( k)!. Verifichiamo che, per 1 k, vale la formula ( ) ( ) ( ) = ; k 1 k k abbiamo ifatti: ( ) + k 1 ( ) = k! (k 1)!( k + 1)! +! k!( k)!!k +!( k + 1) = k!( k + 1)!!( + 1) = k!( k + 1)! ( + 1)! = k!(( + 1) k)!. Dimostreremo ora che, per ogi N, vale la seguete formula del biomio (di Newto): 3 P : (a + b) = k=0 ( ) a k b k. k 3 Ache i questa formula si supporrà che a 0 = 1, b 0 = 1 e (a + b) 0 = 1 ache ei casi i cui risultio del tipo

5 Iiziamo co il verificare che la formula vale per = 0: ( ) 0 (a + b) 0 = a 0 0 b 0. 0 Per 1, procediamo per iduzioe. Vediamo che vale per = 1: ( ) ( ) 1 1 (a + b) 1 = a 1 0 b 0 + a 1 1 b Ora, suppoedo vera P, per u certo 1, vediamo che vale ache P +1 : (a + b) +1 = (a + b)(a + b) ( ( ) = (a + b) )a k b k k k=0 ( ( ) ( = a )a k b k + b k k=0 k=0 ( ) ( = a k+1 b k + k k k=0 k=0 ( ) )a k b k k ) a k b k+1 ( ) 1 ( ) = a +1 + a k+1 b k + a k b k+1 + b +1 k k k=1 k=0 ( ) ( ) = a +1 + a k+1 b k + a (k 1) b (k 1)+1 + b +1 k k 1 k=1 k=1 [( ) ( )] = a a k+1 b k + b +1 k k 1 k=1 ( ) + 1 = a +1 + a k+1 b k + b +1 k k=1 +1 ( ) + 1 = a +1 k b k. k k=0 Abbiamo così dimostrato che P è vera per ogi N. Ricordiamo che risulta talvolta utile rappresetare i coefficieti biomiali el cosiddetto triagolo di Tartaglia (o di Pascal)

6 Come casi particolari della formula del biomio, abbiamo quidi: (a + b) = a + ab + b, (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3, (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4, (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b + 10a b 3 + 5ab 4 + b 5,... Lezioe 3 del 06/10/016: I umeri reali No ci soffermeremo sulle ragioi di carattere algebrico che portao, a partire dall isieme dei umeri aturali N = {0, 1,, 3,...}, alla costruzioe dell isieme dei umeri iteri relativi Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,...}, e dell isieme dei umeri razioali { m } Q = : m Z, N, 0. Ci iteressa però far otare che l isieme dei umeri razioali o è sufficiete a trattare questioi geometriche elemetari, quali ad esempio la misurazioe della diagoale di u quadrato di lato 1. Teorema. No esiste alcu umero razioale x tale che x =. Dimostrazioe. 4 Per assurdo, suppoiamo che esistao m, N o ulli tali che ( m ) =, ossia m =. Allora m deve essere pari, per cui esiste u m 1 N o ullo tale che m = m 1. Ne segue che 4m 1 =, ossia m 1 =. Pertato ache deve essere pari, per cui esiste u 1 N o ullo tale che 1 =. Quidi m = m ( ) 1 m1 e =. 1 1 Possiamo ora ripetere lo stesso ragioameto quate volte vogliamo, cotiuado a dividere per umeratore e deomiatore: m = m 1 1 = m = m 3 3 =... = m k k =... dove m k e k soo umeri aturali o ulli tali che m = k m k, = k k. Quidi, essedo k 1, si ha che k, per ogi umero aturale k 1. I particolare,. Ma la disuguagliaza di Beroulli ci dice che = (1 + 1) 1 +, e e cosegue che 1 +, il che è palesemete falso. 4 Dimostrazioe vista durate il Precorso. 6

7 Si rede pertato ecessario estedere ulteriormete l isieme dei umeri razioali. È possibile costruire l isieme dei umeri reali R a partire dai razioali. Essedo però tale costruzioe piuttosto laboriosa, ci iteremo qui ad euciare le pricipali proprietà di R. 1) È defiita ua relazioe d ordie totale (vedi le proprietà euciate per i umeri aturali). ) È defiita u operazioe di addizioe + co le segueti proprietà: per ogi scelta di x, y, z i R, a) (associativa) x + (y + z) = (x + y) + z ; b) esiste u elemeto eutro 0 : si ha x + 0 = x = 0 + x ; c) ogi elemeto x ha u opposto x : si ha x + ( x) = 0 = ( x) + x ; d) (commutativa) x + y = y + x ; e) se x y, allora x + z y + z. 3) È defiita u operazioe di moltiplicazioe co le segueti proprietà: per ogi scelta di x, y, z i R, a) (associativa) x (y z) = (x y) z ; b) esiste u elemeto eutro 1: si ha x 1 = x = 1 x ; c) ogi elemeto x 0 ha u reciproco x 1 : si ha x x 1 = 1 = x 1 x ; d) (commutativa) x y = y x ; e) se x y e z 0, allora x z y z ; e ua proprietà che coivolge etrambe le operazioi: f) (distributiva) x (y + z) = (x y) + (x z) ; 4) (Proprietà di separazioe) Dati due sottoisiemi o vuoti A, B tali che esiste u elemeto c R tale che a A b B a b, a A b B a c b. Dalle proprietà elecate qui sopra si possoo ricavare tutte le proprietà algebriche dei umeri reali, che supporremo già ote. Ritroviamo l isieme N dei umeri aturali come sottoisieme di R: 0 e 1 soo gli elemeti eutri di addizioe e moltiplicazioe, dopodiché si ha = 1 + 1, 3 = + 1 e così via, per ricorreza. Nel seguito, ometteremo quasi sempre il ella moltiplicazioe. Scriveremo, come è oto, z = y x se z+x = y, e z = y se zx = y, co x 0. I particolare, x x 1 = 1. x Le poteze a si defiiscoo come ella Sezioe 1 per ogi a R e, se a 1, cotiua a valere la formula per la somma delle poteze ivi dimostrata (Esempio 1 e sua geeralizzazioe). La disuguagliaza di Beroulli risulta valida per ogi a > 1 e la formula del biomio di Newto cotiua a valere se a, b soo umeri reali qualsiasi. 7

8 U sottoisieme E di R si dice itato superiormete se esiste u α R tale che, per ogi x E, si ha x α; u tale α è allora ua itazioe superiore di E. Se i più si ha che α E, si dirà che α è il massimo di E e si scriverà α = max E. Aalogamete, E si dice itato iferiormete se esiste u β R tale che, per ogi x E, si ha x β; u tale β è allora ua itazioe iferiore di E. Se i più si ha che β E, si dirà che β è il miimo di E e si scriverà β = mi E. Diremo che E è itato se è sia itato superiormete che itato iferiormete. Teorema. Se E è u sottoiisieme o vuoto di R itato superiormete, l isieme delle itazioi superiori di E ha sempre u miimo. Dimostrazioe. Sia B l isieme delle itazioi superiori di E. Allora a E b B a b, e per la proprietà di separazioe esiste u elemeto c R tale che a E b B a c b. Ciò sigifica che c è ua itazioe superiore di E, e quidi c B, ed è ache ua itazioe iferiore di B. Pertato, c = mi B. Se E è itato superiormete, la miima itazioe superiore di E si chiama estremo superiore di E: è u umero reale s R e si scrive s = sup E. Esso è caratterizzato dalle segueti proprietà: i) x E x s, ii) s < s x E : x > s. Se l estremo superiore s appartiee ad E, si ha che s = max E; succede spesso, però, che E, pur essedo itato superiormete, o abbia u massimo. Aalogamete a quato sopra, si può dimostrare il seguete Teorema. Se E è u sottoisieme o vuoto di R itato iferiormete, l isieme delle itazioi iferiori di E ha sempre u massimo. Se E è itato iferiormete, la massima itazioe iferiore di E si chiama estremo iferiore di E: è u umero reale i R e si scrive i = if E. Esso è caratterizzato dalle segueti proprietà: j) x E x i, jj) i > i x E : x < i. Se l estremo iferiore i appartiee ad E, si ha che i = mi E; o è detto, però, che E, pur essedo itato iferiormete, abbia u miimo. 8

