DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università della Basilicata C.da Macchia Romana POTENZA.

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1 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Uiversità della Basilicata C.da Macchia Romaa POTENZA. Teorema di esisteza e uicità per le equazioi differeziali del primo ordie Dispesa per il corso di Aalisi Matematica I per Matematici, a.a Sisto Baldo Questi apputi cotegoo la dimostrazioe del Teorema di esisteza e uicità locale di ua soluzioe del problema di Cauchy per equazioi differeziali del primo ordie. Nei Paragrafi 1 e 2 vegoo sviluppati i ecessari prelimiari, ovvero u miimo di teoria dello spazio delle fuzioi cotiue, ed il Teorema delle cotrazioi. Nel Paragrafo 3 viee dimostrato il Teorema di esisteza e uicità locale. I Paragrafi 4 e 5 soo decisamete più complicati, e possoo essere omessi da chi o si seta particolarmete coraggioso. Il paragrafo 4 è dedicato alla dimostrazioe del Teorema di esisteza locale di Peao: esso predica l esisteza di soluzioi locali del problema di Cauchy, ella sola ipotesi di cotiuità del secodo membro dell equazioe. Come abbiamo visto a lezioe, i questo caso dobbiamo riuciare all uicità. Il Paragrafo 5 cotiee la dimostrazioe del Teorema di Ascoli-Arzelà, già usato el Paragrafo 4 per dimostrare il Teorema di Peao.

2 1. Prelimiari: lo spazio C 0 ([a, b]) delle fuzioi cotiue. Cosideriamo lo spazio vettoriale delle fuzioi cotiue su [a, b], C 0 ([a, b]) = {f : [a, b] R : f cotiua}, e defiiamo la distaza uiforme tra due fuzioi f e g el modo seguete: f g = sup{ f(x) g(x) : x [a, b]}. Come si vede, la distaza uiforme o è altro che il massimo delle distaze tra i valori della fuzioe f e della fuzioe g i ogi fissato puto dell isieme di defiizioe. Si oti che, ella defiizioe, sarebbe stato possibile predere il massimo aziché l estremo superiore. Il fatto che questo oggetto si chiami distaza si giustifica i quato valgoo le segueti proprietà: f g 0 per ogi f, g C 0 ([a, b]), e f g = 0 se e solo se f = g; f g = g f per ogi f, g C 0 ([a, b]); f g f h + h g per ogi f, g, h C 0 ([a, b]). A questo puto, diremo che ua successioe di fuzioi cotiue {f } N C 0 ([a, b]) coverge uiformemete a f C 0 ([a, b]) se la distaza uiforme tra f e f tede a 0 per +, cioè se lim f f = 0. + Osserviamo che se f f uiformemete, allora f (x) f(x) per ogi fissato x [a, b]: la covergeza uiforme implica la covergeza putuale, cioè la covergeza dei valori delle fuzioi i ogi puto. Il viceversa però è falso, come si vede dal seguete Esempio: Le fuzioi f (x) = x e x tedoo a f(x) = 0 per ogi fissato x [0, 1], ma è facile verificare che f f = 1/e, per cui o c è covergeza uiforme i C 0 ([0, 1]). I aalogia co quato abbiamo fatto co i umeri reali, possiamo defiire ua successioe di Cauchy di fuzioi cotiue: Defiizioe 1.1: Ua successioe {f } N C 0 ([a, b]) si dice di Cauchy se per ogi ε > 0 esiste ν N tale che f f m < ε m, ν. 2

