Successioni di numeri reali

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1 CAPITOLO Successioi di umeri reali. Defiizioi ed esempi. Limite di ua successioe. Nell ultimo paragrafo del capitolo precedete abbiamo itrodotto alcue fuzioi elemetari da sottoisiemi di) R a valori i R, e abbiamo studiato sommariamete alcue loro proprietà. Facciamo adesso u passo idietro, ed ivece di cosiderare fuzioi che associao ad ogi umero reale x u umero reale y = fx), cosideriamo delle versioi ridotte : ivece di far variare l argometo della fuzioe su R, ci limitiamo a farlo variare su N. I questo capitolo cosidereremo duque fuzioi f : N R. Fuzioi di questo tipo le icotriamo quotidiaamete, ad esempio tutte le volte che ci mettiamo i fila se occupiamo il decimo posto, oi siamo il valore della fuzioe per = 0), o quado leggiamo u libro il coteuto della pagia 05 è il valore della fuzioe per = 05), o quado guardiamo la televisioe il caale due è il valore della fuzioe per = ). L uica differeza co la vita reale o aturale...) è che el ostro caso la fila è ifiita, il libro ha ifiite pagie, e la televisioe ha ifiiti caali ). Per distiguere meglio le fuzioi da R i R dalle fuzioi da N i R, si usao ua deomiazioe diversa ed ua otazioe particolare. Defiizioe.. Ua successioe di umeri reali è ua fuzioe a : N R. Il valore a) si idica i geere co a ; l isieme dei valori della successioe ovvero, l immagie an)) si idica co {a, N}, oppure {a } N, o ache {a }. Esempio.. Sia a = per ogi i N; questa successioe, e più i geerale la successioe tale che a = a per ogi i N, co a umero reale fissato, si dice successioe costate. Ovviamete, {a } = {} o {a } = {a}). Sia a = per ogi i N; questa successioe, corrispodete alla fuzioe idetità, o è altro che la successioe dei umeri aturali. Pertato, {a } = N. Sia a = ) I tutti e tre i casi, ua catastrofe! + se è pari, se è dispari.

2 . DEFINIZIONI ED ESEMPI. LIMITE DI UNA SUCCESSIONE. Calcolado i primi termii della successioe troviamo a 0 = 0, a =, a =, a 3 =, a 4 =, cosicché i valori assuti dalla successioe oscillao a siistra e a destra di zero, e si ottegoo ma mao tutti gli iteri relativi ). Pertato, {a } = Z. Sia a = ). I questo caso la successioe è fatta così: a 0 =, a =, a =, a 3 =, a 4 = ; pertato la successioe oscilla tra e. Ovviamete, {a } = {, }. Sia a = ; i questo caso, i valori assuti dalla successioe divetao sempre + più piccoli al crescere di. Soo tutti positivi, essuo di essi è zero, ma fissato u qualuque ε > 0 esiste u umero aturale 3), dipedete da ε, a partire dal quale tutti gli a soo miori di ε. I questo caso, l immagie della successioe o ha ulla di particolare oltre la defiizioe della successioe, el seso che { } {a } = +, N = {,, 3, 4, 5 },.... Esercizio.3. Determiare le successioi a tali che {a } = {umeri pari}, {a } = {umeri dispari}, {a } = {poteze di due}, {a } = {,,, 3, 5, 8, 3,, 34,...} = {umeri di Fiboacci}, {a } = {, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9,...} = {umeri primi}. Risposta.3: 4) L esercizio è abbastaza complicato. La successioe dei umeri di Fiboacci è defiita dalla relazioe a = a + a per, co a 0 = a =. Se cerchiamo ua soluzioe della forma A co A umero reale, e sostituiamo, si vede che deve essere A A = 0, da cui A, = ± 5. Siccome sia A che A soo soluzioi, lo è perché?) ogi loro combiazioe lieare: + ) 5 a = α + β ) 5. Assegado le codizioi per = 0 e = si trova α + β = e α β = ) + ) + a = , da cui Si osservi il fatto apparetemete paradossale che la formula appea scritta assume valori iteri per ogi i N. 5) No esiste ua formula per i umeri primi, oostate sia facile dimostrare che soo ifiiti. Ifatti, suppoedo che siao solo i umero fiito, siao essi p, p,..., p. Se cosideriamo il umero itero p = p p... p +, allora p è ) Sarà vero? Dimostratelo! 3) Quale?

3 . DEFINIZIONI ED ESEMPI. LIMITE DI UNA SUCCESSIONE. 3 primo, o essedo divisibile per p la divisioe dà come resto), per p la divisioe dà come resto), e così via fio a p. Pertato, suppoedo che i umeri primi siao fiiti, siamo arrivati ad ua cotraddizioe. Avedo defiito le successioi, come le utilizziamo? La motivazioe pricipale dell itroduzioe delle successioi è la seguete: data ua successioe di umeri reali {a }, sui cui valori abbiamo u cotrollo totale fiché è piccolo el seso che possiamo calcolare esplicitamete i valori che assume la successioe), vogliamo determiare se esiste u umero reale che ci dia u idicazioe sul comportameto dei valori della successioe per molto grade. I altre parole, vogliamo distillare dalla successioe u umero reale che ci dia u idea, approssimata sì, ma co u errore che possiamo redere piccolo, di cosa accade ai valori di a facedo crescere. Approssimata i che seso? Esattamete el seso che abbiamo usato per defiire la desità di Q i R. Si era detto: per ogi umero reale x, e fissato comuque ε > 0, esiste u umero razioale q ε tale che x ε < q ε < x + ε, cioè tale che x q ε < ε; i altre parole, q ε dista meo di ε da x. Ovvero, a patto di commettere u errore ε che possiamo però scegliere arbitrariamete piccolo, ogi umero reale x può essere approssimato co u razioale q ε. Potremmo allora dire che u certo umero reale L è il distillato della successioe {a } se per ogi ε > 0 esiste u umero aturale ε tale che L ε < a ε < L + ε; ovvero se, fissato u errore ε arbitrario, esiste u elemeto della successioe che approssima L a meo di ε. Ua tale defiizioe, però, sarebbe disastrosa; iazitutto perché essuo ci garatisce che l idice ε sia grade ricordiamo che vogliamo estrarre dalla successioe l iformazioe sul suo comportameto per valori di molto gradi), e poi perché ogi elemeto della successioe può essere scelto come L: ifatti, qualsiasi sia ε > 0, a ε < a < a +ε; i altre parole, u qualsiasi elemeto della successioe è approssimato da sé stesso. Come fare, allora, per forzare u determiato umero reale a darci iformazioi sui valori della successioe per arbitrariamete grade? Ua possibilità sarebbe quella di sostituire la richiesta che u elemeto della successioe sia vicio ad L, co la richiesta che tutti gli elemeti della successioe siao vicii a L a meo di u errore arbitrariamete piccolo. Ovvero che, per ogi ε > 0, si abbia L ε < a < L + ε per ogi i N. Se la richiesta precedete era troppo debole, questa è però troppo forte; è facile vedere, ifatti, che se L ε < a < L + ε per ogi i N e per ogi ε > 0, allora deve essere obbligatoriamete a = L per ogi i N; vale a dire, che sapremmo estrarre iformazioe sul comportameto di a per grade solo quado tale comportameto fosse già sotto i ostri occhi: se a è ua successioe costate, è sufficiete cooscere il primo elemeto per sapere dove si adrà a parare. Né ovviamete, sempre guidati dal ostro iteresse per quello che accade per