9 Lezioe 4 del 1/10/016: I umeri reali cotiuazioe Nel caso i cui E o sia itato superiormete, useremo la scrittura Teorema. sup N = +. sup E = +. Dimostrazioe. Suppoiamo per assurdo che N sia itato superiormete, e sia s = sup N. Per le proprietà dell estremo superiore, esiste u N tale che > s 1. Ma allora + 1 N e + 1 > s > s, i cotraddizioe col fatto che s è ua itazioe superiore per N. Nel caso i cui E o sia itato iferiormete, useremo la scrittura Ad esempio, si ha che if Z =. if E =. Ci sarà utile, ache i seguito, la seguete proprietà dei umeri reali. Lemma. Se 0 α < β, allora α < β. Dimostrazioe. Se 0 α < β, si ha α = αα αβ < ββ = β. Dimostreremo ora che esiste u umero reale c > 0 tale che c =. Defiiamo gli isiemi Si può vedere che A = {x R : x 0 e x < }, B = {x R : x 0 e x > }. a A b B a b ; (altrimeti avremmo 0 b < a, quidi, per il Lemma, b < a, metre è a < e b >, impossibile). Usado la proprietà di separazioe, esiste u elemeto c R tale che a A b B a c b. Si oti che, essedo 1 A, sicuramete c 1. Vogliamo ora mostrare che si ha proprio c =. Per assurdo, se c >, allora, per 1, ( c 1 ) = c c + 1 c c ; quidi, se > c/(c ), si può verificare che c 1 > 0 e (c 1 ) >, e pertato c 1 B. Ma allora deve essere c c 1, il che è impossibile. 9

10 Suppoiamo ora, sempre per assurdo, che c <. Allora, se 1, ( c + 1 ) = c + c + 1 c + c + 1 = c + c + 1 ; quidi, se > (c + 1)/( c ), si ha che (c + 1 ) <, e pertato c + 1 A. Ma allora deve essere c + 1 c, il che è impossibile. No potedo essere é c > é c <, deve quidi essere c =. Il Lemma ci assicura ioltre che o ci possoo essere altre soluzioi positive dell equazioe x =, la quale pertato ha esattamete due soluzioi, c e c. Lo stesso tipo di procedimeto può essere usato per dimostrare che, qualuque sia il umero reale positivo r, esiste u uico umero reale positivo c tale che c = r. Questo si chiama radice quadrata di r e si scrive c = r. Si oti che l equazioe x = r ha due soluzioi: x = r e x = r. Si poe ioltre 0 = 0, metre la radice quadrata di u umero egativo resta o defiita. Studieremo ora la desità degli isiemi Q e R \ Q ell isieme dei umeri reali R. Teorema. Dati due umeri reali α, β, co α < β, esiste u umero razioale tra essi compreso. Dimostrazioe. Cosideriamo tre casi distiti. Primo caso: 0 α < β. Scegliamo N tale che > 1 β α, e sia m N il più grade umero aturale tale che m < β. Quidi m < β, e resta da vedere che m > α. Per assurdo, sia m α; allora m + 1 α + 1 < α + (β α) = β, ossia m + 1 < β, i cotraddizioe col fatto che m è il più grade umero aturale miore di β. Secodo caso: α < 0 < β. Basta scegliere il umero 0, che è razioale. Terzo caso: α < β 0. Ci si può ricodurre al primo caso cambiado i segi: 0 β < α, per cui esiste u razioale m tale che β < m < α. Allora α < m < β. 10

11 Teorema. Dati due umeri reali α, β, co α < β, esiste u umero irrazioale tra essi compreso. Dimostrazioe. Per il teorema precedete, esiste u umero razioale m che α + < m < β +. tale Ne segue che α < m < β, co m Q. Scopriremo ora ua sostaziale differeza tra gli isiemi Q e R \ Q. Cosideriamo la seguete successioe di umeri razioali o egativi: Come si vede, essa è costruita elecado i umeri razioali i cui la somma tra umeratore e deomiatore è 1, poi, poi 3 e così via. Essa è sicuramete suriettiva, i quato tutti i umeri razioali o egativi compaioo prima o poi ella lista. Possiamo ora modificarla per trovare ua biiettiva, eiado i umeri che compaioo già i precedeza: A questo puto, è facile modificarla acora per otteere tutti i umeri razioali: I questo modo, abbiamo costruito ua fuzioe ϕ : N Q biiettiva. Diremo quidi che Q è u isieme umerabile. Vediamo ora che R o è u isieme umerabile, ossia che o esiste ua fuzioe ϕ : N R biiettiva. Ifatti, se per assurdo esistesse ua tale fuzioe, potrei elecare i umeri reali i ua successioe e, scrivedoli i forma decimale, avrei 0 α 0 = α 0,0, α 0,1 α 0, α 0,3 α 0, α 1 = α 1,0, α 1,1 α 1, α 1,3 α 1,4... α = α,0, α,1 α, α,3 α, α 3 = α 3,0, α 3,1 α 3, α 3,3 α 3, α 4 = α 4,0, α 4,1 α 4, α 4,3 α 4,

12 (qui tutti gli α i,j soo umeri aturali e, se j 1, soo cifre comprese tra 0 e 9). Posso ora costruire u umero reale diverso da tutti gli α i della lista. Basta predere gli elemeti della diagoale α 0,0, α 1,1, α,, α 3,3, α 4,4,... e modificarli uo a uo: scelgo u umero aturale β 0, tra 0 e 9, diverso da α 0,0, poi u β 1, tra 0 e 9, diverso da α 1,1, poi acora u β, sempre tra 0 e 9, diverso da α,, e così via, co l accortezza di o prederli tutti uguali a 9, da u certo puto i poi. A questo puto, il umero reale β avete forma decimale β = β 0, β 1 β β 3 β 4... o può essere uguale ad alcuo dei umeri α i. La fuzioe ϕ o può pertato essere suriettiva. Avedo visto che Q è umerabile e che R o lo è, possiamo dedure che emmeo R \ Q può essere umerabile. Chiamiamo itervallo u sottoisieme o vuoto I di R co la seguete proprietà: comuque presi due suoi elemeti α, β, l isieme I cotiee ache tutti i umeri tra essi compresi. Si può dimostrare che gli itervalli soo di uo dei segueti tipi, co le rispettive otazioi: [a, b] = {x : a x b}, ]a, b[ = {x : a < x < b}, [a, b[ = {x : a x < b}, ]a, b] = {x : a < x b}, [a, + [ = {x : x a}, ]a, + [ = {x : x > a}, ], b] = {x : x b}, ], b[ = {x : x < b}, R, talvolta deotato co ], + [. I primi quattro soo itati (sia superiormete che iferiormete), gli altri o. Nella lista si possoo ache icludere gli isiemi costituiti da u uico puto, cioè del tipo [a, a]. I tal caso, si tratta di u itervallo degeere. Gli itervalli del tipo [a, b] si dicoo chiusi e itati, quelli del tipo ]a, b[ aperti e itati. Lezioe 5 del 13/10/016: Dai reali ai complessi Teorema (di Cator). Cosideriamo ua successioe di itervalli chiusi e itati I = [a, b ], co a b, tali che I 0 I 1 I I 3... Allora esiste u elemeto c R che appartiee a tutti gli I. 1