3 Esattamete come i R, abbiamo u teorema di completezza: Teorema 1.2: Se {f } N C 0 ([a, b]) è ua successioe di Cauchy, allora esiste ua fuzioe cotiua f tale che f f uiformemete i C 0 ([a, b]). Dim.: Fissiamo ε > 0, e sia ν N come ella defiizioe di successioe di Cauchy. Per ogi fissato x [a, b] e per ogi coppia di idici m, N co m, ν abbiamo (1.1) f (x) f m (x) f f m < ε, per cui la successioe di umeri reali {f (x)} è di Cauchy i R, ed ammette u limite che battezziamo f(x). Se ora passiamo al limite per m + i (1.1), otteiamo (1.2) f (x) f(x) ε ν, x [a, b]. Passado al sup per x [a, b], otteiamo che f f uiformemete i C 0 ([a, b]), e per cocludere la dimostrazioe dobbiamo solo far vedere che la fuzioe limite f è cotiua. Sia x 0 [a, b]. Siccome la fuzioe f ν è cotiua, esiste δ > 0 tale che, se x [a, b] e x x 0 < δ, abbiamo f ν (x) f ν (x 0 ) < ε. Applicado la (1.2) ei puti x 0 e x otteiamo allora f(x) f(x 0 ) f(x) f ν (x) + f ν (x) f ν (x 0 ) + f ν (x 0 ) f(x 0 ) < 3ε, e quidi ache f è cotiua i x 0. Nota: I prossimi due risultati soo ecessari solo per la dimostrazioe del Teorema di esisteza di Peao (Paragrafo 4). Se si è iteressati soltato al teorema di esisteza e uicità locale del Paragrafo 3, essi possoo essere tralasciati. Il prossimo semplice teorema mostra come la covergeza uiforme implichi la covergeza degli itegrali (cosa che sarebbe falsa co la semplice covergeza putuale). Teorema 1.3: Se la successioe {f } N coverge uiformemete a f i C 0 ([a, b]), allora b b lim f (x) dx = f(x) dx. + a a Dim.: Sia ε > 0. Per ipotesi, esiste ν N tale che, se > ν, allora f (x) f(x) < ε per ogi x [a, b]. Ne deduciamo che b b b f (x) dx f(x) dx f (x) f(x) dx < ε(b a), a a a 3

4 da cui la tesi. Teorema 1.4: Sia f : [a, b] [c, d] R ua fuzioe cotiua di due variabili. Suppoiamo poi che u : [a, b] [c, d] sia ua successioe di fuzioi cotiue che coverge uiformemete a u i C 0 ([a, b]). Allora le fuzioi g (x) = f(x, u (x)) covergoo uiformemete a g(x) = f(x, u(x)) i C 0 ([a, b]). Dim.: Fissiamo ε > 0. La fuzioe f, cotiua sul rettagolo chiuso e limitato [a, b] [c, d], è uiformemete cotiua (la dimostrazioe è esattamete come per le fuzioi di ua variabile): è possibile trovare u δ > 0 tale che, se (x 1, s 1 ), (x 2, s 2 ) [a, b] [c, d] e x 1 x 2 < δ, s 1 s 2 < δ, allora (1.3) f(x 1, s 1 ) f(x 2, s 2 ) < ε. Siccome u u uiformemete, possiamo trovare ν N tale che, se ν, u u < δ. Ma allora, usado (1.3), possiamo cocludere che per ogi ν e per ogi x [a, b] si ha da cui f(, u ( )) f(, u( )) < ε. f(x, u (x)) f(x, u(x)) < ε, 4

5 2. Il teorema delle cotrazioi. Data ua fuzioe T : A A il cui domiio coicide col codomiio, u puto fisso per T è u puto che o viee spostato dalla fuzioe, cioè u puto a A tale che T (a) = a. Ivece, ua fuzioe T : C 0 ([a, b]) C 0 ([a, b]) si dice cotrazioe se riduce le distaze, cioè se esiste ua costate L (0, 1) tale che T (f) T (g) L f g f, g C 0 ([a, b]). Vale il seguete Teorema 2.1 (delle cotrazioi): Ua cotrazioe T : C 0 ([a, b]) C 0 ([a, b]) ammette u uico puto fisso, cioè esiste u uica fuzioe f C 0 ([a, b]) tale che T (f) = f. Dim: Fissiamo ua qualuque fuzioe f 0 C 0 ([a, b]), e defiiamo per ricorreza ua successioe di fuzioi poedo f +1 = T (f ) per 0. Dimostriamo che la successioe f è di Cauchy, e che coverge proprio al puto fisso di T che stiamo cercado. Itato, applicado ripetutamete la defiizioe di cotrazioe abbiamo f +1 f = T (f ) T (f 1 ) L f f 1 L f 1 f 0. Dalla terza proprietà della distaza uiforme (ota come disuguagliaza triagolare) otteiamo poi che, per ogi, k N: (2.1) f +k f f +k f +k 1 + f +k 1 f +k f +1 f (L +k 1 + L +k L ) f 1 f 0 = L (L k 1 + L k L + 1) f 1 f 0 = L 1 Lk 1 L f 1 f 0 L 1 L f 1 f 0. Nelle ultime due righe, si è usata la formula per la somma di ua progressioe geometrica, e il fatto che 0 < L < 1. Ora, poiché L < 1, L può essere reso piccolo quato si vuole, e da (2.1) deduciamo che per ogi ε > 0 esiste ν N tale che, se ν e k è qualuque, allora f +k f < ε. 5