4 . DEFINIZIONI ED ESEMPI. LIMITE DI UNA SUCCESSIONE. 4 grade, vale spostare verso destra la soglia di approssimazioe; ovvero richiedere che esista u m i N tale che per ogi ε > 0 si abbia L ε < a < L + ε per ogi m, perché questa disuguagliaza implica che a è costatemete uguale ad L a partire dall -simo elemeto: u altra volta, l iformazioe su quello che accade alla successioe per molto grade, è già coteuta ei valori per piccolo. A questo puto, o ci resta che ua sola cosa da fare: chiedere che la soglia di igresso ell itervallo L ε, L + ε) dipeda dall errore, ovvero che, fissato ε > 0, debba esistere ε i N tale che L ε < a < L + ε, per ogi ε. A partire da u certo puto i poi ma che dipede dall errore che accettiamo di fare), tutti gli elemeti della successioe approssimao L. Siamo allora proti per dare la defiizioe chiave di questo capitolo. Defiizioe.4. Sia {a } ua successioe di umeri reali. Diremo che a ammette limite per tedete ad ifiito, ovvero che coverge, o che tede, se esiste u umero reale L tale che.) ε > 0, ε N : a L < ε, ε. Se la successioe a ammette limite L, scriveremo L = lim, + che si legge L è il limite di a per tedete ad ifiito. Osserviamo che la defiizioe di limite richiede che la distaza misurata dal valore assoluto) tra a e L diveti arbitrariamete piccola per sufficietemete grade. Esempio.5. Studiamo le successioi dell Esempio.. Sia a = per ogi i N; pesado all idea di limite come umero reale approssimato dai valori della successioe per grade, prediamo L = ; è evidete che qualsiasi sia ε > 0 si ha a = = 0 < ε per ogi i N, vale a dire che la.) vale scegliedo ε = 0. Quidi, L = è u possibile limite della successioe a. Chiaramete o esistoo altri valori per L, perché se L è diverso da, allora a L = L > L per ogi i N, e quidi la.) o è verificata per ε = L ; vale a dire, l errore o può essere reso arbitrariamete piccolo. I maiera aaloga si dimostra che il limite della successioe che vale costatemete a è proprio a. Esercizio.6. Sia {a } la successioe che vale il primo umero estratto ell -sima estrazioe del lotto sulla ruota di Roma se è miore di 000, e se 000. Calcolare, se esiste, il limite di a. Sia a = per ogi i N; i questo caso, è evidete che o esiste alcu limite L: qualsiasi umero reale fissiamo, e qualsiasi sia ε > 0, la successioe cadrà fuori

5 . DEFINIZIONI ED ESEMPI. LIMITE DI UNA SUCCESSIONE. 5 dall itervallo L ε, L + ε) o appea > [L + ε]. Pertato, per essu valore di L è soddisfatta la.). Sia se è pari, a = + se è dispari. Ache i questo caso, o esiste alcu limite. Per dimostrarlo è sufficiete osservare che se 0, allora a, e che a cambia sego a secoda della parità di. Se esistesse u valore di L soddisfacete la.), tale valore o potrebbe essere positivo perché l itervallo L ε, L+ε) cotiee solo umeri positivi se ε < L, metre esistoo ifiiti elemeti della successioe egativi), o potrebbe essere egativo per lo stesso motivo), e o potrebbe essere zero, dato che a o appartiee all itervallo, ) per ogi. Sia a = ). Ricordado che i questo caso i valori della successioe oscillao tra e, u ragioameto aalogo al precedete mostra che o esiste alcu limite. Sia a = ; come abbiamo già detto, i valori assuti dalla successioe divetao + sempre più piccoli al crescere di. Essedo tutti positivi u cadidato limite è L = 0. Ed ifatti, fissato ε > 0 e scelto ε = [ ε] si ha, se ε, a 0 = + ε + < = ε, ε e quidi la.) è soddisfatta. Si dimostra ache facilmete che essu valore di L 0 soddisfa la.), e che quidi L = 0 è l uico limite della successioe a. Abbiamo duque visto che o tutte le successioi ammettoo limite, ma ei due esempi ei quali esisteva u limite, tale valore era ache uico. No era u caso, come mostra il seguete teorema. Teorema.7 Uicità del limite). Sia a ua successioe di umeri reali che ammette limite. Allora il limite è uico. Dimostrazioe. Suppoiamo per assurdo che la successioe a ammetta due limiti. Ovvero, che esistao due umeri reali L e M, co L M, tali che lim a = L, + Sia ora ε > 0, e scriviamo la.) per L ed M: lim a = M. + ε N : a L < ε, ε, ε N : a M < ε, ε. Sia ora ε = max ε, ε), cosicché etrambe le disuguagliaze soo vere. Riscrivedole, e ricordado che x = x e che x < a equivale a a < x < a, si

6 ottiee. DEFINIZIONI ED ESEMPI. LIMITE DI UNA SUCCESSIONE. 6 Sommado le due relazioi, si ottiee ε < L a < ε, ε < a M < ε. ε < L M < ε L M < ε. Dal mometo che la disuguagliaza precedete vale per ogi ε > 0, sarà i particolare vera per ε = L M 3 che è positivo essedo L M). Si ottiee così che è assurda. L M < L M 3 Grazie al teorema precedete, è sufficiete mostrare che esiste u valore di L che soddisfa la.) per otteere automaticamete che quello otteuto è il valore del limite della successioe. Se il precedete teorema aiuta i ua direzioe quella dell uicità del limite), o esistoo teoremi che aiutio ella direzioe della determiazioe del valore corretto di L: l uico aiuto si chiama esercizio... Esercizio.8. Date le successioi a =, a = ), a = + 3 +, a = α + β γ + δ, γ ) 0, a = se, ) a = cos, determiare, se esiste, il valore del limite; successivamete dimostrare che tale valore è effettivamete il limite mostrado che la.) è soddisfatta. Negli ultimi due casi, si usi la defiizioe geometrica di seo e coseo, ricordado cosa vuol dire che u agolo misura radiati. Risposta.8: 4) Il valore del limite è α γ. Ifatti, si ha α + β γ + δ α αδ βγ γ = γ γ + δ,,

7 . CONVERGENZA E LIMITATEZZA. 7 A che si può scrivere ella forma B+C per opportui umeri positivi A, B e C4). A questo A puto si tratta di determiare ε tale che B+C < ε per ogi ε; è sufficiete scegliere [ ] A Cε Bε +. Come osservazioe fiale, si oti che la successioe a ha come limite L se e solo se la successioe b = a L o la successioe c = L a, ovvero la successioe d = a L ) ha come limite 0.. Covergeza e limitatezza. Nel paragrafo dedicato alle proprietà dei umeri reali del precedete capitolo abbiamo itrodotto il cocetto di estremo superiore ed iferiore di sottoisiemi di R, e abbiamo affermato che ogi isieme limitato ha estremo iferiore e superiore fiiti. Ache l isieme {a } dei valori assuti da ua successioe a è u sottoisieme di R e pertato, qualora fosse limitato, ammetterebbe sia estremo superiore che estremo iferiore. Detta limitata ua successioe a il cui isieme dei valori sia limitato, ci chiediamo se dall esisteza di estremo superiore e iferiore fiiti si possa otteere qualche iformazioe sull esisteza del limite. Sfortuatamete, o. Se cosideriamo la successioe a = ), è facile vedere che a è limitata, ma o è covergete. I altre parole, la limitatezza di ua successioe o basta a garatire l esisteza del limite. C è però u legame importate ell altro seso : tra covergeza di ua successioe e limitatezza. Teorema.. Sia a ua successioe covergete ad L. Allora l isieme {a } dei valori della successioe è limitato. Ovvero, esiste M 0 tale che a M per ogi i N. Dimostrazioe. Scegliamo ε = ella.). Esiste allora ε i N tale che a L <, ε, il che vuol dire che L < a < L + per ogi ε. Pertato, a < L + per ogi ε. Sia ora M = max a, a,..., a ε, L + ). Allora a M per ogi i N. Ifatti, se < ε, allora metre se ε si ha a max a, a,..., a,..., a ε, L + ) = M, a L + max a, a,..., a,..., a ε, L + ) = M, 4) Perché positivi?