13 Dimostrazioe. Defiiamo gli isiemi A = {a : N}, B = {b : N}. Preso u elemeto a di A e u elemeto b m di B (o ecessariamete co lo stesso idice), vediamo che a b m. Ifatti, se m, allora I I m, per cui a a m b m b. Se ivece m, si ha I m I, per cui a m a b b m. I ogi caso, a b m. Possiamo quidi usare la proprietà di separazioe, e troviamo u c R tale che a A b B a c b. I particolare, a c b, cioè c I, per ogi N. Il teorema di Cator verrà ripreso e usato i seguito. Lasciamo ora questo argometo per itrodurre il campo dei umeri complessi. Cosideriamo l isieme R R = {(a, b) : a R, b R}, che spesso si idica co R. Defiiamo u operazioe di addizioe : Si verificao le segueti proprietà: (a, b) + (a, b ) = (a + a, b + b ). a) (associativa) (a, b) + ((a, b ) + (a, b )) = ((a, b) + (a, b )) + (a, b ) ; b) esiste u elemeto eutro (0, 0): si ha (a, b) + (0, 0) = (a, b) ; c) ogi elemeto (a, b) ha u opposto (a, b) = ( a, b): si ha (a, b) + ( a, b) = (0, 0) ; d) (commutativa) (a, b) + (a, b ) = (a, b ) + (a, b) ; Defiiamo u operazioe di moltiplicazioe : (a, b) (a, b ) = (aa bb, ab + ba ). Si può verificare che valgoo le segueti proprietà: a) (associativa) (a, b) ((a, b ) (a, b )) = ((a, b) (a, b )) (a, b ) ; b) esiste u elemeto eutro (1, 0): si ha (a, b) (1, 0) = (a, b) ; c) ogi elemeto (a, b) (0, 0) ha u reciproco (a, b) 1 a = ( ha ( a (a, b) a + b, ) b = (1, 0) ; a + b a +b, b ): si a +b d) (commutativa) (a, b) (a, b ) = (a, b ) (a, b) ; e) (distributiva) (a, b) ((a, b ) + (a, b )) = ((a, b) (a, b )) + ((a, b) (a, b )). 13

14 (Nel seguito, ometteremo spesso di scrivere il ). I questo modo, (R, +, ) risulta essere u campo, che verrà idicato co C e si dirà il campo complesso. I suoi elemeti si chiamerao umeri complessi. Si può pesare C come u estesioe di R i questo modo: si idetificao tutti gli elemeti della forma (a, 0) co il corrispodete umero reale a. Le operazioi di somma e moltiplicazioe idotte su R soo effettivamete quelle preesisteti: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0) (b, 0) = (ab, 0). Notiamo che vale la seguete uguagliaza: (a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0). È allora coveiete itrodurre u uovo simbolo per idicare l elemeto (0, 1). Scriveremo (0, 1) = i. I questo modo, avedo idetificato (a, 0) co a e (b, 0) co b, possiamo scrivere (a, b) = a + ib. Posto z = a + ib, il umero a si dice parte reale di z e si scrive a = Re(z). Il umero b si dice parte immagiaria di z e si scrive b = Im(z). Osserviamo ora che si ha i = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) = 1. Usado questa semplice iformazioe, possiamo verificare che valgoo le usuali proprietà simboliche formali: ad esempio, (a + ib) + (a + ib ) = (a + a ) + i(b + b ). (a + ib)(a + ib ) = (aa bb ) + i(ab + ba ). Lezioe 6 del 17/10/016: Il campo dei umeri complessi cotiuazioe Se z = a + ib, si itroduce il modulo di z: z = a + b, Dati due umeri complessi z e z, si può verificare che zz = z z. 14

15 I particolare, se z = z, si ha z = z. Ne segue per iduzioe che, per N, z = z. Ioltre, se z 0, essedo z 1 z = 1, si ha z 1 = z 1. Dato u umero complesso z = a + ib, si itroduce il umero z = a ib, detto il complesso coiugato di z. Valgoo le segueti proprietà: Se z 0, è (z 1 + z ) = z 1 + z ; (z 1 z ) = z 1z ; z = z ; zz = z ; Re(z) = 1 (z + z ) ; Im(z) = 1 i (z z ). z 1 = z z. Sia z = a + ib u umero complesso fissato. Cerchiamo le soluzioi i C dell equazioe u = z. Queste verrao dette radici quadrate di z. Se b = 0, ho { ± a se a 0, u = ±i a se a < 0. Se ivece b 0, scriviamo u = x + iy. Allora x y = a, xy = b. Essedo b 0, si ha x 0 e y 0. Posso quidi scrivere y = b x, e ottego da cui x 4 ax b 4 = 0, x = a + a + b. 15

16 Determiati così x e y, abbiamo due soluzioi della ostra equazioe: u = ± a + a + b b + i (a +. a + b ) Possiamo ora cosiderare u equazioe del secodo grado Au + Bu + C = 0, dove A, B, C soo umeri complessi fissati, co A 0. Come facilmete si vede, l equazioe è equivalete a ( u + B ) = B 4AC. A (A) Poedo v = u + B e z = B 4AC, ci si ricoduce al problema delle radici A (A) quadrate che abbiamo già risolto. Per cocludere, cosideriamo l equazioe poliomiale più geerale A u + A 1 u A 1 u + A 0 = 0, dove A 0, A 1,..., A soo umeri complessi fissati, co A 0. I altri termii, vogliamo trovare le radici di u poliomio a coefficieti complessi. Il seguete teorema, che euciamo seza dimostrazioe, è oto come teorema fodametale dell algebra. Teorema. Ogi equazioe poliomiale ha, el campo complesso, almeo ua soluzioe. Il problema di trovare ua formula geerale che forisca le soluzioi è però tutt altro che facile. Lo abbiamo affrotato el caso = e si può risolvere ache se = 3 o 4. Se 5, però, è stato dimostrato che o esiste alcua formula algebrica geerale che forisca ua radice del poliomio. Lezioe 7 del 19/10/016: Lo spazio R N Cosideriamo l isieme R N, costituito dalle N uple (x 1, x,..., x N ), dove x 1, x,..., x N soo umeri reali. Idicheremo i suoi elemeti co i simboli x, x, x,... Comiciamo co l itrodurre u operazioe di addizioe i R N : dati due elemeti x = (x 1, x,..., x N ) e x = (x 1, x,..., x N ), si defiisce x + x i questo modo: x + x = (x 1 + x 1, x + x,..., x N + x N). 16

17 Valgoo le segueti proprietà: a) (associativa) (x + x ) + x = x + (x + x ) ; b) esiste u elemeto eutro 0 = (0, 0,..., 0): si ha x + 0 = x = 0 + x; c) ogi elemeto x = (x 1, x,..., x N ) ha u opposto ( x) = ( x 1, x,..., x N ): si ha x + ( x) = 0 = ( x) + x ; d) (commutativa) x + x = x + x. Pertato, (R N, +) è u gruppo abeliao. Normalmete, si usa scrivere x x per idicare x + ( x ). Defiiamo ora la moltiplicazioe di u elemeto di R N per u umero reale: cosiderati x = (x 1, x,..., x N ) R N e u umero reale α R, si defiisce αx i questo modo: αx = (αx 1, αx,..., αx N ). Valgoo le segueti proprietà: a) α(βx) = (αβ)x ; b) (α + β)x = (αx) + (βx) ; c) α(x + x ) = (αx) + (αx ) ; d) 1x = x. Pertato, co le operazioi itrodotte, R N è uo spazio vettoriale. Chiameremo i suoi elemeti vettori ; i umeri reali, i questo ambito, verrao chiamati scalari. È utile itrodurre il prodotto scalare tra due vettori: dati x = (x 1, x,..., x N ) e x = (x 1, x,..., x N ), si defiisce il umero reale x x i questo modo: x x = N x k x k. k=1 Il prodotto scalare è spesso idicato co simboli diversi, quali ad esempio x x, x, x, (x x ), (x, x ). Valgoo le segueti proprietà: a) x x 0 ; b) x x = 0 x = 0 ; c) (x + x ) x = (x x ) + (x x ) ; d) (αx) x = α(x x ) ; e) x x = x x ; A partire dal prodotto scalare, possiamo defiire la orma di u vettore x = (x 1, x,..., x N ) : x = x x = N x k. Valgoo le segueti proprietà: 17 k=1

