TEST STATISTICI. indica l ipotesi che il parametro della distribuzione di una variabile assume il valore 0

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1 TEST STATISTICI I dati campioari possoo essere utilizzati per verificare se ua certa ipotesi su ua caratteristica della popolazioe può essere riteuta verosimile o meo. Co il termie ipotesi statistica si idica ua cogettura su u parametro i ua popolazioe (si può voler verificare se u macchiario produce pezzi che rispettao caratteristiche prestabilite, se u dado o ua moeta soo equilibrati, se u farmaco è efficace). Le ipotesi soo sottoposte a verifica sulla base di u campioe e la procedura utilizzata per la verifica di queste ipotesi costituisce il cosiddetto test statistico. Per verificare se ua moeta è equilibrata si può laciare più volte la moeta e registrare il umero di teste e di croci. Si riterrà plausibile l ipotesi che la moeta sia equilibrata se il umero di teste e di croci o risultao molto diversi, ma o si può stabilire co certezza se u'ipotesi è vera o falsa, dato che uo stesso risultato può derivare da popolazioi co strutture diverse (el lacio di ua moeta equilibrata 00 volte il umero di teste va da 0 a 00, ache se alcui risultati soo improbabili) U qualsiasi criterio di decisioe comporterà ecessariamete il rischio di commettere u errore che cosiste el rifiutare l ipotesi quado è vera oppure ell accettarla quado è falsa. Nel caso della moeta il risultato campioario potrebbe segalare che la moeta è equilibrata ache se o lo è realmete, oppure potrebbe idicare che la faccia testa ha ua probabilità molto maggiore di croce ache se la moeta fosse equilibrata o, se la faccia croce avesse ua probabilità maggiore. Prederemo i cosiderazioe solo la probabilità di rifiutare u'ipotesi quado è vera e faremo riferimeto, quidi, ai cosiddetti tests di sigificatività. I geerale l ipotesi che si vuole verificare è detta ipotesi ulla ed è idicata co la otazioe H0: seguita dal suo euciato formale. H0: = 0. idica l ipotesi che il parametro della distribuzioe di ua variabile assume il valore 0 Nel caso della moeta, se idichiamo co la probabilità associata alla faccia testa, l ipotesi che la moeta sia bilaciata può essere quidi espressa da H0 : =0.5 U ipotesi su è cosiderata tato più verosimile quato più la stima campioaria risulta probabile se si assume come vera l ipotesi H0 e la regola di decisioe cosiste ell accettare H0 se la stima campioaria rietra ell isieme dei risultati più probabili sotto H0 e el rifiutarla i caso cotrario. Per cotrollare se il risultato campioario è u risultato probabile quado il parametro è uguale a 0 si utilizza la distribuzioe di probabilità dello stimatore T del parametro sotto ipotesi ulla. L isieme dei possibili risultati campioari viee suddiviso ella regioe di accettazioe di H0 (quelli probabili) e i ua regioe di rifiuto o regioe critica (quelli poco probabili). C è ua probabilità di rifiutare l ipotesi ulla quado è vera, perché si può otteere u risultato campioario improbabile ache quado H0 è vera. La probabilità dell errore che cosiste el rifiutare l ipotesi ulla quado è vera viee idicata co e viee detta errore di prima specie o livello di sigificatività: corrispode alla probabilità di otteere, quado è vera H0, u risultato compreso ella regioe di rifiuto dell ipotesi.

2 Cosiderata la distribuzioe dello stimatore sotto ipotesi ulla e scelto il livello di probabilità, gli estremi dell itervallo di accettazioe, detti valori critici, corrispodoo i geere ai due quatili che i questa distribuzioe isolao il primo sulla sua siistra ed il secodo sulla sua destra ua probabilità pari ad /. Se il valore campioario t di T risulta compreso ella regioe critica si dice che il valore della statistica è sigificativo. La probabilità viee scelta i modo da essere quasi sicuri di o respigere H0 quado è vera e sul suo valore si possoo fare cosiderazioi aaloghe a quelle relative ai livelli di probabilità degli itervalli di cofideza. Il suo valore viee fissato teedo preseti le cosegueze che derivao dal rifiutare u'ipotesi vera. Al dimiuire di aumeta l ampiezza dell itervallo di accettazioe per cui si fiisce per o respigere H0 ache i preseza di risultati molto improbabili. Se il valore t dello stimatore T è compreso ell itervallo di accettazioe dell ipotesi ulla ciò o implica che l ipotesi sia ecessariamete vera. Se, per esempio, si fosse otteuto u umero di teste pari a 503 su 000 laci o si rifiuterebbe l ipotesi che la moeta sia equilibrata ma ovviamete o si rifiuterebbe mai l ipotesi che fosse uguale a Ogi stima t rietra ache ell isieme dei risultati più probabili sotto altre ipotesi diverse da H0 ed è quidi compreso ell itervallo di accettazioe associato a queste ipotesi. VERIFICA DI IPOTESI SULLA MEDIA H0 : 0 CASO ) Se X ; ~ N oto X ~ N ; L itervallo di accettazioe dell ipotesi sarà cetrato su 0 e delimitato dai due quatili 0 u /, 0 u / che isolao a siistra e a destra della distribuzioe u area pari ad /. Gli itervalli a siistra e a destra costituiscoo ivece l area di rifiuto dell'ipotesi o regioe critica, e i valori 0 u / e 0 u / soo i valori critici. La regioe di accettazioe cotiee l isieme dei valori più probabili sotto ipotesi ulla. Se la media risulta compresa ella regioe di accettazioe si coclude affermado che, al livello di sigificatività prestabilito, o si ha motivo di rifiutare l ipotesi ulla o che l ipotesi è compatibile co il risultato campioario. Se, ivece, la media campioaria cade i ua delle due regioi critiche l ipotesi viee rifiutata al livello di sigificatività. Il risultato campioario x 0 di X è coteuto egli itervalli di accettazioe di tutto u isieme di ipotesi diverse. La verifica dell'ipotesi si può effettuare i modo più semplice, cofrotado il valore assoluto di X μ0 co il valore z/ della ormale stadardizzata. σ