6 Duque, la successioe {f } è di Cauchy, e per il Teorema 1.2 coverge uiformemete ad ua fuzioe f C 0 ([a, b]). Dico che f è u puto fisso per T : ifatti, T (f) f T (f) T (f ) + T (f ) f + f f (L + 1) f f + f +1 f, e abbiamo visto sopra che le quatità ell ultima espressioe tedoo etrambe a zero per +. Duque T (f) f = 0 e T (f) = f. Mostriamo ifie che f è l uico puto fisso di T : sia ifatti g C 0 ([a, b]) u puto fisso. Abbiamo f g = T (f) T (g) L f g, il che è possibile se e solo se f g = 0, poichè L < 1. Quidi, f = g. Osservazioe 2.2: Il teorema cotiua a valere ache se T è ua cotrazioe T : X X, co X = {f C 0 ([a, b]) : f(x) [c, d] per ogi x [a, b]} La dimostrazioe del risultato è idetica a quella appea vista. Si oti però che è importate supporre che l itervallo [c, d] sia chiuso: questo serve a garatire che la fuzioe f, limite uiforme della successioe {f } itrodotta ella ostra dimostrazioe, faccia acora parte dell isieme X. 6

7 3. Il teorema di esisteza e uicità locale per il problema di Cauchy. Cosideriamo ora il problema di Cauchy del primo ordie (3.1) { x (t) = f(t, x(t)) x( ) = x 0 dove f è ua data fuzioe cotiua di due variabili defiita i u itoro di (, x 0 ). Suppoiamo di avere ua soluzioe x(t) di (3.1), e itegriamo ambo i membri dell equazioe tra e t, teedo coto della codizioe iiziale. Otteiamo l idetità (3.2) x(t) = x 0 + f(s, x(s)) ds, valida per tutti i t i cui è defiita la soluzioe. Vale ache il viceversa: Proposizioe 3.1: Sia x C 0 ([ δ, + δ]) ua fuzioe per cui vale l idetità itegrale (3.2). Allora x(t) è derivabile, ed è ua soluzioe del problema di Cauchy (3.1) ell itervallo [ δ, + δ]. Dim.: Sostituedo t = i (3.2) si ottiee la codizioe iiziale x( ) = x 0. Ioltre, a secodo membro abbiamo l itegrale tra e t di ua fuzioe cotiua: per il Teorema fodametale del calcolo itegrale, la derivata di questa quatità è f(t, x(t)), e quidi x(t) è derivabile e soddisfa l equazioe differeziale i (3.1). Siamo fialmete i grado di dimostrare u Teorema di esisteza e uicità locale per il ostro problema di Cauchy: Teorema 3.2: Sia f : [ R, + R] [x 0 R, x 0 + R] R ua fuzioe cotiua soddisfacete alla seguete codizioe di Lipschitz: esiste L > 0 tale che f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) L x 1 x 2 t [ R, +R], x 1, x 2 [x 0 R, x 0 +R]. Allora è possibile trovare u δ (0, R], tale che ell itervallo [ δ, + δ] esiste ua soluzioe del problema di Cauchy (3.1). Ioltre, tale soluzioe è uica. 7