18 a) x 0 ; b) x = 0 x = 0 ; c) αx = α x ; d) x + x x + x. Per dimostrare la d), abbiamo bisogo della seguete disuguagliaza di Schwarz. Teorema. Presi due vettori x, x, si ha x x x x. Dimostrazioe. La disuguagliaza è sicuramete verificata se x = 0, essedo i tal caso x x = 0 e x = 0. Suppoiamo quidi x 0. Per ogi α R, si ha 0 x αx = (x αx ) (x αx ) = x αx x + α x. Prededo α = 1 x x x, si ottiee 0 x 1 x (x x ) + 1 x (x 4 x ) x = x 1 x (x x ), da cui la tesi. Dimostriamo ora la proprietà d) della orma, usado la disuguagliaza di Schwarz: da cui la disuguagliaza cercata. x + x = (x + x ) (x + x ) = x + x x + x x + x x + x = ( x + x ), Notiamo acora la seguete idetità del parallelogramma, di semplice verifica: x + x + x x = ( x + x ). Defiiamo ora, a partire dalla orma, la distaza euclidea tra due vettori x = (x 1, x,..., x N ) e x = (x 1, x,..., x N ) : d(x, x ) = x x = N (x k x k ). Valgoo le segueti proprietà: a) d(x, x ) 0 ; b) d(x, x ) = 0 x = x ; 18 k=1

19 c) d(x, x ) = d(x, x) ; d) d(x, x ) d(x, x ) + d(x, x ). Quest ultima viee spesso chiamata disuguagliaza triagolare ; la dimostriamo: d(x, x ) = x x = (x x ) + (x x ) x x + x x = d(x, x ) + d(x, x ). Lezioe 8 del 0/10/016: Spazi metrici Dato u isieme o vuoto E, ua fuzioe d : E E R si chiama distaza (su E) se soddisfa alle segueti proprietà: a) d(x, x ) 0 ; b) d(x, x ) = 0 x = x ; c) d(x, x ) = d(x, x) ; d) d(x, x ) d(x, x ) + d(x, x ) (la disuguagliaza triagolare). L isieme E, dotato della distaza d, si dice spazio metrico. I suoi elemeti verrao spesso chiamati puti. Abbiamo visto che R N, dotato della distaza euclidea, è uo spazio metrico (el seguito, parlado dello spazio metrico R N, se o altrimeti specificato sottitederemo che la distaza sia sempre quella euclidea). Nel caso N = 1, abbiamo la distaza usuale su R : d(α, β) = α β. È però possibile cosiderare diverse distaze su uo stesso isieme. Ad esempio, presi due vettori x = (x 1, x,..., x N ) e x = (x 1, x,..., x N ), la fuzioe N d 1 (x, x ) = x k x k rappreseta ach essa ua distaza i R N. Lo stesso dicasi per la fuzioe k=1 d 0 (x, x ) = max{ x k x k : k = 1,,..., N}. Oppure, si può defiire la seguete: ˆd(x, x ) = { 0 se x = x, 1 se x x. Ache questa è ua distaza, per quato straa possa sembrare. 19

20 Dati x 0 E e u umero ρ > 0, defiiamo la palla aperta di cetro x 0 e raggio ρ: B(x 0, ρ) = {x E : d(x, x 0 ) < ρ} ; aalogamete defiiamo la palla chiusa e la sfera B(x 0, ρ) = {x E : d(x, x 0 ) ρ} S(x 0, ρ) = {x E : d(x, x 0 ) = ρ}. I R, ogi itervallo aperto e itato è ua palla aperta e ogi itervallo chiuso e itato è ua palla chiusa: si ha ( a + b ]a, b[ = B, b a ) ( a + b, [a, b] = B, b a ). Ua sfera i R è quidi costituita da due soli puti. I R, co la distaza euclidea, ua palla è u cerchio: la palla aperta o comprede i puti della circofereza estera, la palla chiusa si. Ua sfera è semplicemete ua circofereza. Se i R cosideriamo la distaza d 1 defiita i precedeza, ua palla sarà u quadrato, co i lati icliati di 45 gradi, avete x 0 come puto cetrale. Ua sfera sarà il perimetro di tale quadrato. Se ivece cosideriamo la distaza d 0, la palla sarà acora u quadrato, ma co i lati paralleli agli assi cartesiai. Se ivece prediamo la distaza ˆd, su u qualsiasi isieme E, allora { { {x0 } se ρ 1, {x0 } se ρ < 1, B(x 0, ρ) = B(x E se ρ > 1, 0, ρ) = E se ρ 1, per cui S(x 0, ρ) = { E \ {x0 } se ρ = 1, Ø se ρ 1. U isieme U E si dice itoro di u puto x 0 se esiste u ρ > 0 tale che B(x 0, ρ) U; i tal caso, il puto x 0 si dice itero ad U. L isieme dei puti iteri ad U si chiama l itero di U e si deota co U. Chiaramete, si ha sempre U U. Si dice che U è u isieme aperto se coicide co il suo itero, ossia se U = U. Teorema. Ua palla aperta è u isieme aperto. Dimostrazioe. Sia B(x 0, ρ) la palla i questioe; prediamo u x 1 B(x 0, ρ). Scelto r > 0 tale che r ρ d(x 0, x 1 ), si ha che B(x 1, r) B(x 0, ρ); ifatti, se x B(x 1, r), allora d(x, x 0 ) d(x, x 1 ) + d(x 1, x 0 ) < r + d(x 1, x 0 ) ρ, per cui x B(x 0, ρ). Abbiamo quidi dimostrato che ogi puto x 1 di B(x 0, ρ) è itero a B(x 0, ρ). 0

