Costo manutenzione (euro)

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1 Esercitazioe 05 maggio 016 ESERCIZIO 1 Ua società di servizi possiede u parco auto di diverse età. I dirigeti ritegoo che il costo degli iterveti di mautezioe per le auto più vecchie sia geeralmete più elevato rispetto a quello per le auto più uove. La tabella seguete riporta i dati relativi alle auto utilizzate dalla società: Età auto (ai) Costo mautezioe (euro) a) Si rappresetio graficamete i dati e si calcoli il coefficiete di correlazioe lieare. b) Si discuta se l opiioe dei dirigeti sia o meo avvalorata empiricamete alla luce dei risultati di cui al puto precedete. a) Avedo due variabili quatitative o ripartite i classi, il grafico migliore per rappresetare i dati è costituito dal diagramma di dispersioe: Costo mautezioe (euro) Età auto (ai) Coefficiete di correlazioe lieare: misura e quatifica la relazioe lieare esistete fra due variabili quatitative. r = 1 1 (x i x ) ( y i y ) = s xy s x s y s x s y i=1 = = b) Poiché esiste ua relazioe lieare positiva abbastaza forte fra le due variabili - all aumetare dell età della auto aumeta il costo per gli iterveti di mautezioe, l opiioe dei dirigeti è avvalorata. ***Riferimeto sul libro: cfr. cap.4, Misurare l associazioe lieare: la correlazioe*** 1

2 ESERCIZIO Il cosumo gioraliero di acqua potabile (metri cubi) di ua famiglia italiaa può essere descritto da ua distribuzioe ormale co media 1 e variaza 9. a) Calcolare la probabilità che, estraedo u campioe casuale di 100 famiglie, il cosumo medio sia superiore a 1.6 metri cubi. b) Estratta a caso ua famiglia, qual è la probabilità che il suo cosumo gioraliero di acqua potabile sia compreso fra 8 e 10 metri cubi? a) Poiché dobbiamo calcolare la probabilità del cosumo medio di 100 famiglie, calcoliamo la probabilità utilizzado lo stimatore media campioaria X, il cui valor medio è pari al valor medio della popolazioe, 1, e deviazioe stadard σ = 9 z = x μ σ = =.00 Pr(X > 1.6) = Pr(Z >.00) = Pr(Z <.00) = = 0.3. Si ottiee: b) I questo caso, trattadosi di ua sola famiglia il suo cosumo gioraliero può essere descritto da ua variabile casuale X distribuita secodo ua Normale co media 1 e variaza 9. z 1 = 8 1 = z = 10 1 = Pr(8 X 10) = Pr( 1.33 Z 0.67) = Pr(Z 0.67) Pr(Z < 1.33) = = ***Riferimeto sul libro: cfr. cap.10, Distribuzioi campioarie e par. segueti ***

3 ESERCIZIO 3 Gli adulti i sovrappeso soo pari al 56% della popolazioe italiaa fra i 5 e i 64 ai di età. Estratto a caso u campioe di 60 adulti, determiare la probabilità che la proporzioe campioaria di persoe i sovrappeso el campioe sia: a) maggiore di 0.6; b) miore di 0.4. a)pr(p > 0.6) =? La proporzioe di adulti i sovrappeso ella popolazioe italiaa è approssimativamete distribuita come ua Normale co media pari a p = 0.56 e variaza pari a σ = p(1 p) = Per u campioe di = 60 adulti, la proporzioe campioaria p per sufficietemete grade è approssimativamete distribuita come ua Normale co media pari a p = 0.56 e variaza pari a σ p(1 p) = Di cosegueza, possiamo ricavare la probabilità utilizzado la Normale stadard: p p z = σ = = 0.6 Si ottiee: Pr(p > 0.6) = Pr(Z > 0.6) = Pr(Z < 0.6) = La probabilità che la proporzioe di adulti i sovrappeso (frequeza relativa campioaria) i u campioe di 60 adulti sia maggiore di 0.6 è pari a b) Pr(p < 0.4) =? Il procedimeto è aalogo al precedete: p p z = σ = =.50 Si ottiee: Pr(p < 0.4) = Pr(Z <.50) = La probabilità che la proporzioe di adulti i sovrappeso (frequeza relativa campioaria) i u campioe di 60 adulti sia miore di 0.4 è pari a ***Riferimeto sul libro: cfr. cap. 18, La distribuzioe campioaria di p *** = 3