8 Dim.: Grazie alla Proposizioe 3.1, basta i realtà cercare soluzioi cotiue dell equazioe itegrale (3.2). Per il teorema di Weierstrass, la fuzioe cotiua f(x, t) ammette massimo sul rettagolo [ R, + R] [x 0 R, x 0 + R]: chiamiamo M tale massimo. Poiamo poi (3.3) δ = 1 2 mi{r, 1 L, R M }. X = Defiiamo u applicazioe T che ad ogi elemeto dell isieme di fuzioi { } x C 0 ([ δ, + δ]) : x(t) [x 0 R, x 0 + R] t [ δ, + δ] e associa u altra che chiamiamo T (x): (3.4) (T (x))(t) = x 0 + f(s, x(s)) ds. Chiaramete, per ogi x X la fuzioe T (x) è cotiua (ed azi derivabile). Verifichiamo che, i realtà, T : X X ed è ua cotrazioe. Itato, se t [ δ, + δ] abbiamo (T (x))(t) x 0 f(s, x(s)) ds M δ R 2 grazie a (3.3). Duque (T (x))(t) [x 0 R, x 0 +R], e effettivamete T : X X. Ioltre, se x 1 (t), x 2 (t) X: (T (x 1 ))(t) (T (x 1 ))(t) f(s, x 1 (s)) f(s, x 2 (s)) ds L x 1 (s) x 2 (s) ds L δ x 1 x x 1 x 2. Passado al sup per t [ δ, + δ] abbiamo allora T (x 1 ) T (x 2 ) 1 2 x 1 x 2, e T è ua cotrazioe di X i X. Il Teorema 2.1 e l Osservazioe 2.2 ci dicoo allora che T ha u uico puto fisso: esso è evidetemete l uica soluzioe dell equazioe itegrale (3.2), e quidi del problema di Cauchy (3.1). 8

9 4. Il Teorema di Peao: esisteza per il problema di Cauchy se f o soddisfa ua codizioe di Lipschitz. Il Torema 3.2 di esisteza e uicità o vale più se f(t, x) è cotiua sul rettagolo [ R, +R] [x 0 R, x 0 +R], ma o soddisfa ua codizioe di Lipschitz ella secoda variabile. Per esempio, è facile vedere che il problema di Cauchy { x (t) = x(t) x(0) = 0 ammette ifiite soluzioi ( baffo di Peao ). D altra parte, cotiua ad esserci u risultato di esisteza locale: Teorema 4.1 (Peao): Sia f : [ R, + R] [x 0 R, x 0 + R] R ua fuzioe cotiua. E possibile trovare u δ (0, R], tale che ell itervallo [ δ, +δ] esiste ua soluzioe del problema di Cauchy (3.1). Tale soluzioe o è ecessariamete uica. Dim.: Questa dimostrazioe usa i modo esseziale il Teorema di Ascoli Arzelà, che verrà dimostrato el Paragrafo 5. Ache se la dimostrazioe è piuttosto complessa, l idea di base è semplice: suppoedo che ua soluzioe esista, possiamo tetare di approssimarla co ua successioe di fuzioi lieari a tratti ote come spezzate di Eulero. Dimostreremo poi che, i effetti, c è ua sottosuccessioe delle spezzate di Eulero che coverge uiformemete ad ua fuzioe cotiua, e che questa fuzioe cotiua soddisfa l equazioe itegrale (3.2), e quidi il problema di Cauchy (3.1). Comiciamo co l itrodurre alcui parametri ecessari: come ella dimostrazioe del Teorema 3.2, sia M il massimo della fuzioe f(t, x) sul quadrato [ R, + R] [x 0 R, x 0 + R]. Ne cosegue che u evetuale soluzioe coteuta el quadrato avrà derivata compresa tra M e M, e sarà quidi coteuta tra le rette x = x 0 M(t ) e x = x 0 + M(t ). Quidi, per evitare che la cadidata soluzioe del problema di Cauchy che adiamo a costruire esca dal quadrato, poiamo (4.1) δ = mi{r, R M }. Costruiamo ora delle soluzioi approssimate x (t) del ostro problema, lieari a tratti sull itervallo [0, δ]. Il discorso si estede poi i maiera del tutto aaloga all itervallo [ δ, 0] (esercizio!). L idea è la seguete: ache se o coosciamo ua soluzioe, l equazioe differeziale e prescrive la retta tagete el puto : essa è data da x = x 0 + f(, x 0 )(t ). 9