21 Lezioe 9 del 4/10/016: Spazi metrici - cotiuazioe Diremo che il puto x 0 è aderete all isieme U se per ogi ρ > 0 si ha che B(x 0, ρ) U Ø. L isieme dei puti adereti ad U si chiama la chiusura di U e si deota co U. Chiaramete, si ha sempre U U. Si dice che U è u isieme chiuso se coicide co la sua chiusura, ossia se U = U. Teorema. Ua palla chiusa è u isieme chiuso. Dimostrazioe. Sia B(x 0, ρ) la palla i questioe; prediamo u x 1 B(x 0, ρ). Scelto r > 0 tale che r d(x 0, x 1 ) ρ, si ha che B(x 1, r) B(x 0, ρ) = Ø; ifatti, se per assurdo esistesse u x B(x 1, r) B(x 0, ρ), allora si avrebbe d(x 0, x 1 ) d(x 0, x) + d(x, x 1 ) < r + ρ, i cotrasto co la scelta fatta per r. Quidi, essu puto x 1 al di fuori di B(x 0, ρ) può essere aderete a B(x 0, ρ). I altri termii, B(x 0, ρ) cotiee tutti i puti ad essa adereti. Cosideriamo ora tre esempi particolari: el primo, l isieme U coicide co E; el secodo, U è l isieme vuoto; el terzo, esso è costituito da u uico puto. Ogi puto di E è itero all isieme E stesso, i quato ogi palla è per defiizioe coteuta i E. Quidi, l itero di E coicide co tutto E, ossia E = E. Questo sigifica che E è u isieme aperto. Ioltre, essedo E il ostro isieme uiverso, ogi puto aderete ad E deve comuque apparteere ad E stesso. Quidi, la chiusura di E coicide co E, ossia E = E. Questo sigifica che E è u isieme chiuso. L isieme vuoto o può avere puti iteri. Quidi, l itero di Ø, o avedo elemeti, è vuoto. I altri termii, Ø = Ø, il che sigifica che Ø è ach esso u isieme aperto. Notiamo ioltre che o esiste alcu puto aderete all isieme Ø. Ifatti, qualsiasi sia il puto x 0, per ogi ρ > 0 si ha che B(x 0, ρ) Ø = Ø. Quidi, la chiusura di Ø, o avedo elemeti, è vuota. I altri termii, Ø = Ø, il che sigifica che Ø è u isieme chiuso. L isieme U = {x 0 }, costituito da u uico puto, è sempre u isieme chiuso. Ifatti, preso u x 1 / U, scegliedo ρ > 0 tale che ρ < d(x 0, x 1 ) si ha che B(x 1, ρ) U = Ø, per cui x 1 o è aderete ad U. I geerale U o è u isieme aperto (ad esempio i R N co la distaza euclidea), ma può esserlo i casi particolari (ad esempio, se si cosidera la distaza ˆd, ossia quado x 0 è u puto isolato di E). Teorema. L itero di u isieme è u isieme aperto. 1

22 Dimostrazioe. Se U è vuoto, la tesi è sicuramete vera. Suppoiamo allora che U sia o vuoto. Sia x 1 U. Allora esiste u ρ > 0 tale che B(x 1, ρ) U. Vogliamo vedere che B(x 1, ρ) U. Preso x B(x 1, ρ), essedo B(x 1, ρ) u isieme aperto, esso è u itoro di x; siccome U cotiee B(x 1, ρ), ache U è u itoro di x, per cui x U. Ciò dimostra che B(x 1, ρ) U e pertato ogi puto x 1 di U è itero a U. Teorema. La chiusura di u isieme è u isieme chiuso. Dimostrazioe. Se U = E, la tesi è verificata. Suppoiamo quidi che sia U E. Sia x 1 U. Allora esiste u ρ > 0 tale che B(x 1, ρ) U = Ø. Vediamo che ache B(x 1, ρ) U = Ø. Ifatti, se per assurdo ci fosse u x B(x 1, ρ) U, essedo B(x 1, ρ) u isieme aperto, esisterebbe u r > 0 tale che B(x, r) B(x 1, ρ). Siccome x U, dovrebbe essere B(x, r) U Ø e quidi ache B(x 1, ρ) U Ø, i cotraddizioe co quato sopra. Quidi, essu puto x 1 al di fuori di U può essere aderete a U. I altri termii, U cotiee tutti i puti ad esso adereti. Si può dimostrare la seguete implicazioe: U 1 U U 1 U. Da essa segue che U è il più grade isieme aperto coteuto i U: se A è u aperto e A U, allora A U. Aalogamete, si ha: U 1 U U 1 U. Da questa segue che U è il più piccolo isieme chiuso che cotiee U: se C è u chiuso e C U, allora C U. Cercheremo ora di capire le aalogie icotrate tra le ozioi di itero e chiusura di u isieme, e quelle di isieme aperto e chiuso. Teorema. Valgoo le segueti relazioi: 5 CU = CU, (CU) = CU. Dimostrazioe. Vediamo la prima uguagliaza. Se U = E, allora CU = Ø, per cui CU = Ø; d altra parte, U = E, per cui CU = Ø. L uguagliaza è così verificata i questo caso. Suppoiamo ora che sia U E, per cui CU Ø. Si ha: x CU ρ > 0 B(x, ρ) CU Ø ρ > 0 B(x, ρ) U x U x CU. 5 Deotiamo co CU il complemetare di U i E, ossia l isieme E \ U.

23 Questo dimostra la prima uguagliaza. Possiamo ora usarla per dedure la seguete: C(CU) = C(CU) = U. Passado ai complemetari, si ottiee la secoda uguagliaza. Abbiamo quidi che U = C(CU) = C(CU), U = C(CU ) = C(CU). Come immediato corollario, abbiamo il seguete. Teorema. U isieme è aperto [chiuso] se e solo se il suo complemetare è chiuso [aperto]. Si defiisce la frotiera di u isieme U come differeza tra la sua chiusura e il suo itero: U = U \ U. È bee essere prudeti su alcue coclusioi che possoo esserci suggerite dalla ostra ituizioe basata sulla distaza euclidea. Ad esempio, le uguagliaze B(x 0, ρ) = B(x 0, ρ), B(x 0, ρ) = S(x 0, ρ). valgoo sicuramete i R N co la distaza euclidea, ma possoo o valere i altri casi. Prediamo ad esempio la distaza ˆd cosiderata sopra. Allora B(x 0, 1) = {x 0 }, che è u isieme chiuso, e B(x 0, 1) = E per cui B(x 0, 1) B(x 0, 1). Ioltre, B(x 0, 1) = Ø, metre S(x 0, 1) = E \ {x 0 }, per cui B(x 0, 1) S(x 0, 1). Lezioe 10 del 6/10/016: Fuzioi cotiue - I Ituitivamete, ua fuzioe f : A B è cotiua se f(x) varia gradualmete al variare di x el domiio, cioè quado o si verificao variazioi brusche ei valori della fuzioe. Per redere rigorosa questa idea ituitiva, sarà coveiete focalizzare la ostra attezioe fissado u x 0 el domiio A e provado a precisare cosa itediamo per Procederemo per gradi. Primo tetativo. seguete: f è cotiua i x 0. Diremo che f è cotiua i x 0 quado si verifica la cosa se x è vicio a x 0, allora f(x) è vicio a f(x 0 ). 3