4 ESERCIZIO 4 Su u campioe casuale di 0 egozi di libri di ua regioe italiaa, la media settimaale di libri gialli veduti è risultata pari a 160 co deviazioe stadard campioaria 46. I ua diversa regioe italiaa, su u campioe casuale di 160 egozi la corrispodete media è risultata pari a 90 co deviazioe stadard campioaria 35. Sotto l ipotesi di ormalità del umero di libri gialli veduti settimaalmete da ciascu egozio, si verifichi al livello 5% l ipotesi che o vi sia differeza sigificativa elle vedite medie settimaali di libri gialli elle le due regioi, cotro l ipotesi che il geere giallo sia più popolare ella prima regioe. Test delle ipotesi sulla differeza tra valori medi di due popolazioi (i due campioi soo idipedeti, caso eteroschedastico): (test a ua coda) H0: μ 1 = μ vs H1: μ 1 > μ α = 0.05 Media campioaria di libri gialli veduti ella regioe 1: x 1 = 160 Numerosità del campioe 1: 1 = 0 Deviazioe stadard campioaria del campioe 1: s 1 = (46) = 116 Media campioaria di libri gialli veduti ella regioe : x = 90 Numerosità del campioe : = 160 Variaza campioaria del campioe : s = (35) = 15 Caso eteroschedastico: si suppoe che la variaza sia diversa elle due popolazioi. Statistica-test: x 1 x z = = s 1 + s = Metodo del livello di sigificatività: I questo caso, vista la umerosità del campioe il valore della statistica-test si cofrota co il valore critico della variabile Normale z*= Decisioe statistica: poiché z > z, si rifiuta l ipotesi ulla che la vedita di libri gialli sia la stessa elle due regioi, a favore dell alterativa per cui è maggiore ella prima regioe. Metodo del p-value: Il p-value (o valore P) si trova cofrotado il valore della statistica-test co i valori critici della distribuzioe Normale. Guardado la tavola dei valori critici, troviamo che per u valore critico pari a 3.91 (ossia be iferiore rispetto alla ostra statistica-test), il p-value è di , ossia molto piccolo. Di cosegueza, si rifiuta l ipotesi ulla che che la vedita di libri gialli sia la stessa elle due regioi, a favore dell alterativa per cui è maggiore ella prima regioe. ***Riferimeto sul libro: cfr. cap. 17, Cofroto delle medie di due popolazioi e par. segueti*** 4

5 ESERCIZIO 5 I u modello di regressioe lieare che mette i relazioe due gradezze biometriche di u campioe 1 di 4 soggetti, la covariaza tra x e y, ( xi x)( yi y), è pari a 41, la deviaza di x, 1 i1 i1 ( x i x), è pari a 506 e la variaza di y è pari 704. Calcolare il coefficiete agolare della retta di regressioe lieare e la misura sulla botà dell adattameto. Retta di regressioe co il metodo dei miimi quadrati: y = a + bx Coefficiete agolare (pedeza della retta): b = r s y = 1 (X X )(Y Y ) s x 1 s = =.1 x 3 Misura sulla botà dell adattameto (idice di determiazioe lieare), o r-quadro: misura quata parte della variabilità ei valori di y è spiegata dalla retta di regressioe, e varia fra 0 e 1 (adattameto perfetto alla retta di regressioe). r = ( s xy s x s y ) = s xy s x s = y = Nota: l r-quadro si misura ache a partire dalle osservazioi predette e osservate tramite la seguete formula: r = (y i y ) (y i y ), ma i questo caso o si poteva applicare poiché macao le iformazioi relative al campioe di dati e ai valori predetti di y. ***Riferimeto sul libro: cfr. cap. 5, La retta di regressioe dei miimi quadrati e par. segueti*** 5

6 ESERCIZIO 6 a) La distribuzioe t di Studet: Preseta asimmetria positiva E approssimabile co ua ormale stadardizzata se il umero di gradi di libertà è elevato X Ha media sempre positiva No è sempre simmetrica La distribuzioe t di Studet è defiita su tutto l asse reale ed è simmetrica, come la Normale, però ha code più pesati (è più dispersa). Al crescere del umero dei gradi di libertà, le code si schiacciao e la forma della distribuzioe diviee sempre più similare ad ua Normale. ***Riferimeto sul libro: cfr. cap. 16, Le distribuzioi t*** b) Se i u test a due code sulla media di ua variabile X l ipotesi ulla viee rifiutata per u livello di sigificatività pari al 5%, cosa accade aumetado il livello al 10%? L ipotesi è rifiutata X L ipotesi è accettata Dipede dalla dimesioe del campioe E ecessario calcolare di uovo la statistica test Se rifiutiamo l ipotesi, siamo ella regioe di rifiuto. Il test co livello di sigificatività al 10% ha ua regioe di rifiuto che comprede la regioe dato che il valore calcolato della statistica test è sempre lo stesso, essa si troverà sempre ella regioe di rifiuto. ***Riferimeto sul libro: cfr. cap. 14*** 6