Test di Ipotesi. La distribuzione gaussiana delle medie consente anche di sottoporre ad esame critico ipotesi effettuate su una popolazione.

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1 La distribuzioe gaussiaa delle medie cosete ache di sottoporre ad esame critico ipotesi effettuate su ua popolazioe. Si suppoe che vega fatta ua affermazioe che localizzi la media µ della popolazioe (ipotesi zero). Per verificare l attedibilità dell ipotesi, si selezioa u campioe casuale sufficietemete grade ( > 30) di cui si calcola la media campioaria x e lo scarto quadratico medio campioario s. A questo puto si misura la distaza i termii di scarti quadratici medi di µ dalla media osservata sul campo x. Quato più x si allotaa da µ, tato più divetiamo sospettosi circa la validità dell ipotesi riguardate la media e siamo codotti a rigettare l ipotesi.

2 Così facedo ci assumiamo u rischio, quello che il campioe scelto avesse media x realmete molto lotaa da µ e che la media µ fosse accettabile. Il livello di rischio di predere ua decisioe sbagliata che siamo disposti a correre dipede dalle circostaze. Solitamete si accetta u rischio dell 1% o del 5%. Il rischio di predere la decisioe sbagliata sulla scorta dei dati del campioe è detto livello di sigificatività del test.

3 Esempio È stato affermato che il peso medio degli idividui adulti di ua certa azioe è µ = 68.5 kg. Voledo sottoporre questa ipotesi a verifica, si cosidera u campioe casuale di 625 idividui che vegoo pesati. Come esito della misura, si ottiee u valor medio campioario x = 69.1 kg co uo scarto quadratico medio campioario s = 7 kg. Se il livello di sigificatività del test è del 5%, quale sarà la coclusioe? Si rispoda alla stessa domada se il livello di sigificatività del test è dell 1%.

4 Misuriamo la distaza x µ = 0.6 kg della media campioaria dalla stima per µ coteuta ell ipotesi i termii di scarti quadratici medi. Poiché σ x = σ s = 25 7, il umero u di scarti quadratici di cui x si allotaa da µ risolve l equazioe 0.6 = 7 25 u, cioè vale u = Sappiamo che ell itervallo [µ 1.96 s,µ s ] cade il 95% delle medie campioarie. La media campioaria aalizzata cade fuori da questo itervallo, oi siamo autorizzati a rigettare l ipotesi su µ, assumedoci u rischio del 5%.

5 Se però siamo disposti ad assumerci solo l 1% di rischio di predere la decisioe sbagliata, l esito del test è diverso. Ifatti, x appartiee all itervallo [µ 2.58 s,µ+2.58 s ] i cui cade il 99% delle medie campioarie. Quidi, l ipotesi su µ è compatibile co il risultato otteuto dal campioe casuale, se il livello di sigificatività è dell 1%, cioè se il rischio che siamo disposti a correre di predere ua decisioe sbagliata è soltato l 1%.

6 Esempio Ua compagia aerea afferma che il peso medio del bagaglio dei passeggeri dei suoi voli di liea è µ = 19.8 kg. Per sottoporre a verifica tale ipotesi si cosidera u campioe casuale di 324 passeggeri da cui emerge il peso medio campioario x = 20.3 kg, co scarto quadratico medio campioario s = 3.6 kg. Quali soo le coclusioi del test al livello di sigificatività dell 1%? Se si suppoe che i valori di x ed s siao stati otteuti da u campioe di 400 passeggeri, come cambiao le coclusioi del test?

7 Nel primo caso abbiamo s = = 0.2 per cui, scrivedo x µ = 0.5 = (0.2)u si vede che u = 2.5: la media campioaria dista da quella coteuta ell ipotesi zero 2.5 scarti quadratici medi e duque è acora itera all itervallo [µ 2.58 s,µ+2.58 s ] etro cui cade il 99% dei dati: l esito del test è che o esistoo elemeti sufficieti per rigettare l ipotesi su µ, al livello di sigificatività richiesto.

8 Quado il campioe è formato da 400 passeggeri abbiamo s = = 0.18 che corrispode ad ua distaza tra x e µ pari a 2.78 scarti quadratici medi che fa cadere x fuori dall itervallo [µ 2.58 s,µ s ]: la coclusioe del test è il rigetto dell ipotesi formulata su µ, co u margie di rischio dell 1%.