8 come volevasi dimostrare.. CONVERGENZA E LIMITATEZZA. 8 I defiitiva, l esisteza del limite implica la limitatezza, metre il cotrario o è vero. Ioltre, dal teorema precedete segue ache che ua successioe illimitata o può ammettere come limite u umero reale. Come già el caso degli isiemi illimitati, cerchiamo di ovviare a questo icoveiete itroducedo il cocetto di limite ifiito. Vogliamo cioè formalizzare il cocetto di successioe i cui valori divetao arbitrariamete gradi al crescere di. Defiizioe.. Sia a ua successioe di umeri reali. Diremo che a diverge a più ifiito, e scriveremo lim + a = +, se per ogi M > 0 esiste M i N tale che a > M per ogi M. Diremo che a diverge a meo ifiito, e scriveremo lim a =, + se per ogi M < 0 esiste M i N tale che a < M per ogi M. L esempio più evidete di successioe divergete a più ifiito se volete, tedete a più ifiito) è la successioe dei umeri aturali: fissato u qualsiasi M > 0, è sufficiete scegliere M = [M] +. Questo fatto spiega ache la otazioe + che compare ella scrittura compatta del limite. Esercizio.3. Date le successioi a = +, a =, a =, a = +, a = cosπ), π a = tg ), b = tg π + ), si calcoli il limite se esiste) per tedete ad ifiito. Per le ultime due successioi si usi u approccio grafico. Come già per la coppia esisteza del limite limitatezza, la divergeza a più ifiito o a meo ifiito) della successioe a implica l illimitatezza dell isieme dei suoi valori, metre il cotrario o è vero; se cosideriamo la successioe a = ), abbiamo ua successioe illimitata che o ammette limite dal mometo che cambia sego a secoda della parità di N.

9 3. TEOREMI DI CONFRONTO Teoremi di cofroto. Suppoiamo di avere ua successioe di umeri reali o egativi a, e suppoiamo di sapere che a ammetta limite. Che possiamo dire del sego del limite? Teorema 3.. Sia a 0 ua successioe di umeri reali covergete ad L. Allora L 0. Dimostrazioe. Sia ε > 0, e sia ε i N tale che Allora si ha a L < ε, ε. 0 a < L + ε, e quidi L + ε > 0 per ogi ε > 0. Essedo ε arbitrario, e segue 5) che L 0, come volevasi dimostrare. Si oti che l ipotesi a 0 per ogi i N può essere sostituita dalla più debole a 0 per ogi abbastaza grade, dato che è stata usata solo per ε. Ioltre, ache se a > 0 per ogi i N, la coclusioe del teorema precedete è comuque vera solo co il miore od uguale. Ad esempio, a = coverge a zero, + e si ha a > 0 per ogi. Si osservi che se abbiamo due successioi a e b tali che a b per ogi o per abbastaza grade), e se a coverge a L e b a M, il teorema precedete applicato alla successioe o egativa b a implica che L M. È vero il cotrario del Teorema 3.? Ovvero, se L 0, è vero che a 0 per ogi, o almeo per grade? Ovviamete o se L = 0; ad esempio a = ) coverge + a zero, ma cambia sego. Se, ivece, il limite è positivo, allora il risultato è vero per grade. Teorema 3. Permaeza del sego). Sia a ua successioe di umeri reali covergete a K > 0. Allora esiste 0 i N tale che a > K per ogi 0. Sia a ua successioe di umeri reali covergete a K < 0. Allora esiste 0 i N tale che a < K per ogi 0. I particolare, a ha lo stesso sego del limite se 0. Dimostrazioe. Suppoiamo K > 0, e prediamo ε = K Esiste allora K i N tale che ella defiizioe.). a K < K, K. 5) Se L fosse egativo, si avrebbe u assurdo per ε = L > 0.

10 Dalla disuguagliaza precedete si ottiee 3. TEOREMI DI CONFRONTO. 0 0 < K < a < 3K, K, da cui la tesi prededo 0 = K. La secoda parte del teorema si dimostra i maiera aaloga scegliedo ε = K. Per otteere il risultato el caso di due successioi a e b co limiti L < M basta applicare il teorema precedete alla differeza b a, covergete a K = M L > 0. Osservazioe 3.3. Osserviamo ifie che, se oltre a covergere ad u limite L 0, la successioe o si aulla mai, allora esiste K > 0 tale che 3.) a K, N. Ifatti, per il teorema precedete, esiste 0 i N tale che a > L per ogi 0. Sia poi M = mi a, a,..., a 0 ) > 0, per le ipotesi su a. Scegliedo K = mi L, M) si ha la tesi. Si oti che sia el Teorema 3. che ella precedete Osservazioe l ipotesi L 0 o può essere elimiata; ad esempio, la successioe a = ) coverge a zero ma + è sia positiva che egativa, ed è diversa da zero per ogi ma o è i modulo) maggiore di u umero strettamete positivo. Abbiamo visto che se a b, allora il limite di a è miore od uguale al limite di b. Che succede se ua succesioe b è icastrata tra due successioi che ammettoo lo stesso limite? Teorema 3.4 Teorema dei Carabiieri). Siao a, b e c tre successioi di umeri reali tali che a b c per ogi i N. Se a e c covergoo etrambe allo stesso limite L, allora la successioe b ammette limite, e tale limite è L. Dimostrazioe. Sia ε > 0 e siao ε e ε due umeri aturali tali che a L < ε, ε, c L < ε, ε. Sia ε = max ε, ε) e sia ε. Allora e quidi come volevasi dimostrare. L ε < a < L + ε, L ε < c < L + ε, L ε < a b c < L + ε b L < ε, Acora ua volta, o è ecessario che b sia compresa tra a e c per ogi i N; affiché il teorema sia vero, è sufficiete che lo sia per sufficietemete grade

11 4. OPERAZIONI CON I LIMITI. FORME INDETERMINATE. ovvero, da u certo valore di i poi). Si osservi che il risultato del Teorema dei Carabiieri è differete dagli altri dimostrati i precedeza perché la successioe b o è a priori covergete. Nel caso i cui ua delle due successioi diverga, è sufficiete che cotrolli l altra dal lato giusto affiché si possa calcolare il limite. Teorema 3.5. Siao a e b due successioi di umeri reali tali che a b per ogi i N. Se b diverge a +, ache a diverge a +, metre se a diverge a ache b vi diverge. Come prima, alla frase a b per ogi i N si può sostituire la frase a b per ogi abbastaza grade. Si oti che, come prima, o si ipotizza é che a ammetta limite el primo caso), é che lo abbia b el secodo). 4. Operazioi co i limiti. Forme idetermiate. Sia a = + +. Quato vale il limite di a 3 5? Essedo a la somma di tre successioi ogua delle quali tede a zero, ci aspettiamo che a diveti molto piccola al crescere di, e che quidi teda a zero ache essa. Il problema è che per dimostrare che a è effettivamete tedete a zero, l uico mezzo a ostra disposizioe è la defiizioe.), il che vuol dire che dobbiamo risolvere ua disequazioe di quito grado, operazioe questa complicata, e forse impossibile. Fortuatamete, la ostra ituizioe a tede a zero come somma di tre successioi che tedoo a zero) è i realtà il caso particolare di u teorema più geerale. Teorema 4.. Siao a e b due successioi, co a covergete ad L e b covergete ad M. Allora si ha lim + a ± b ) = L ± M, o, i altre parole, il limite della somma della differeza) è la somma la differeza) dei limiti. Dimostrazioe. Sia ε > 0 fissato, e siao ε e ε i due iteri tali che 4.) a L < ε, ε, b M < ε, ε. Sia ε = max ε, ε), cosicché etrambe le disuguagliaze soo verificate. Allora, per la disuguagliaza triagolare, 4.) a + b ) L + M) a L + b M < ε, e quidi il limite di a + b è L + M. La dimostrazioe della formula per la differeza dei limiti è lasciata al lettore.