10 Per u breve tratto, diciamo tra e + 1, tale retta sarà ua discreta approssimazioe della soluzioe. A questo puto, adiamo a vedere quato vale f el puto dove siamo arrivati (cioè i ( + 1, x 0 + f(, x 0 ) 1 ), e prediamo questo valore come pedeza di ua uova retta approssimate tra + 1 e t Procededo i questo modo arriveremo a costruire ua spezzata, defiita sull itervallo [, + δ], che chiameremo -esima spezzata di Eulero. Più formalmete, possiamo dire che l -esima spezzata di Eulero è l uica fuzioe cotiua x : [, + δ] [x 0 R, x 0 + R] tale che (4.2) x (0) = x 0, ( (4.3) se t + i, + i + 1 ], i = 0,..., [δ], allora ( x (t) = x + i ) ( + f + i (, x + i )) ( t i ). I (4.3), [δ] deota la parte itera di δ, cioè il umero di tratti lughi 1 ecessari a completare la ostra spezzata tra e + δ. La ostra legittima speraza è che, al crescere di, queste spezzate approssimio sempre meglio ua soluzioe del problema di Cauchy (3.1). Notiamo che, per costruzioe, {x } è ua successioe di fuzioi lieari a tratti defiite sull itervallo [, +δ] e a valori ell itervallo [x 0 R, x 0 +R]. Ioltre, la derivata di tutte queste fuzioi è ovuque compresa tra M e M. Duque, se t 1, t 2 [, + δ] abbiamo 2 (4.4) x (t 2 ) x (t 1 ) = x (s) ds M t 2 t 1, t 1 e le x soddisfao tutte ua codizioe di Lipschitz co la stessa costate M. Allora, per il Teorema 5.1 (di Ascoli-Arzelà), esiste ua fuzioe cotiua x(t), e ua sottosuccessioe {x k (t)} di {x (t)} tale che x k x uiformemete i C 0 ([, + δ]). Mostiamo che x(t) soddisfa l eqauzioe itegrale (3.2), e duque è la ostra agogata soluzioe. Itato, (4.5) x (t) = x 0 + = x 0 + x (s) ds f(s, x (s)) ds + R (t) 10

11 dove R (t) = [x (s) f(s, x (s))] ds. Se defiiamo { ω = sup f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) : t [0, δ], x 1, x 2 [x 0 R, x 0 +R], x 2 x 1 < M }, l uiforme cotiuità di f (vedi dimostrazioe del Teorema 1.4) ci dice che ω 0 per +. Evidetemete: (4.6) R (t) 0 +δ x (s) f(s, x (s) ds. Nell ultimo itegrale, cosideriamo l itegrada el geerico itervallio [ + i, t 0 + i+1 ], i = 0,..., [δ]: si ha x (s) f(s, x (s) = f ( + i, x ( + i ) ) f(s, x (s) ω, dove abbiamo usato (4.4) e la defiizioe di ω. Usado questa stima i (4.6) otteiamo allora R (t) δ ω 0 per +. Allora, usado (4.5), il Teorema 1.4 ed il Teorema 1.3 otteiamo x(t) = lim x k + k (t) = ( ) lim x 0 + f(s, x k (s)) ds + R k (t) = k + x 0 + f(s, x(s)) ds, e l equazioe itegrale (3.2) è soddisfatta. 11