24 Osserviamo subito che, sebbee l idea di cotiuità vi sia già abbastaza be formulata, la proposizioe precedete o è ua defiizioe accettabile, perché la parola vicio, che vi compare due volte, o ha u sigificato preciso. Iazitutto, per poter misurare quato vicio sia x a x 0 e quato vicio sia f(x) a f(x 0 ), abbiamo bisogo di itrodurre delle distaze. Più precisamete, dovremo supporre che il domiio e il codomiio della fuzioe siao due spazi metrici. Siao quidi E ed E due spazi metrici, co le loro distaze d e d, rispettivamete. Sia x 0 u puto di E e f : E E ua fuzioe. Possiamo riformulare il tetativo di defiizioe precedete come segue. Secodo tetativo. cosa seguete: Diremo che f è cotiua i x 0 quado si verifica la se la distaza d(x, x 0 ) è piccola, allora la distaza d (f(x), f(x 0 )) è piccola. Ci rediamo subito coto che il problema riscotrato el primo tetativo o è stato affatto risolto co questo secodo tetativo, i quato vi compare ora per due volte la parola piccola, che o ha u sigificato preciso. Ci chiediamo allora: quato piccola vogliamo che sia la distaza d (f(x), f(x 0 ))? L idea che abbiamo i mete è che questa distaza possa essere resa piccola quato si voglia (purché la distaza d(x, x 0 ) sia sufficietemete piccola, s itede). Per poterla misurare, itrodurremo quidi u umero reale positivo, che chiameremo ε, e chiederemo che sia d (f(x), f(x 0 )) < ε, qualora d(x, x 0 ) sia sufficietemete piccola. L arbitrarietà di tale ε ci permetterà di prederlo piccolo quato si voglia. Terzo tetativo. Diremo che f è cotiua i x 0 quado si verifica la cosa seguete: preso u qualsiasi umero ε > 0, se la distaza d(x, x 0 ) è piccola, allora d (f(x), f(x 0 )) < ε. Adesso la parola piccola compare ua sola volta, metre la distaza d (f(x), f(x 0 )) viee semplicemete cotrollata dal umero ε. Quidi, almeo la secoda parte della proposizioe ha ora u sigificato be preciso. Potremmo allora cercare di fare altrettato co la distaza d(x, x 0 ), itroducedo u uovo umero reale positivo, che chiameremo δ, che la cotrolli. Quarto tetativo (quello buoo!). Diremo che f è cotiua i x 0 quado si verifica la cosa seguete: preso u qualsiasi umero ε > 0, è possibile trovare u umero δ > 0 per cui, se d(x, x 0 ) < δ, allora d (f(x), f(x 0 )) < ε. Quest ultima proposizioe, a differeza delle precedeti, o preseta alcu termie impreciso. Le distaze d(x, x 0 ) e d (f(x), f(x 0 )) soo semplicemete cotrollate da due umeri positivi δ e ε, rispettivamete. Riscriviamola quidi i modo formale. Defiizioe. Diremo che f è cotiua i x 0 se, comuque preso u umero positivo ε, è possibile trovare u umero positivo δ tale che, se x è u qualsiasi 4

25 elemeto del domiio E che disti da x 0 per meo di δ, allora f(x) dista da f(x 0 ) per meo di ε. I simboli: ε > 0 δ > 0 : x E d(x, x 0 ) < δ d (f(x), f(x 0 )) < ε. I questa formulazioe, spesso la scrittura x E verrà sottitesa. Si può osservare che ua o etrambe le disuguagliaze d(x, x 0 ) < δ e d (f(x), f(x 0 )) < ε possoo essere sostituite da d(x, x 0 ) δ e d (f(x), f(x 0 )) ε, otteedo defiizioi che soo tutte tra loro equivaleti. Questo è dovuto al fatto, da u lato, che ε è u qualuque umero positivo e, dall altro lato, che se l implicazioe della defiizioe vale per u certo umero positivo δ, essa vale a maggior ragioe prededo al posto di quel δ u qualsiasi umero positivo più piccolo. Ua rilettura della defiizioe di cotiuità ci mostra che f è cotiua i x 0 se e solo se: ε > 0 δ > 0 : f(b(x 0, δ)) B(f(x 0 ), ε). Ioltre, è del tutto equivalete cosiderare ua palla chiusa al posto di ua palla aperta; risulta ioltre utile la seguete formulazioe equivalete, per cui f è cotiua i x 0 se e solo se: per ogi itoro V di f(x 0 ) esiste u itoro U di x 0 tale che f(u) V. Lezioe 11 del 7/10/016: Fuzioi cotiue - II Nel caso i cui la fuzioe f sia cotiua i ogi puto x 0 del domiio E, diremo che f è cotiua su E, o semplicemete f è cotiua. Vediamo ora alcui esempi. 1) La fuzioe costate: per u certo ȳ E, si ha che f(x) = ȳ, per ogi x E. Essedo d (f(x), f(x 0 )) = 0 per ogi x E, tale fuzioe è chiaramete cotiua (ogi scelta di δ > 0 va bee). ) Suppoiamo che x 0 sia u puto isolato di E: esiste cioè u ρ > 0 per cui o ci soo puti di E che distio da x 0 per meo di ρ, trae x 0 stesso. Vediamo che, i questo caso, qualsiasi fuzioe f : E E risulta cotiua i x 0. Ifatti, dato ε > 0 qualsiasi, prededo δ = ρ, avremo che B(x 0, δ) = {x 0 }, per cui f(b(x 0, δ)) = {f(x 0 )} B(f(x 0 ), ε). 3) Siao E = R N ed E = R N. Fissato u umero α R, cosideriamo la fuzioe f : R N R N defiita da f(x) = αx. Vediamo che è cotiua. Ifatti, se α = 0, si tratta della fuzioe costate co valore 0, e sappiamo che tale fuzioe è cotiua. Sia ora α 0. Allora, fissato ε > 0, essedo f(x) f(x 0 ) = αx αx 0 = α(x x 0 ) = α x x 0, 5

26 basta predere δ = ε α per avere l implicazioe x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. 4) Siao E = R N ed E = R. Vediamo che la fuzioe f : R N R defiita da f(x) = x è cotiua su R N. Questo seguirà facilmete dalla disuguagliaza x x x x, che ora dimostriamo. Si ha: x = (x x ) + x x x + x, x = (x x) + x x x + x. Essedo x x = x x, si ha che x x x x e x x x x, da cui la disuguagliaza cercata. A questo puto, cosiderato u x 0 R N e fissato u ε > 0, basta predere δ = ε per avere che x x 0 < δ x x 0 < ε. Euciamo ora alcue proprietà delle fuzioi cotiue. Teorema. Se f, g : E R soo cotiue i x 0, ache f + g lo è. Dimostrazioe. Fissiamo ε > 0. Per la cotiuità di f e g esistoo δ 1 > 0 e δ > 0 tali che Quidi, se δ = mi{δ 1, δ }, si ha d(x, x 0 ) < δ 1 f(x) f(x 0 ) < ε, d(x, x 0 ) < δ g(x) g(x 0 ) < ε. d(x, x 0 ) < δ (f +g)(x) (f +g)(x 0 ) f(x) f(x 0 ) + g(x) g(x 0 ) < ε. Data l arbitrarietà di ε, ciò dimostra che f + g è cotiua i x 0. Teorema. Se f, g : E R soo cotiue i x 0, ache f g lo è. Dimostrazioe. Fissiamo ε > 0. No è restrittivo supporre ε 1, i quato possiamo sempre porre ε = mi{ε, 1} e procedere co ε al posto di ε. Per la cotiuità di f e g esistoo δ 1 > 0 e δ > 0 tali che d(x, x 0 ) < δ 1 f(x) f(x 0 ) < ε, d(x, x 0 ) < δ g(x) g(x 0 ) < ε. 6

27 Notiamo che, essedo ε 1, da f(x) f(x 0 ) < ε segue che f(x) < f(x 0 ) +1. Quidi, se δ = mi{δ 1, δ }, si ha d(x, x 0 ) < δ (f g)(x) (f g)(x 0 ) = = f(x)g(x) f(x)g(x 0 ) + f(x)g(x 0 ) f(x 0 )g(x 0 ) f(x) g(x) g(x 0 ) + g(x 0 ) f(x) f(x 0 ) ( f(x 0 ) + 1) g(x) g(x 0 ) + g(x 0 ) f(x) f(x 0 ) < ( f(x 0 ) + g(x 0 ) + 1)ε. Data l arbitrarietà di ε, ciò dimostra che f g è cotiua i x 0. Teorema. Se f, g : E R soo cotiue i x 0, ache f g lo è. Dimostrazioe. Segue immediatamete dai due teoremi precedeti e dal fatto che ogi fuzioe costate è cotiua, i quato f g = f + ( 1) g. Teorema (della permaeza del sego). Se g : E R è cotiua i x 0 e g(x 0 ) > 0, allora esiste u δ > 0 tale che d(x, x 0 ) < δ g(x) > 0. Dimostrazioe. Fissiamo ε = g(x 0 ). Per la cotiuità, esiste u δ > 0 tale che d(x, x 0 ) < δ g(x 0 ) ε < g(x) < g(x 0 ) + ε 0 < g(x) < g(x 0 ). Naturalmete, u aalogo euciato vale se g(x 0 ) < 0. Teorema. Se f, g : E R soo cotiue i x 0 e g(x 0 ) 0, ache f g è cotiua i x 0. Dimostrazioe. Si oti che, per la proprietà di permaeza del sego, esiste u ρ > 0 tale che il rapporto f(x) è defiito almeo per tutti gli x di E che g(x) distao da x 0 per meo di ρ. Essedo f = f 1, basterà dimostrare che 1 è g g g cotiua i x 0. Fissiamo ε > 0; possiamo supporre seza perdita di geeralità che ε < g(x 0). Per la cotiuità di g, esiste u δ > 0 tale che Ma allora, essedo ε < g(x 0), ache Ne segue che d(x, x 0 ) < δ g(x) g(x 0 ) < ε. d(x, x 0 ) < δ g(x) > g(x 0 ) ε > g(x 0) d(x, x 0 ) < δ 1 g (x) 1 g (x 0) = g(x 0) g(x) < g(x)g(x 0 ) Per l arbitrarietà de ε, questo dimostra che 1 g è cotiua i x g(x 0 ) ε.