3 Se X μ0 σ > z/ il valore della statistica è sigificativo e l'ipotesi ulla è rifiutata al livello di sigificatività, i caso cotrario l'ipotesi è compatibile co i risultati campioari e o vi soo motivi per rifiutarla. I modo più accurato si può calcolare il p-valore (o p-value) associato al valore della statistica test calcolata sul campioe, ossia la probabilità che la statistica assuma u valore più estremo di quello osservato sotto l ipotesi che H0 sia vera. Quato più il p-valore è piccolo, tato meo verosimile appare l ipotesi ulla. Su u campioe di 0 elemeti estratto da ua popolazioe ormale di variaza ota pari a 60 si è otteuta ua media campioaria pari a 0. Si vuole verificare l ipotesi che la media ella popolazioe sia 5 al livello =0.. H0: = z No si ha motivo di rifiutare 60/ 0 Il p-valore associato a.5 è uguale all area isolata alla destra di tale valore più l area alla siistra dello stesso valore preso co sego egativo, ossia CASO ) Se la variaza della popolazioe o è ota e il campioe è piccolo, per la verifica della stessa ipotesi si cotrolla se risulta X μ0 t α/ S Su u campioe casuale di 8 elemeti estratto da ua popolazioe ormale soo state rilevate le segueti itesità della variabile oggetto di studio Verificare le ipotesi che la media della popolazioe sia pari a 5 al livello di sigificatività=0.0. Dai dati campioari risulta E X EX 5. σˆ , S σˆ Per la verifica dell ipotesi H0: = 5 si utilizza la statistica X μ t- S t / 8 No si ha motivo di rifiutare l ipotesi ulla al livello di sigificatività prefissato. 8 7

4 CASO 3) Se il campioe è sufficietemete umeroso, la verifica di ipotesi si basa sulla distribuzioe asitotica, così come si è visto a proposito degli itervalli di cofideza. X μ0 z α/ S Su u campioe di 65 uova è stato rilevato lo "spessore del guscio (i millimetri) otteedo ua media e la radice quadrata della variaza corretta. I base a queste iformazioi si vuole verificare l'ipotesi che lo spessore medio del guscio sia pari a 0.3 millimetri al livello di sigificatività = H 0 : 0. 3 x 0. 3 S , 030,. 0u0,05. 96, l'ipotesi viee rifiutata al livello di sigificatività = , Si rifiuta per = 0.05 No si rifiuta per = 0.0 P-valore: VERIFICA DI IPOTESI SULLA PROPORZIONE Data ua popolazioe co distribuzioe Zero-Uo (o di Beroulli), la verifica di ipotesi sul parametro assume al forma H0 : = 0 Se il campioe è sufficietemete umeroso, la media campioaria si distribuisce i modo ormale π ( π ) co valore atteso 0 e variaza 0 0. L ipotesi si rifiuta se X 0 0( 0) z / Si vuole verificare al livello di sigificatività dell % l ipotesi che il tasso di disoccupazioe dei laureati co ua votazioe fiale superiore o uguale a 00 sia pari al 5% sapedo che dalla popolazioe è stato estratto u campioe casuale di 5000 idividui sui quali 300 soo risultati disoccupati. H0 : = 0.05 La media campioaria di idividui disoccupati è pari al 6%, per cui l ipotesi viee rifiutata z P-valore:

5 VERIFICA DELL UGUAGLIANZA FRA LE MEDIE DI DUE POPOLAZIONI I molte situazioi reali lo scopo dell idagie cosiste el cofroto fra due o più popolazioi, come el caso i cui si volesse verificare se due diversi fertilizzati portao a risultati diversi ella produttività per ettaro o se due diversi farmaci possoo essere cosiderati equivaleti ella cura di ua determiata malattia. I casi come questi si vuole verificare l ipotesi che o esistoo differeze sigificative fra le produttività o fra i tempi di guarigioe. Questa ipotesi è particolarmete rilevate dato che la sua accettazioe porterebbe a cocludere che fra i due fertilizzati e fra i due mediciali o esiste alcua reale differeza. Se ivece le differeze otteute ei due diversi gruppi soo così gradi da o poter essere imputate al solo effetto di fattori casuali, si potrebbe cocludere che uo dei due fertilizzati cosete di otteere u risultato migliore rispetto all altro e che il tempo di guarigioe rilevato el gruppo di pazieti trattati co u farmaco è sigificativamete diverso del tempo di guarigioe el gruppo di pazieti trattato co l altro. I geere l ipotesi che si vuole verificare riguardao i valori medi di ua variabile Z esamiata i due (o più) popolazioi distite, come quado si verifica se esiste ua differeza sigificativa el redimeto di titoli diversi, ei puteggi otteuti ad u esame da gruppi di studeti che hao utilizzato testi differeti, ella durata di fuzioameto di prodotti otteuti co macchiari diversi. Per semplicità ci occuperemo del caso i cui i gruppi presi i esame soo soltato due e supporremo ioltre che siao verificate le codizioi stadard che ipotizzao che la variabile abbia ua distribuzioe ormale co uo stesso valore della variaza i etrambe le popolazioi. Quest ultima ipotesi costituisce la cosiddetta codizioe di omoschedasticità, sotto la quale si ottegoo abbastaza facilmete le distribuzioi della statistica test (se i valori delle variaze soo ivece diversi fra di loro, si parla di codizioe di eteroschedasticità). Idicate co X e co X la variabile di iteresse rilevata ella prima e ella secoda popolazioe, le codizioi stadard soo le due v.c. siao ormali co medie e e variaza comue ota. La verifica dell ipotesi o H0 : = si basa sulla differeza fra le medie campioarie che si distribuisce i modo ormale co media pari alla differeza delle medie e variaza pari alla somma delle variaze. X X σ / σ dove è stimata da μ μ X X μ μ σ / / S S S p variaza pooled. Teedo coto che sotto ipotesi ulla le medie e soo uguali fra di loro, la verifica dell ipotesi si basa sulla statistica test S p X X / che, sotto ipotesi ulla, si distribuisce come ua t di Studet co + gdl.

6 Su due campioi, etrambi di umerosità, soo state rilevate le altezza di piatie sottoposte a due diversi metodi di coltura. Sulla base dei segueti risultati x x s s la variaza pooled è pari a S p 708. La statistica test risulta quidi , 0 / 44 Per =0.0 il quatile di ordie della t co g.d.l. è.888. Si coclude che l ipotesi è compatibile co i dati campioari raccolti al livello di sigificatività dell %. Se i gradi di libertà della t soo molto elevati, si usao le tavole della ormale stadard e si può calcolare il p-valore VERIFICA DELL UGUAGLIANZA FRA LE PROPORZIONI DI DUE POPOLAZIONI Nel caso i cui le popolazioi abbiao distribuzioe Beroulliaa di parametri e l ipotesi che si vuole sottoporre a verifica è l uguagliaza dei parametri H0 : = Per ua umerosità campioaria sufficietemete elevata la statistica X X X p X p ~N(0,) dove X X X p è la media delle medie campioarie poderata co le umerosità. Teedo coto che sotto ipotesi ulla le proporzioi e soo uguali fra di loro, la verifica dell ipotesi si basa sulla statistica test X Se risulta X X X p p z / si rifiuta l ipotesi ulla

7 Ai fa vee codotto uo studio per aalizzare gli effetti positivi dell uso di aspiria sulla prevezioe degli attacchi cardiaci. Su u isieme di 07 idividui veero formati due gruppi: il gruppo di trattameto e quello di cotrollo. Gli idividui del gruppo di trattameto ricevevao ua dose quotidiaa di aspiria metre quelli di cotrollo u farmaco placebo. Lo studio vee codotto per u periodo di 5 ai osservado il umero di decessi per ifarto. Si otteero i segueti risultati Farmaco\Esito Ifartuati No ifartuati Placebo Aspiria La proporzioe dei colpiti da ifarto el gruppo di cotrollo è X La proporzioe dei colpiti da ifarto el gruppo sottoposto a trattameto è X X p Il p-valore è praticamete ullo z TEST DI INDIPENDENZA Abbiamo utilizzato l idice chi-quadrato per misurare l idipedeza fra due variabili. Suppoedo che l idice sia stato calcolato su u campioe, si vuole verificare se si può accettare o meo l ipotesi che le due variabili ella collettività soo idipedeti o meo. Sotto l ipotesi ulla e per sufficietemete elevato la statistica H K ' ij ij ' i j ij tede ad ua chi-quadrato co (H)(K) gdl sempre che ciascua delle frequeze assolute cogiute (riportate all itero della tabella a doppia etrata) sia almeo pari a 5. La regioe di H K. rifiuto è posizioata alla destra del quatile Suppoiamo che si voglia verificare l ipotesi di idipedeza fra due variabili al livello di sigificatività =0.05 sapedo che su u campioe di 90 elemeti si soo otteuti i risultati riportati ella tabella successiva X\Y A B a b

8 ( )( ). e l ipotesi di idipedeza va quidi rifiutata perché la statistica risulta maggiore del quatile che ella chi-quadrato co gradi di libertà isola alla sua destra u area pari a 0.05.