12 5. Il Teorema di Ascoli-Arzelà. Il Teorema di Ascoli-Arzelà è ua specie di aalogo del Teorema di Bolzao- Weierstrass per lo spazio delle fuzioi cotiue: ci forisce ua codizioe sufficiete per poter dire che ua successioe di fuzioi cotiue ammette ua sottosuccessioe che coverge uiformemete. Teorema 5.1 (di Ascoli-Arzelà): Sia f : [a, b] [c, d] ua successioe di fuzioi cotiue, tutte a valori ello stesso itervallo chiuso e limitato [c, d]. Suppoiamo ache che le fuzioi f siao equilipschitziae, cioè che esista ua costate L tale che f (x) f (y) L x y x, y [a, b] N. Allora esiste ua fuzioe cotiua f : [a, b] [c, d] ed ua successioe crescete k di umeri aturali tali che f k f uiformemete i C 0 ([a, b]). Dim: Suppoiamo per semplicità [a, b] = [0, 1]: la dimostrazioe si adatta i modo ovvio al caso geerale. Dividiamo il ostro ragioameto i due passi. Nel primo, troviamo ua sottosuccessioe {f k } k tale che la successioe umerica f k (x) coverga putualmete ad u certo umero f(x) i tutti i puti x del tipo i ( N, 2 i = 0, 1,..., 2 ): questi puti soo oti come razioali biari, e soo u sottisieme deso di [0, 1]. Nel secodo passo, dimostriamo che i realtà la successioe {f k } k trovata el passo precedete è di Cauchy i C 0 ([0, 1]), e quidi coverge uiformemete ad ua certa fuzioe cotiua f (grazie al Teorema 1.2). Passo I: Sia {x j } j N [0, 1] la successioe umerica 0, 1, 1 2, 1 4, 3 4, 1 8, 3 8, 5 8, 7 8, 1 16, 3 16, 5 16, 7 16, 9 16, 11 16, 13 16, 15 16, 1 32, Tale successioe forisce u modo di eumerare tutti i razioali biari: essa è u applicazioe iiettiva e suriettiva di N ell isieme dei razioali biari. Cosideriamo la successioe umerica {f (x 0 )} = {f (0)} : essa è ua successioe di umeri reali coteuta ell itervallo chiuso e limitato [c, d]. Per il teorema di Bolzao-Weierstrass, possiamo estrarre ua sottosuccessioe, che chiamiamo {f 0 }, i modo che f 0 (x 0) coverga ad u umero reale f(x 0 ). 12

13 Cosideriamo ora la successioe umerica {f(x 0 1 )} : essa è ua sottosuccessioe di {f (x 1 )}, e come tale è acora coteuta ell itervallo [c, d]. Possiamo allora estrarre u ulteriore sottosuccessioe {f} 1 i modo che f 1(x 1) coverga ad u umero reale che chiameremo f(x 1 ). Procededo ricorsivamete i questo modo, da {f } estraiamo ua successioe ifiita di sottosuccessioi {f} 0, {f} 1, {f} 2, {f} 3, {f} 4, {f} 5,..., {f k},... La k-esima sottosuccessioe {f} k ha la proprietà che per i = 0, 1, 2,..., k esiste il limite lim f k + (x i), e tale limite è uguale ad u certo umero reale che chiamiamo f(x i ). Noi, però, vogliamo u uica sottosuccessioe { f } che coverga i tutti i puti x i cotemporaeamete. Essa puo essere otteuta co il vecchio trucco della successioe diagoale: poiamo f = f (cioè, l -esimo elemeto della sottosuccessioe diagoale f è l -esimo elemeto dell -esima sottosuccessioe che abbiamo estratto sopra). I questo modo, comuque si fissi k, f è ua sottosuccessioe di {f k} per k, e quidi lim + f (x i ) = f(x i ) i N. Questo coclude la dimostrazioe del Passo I. Passo II: Ora abbiamo ua sottosuccessioe { f } che coverge putualmete ad ua fuzioe limite f sul solo isieme dei razioali biari i [0, 1]. La fuzioe f, pur essedo defiita solo sui razioali biari, soddisfa la stessa codizioe di Lipschitz delle f : se x i, x j soo due razioali biari abbiamo f(x i ) f(x j ) = lim f(x i ) f(x j ) L x i x j. + Per far vedere che la successioe { f } è di Cauchy i C 0 ([0, 1]), fissiamo ε > 0. Scegliamo N N i modo che (5.1) Poichè sappiamo che lim N ε 4L. ( ) ( ) i i f = f, i = 0,..., 2 N, 2 N 2 N 13

14 possiamo trovare ν N i modo che per ogi ν (5.2) f ( ) ( ) i i f ε 2 N 2 N 4, i = 0,..., 2N. Sia ora x [0, 1] qualuque, e scegliamo i {0, 1,..., 2 N } i modo che x i/2 N < 1/2 N. Allora, se m, m ν e teedo coto di (5.1), (5.2) abbiamo f (x) f m (x) f (x) f (i/2 N ) + f (i/2 N ) f(i/2 N ) + f(i/2 N ) f m (i/2 N ) + f m (i/2 N ) f m (x) L x i/2 N + ε 4 + ε 4 + L x i/2n ε. Passado al sup per x [0, 1] otteiamo ifie f f m ε m, ν, e grazie al Teorema 1.4 la successioe di Cauchy { f } coverge uiformemete ad ua fuzioe cotiua. 14