12 4. OPERAZIONI CON I LIMITI. FORME INDETERMINATE. Prima di procedere oltre, toriamo u mometo sulla formula 4.). Abbiamo correttamete usato la defiizioe di limite.)? Apparetemete, o, dato che i.) compare ε, metre oi abbiamo scritto ε, che è u valore diverso. Ebbee, o abbiamo fatto essu errore, se leggiamo quello che dice la.): fissata comuque ua quatità positiva, esiste u itero, dipedete da questa quatità, tale che... Come si vede, la quatità positiva è muta, il che vuol dire che ci si può permettere di chiamarla come si vuole: ε, ε, ε, o i u modo qualsiasi 6). Nel caso della 4.) abbiamo deciso co il seo di poi) di chiamarla ε i modo da otteere ε ella 4.), ma avremmo potuto cotiuare a chiamarla ε, el qual caso avremmo otteuto ε ella 4.). I etrambi i casi, data l arbitrarietà di ε, da cui segue l arbitrarietà ε di, o di ε, avremmo scritto correttamete la defiizioe di limite. Il che vuol dire che, da ora i poi, ci disiteresseremo del umero degli ε che troveremo ella disuguagliaza fiale; quado dovremo applicare la defiizioe di limite useremo ε, il che vuol dire che pagheremo co u umero evetualmete complicato di ε ella formula fiale. Il primo esempio di questa strategia è il seguete teorema. Teorema 4.. Siao a e b due successioi, co a covergete ad L e b covergete ad M. Allora si ha lim a b = L M, + o, i altre parole, il limite del prodotto è il prodotto dei limiti. Dimostrazioe. Sia ε > 0 fissato, e siao ε e ε i due iteri tali che a L < ε, ε, b M < ε, ε. Sia ε = max ε, ε), cosicché etrambe le disuguagliaze soo verificate. Allora a b L M = a b a M + a M L M a b M + M a L. Il secodo addedo è miore di M ε, ma il primo? I esso compare a, che dipede da. Fortuatamete, per il Teorema. la successioe a, essedo covergete, è limitata. Ovvero, esiste K 0 tale che a K per ogi i N. Pertato a b M K b M < K ε. I defiitiva, e quidi il limite di a b è L M. a b L M < K + M ) ε, ε, 6) Trae ε se ε è positivo, ovviamete).

13 4. OPERAZIONI CON I LIMITI. FORME INDETERMINATE. 3 Si osservi che ella dimostrazioe precedete il fattore che moltiplica ε è, i u certo seso, scoosciuto, el seso che K, che sappiamo esistere, ci è igoto, ed è idipedete da L. Passiamo adesso a trattare il caso del rapporto tra due successioi, a patto che siao soddisfatte delle ipotesi aggiutive. Teorema 4.3. Siao a e b due successioi, co a covergete ad L e b covergete ad M. Suppoiamo che b sia diverso da zero per ogi i N, e che M sia diverso da zero. Allora a lim = L + b M, o, i altre parole, il limite del rapporto è il rapporto dei limiti. Dimostrazioe. La dimostrazioe segue dal teorema precedete, ua volta che si sia dimostrato che se b è ua successioe mai ulla, e covergete ad u limite M diverso da zero, allora la successioe b coverge ad. Per dimostrare questo fatto, M osserviamo che se ε > 0 è fissato, e se ε dato da.) per b ), si ha b M = M b b M ε b M. Siccome b coverge a M 0, e b è diversa da zero per ogi i N, per l Osservazioe 3.3 esiste K > 0 tale che b K per ogi i N; se e deduce allora che, b K e quidi b M ε K M, da cui la tesi. La codizioe b 0 del teorema precedete è etrata i gioco due volte; ua prima volta affiché sia be defiita la successioe a b, ed ua secoda volta per applicare l Osservazioe 3.3. I etrambi i casi, per cotrollare la stretta positività del modulo di b per u umero fiito di idici. Per gli ifiiti maggiori di 0, ifatti, è stato il Teorema della permaeza del sego a far sì che il modulo di b fosse maggiore di ua costate strettamete positiva. Pertato, il Teorema 4.3 si può euciare elimiado la codizioe b 0 per ogi i N e lasciado solo la richiesta M 0. U altro caso molto particolare, el quale possiamo dedurre l esisteza del limite del prodotto di due successioi ache el caso i cui ua delle due o ammetta limite, è il seguete. Teorema 4.4. Sia a ua successioe tedete a zero, e sia b ua successioe limitata. Allora a b tede a zero.

14 Dimostrazioe. 4. OPERAZIONI CON I LIMITI. FORME INDETERMINATE. 4 Sia ε > 0 e sia ε i N tale che a < ε, ε. Sia ora M 0 tale che b M per ogi i N. Se ε si ha allora come volevasi dimostrare. a b = a b < M ε, Che cosa possiamo dire quado ua, o etrambe le successioi divergoo? O se la successioe b el rapporto a b tede a zero? I risultati soo elecati el seguete teorema. Teorema 4.5. Siao a e b sue successioi di umeri reali. Abbiamo allora i segueti risultati: se a e b divergoo etrambe a ±, allora a + b diverge a ± ; se a diverge a ± e b diverge a, allora a b diverge a ± ; se a diverge a ± e b coverge a M, allora a ± b diverge a ± ; se a coverge a L e b diverge a ±, allora a + b diverge a ± ; se a coverge a L e b diverge a ±, allora a b diverge a ; se a e b divergoo etrambe a ±, a b diverge a + ; se a diverge a ± e b diverge a, allora a b diverge a ; se a diverge a ± e b coverge a M > 0, allora a b diverge a ± ; se a diverge a ± e b coverge a M < 0, allora a b diverge a ; se a coverge a L e b diverge a ±, allora a b coverge a 0; se a diverge a ± e b coverge a zero da valori positivi, allora a b diverge a ± ; se a diverge a ± e b coverge a zero da valori egativi, allora a b diverge a ; se a coverge ad L > 0 e b coverge a zero da valori positivi, allora a b diverge a + ; se a coverge ad L < 0 e b coverge a zero da valori positivi, allora a b diverge a ; se a coverge ad L > 0 e b coverge a zero da valori egativi, allora a b diverge a ; se a coverge ad L < 0 e b coverge a zero da valori egativi, allora a b diverge a +. Il teorema precedete permette di calcolare diversi casi, ma e lascia aperti altri; per la precisioe il limite di a + b quado a diverge a ± e b diverge a ;