9 Osservazioe Nell esempio precedete erao preseti i due tipi di errore possibili i u test. Quado il campioe era composto da 324 passeggeri, l errore possibile era di rifiutare la media (errore di tipo II) quado questa era attedibile, almeo co i dati i possesso, metre co il campioe di 400 passeggeri l errore possibile era di riteere valida l ipotesi, quado questa si rivelava poco attedibile (errore di tipo I). L esempio ioltre mostra il ruolo giocato dalla gradezza del campioe ell esito del test.

10 Suppoiamo ora che l ipotesi zero da vagliare sia formulata i questi termii: il reddito medio di ua famiglia che abita i ua certa regioe o supera i Euro. Come si vede l ipotesi sulla media è più sfumata rispetto ai casi precedeti i quato si limita ad imporre u limite superiore alla media, o u valore preciso. Se si vuole sottoporre a verifica l ipotesi si può adottare ua procedura simile alla precedete: si cosidera la media otteuta da u campioe sufficietemete ampio e la si cofrota co il limite superiore per µ, Euro. È chiaro che, se x risulta iferiore a Euro o si ha alcu elemeto per rigettare l ipotesi e che i dubbi sulla botà dell ipotesi comiciao ad affiorare quado x supera i Euro. Se il test ha u livello di sigificatività del 5%, si avrao elemeti per rigettare l ipotesi quado x si lascia a siistra almeo il 95% dei dati, il che succede o appea si esce dall itervallo (,µ σ x ].

11 Similmete, se il test ha u livello di sigificatività dell 1%, l ipotesi diveta rigettabile (co u margie di rischio dell 1%) o appea x esce dall itervallo (,µ +2.33σ x ] etro il quale cade il 99% dei dati. Test come quello i esame, ei quali l ipotesi sulla media è formulata i termii di disuguagliaze uilaterali, soo detti test ad ua coda. Se l ipotesi cotiee u affermazioe etta sulla media, come ei casi esamiati i precedeza, il test è a due code.

12 Suppoiamo di esamiare u campioe di 100 famiglie proveieti dalla regioe da studiare e che il reddito medio campioario sia risultato pari a Euro, co uo scarto quadratico medio campioario di 300 Euro. Cosa possiamo cocludere al livello di sigificatività del 5%? E al livello dell 1%? Poiché s = 30, la soluzioe dell equazioe = 30u è u = Duque, la media campioaria dista 1.67 scarti quadratici medi dal massimo valoreµ max = Euro di µ ammesso dall ipotesi ed è così estera all itervallo (,µ+1.64σ x ]: al livello del 5% l esito del test mi spige a rigettare l ipotesi formulata. Al cotrario, se si vuole adare icotro al rischio di errore dell 1% o possiamo rigettare l ipotesi i quato la media campioaria rietra ell itervallo (,µ+2.33σ x ].

13 Esempio U ricercatore itede saggiare, co livello di sigificatività del 5%, l affermazioe di ua ditta farmaceutica secodo la quale il tempo che itercorre tra l assuzioe di u farmaco e la maifestazioe dei primi effetti è al più di 4 miuti. A questo scopo cosidera u campioe casuale di 100 pazieti e trova che i media il tempo ecessario per riscotrare efficacia el farmaco è x = 4 miuti e 6 secodi, co scarto quadratico medio s = 0.6 miuti. Quali soo le coclusioi del test? Cambia qualcosa se i dati sperimetali hao scarto quadratico medio s = 0.64 miuti?

14 Covertiamo il tempo di reazioe del farmaco i forma decimale osservado che 4 miuti 6 secodi = 4.1 miuti. Si tratta di u test ad ua coda i quato avremo ragioe di dubitare della affermazioe della ditta solo se si misurao, come i questo caso, tempi di reazioe superiori al tetto massimo dichiarato dal produttore. Troviamo allora il valore di u che risolve l equazioe x µ = 0.1 = u s = 0.06u, cioè u = Duque, x si trova a destra di µ, all estero della regioe (,µ+1.64σ x ]: al livello di sigificatività richiesto, l ipotesi sulla media è da respigere. Se s = 0.64, il valore di u diveta

15 u = 1.56: al livello di sigificatività richiesto l ipotesi o è rigettabile. I questo esempio si evidezia l importaza dell accuratezza della verifica sperimetale. Lo scarto quadratico medio misura ifatti la dispersioe dei dati attoro al valor medio e, crescedo, idica ua maggiore imprecisioe elle misure. Come si è visto, le coclusioi tratte dall esame dei dati soo state difformi ei due casi.