28 Cosideriamo il caso i cui E = R ed E = R. Sappiamo da quato sopra che le fuzioi costati soo cotiue, così come la fuzioe f(x) = x. Usado i teoremi precedeti, abbiamo quidi che tutte le fuzioi poliomiali soo cotiue, così come le fuzioi razioali, defiite dal rapporto di due poliomi. Più precisamete, esse soo cotiue sul loro domiio, ossia sull isieme dei puti i cui il deomiatore o si aulla. Vediamo ora come si comporta ua fuzioe composta di due fuzioi cotiue. Teorema. Siao f : E E cotiua i x 0 e g : E E cotiua i f(x 0 ); allora g f è cotiua i x 0. Dimostrazioe. Fissato u itoro W di [g f](x 0 ) = g(f(x 0 )), per la cotiuità di g i f(x 0 ) esiste u itoro V di f(x 0 ) tale che g(v ) W. Allora, per la cotiuità di f i x 0, esiste u itoro U di x 0 tale che f(u) V. Ne segue che [g f](u) W. Lezioe 1 del 07/11/016: Fuzioi cotiue - III È molto importate la seguete proprietà delle fuzioi cotiue. Teorema (degli zeri). Se f : [a, b] R è ua fuzioe cotiua tale che f(a) < 0 < f(b) oppure f(a) > 0 > f(b), allora esiste u c ]a, b[ tale che f(c) = 0. Dimostrazioe. Cosidereremo il caso f(a) < 0 < f(b), essedo l altro del tutto aalogo. Scriviamo I 0 = [a, b] e cosideriamo il puto medio a+b dell itervallo I 0. Se f si aulla i esso, abbiamo trovato il puto c cercato. Altrimeti, f( a+b) < 0 o f(a+b ) > 0. Se f(a+b ) < 0, chiamiamo I 1 l itervallo [ a+b, b]; se f( a+b) > 0, chiamiamo ivece I 1 l itervallo [a, a+b ]. Prededo ora il puto medio di I 1 e ripetedo il ragioameto, possiamo defiire u itervallo I e, per ricorreza, ua successioe di itervalli I = [a, b ] tali che I 0 I 1 I I 3... e, per ogi, f(a ) < 0 < f(b ). Per il teorema di Cator, esiste u c R apparteete a tutti gli itervalli. Dimostriamo che f(c) = 0. Per assurdo, se f(c) < 0, per la permaeza del sego esiste u δ > 0 tale che f(x) < 0 per ogi x ]c δ, c + δ[. Ma siccome b c b a e, per 1, b a = b a < b a b a, prededo > si ha che b δ ]c δ, c + δ[. Ma allora dovrebbe essere f(b ) < 0, i cotraddizioe co quato sopra. U ragioameto aalogo porta a ua cotraddizioe suppoedo f(c) > 0. Come cosegueza del teorema degli zeri, abbiamo che ua fuzioe cotiua mada itervalli i itervalli : 8

29 Corollario. Sia E u sottoisieme di R e f : E R ua fuzioe cotiua. Se I E è u itervallo, allora ache f(i) è u itervallo. Dimostrazioe. Escludedo i casi baali i cui I o f(i) cosistoo di u uico puto, prediamo α, β f(i), co α < β e sia γ tale che α < γ < β. Vogliamo vedere che γ f(i). Cosideriamo la fuzioe g : E R defiita da g(x) = f(x) γ. Siao a, b i I tali che f(a) = α e f(b) = β. Essedo I u itervallo, la fuzioe g è defiita su [a, b] (o [b, a], el caso i cui b < a) ed è ivi cotiua. Ioltre, g(a) < 0 < g(b) e quidi, per il teorema degli zeri, esiste u c ]a, b[ tale che g(c) = 0, ossia f(c) = γ. Cosideriamo ora, per ogi k = 1,,..., N, la fuzioe k esima proiezioe p k : R N R defiita da p k (x 1, x,..., x N ) = x k. Teorema. Le fuzioi p k soo cotiue. Dimostrazioe. Cosideriamo u puto x 0 = (x 0 1, x 0,..., x 0 N ) RN e fissiamo ε > 0. Notiamo che si ha x k x 0 k N (x j x 0 j ) = d(x, x 0 ), per cui, prededo δ = ε, si ha: j=1 d(x, x 0 ) < δ p k (x) p k (x 0 ) = x k x 0 k < ε. Suppoiamo ora f : E E co E = R M. Cosideriamo le compoeti della fuzioe f defiite da f k = p k f : E R, co k = 1,,..., M, per cui si ha f(x) = (f 1 (x), f (x),..., f M (x)). Teorema. La fuzioe f è cotiua i x 0 se e solo se lo soo tutte le sue compoeti. Dimostrazioe. Se f è cotiua i x 0, lo soo ache le f k i quato composte di fuzioi cotiue. Viceversa, suppoiamo che le compoeti di f siao tutte cotiue i x 0. Fissato ε > 0, per ogi k = 1,,..., M esiste u δ k > 0 tale che d(x, x 0 ) < δ k f k (x) f k (x 0 ) < ε. Posto δ = mi{δ 1, δ,..., δ M }, si ha d(x, x 0 ) < δ d(f(x), f(x 0 )) = M (f j (x) f j (x 0 )) < Mε, j=1 il che, per l arbitrarietà di ε, completa la dimostrazioe. 9

30 Teorema. Ogi applicazioe lieare l : R N R M è cotiua. Dimostrazioe. Osserviamo che, essedo le proiezioi p k lieari, le compoeti l k = p k l dell applicazioe lieare l soo ach esse lieari. Cosideriamo la base caoica (e 1, e,..., e N ) di R N, co e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e = (0, 1, 0,..., 0),. e N = (0, 0, 0,..., 1). Ogi vettore x = (x 1, x,..., x N ) R N si piò scrivere come x = x 1 e 1 + x e x N e N = p 1 (x)e 1 + p (x)e p N (x)e N. Quidi, per ogi k {1,,..., M}, l k (x) = p 1 (x)l k (e 1 ) + p (x)l k (e ) p N (x)l k (e N ), per cui l k risulta essere combiazioe lieare delle proiezioi p 1, p,..., p N. Essedo queste ultime cotiue, ache l k è cotiua. Avedo tutte le compoeti cotiue, l è pertato cotiua. Lezioe 13 del 09/11/016: La fuzioe espoeziale Idichiamo co R P l isieme dei umeri reali positivi: R P = ]0, + [ = {x R : x > 0}. Euciamo seza dimostrare il seguete risultato. Teorema. Dato a > 0, esiste u uica fuzioe cotiua f : R R P tale che, per ogi x 1, x, (i) f(x 1 + x ) = f(x 1 )f(x ), (ii) f(1) = a. Se ioltre a 1, tale fuzioe è ivertibile. La fuzioe f si chiama espoeziale di base a e si deota co exp a. Se a 1, la fuzioe iversa f 1 : R P R si chiama logaritmo di base a e si deota co log a. Si ha quidi, per x R e y R P, exp a (x) = y x = log a (y). Dalle proprietà dell espoeziale (i) exp a (x 1 + x ) = exp a (x 1 ) exp a (x ), (ii) exp a (1) = a, seguoo le corrispodeti proprietà del logaritmo (i ) log a (y 1 y ) = log a (y 1 ) + log a (y ), (ii ) log a (a) = 1. 30