15 4. OPERAZIONI CON I LIMITI. FORME INDETERMINATE. 5 il limite di a b quado a e b divergoo etrambe a ± ; il limite di a b quado a diverge a ± e b coverge a zero; il limite di a b quado a e b divergoo etrambe a + o a ); il limite di a b quado a e b covergoo etrambe a zero. Questi casi costituiscoo le cosiddette forme idetermiate che spesso, co ua otazioe impropria, vegoo idicate come, 0, e 0. Lo scioglimeto delle forme idetermiate o può essere risolto i maiera geerale, i quato 0 l esisteza ed il valore del limite dipedoo dalle particolari successioi cosiderate, come el seguete esercizio. Esercizio 4.6. Si calcoli se esiste) il limite di a b ei casi che seguoo: a = +, b = + ), a = + 3), b = + 4, a = +, b = +, a = ) +, b = +. a = ) +, b = +. Esercizio 4.7. Si calcoli, se esiste, il limite delle segueti successioi: + ) ) [ ) )] 3, cosπ ), arc tg +tg, se + cos, + 4 l) , , 3 6, ) + ), a p + b p +... c q + d q +...., + +, , m + m m N). se ), sea ) a, co a tedete a zero. Risposta 4.7: Rispodiamo all ultimo esercizio. Il primo limite è ua forma idetermiata del tipo 0. Osserviamo però che, per defiizioe di seo, tagete, e di agolo misurato i radiati quest ultimo fatto è fodametale!), si ha se ) ) tg = se ) cos ),

16 4. OPERAZIONI CON I LIMITI. FORME INDETERMINATE. 6 da cui ) ) cos se. Dal mometo che cos ) coverge a, il Teorema dei Carabiieri permette di cocludere: se ) coverge a. U ragioameto aalogo permette di affermare che ache il secodo limite vale. Vediamo ora come si comportao i limiti co gli espoeziali. Iiziamo co u caso particolare. Proposizioe 4.8. Le successioi e covergoo a. Dimostrazioe. Sia b =. Siccome >, b > =, e quidi b = + c, co c > 0. Se dimostriamo che c tede a zero, b tede a e la prima parte della proposizioe è dimostrata. Ricordado che la radice -sima è l operazioe iversa della poteza -sima, si ha = b = + c ). Per la disuguagliaza di Beroulli si veda il primo capitolo), si ha = + c ) + c, da cui c. Essedo c > 0, e tedete a zero, possiamo applicare il Teorema dei Carabiieri e cocludere che c tede a zero. Ua volta dimostrato che tede a, il fatto che teda a segue dal Teorema 4.3 e dal fatto che =. Si osservi che la dimostrazioe cotiua ad essere valida sostituedo a u qualsiasi umero A >. Che succede se 0 < A <? Proposizioe 4.9. Sia a ua successioe di umeri reali tedete a zero. Allora la successioe a coverge a. Dimostrazioe. Sia m u umero aturale fissato. Defiedo ε = m, e ricordado che a tede a zero, esiste m i N tale che ovvero a < m, m, m < a < m, m. Si ha allora, ricordado che se x > y si ha x > y, m < a < m, m. Sia ora ε > 0 e siao m ε e m ε due umeri aturali che esistoo per la Proposizioe 4.8) tali che m < ε, m m ε, m > ε, m m ε.

17 4. OPERAZIONI CON I LIMITI. FORME INDETERMINATE. 7 Sia ora m ε = maxm ε, m ε); allora ovvero e quidi la tesi. ε < mε < a < mε < ε, mε, a < ε, mε, Proposizioe 4.0. Sia A > 0 e sia a ua successioe tedete a zero. Allora A a tede ad. Dimostrazioe. Scriviamo A a = log Aa) = a log A), e applichiamo la dimostrazioe precedete, osservado che la successioe a log A) tede a zero. Teorema 4.. Sia A > 0 e sia a ua successioe di umeri reali covergete ad L. Allora A a coverge ad A L. Dimostrazioe. Scriviamo A a A L = A L A a L ). Dal mometo che a L tede a zero, la successioe tra paretesi coverge a zero per la Proposizioe 4.0, e quidi A a tede ad A L, come volevasi dimostrare. Il teorema precedete si può ache ivertire. Teorema 4.. Sia A > 0 e sia a ua successioe di umeri reali tali che A a coverge ad A L. Allora a coverge ad L. Dimostrazioe. Sia A > e suppoiamo per assurdo che a o coverga ad L. Questo vuol dire che esiste u ε > 0 tale che a L ε per ifiiti valori di. Pertato, per ifiiti i N si ha a L + ε o a L ε. Per gli stessi si ha A a A L A ε, oppure A a A L A ε, e quidi A a A L A L A ε ) oppure A a A L A L A ε ). I etrambi i casi, il fatto che A a coverga ad A L viee cotraddetto. Il caso 0 < A < si risolve i maiera idetica. Teorema 4.3. Sia A > 0 e A, e sia a ua successioe di umeri reali positivi covergete ad L 0. Allora log A a ) coverge a log A L). Dimostrazioe. Sia b = log A a ), cosicché a = A b ; per ipotesi, A b coverge a L, che scriviamo come A log A L). Per il Teorema precedete, b coverge a log A L).

18 4. OPERAZIONI CON I LIMITI. FORME INDETERMINATE. 8 Teorema 4.4. Sia a ua successioe di umeri reali o egativi covergete a L > 0. Sia α u umero reale. Allora a α coverge a L α. Dimostrazioe. È sufficiete scrivere a α = log aα ) = α log A a). Per il teorema precedete, log a ) coverge a log L), e per il Teorema 4. α log a) coverge a α log L) = L α. Teorema 4.5. Sia a ua successioe di umeri reali o egativi covergete a L > 0, e sia b ua successioe di umeri reali covergete a M. Allora a b coverge a L M. Dimostrazioe. Come el teorema precedete, scriviamo a b = log ab ) = b log a), e applichiamo il Teorema 4.3 ed il Teorema 4.. Così come el caso delle operazioi stadard somma, prodotto, rapporto), ache el caso dell elevameto a poteza soo possibili alcue forme idetermiate, e precisamete quelle del tipo 0 0, 0, e. Esempio 4.6. Abbiamo visto ella Proposizioe 4.8 che = coverge ad, così come tede ad la radice -sima di ogi umero reale positivo. Che succede co la radice -sima di? Siamo i preseza di ua forma idetermiata del tipo 0, e quidi è ecessario u trucco oltre all oipresete disuguagliaza di Beroulli). Sia a =, e sia b = a. Dal mometo che a >, ache b >, e quidi b = + c, co c > 0. Si ha + c = b = a = =, cosicché = + c ) + c 0 < c Siccome tede a zero, ache c tede a zero. Pertato, b tede ad, e quidi coverge ad. Esercizio 4.7. Si calcolio i segueti limiti + ) 3 4, + ), + 3, A + A A k A i > 0)..

19 5. MONOTONIA E CONVERGENZA. 9 Risposta 4.7: Il peultimo la cui geeralizzazioe è l ultimo): ) + 3 = = Mootoia e covergeza. Nel paragrafo abbiamo detto che se a è ua successioe covergete ad L, allora è ua successioe limitata. È facile allora vedere 7) che L è compreso tra l estremo iferiore e l estremo superiore della successioe a. Cerchiamo, co alcui esempi, di capire meglio che legami ci possoo essere tra il limite e l estremo iferiore e l estremo superiore della successioe. Esercizio 5.. Date le successioi a = +, a = +, a =, a = + 3 +, a = ) +, si calcolio il limite di a, if {a } e sup {a }. I quattro casi su cique il limite della successioe fiito o ifiito) è o l estremo superiore o l estremo iferiore dei valori della successioe; ell ultimo caso, il limite è zero, metre il miimo della successioe è, il massimo. Esamiiamo la prima successioe: possiamo, al crescere di, cofrotare fra di loro i valori della successioe? Evidetemete sì: essedo + > si ha + > + e quidi a + = < = a + +. Pertato, i valori della successioe decrescoo al crescere di. Notiamo che i questo caso il limite, zero, è l estremo iferiore dei valori della successioe; il massimo è evidetemete a 0 =. Per la secoda successioe, si ha a = = ; i questo caso per quato visto prima) si ha a > a, e quidi la successioe cresce co. Il limite di a vale, che è l estremo superiore dei valori della successioe il miimo è a 0 = 0). Per la terza successioe, i primi valori soo 0, 0,, 6,,...; acora ua volta la successioe cresce co 8), ed il limite della successioe, più ifiito, coicide co l estremo superiore. 7) Esercizio! 8) Cotrollado i valori di fio a 5 possiamo cogetturare che l adameto sia questo. Dimostrare che la disequazioe a + a è soddisfatta per ogi.

20 5. MONOTONIA E CONVERGENZA. 0 Abbiamo visto egli esempi precedeti che se i valori della successioe soo ordiati sia per ogi valore dell idice, che per abbastaza grade), il limite della successioe coicide co quello tra estremo superiore o iferiore che si accorda co il comportameto della successioe se la successioe cresce, l estremo superiore, altrimeti l estremo iferiore). Ci chiediamo ora se questo sia u comportameto geerale, o sia dovuto ai pochi esempi presetati. Diamo prima ua defiizioe. Defiizioe 5.. Sia a ua successioe di umeri reali. La successioe si dice mootòa crescete se si ha a + a per ogi i N. La successioe si dice mootòa decrescete se si ha a + a per ogi i N. Se il sego di ) è sostituito dal sego > <), la successioe si dice strettamete crescete strettamete decrescete). Possiamo allora euciare il risultato pricipale di questo paragrafo. Teorema 5.3. Sia a ua successioe di umeri reali mootoa crescete. Allora la successioe ammette come limite l estremo superiore di {a }. Sia a ua successioe di umeri reali mootoa decrescete. Allora la successioe ammette come limite l estremo iferiore di {a }. Osservazioe 5.4. Si osservi che egli esempi dell Esercizio 5. avevamo verificato che il limite coicideva co l estremo superiore o co l estremo iferiore). Il risultato del teorema appea euciato è molto più forte: ci dice che la successioe ) ammette limite e ) che tale limite è l estremo superiore o iferiore dei valori della successioe a secoda del verso della mootoia della successioe). Dimostrazioe. Suppoiamo che la successioe sia mootoa crescete e limitata. I questo caso, l estremo superiore della successioe, sia esso L, è fiito. Per defiizioe, L è u umero reale tale che 5.) 5.) a L, N, ε > 0 ε N : L ε < a ε L. La 5.) o è altro che la b ) ella defiizioe di estremo superiore, applicata el ostro caso: la b ) afferma che esiste u elemeto x ε dell isieme E di cui L è l estremo superiore tale che L ε < x ε L; essedo gli elemeti della successioe dipedeti da, l elemeto x ε della successioe corrispoderà ad u certo idice aturale ε. Sia ora ε. Essedo la successioe mootoa crescete, si ha a a ε ; pertato L ε < [5.)] < a ε a [5.)] L < L + ε, da cui a L < ε, e quidi a coverge ad L.

21 6. UNA SUCCESSIONE PARTICOLARE. Suppoiamo ora che la successioe sia mootoa decrescete e illimitata; i questo caso l estremo iferiore dei valori della successioe è meo ifiito, il che vuol dire che per ogi M < 0 esiste M i N tale che a M M acora ua volta, stiamo idetificado gli elemeti della successioe co i loro idici). Sia ora M ; essedo la successioe decrescete, a a M M, e quidi la successioe diverge a meo ifiito. Gli altri due casi crescete e illimitata, decrescete e limitata) soo lasciati per esercizio. Che succede se la successioe o è mootoa, ma mootoa per grade? Ovvero, se esiste 0 i N tale che, ad esempio, a + a per ogi 0? È acora vero che la successioe ammette limite, ma i questo caso il limite o è più l estremo superiore o iferiore) di tutti i valori della successioe, ma solo dei valori per 0. Che o sia possibile che il limite sia i geerale l estremo superiore o iferiore) di tutta la successioe, basti pesare all esempio di ua successioe che decresce verso zero ad esempio ) e della quale modifichiamo il primo valore, scegliedo + u umero reale egativo ad esempio, a 0 = ). La successioe è decrescete per, il limite è sempre zero, ma l estremo iferiore è ell esempio). Esercizio 5.5. Sia a ua successioe mootoa decrescete e limitata. Sia L il limite della successioe che è duque l estremo iferiore dei valori della successioe) e suppoiamo che L = mi {a }. Come è fatta la successioe a? Risposta 5.5: Esiste 0 i N tale che a = L per ogi 0. Ifatti, essedo L il miimo dei valori della successioe, esiste i N tale che a = L. Siccome a è decrescete, se si ha L a a = L, e quidi a = L per ogi. A questo puto defiiamo 0 = mi{ N : a m = L m }. Si osservi che il miimo esiste perché l isieme è u sottoisieme o vuoto cotiee ) dei aturali. 6. Ua successioe particolare. Cosideriamo la successioe a = + ). La successioe a geera ua forma idetermiata del tipo. Cercheremo di sciogliere questa forma idetermiata, e di capire se a ammetta limite oppure o.

22 6. UNA SUCCESSIONE PARTICOLARE. Iiziamo iazitutto co il dimostrare che a è limitata. Ifatti, per la disuguagliaza di Beroulli, a = + ) + =. Ioltre, per la formula della poteza eesima del biomio, e ricordado che m! m per ogi m 0 si veda il primo capitolo), a = + ) ) = m m m=0 )... m + )) = m! m = [i fattori soo miori di ] m=0 m=0 m=0 = + [ m! m! = +... m m= ) < 3, ] m! + m= m dove el peultimo passaggio si è usata la formula che dà la somma dei primi termii di ua progressioe geometrica si veda il primo capitolo). Possiamo quidi escludere sia la covergeza a zero che il divergere a più ifiito, ma acora o sappiamo se la successioe a ammetta limite. Dimostriamo allora che la successioe è mootoa crescete, cosicché esisterà il limite di a. Il primo passo cosiste el dimostrare che, per ogi e m i N, si ha 6.) m ) + m + ). m La 6.) segue facilmete dalla disuguagliaza di Beroulli dal mometo che è equivalete alla disuguagliaza ) m = ) m m Osserviamo ora che, se 0 m, ) + = m da cui 6.) + )! m! + m)! = + + m ) = m m + ) + m ). ), m

23 6. UNA SUCCESSIONE PARTICOLARE. 3 Dimostriamo ora che la successioe a è mootoa crescete. Si ha a = + ) ) = m m [6.)] = [6.)] ) + m m=0 ) + m m=0 + ) + m m=0 m=0 m + + ) m + ) m = ) m + ) + = a +, + che è quello che volevamo dimostrare. Il limite della successioe a o è u umero oto ; sappiamo che è compreso tra e 3, ma o corrispode a essua quatità icotrata fio ad ora. Per questo motivo, itroduciamo u uovo simbolo: e = lim a = + lim + + ) =, Il umero reale e, detto umero di Nepero, o è razioale e quidi la successioe delle sue cifre decimali o è periodica). Sia ora b ua successioe di umeri aturali tedete a più ifiito. Allora 6.3) lim + + b ) b = e. Per dimostrare la 6.3), sia ε > 0 e sia m ε i N tale che + ) mε e m ε < ε. Sia poi ε i N tale che b m ε per ogi maggiore di ε. Se ε si ha allora, ricordado che l applicazioe che a m aturale associa + m) m è crescete, + ) mε + ) b < e, m ε b e quidi ε < + ) mε e + ) b e < 0, m ε b da cui la 6.3). Sia ora b ua successioe di umeri reali che diverge a più ifiito. Allora 6.4) lim + [b ] [b ] + =.