31 Siccome la fuzioe costate f(x) = 1 verifica a) e b) co a = 1, si ha che f = exp 1 ; i altri termii, exp 1 (x) = 1 per ogi x. Vediamo ora alcue proprietà della fuzioe espoeziale. exp a (1) = a 1, exp a () = exp a (1 + 1) = exp a (1) exp a (1) = a a = a, e, come si può vedere per iduzioe, exp a () = a, Notiamo che per ogi 1. Ioltre, siccome exp a (1) = exp a (1+0) = exp a (1) exp a (0), si ha che exp a (0) = 1. Per queste aalogie co le poteze, spesso si scrive a x ivece di exp a (x). Se scriviamo ( 1 a = exp a (1) = exp a + 1 ) ( ) ( ) ( ( = exp a exp a = exp a, )) si vede che, essedo l espoeziale positivo, ( ) 1 exp a = a. Si verifica poi per iduzioe che, per ogi 1, exp a (x) = (exp a (x)), e i particolare ( a = exp a (1) = exp a 1 ) ( ( 1 = exp a. )) ( Pertato, exp 1 a ) risolve l equazioe x = a. Tale x è la radice -esima di a e si scrive x = a : si ha quidi ( ) 1 exp a = a, e pertato, se m N, ( m ) ( exp a = exp a m 1 ) = ( exp a ( 1 )) m = ( a ) m. Notiamo che, se b = a, si ha a m = (b ) m = b m = (b m ), da cui b m = a m. Possiamo quidi ache scrivere ( m ) exp a = a m. 31

32 Scrivedo 1 = exp a (0) = exp a (x x) = exp a (x) exp a ( x), vediamo che vale ioltre la formula exp a ( x) = 1 exp a (x). Euciamo ifie le segueti tre proprietà dell espoeziale: (ab) x = a x b x, ( ) x 1 = 1 a a = x a x, (a y ) x = a yx. La prima segue dal fatto che la fuzioe f(x) = a x b x verifica la proprietà (i) e f(1) = ab, per cui f = exp ab. La secoda è aaloga, prededo f(x) = 1 ; a x per la terza, si preda f(x) = a yx. Cocludiamo co due utili proprietà del logaritmo: log a (x y ) = y log a (x), log b (x) = log a(x) log a (b). Verifichiamo la prima: poiamo u = log a (x y ) e v = log a (x). Allora a u = x y e a v = x, da cui a u = (a v ) y = a vy. Ne segue che u = vy, che è quato volevasi dimostrare. U procedimeto aalogo permette di verificare ache la secoda. Ci chiediamo ora se la fuzioe logaritmo è ach essa cotiua. Per arrivare alla risposta, abbiamo dapprima bisogo di itrodurre le segueti ozioi. Diremo che ua fuzioe f è: crescete se [ x 1 < x f(x 1 ) f(x ) ]; decrescete se [ x 1 < x f(x 1 ) f(x ) ]; strettamete crescete se [ x 1 < x f(x 1 ) < f(x ) ]; strettamete decrescete se [ x 1 < x f(x 1 ) > f(x ) ]. Diremo che è mootoa se è crescete o decrescete; strettamete mootoa se è strettamete crescete o strettamete decrescete. Esempio. La fuzioe f : [0, + [ R defiita da f(x) = x è strettamete crescete. Il caso = è stato stabilito el Lemma della Lezioe 5. Il caso geerale si vede per iduzioe. Teorema. Siao I e J due itervalli e f : I J ua fuzioe ivertibile. Allora f è cotiua f è strettamete mootoa. I tal caso, ache f 1 : J I è strettamete mootoa e cotiua. Dimostrazioe. Suppoiamo f cotiua e, per assurdo, o strettamete mootoa. Allora esistoo x 1 < x < x 3 i I tali che f(x 1 ) < f(x ) e f(x ) > f(x 3 ), 3

33 oppure f(x 1 ) > f(x ) e f(x ) < f(x 3 ). (Le uguagliaze o possoo valere, essedo la fuzioe f iiettiva.) Cosideriamo il primo caso, l altro essedo aalogo. Scegliedo γ R tale che f(x 1 ) < γ < f(x ) e f(x ) > γ > f(x 3 ), per il corollario al teorema degli zeri si trova che esistoo a ]x 1, x [ e b ]x, x 3 [ tali che f(a) = γ = f(b), i cotraddizioe co l iiettività di f. Suppoiamo ora f strettamete mootoa, ad esempio crescete: l altro caso è del tutto aalogo. Preso x 0 I, vogliamo dimostrare che f è cotiua i x 0. Cosidereremo due casi distiti. Suppoiamo dapprima che x 0 o sia u estremo di I, e pertato y 0 = f(x 0 ) o sia u estremo di J. Fissiamo ε > 0; possiamo supporre seza perdita di geeralità che [y 0 ε, y 0 +ε] J. Poiamo x 1 = f 1 (y 0 ε) e x = f 1 (y 0 +ε), per cui x 1 < x 0 < x. Essedo f(x 1 ) = f(x 0 ) ε e f(x ) = f(x 0 )+ε, prededo δ = mi{x 0 x 1, x x 0 }, si ha d(x, x 0 ) < δ x 1 < x < x f(x 1 ) < f(x) < f(x ) d(f(x), f(x 0 )) < ε, per cui f è cotiua i x 0. Cosideriamo ora l evetualità che x 0 = mi I e quidi y 0 = mi J. Fissiamo ε > 0; possiamo supporre seza perdita di geeralità che [y 0, y 0 + ε] J. Poiamo come sopra x = f 1 (y 0 + ε). Essedo f(x ) = f(x 0 ) + ε, prededo δ = x x 0, si ha (per ogi x I) d(x, x 0 ) < δ x 0 < x < x f(x 0 ) < f(x) < f(x ) d(f(x), f(x 0 )) < ε, per cui f è cotiua i x 0. Il caso evetuale i cui x 0 = max I si tratta i modo aalogo. Ifie, si può vedere che f strettamete crescete f 1 strettamete crescete, f strettamete decrescete f 1 strettamete decrescete. Quidi, se f è strettamete mootoa, ache f 1 lo è, e pertato è ache cotiua. Esempi. 1) La fuzioe espoeziale exp a : R R P, co a 1, essedo cotiua e ivertibile, è strettamete mootoa. Siccome exp a (0) = 1 e exp a (1) = a, avremo che { strettamete crescete se a > 1; exp a è : strettamete decrescete se 0 < a < 1. Lo stesso dicasi per il logaritmo log a. ) La fuzioe f : [0, + [ [0, + [ defiita da f(x) = x è ivertibile. La sua iversa f 1 : [0, + [ [0, + [ è la radice esima, f 1 (y) = y. Per quato visto sopra, essa è cotiua. 33