24 Essedo ifatti b [b ] < b +, si ha 6. UNA SUCCESSIONE PARTICOLARE. 4 b b + [b ] [b ] + b + b + =, da cui la 6.4) per il Teorema dei Carabiieri, dal mometo che lim + b b + = lim + + b =. Ifie, se b è ua successioe di umeri reali tedete a più ifiito, si ha 6.5) lim + ) b = e. + b Osserviamo esplicitamete che, essedo b maggiore di 0 per sufficietemete grade, la successioe a = + b ) b è be defiita al solito, il fatto che possa o essere defiita per u umero fiito di idici o ci dà fastidio). Per dimostrare la 6.5), osserviamo che + ) b ) [b] + b b + ) [ [b] = + [b ] + ) ] [b] [b]+ [b]+ [b ] + e che l ultima successioe coverge a e per la 6.3) e la 6.4). D altra parte, + ) b + ) b b [b ] + [b ] ) [b]+ = [ + ) ] [b]+ [b] [b] [b ] e ache i questo caso l ultima successioe coverge a e per la 6.3) e la 6.4). La 6.5) segue allora dal Teorema dei Carabiieri. Sia ora b ua successioe di umeri reali tedete a meo ifiito. Allora 6.6) lim + + b ) b = e. Per dimostrare la 6.6), defiiamo c = b, cosicché c tede a più ifiito, ed osserviamo che si ha b + ) c b = ) b + b = ) + c. c c,,

25 6. UNA SUCCESSIONE PARTICOLARE. 5 La successioe all itero della paretesi quadra coverge a b, metre e c coverge a per defiizioe di c. Pertato, si ha la 6.6). U importate applicazioe delle 6.5) e 6.6) è la seguete: sia L u umero reale e b ua qualsiasi successioe divergete a più o a meo ifiito). Allora 6.7) lim + L ) b = e L. + b Per dimostrare la 6.7), è sufficiete scrivere la successioe come + L ) [ b = + L ) ] b L L, b e applicare la 6.5) o la 6.6). U altra importate applicazioe della 6.5) è la seguete: 6.8) lim + e b =. Sia ε > 0; allora, dal mometo che ) + +ε coverge a e +ε, che è strettamete maggiore di e, per il Teorema della permaeza del sego esiste ε tale che + + ε ) > e, ε. D altra parte, essedo e maggiore di + ) per ogi i N, si ha, per ogi ε, + = ) < e ) + +ε < = + ε, da cui la tesi. A partire dalla 6.8), si dimostra che qualsiasi sia la successioe a di umeri reali tedete a zero si ha 6.9) lim + e a a =. Ua volta defiito il umero e, assume particolare importaza il logaritmo i base e, detto logaritmo aturale, deotato co l ivece che co log e ). Sfruttado la 6.9) e la defiizioe di logaritmo aturale, si dimostra che 6.0) lim + l + a ) a =, per ogi successioe a di umeri reali tedete a zero. Per dimostrare la 6.0), è sufficiete defiire b = l + a ), ed osservare che b è be defiita almeo per

26 7. ALTRE SUCCESSIONI PARTICOLARI. 6 sufficietemete grade), che tede a zero e che, per defiizioe di logaritmo aturale, l + a ) = b a e b. Cosegueza della 6.9) è il seguete risultato, valido per ogi successioe a di umeri reali tedete a zero e per ogi A > 0: A a 6.) lim = la). + a Per otteere la 6.) è sufficiete scrivere se A, essedo il risultato evidetemete vero per A = ) e applicare la 6.9). A a la) = ea la) = la) ea, a a a la) Esercizio 6.. Calcolare il limite delle segueti successioi: + 3 ), π ), + ) 3 ), +, 4 3 Risposta 6.: L ultima successioe può essere riscritta come ) + ) 3 + ) 3 + ) + 3. ) + ) + 3. Dal mometo che + ) 3 tede a +, l argometo della paretesi quadra coverge ad e. Ioltre, essedo per la disuguaglaza di Beroulli + ) = +, si ha 0 < ) + 3 +, e quidi l espoete estero coverge a 0. Il limite vale allora e 0 =. 7. Altre successioi particolari. Prediamo ora i cosiderazioe cique successioi: a = l)) β,, β > 0, b = α, α > 0, c = A, A >, d =!, 0, e =,.

27 7. ALTRE SUCCESSIONI PARTICOLARI. 7 Ci propoiamo ua volta verificato che divergoo tutte e cique di studiare i rapporti tra queste successioi. Che a diverga si vede usado il fatto che il logaritmo aturale è essedo la base maggiore di uo) crescete: pertato [l)] β M se e solo se e β M ; quidi è sufficiete scegliere M = [e β M ]+ affiché sia soddisfatta la Defiizioe.. Aalogamete, per b è sufficiete scegliere M = [ α M] +. Per c, scrivedo A = + h co h maggiore di zero, ed utilizzado la disuguagliaza di Beroulli, si ha c + h, e siccome h diverge a più ifiito, ache c diverge a più ifiito. Ifie, d e e divergoo perché soo etrambe maggiori di, che diverge. Dimostriamo ora che 7.) lim + Ifatti, per defiizioe di!,! = +.! =... )... =..., dal mometo che i primi fattori soo maggiori o uguali ad. Il secodo risultato è il seguete: 7.) A >, lim + Per dimostrarlo, sia > [A]; allora! A = +.! )... [A] + ) [A]... = A A A... A A... A A e l ultima successioe diverge. Abbiamo poi: 7.3) A >, α > 0, lim + Per dimostrare la 7.3), scriviamo A α = A α ) α = A A [A]... A... A A, A α = +. α ) ) α. Siccome se A > allora ache A α >, possiamo scrivere A α = + h, co h > 0. Per la disuguagliaza di Beroulli abbiamo allora A α = A e l ultima successioe diverge. α ) ) α ) α + h h α α,

28 7. ALTRE SUCCESSIONI PARTICOLARI. 8 La 7.3) cotiua a valere se si sostituisce a l elemeto geerico di ua qualsiasi successioe g di umeri positivi divergete a più ifiito: 7.4) A >, α > 0, lim + Ifie, 7.5) α > 0, β > 0, lim + A g g α = +. α l)) β = +. Iiziamo co l osservare che, essedo β > 0, la 7.5) è equivalete a γ > 0, lim + γ l) = +, e che quest ultima, essedo γ e l) o egativi, è equivalete a γ > 0, lim + l) γ = 0. Ricordado le proprietà del logaritmo, i defiitiva la 7.5) è equivalete a 7.6) γ > 0, lim l γ ) = 0 lim γ =. + + Defiiamo ora ovvero δ = γ γ, γ = δ γ. Essedo δ >, possiamo scrivere δ = + ε, co ε > 0, e quidi, per la disuguagliaza di Beroulli, Pertato, γ = δ γ = + ε ) γ + ε ) [γ] + [ γ ] ε. 0 < ε γ γ [ γ ] γ, e l ultima successioe tede a zero. Per il Teorema dei Carabiieri ε coverge a 0, e quidi δ tede ad. La 7.6) è allora dimostrata, essedo γ = γ γ ) γ = δ ) γ. Come per la 7.3), ache la 7.5) cotiua a valere se si sostituisce a l elemeto geerico di ua qualsiasi successioe g di umeri positivi divergete a più ifiito: 7.7) α > 0, β > 0, lim + g α lg )) β = +.

29 8. SOTTOSUCCESSIONI. IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS. 9 Ua cosegueza immediata delle 7.) 7.5) è che le cique successioi soo ordiate : se α > 0, β > 0 e A >, si ha l)) β α A! e l ordie va iterpretato el seso che il rapporto fra due successioi tede a più ifiito o a zero a secoda se il umeratore è più a destra o più a siistra del deomiatore. Esercizio 7.. Si calcolio i limiti delle segueti successioi: + l 00 ), 3 +! 000 +, , )!. U ultimo risultato, all appareza bizzarro, ma utile i molte applicazioi, è la cosiddetta formula di Stirlig: lim +! e π =. Esercizio 7.. Si calcolio i limiti delle segueti successioi:!!,, ) )!. 8. Sottosuccessioi. Il Teorema di Bolzao-Weierstrass. Nel paragrafo abbiamo visto come ua successioe covergete sia limitata, metre il cotrario o è ecessariamete vero: data la successioe a = ), a è limitata ma o è covergete, dato che oscilla cotiuamete tra i due valori ±. Quello che però possiamo fare è o cosiderare i valori di a per ogi, ma solo per alcui valori particolari ad esempio i umeri pari. Se facciamo così, otteiamo la successioe di valori ) 0 =, ) =, ) 4 = e così via, ovvero la successioe costatemete uguale ad, che sappiamo covergere ad. D altra parte, se ivece di cosiderare gli pari cosideriamo gli dispari, otteiamo la successioe di valori ) =, ) 3 =, ) 5 = e così via; ache i questo caso abbiamo ua successioe costate, covergete a. Perché diciamo ua successioe? Per oi ua successioe è u applicazioe da N i R, metre ei due casi precedeti abbiamo cosiderato u applicazioe da { pari} i R, o da { dispari} i R: due fuzioi alle quali o abbiamo il diritto di dare il ome di successioe. Se, però, cosideriamo l applicazioe k da N i N che a associa, la ostra applicazioe dai umeri pari i R può essere vista come la composizioe della fuzioe k co la successioe a : otteiamo così la successioe adesso sì) che a associa a k) = a = ) =.

30 8. SOTTOSUCCESSIONI. IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS. 30 Aalogamete, la secoda applicazioe può essere vista come la composizioe di h) = + co a. Duque, data ua successioe qualsiasi a, possiamo costruire, cosiderado delle fuzioi opportue da N i N, delle uove successioi che assumoo solo alcui dei valori della successioe origiaria a. Perché opportue? Perché o possiamo predere ua fuzioe qualsiasi da N i N e sperare di otteere qualcosa di sigificativo : al solito, a oi o iteressa il comportameto della successioe per piccolo, ma per tedete a più ifiito. Va da sé che se oi prediamo come applicazioe da N i N la fuzioe k che ad ogi aturale associa ad esempio u fissato aturale 0, la composizioe di questa fuzioe co ua successioe qualsiasi a ci dà la successioe costate a k) = a 0 ; chiaramete, è uo spreco di eergie costruire ua successioe da u solo elemeto di a, dato che per capire come è fatto basta guardarlo. I sostaza, dal mometo che vogliamo adare a vedere se determiate proprietà come l esisteza del limite) possoo essere recuperate o cosiderado la successioe ella sua iterezza, ma solo ua parte di essa, sarà ecessario richiedere che la fuzioe da N i N, il filtro degli idici, debba almeo divergere al divergere di. I altre parole, deve essere arbitrariamete grade per grade. I questa maiera potremo provare a leggere il comportameto al limite di alcui dei valori della successioe a attraverso la lete della fuzioe da N i N. Per otteere quello che vogliamo, è sufficiete richiedere ua sola proprietà sulla fuzioe k da N i N: k deve essere mootoa strettamete crescete. Proposizioe 8.. Sia k : N N ua applicazioe tale che k + ) > k) per ogi i N. Allora lim k) = +. + Dimostrazioe. Si ha k0) 0; ioltre, se k), allora k + ) > k), da cui k + ) +. Pertato, per il pricipio di iduzioe, k) per ogi i N, e quidi k) diverge a più ifiito. Come cosegueza del teorema precedete, ogi applicazioe mootoa strettamete crescete da N i N geera ua successioe divergete a più ifiito. Siamo allora proti a dare la defiizioe dell oggetto otteuto compoedo ua tale fuzioe co ua successioe qualsiasi. Defiizioe 8.. Sia a ua successioe di umeri reali, e sia k : N N u applicazioe mootoa strettamete crescete. La successioe a k) si dice sottosuccessioe o successioe estratta da a.

31 8. SOTTOSUCCESSIONI. IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS. 3 Dal mometo che l applicazioe k altro o è che ua successioe di umeri aturali, al solito si preferisce idicare k) co k. Parallelamete, la sottosuccessioe si idica co a k. Quali proprietà di ua successioe si coservao prededo i cosiderazioe le sue sottosuccessioi? Ua proprietà è evidetemete la limitatezza, dato che l isieme dei valori assuti da ua sottosuccessioe è u sottoisieme dei valori assuti dalla successioe di parteza. Se la successioe di parteza ammette limite fiito o ifiito), allora ammettoo lo stesso limite tutte le sue sottosuccessioi. Teorema 8.3. Sia a ua successioe covergete ad L, e sia a k ua qualsiasi sottosuccessioe di a. Allora a k coverge a L. Lo stesso vale se a diverge a più ifiito o a meo ifiito. Dimostrazioe. Sia ε > 0, e sia ε i N tale che a L < ε per ogi ε. Dal mometo che k ricordiamo che la successioe k è crescete), se ε, allora k k ε ε, e quidi a k L < ε, come volevasi dimostrare. Il caso delle successioi divergeti è lasciato al lettore. Duque, se a coverge, cosiderare delle sottosuccessioi o modifica le ostre iformazioi: il cocetto di limite è stabile rispetto al passaggio a sottosuccessioi. Che succede se, però, la successioe di parteza o ammette limite? È possibile, come el caso della successioe ), estrarre ua sottosuccessioe covergete ad u umero reale? Se sì, sotto quali ipotesi? Esercizio 8.4. Si cosideri la successioe a = ). Si dimostri che da a o si può estrarre alcua sottosuccessioe covergete ad u umero reale. Risposta 8.4: Dal mometo che a =, la successioe a diverge, e co essa tutte le sue sottosuccessioi. Se esistesse ua sottosuccessioe a k covergete ad u umero reale, a k, e quidi a k, sarebbe limitata, cosa che o può essere. Come si vede dall esercizio precedete, se la successioe o è limitata, la speraza di trovare ua sottosuccessioe covergete ad u umero reale può essere vaa. Il prossimo teorema, di fodametale importaza 9), afferma che se la successioe è limitata, allora è possibile estrare ua sottosuccessioe covergete. Teorema 8.5 Bolzao-Weierstrass). Sia a ua successioe limitata. Allora da a si può estrarre ua sottosuccessioe a k covergete ad u umero reale L. Prima dimostrazioe: il metodo di bisezioe. 9) Tato importate che e daremo due dimostrazioi...