Caratterizzazione dei consumi energetici (parte I)

Transcript

1 ESERCITAZIONE Caratterizzazioe dei cosumi eergetici (parte I). Regresoe elemeti di aali statistica Perché abbiamo bisog di elemeti di statistica? Quado aalizziamo dei dati di cosumo eergetico il stro obiettivo è trarre cocluoi di carattere geerale a partire da iemi limitati di dati, facedo u estrapolazioe dal campioe all itera popolazioe ( parla di ifereza statistica). Nel fare questo bisoga stare atteti a fare delle operazioi improprie da u puto di vista statistico. La popolazioe è ifiita, o comuque molto grade rispetto al umero di dati che da essa vego estratti. Qual è la popolazioe el stro caso? Coicide co le ifiite letture di cosumi e dei relativi eergy drivers che potrebbero essere fatte (es ua lettura ogi luedì alle 8, ua lettura ogi veerdì alle, ua lettura alle ore dell ultimo gior del mese, e così via); ogi lettura è u elemeto della popolazioe.. Regresoe lieare semplice E il caso più semplice chè più comue di regresoe. Riferiamoci al caso frequete i cui voglia rappresetare i cosumi i fuzioe di u certo eergy driver X. Assumiamo che a ua variabile casuale (i valori che assume riseto di ua certa variabilità), metre coderiamo X come variabile determiistica (ta seza icertezza, o al limite co u icertezza trascurabile rispetto a quella da cui è affetta )... Aali di correlazioe Prima di procedere al calcolo della retta di regresoe, è buoa rma effettuare l aali di correlazioe, per valutare se abbia seso ipotizzare ua relazioe di tipo lieare tra le due variabili. La rappresetazioe dei dati sul pia X- (diagramma di disperoe) è u primo strumeto, di tipo qualitativo; ua valutazioe quatitativa della presuta relazioe lieare tra la variabile X e la variabile può ivece essere fatta co lo strumeto statistico coefficiete di correlazioe di Pearso r. Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi 9

2 Caratterizzazioe dei cosumi eergetici (parte I) Il coefficiete di correlazioe r forisce ua misura di quato i valori assuti dalla variabile dipedete dipeda i modo lieare da quelli assuti dalla variabile idipedete X. Di cosegueza, è ache u idicazioe sulla disperoe dei puti rispetto alla retta di iterpolazioe. Esso è ua gradezza adimeale, compresa ell itervallo [-, +]. I due valori estremi dell itervallo, - e +, corrispodo ad ua relazioe lieare perfetta tra le due variabili. Viceversa, ua tuazioe i cui r = gifica che este ua relazioe di tipo lieare tra X e ; ciò implica che le variabili a idipedeti (potrebbe estere ua relazioe lieare, ad esempio quadratica). Ifatti, metre el liguaggio comue il termie correlazioe idica u geerico legame, el liguaggio statistico fa escluvamete riferimeto ad ua relazioe di tipo lieare. y y x x r =,6 r = X X y y x x r = X r = - X Tato più è elevato il modulo di r, tato più la variabile dipede i modo lieare dalla variabile X. Il seg di r riferisce ivece alla pedeza della retta di iterpolazioe r egativo gifica retta decrescete (all aumetare di X, dimiuisce); r potivo gifica retta crescete (all aumetare di X, aumeta). Il coefficiete di correlazioe r, calcolato sulla base dei dati dispoibili, è ua stima del corrispodete parametro della popolazioe (icogito), idicato co ρ. N.B. Valori di r calcolati a partire da iemi di dati diver forisco, i geerale, diverse stime del parametro ρ, che sarà sempre icogito. Si suppoga di aver otteuto u valore piuttosto alto di r come iterpretarlo? Potrebbe essere tomo di ua realtà i cui davvero la variabile X iflueza la, oppure l elevata correlazioe osservata ei dati potrebbe essere u caso (i realtà la variabile X e la variabile correla affatto a livello di popolazioe). Chi ci ascura che a stato otteuto per puro caso, visto che l ieme dei dati sperimetali utilizzati è solo u sottoieme di tutti i dati sperimetali che sarebbe posbile estrarre per rappresetare la stessa realtà? Per poter dare ua risposta è ecessario valutare la gificatività della correlazioe. Per farlo, calcola (tramite software statistici, es Miitab, ABStat, Dataplot, Excel, ecc. oppure tramite tavole statistiche - vedi Appedice C come calcolare il p-value sulla gificatività del coefficiete di correlazioe a pagia 9) il p-value associato all ipote ulla H ρ = cotro l ipote alterativa H ρ. I geerale, quala a l ipote ulla H che vuole testare, il p-value è la probabilità di rifiutare l ipote ulla H i favore dell ipote alterativa H quado. I ambito statistico, i parametri delle popolazioi vego idicati co le lettere greche (es. media µ, variaza σ, ecc), metre per le rispettive stime usa le lettere romae. Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi

3 Regresoe lieare semplice ivece H è vera. Tale probabilità è i sostaza il rischio di trarre ua cocluoe sbagliata, riteedo falsa H quado ivece è vera; se è sufficietemete piccolo è u rischio accettabile. Nella pratica rifiuta l ipote ulla a favore dell ipote alterativa se p value.5, cioè accetta u rischio superiore al 5%. Se p value.5 coclude che H è falsa (H è vera). Il livello di fiducia co cui fa tale affermazioe è pari a Livello di fiducia = pvalue Ad esempio, se p-value = 3.% allora il livello di fiducia è 96.8%. Passado dal caso geerale al caso particolare, il p-value sulla correlazioe rispode alla seguete domada se ella popolazioe ci fosse correlazioe, quale è la probabilità che altri elemeti estratti dalla popolazioe correli alme altrettato bee rispetto a quato è osservato ei dati dispoibili? Più il p-value è basso, più è remota la posbilità di otteere u elevato valore di r i corrispodeza di u basso ρ. La correlazioe viee riteuta gificativa quado il p-value è superiore al 5%. I caso di p value >.5 coclude che H può essere rigettata può escludere che la correlazioe esta, può escludere che il valore di r trovato valga solo per quell ieme di dati e per l itera popolazioe. Solo se coclude che la correlazioe tra la variabile X e la variabile è gificativa può passare alla determiazioe dell equazioe di regresoe. I te l aali di correlazioe dice i quale misura ua variabile possa essere predetta da u altra; l aali di regresoe dice quale a la relazioe... Aali di regresoe Sebbee la procedura cocettualmete corretta a quella di far precedere il calcolo della retta di regresoe dall aali di correlazioe (diagramma di disperoe + coefficiete di correlazioe), ella pratica può succedere che pas subito al calcolo dei coefficieti della retta. Ua volta otteuta ua stima dei parametri della retta di regresoe, è fodametale valutare l attedibilità dell equazioe trovata, cioè la botà rispetto agli puti sperimetali utilizzati, besì rispetto all itera popolazioe da cui so stati estratti. Ache i questo caso per valutare la gificatività dei parametri ricorre ai p-value. I primo luogo, determia il p-value associato all ipote ulla H β = cotro l ipote alterativa H β. Il p-value rispode alla seguete domada se H fosse vera, qual è la probabilità che l equazioe di regresoe lieare calcolata a partire da u altro ieme di dati sperimetali abbia ua pedeza alme altrettato diversa da zero rispetto a quella effettivamete osservata? Nel caso i cui il p-value a piccolo, rifiuta l ipote ulla perché è molto improbabile che essa a vera ed è quidi improbabile che l equazioe stimata a ua coicideza, dovuta al particolare campioameto. Nella pratica, il parametro β viee riteuto gificativamete diverso da zero (cioè rifiuta l ipote ulla) se p value.5. I caso cotrario può rifiutare l ipote ulla. Rifiutare ( rifiutare) l ipote ulla H β = ha ua forte implicazioe pratica gifica ammettere l esteza ( esteza) di ua relazioe lieare tra le variabili X ed. I particolare, rifiutare l ipote ulla H β = gifica affermare che la risposta dell esperimeto è effettivamete ifluezata dalla variabile idipedete X, e che quidi è corretto icluderla el modello. Nel caso i cui a rifiutata H β =, passa a valutare la gificatività statistica del secodo parametro, calcolado il p-value associato all ipote ulla H Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi

4 Caratterizzazioe dei cosumi eergetici (parte I) β = cotro l ipote alterativa H β. Il parametro β viee riteuto gificativamete diverso da zero (cioè rifiuta l ipote ulla) se p value.5. Rifiutare H β = gifica escludere, co u livello di fiducia pari a -pvalue che il valore vero dell itercetta (che rimarrà sempre icogito) a zero. La figura che segue riassume la procedura, demiata abbreviata perché è ipotizzato che a stata preceduta dall aali di correlazioe. Raccolta dati (x i, y i ), co i=,..., Calcolo della retta di regresoe Procedura abbreviata H β = p value.5? H β = p value.5? Stop este ua relazioe di tipo lieare tra X e Modello = b + b X NON può escludere che l itercetta a ulla Modello = b + b X Si può escludere che l itercetta a ulla Nel caso i cui, ivece, segua la procedura completa e l aali di correlazioe abbia eto potivo è posbile che verifichi il caso di p-value associato all ipote ulla H β = maggiore del 5%, perché esso coicide co il p-value associato all ipote ulla H ρ =. Ifatti, poiché etrambi i ca va a testare la dipedeza lieare di da X, i due test so equivaleti. La figura che segue schematizza i pas che devo essere seguiti per effettuare la caratterizzazioe di u stema i modo gificativo dal puto di vista statistico e i vari ca che posso presetar. Raccolta dati (x i, y i ), co i=,..., Diagramma di disperoe Procedura completa Calcolo del coefficiete di correlazioe r H ρ = Stop este ua p value.5? relazioe di tipo lieare tra X e Calcolo della retta di regresoe H β = p value.5? H β = p value.5? No è posbile che verifichi questo caso! Modello = b + b X NON può escludere che l itercetta a ulla Modello = b + b X Si può escludere che l itercetta a ulla I pacchetti statistici, accato ai valori dei coefficieti e dei relativi p-value, forisco ache il coefficiete di determiazioe R. R è il coefficiete di correlazioe tra risposta sperimetale e risposta attesa Ŷ (calcolata attraverso l equazioe). Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi

5 Regresoe lieare multipla è di facile iterpretazioe rappreseta la percetuale della variaza totale ella variabile che è spiegata dalla variabile X, cioè dalla regresoe. La parte redua è spiegata dal modello. Più i puti so vicii alla retta, più è grade la porzioe di variaza spiegata dalla regresoe rispetto a quella redua, quidi più R è grade meglio è. Si ritiee che la retta di regresoe dia ua buoa rappresetazioe dei dati sperimetali quado R 5 %. R R el caso di regresoe lieare semplice coicide co il quadrato ( r ) del coefficiete di correlazioe r calcolato i fase di aali di correlazioe..3 Regresoe lieare multipla So due i motivi per cui può ricorrere a ua regresoe lieare multipla. vuole trovare u equazioe che permetta ua miglior modellizzazioe della variabile rispetto a quello che cosete di fare u equazioe fuzioe di ua sola variabile idipedete X;. vuole esplorare la relazioe estete tra la e più poteziali variabili idipedeti X per idividuare quali variabili X iflueza gificativamete la. La regresoe lieare multipla può essere molto utile quado, el caso di misura cogiuta dei cosumi, voglia distiguere i diver cotributi. Ad esempio, se i u stabilimeto c è u solo misuratore dei cosumi elettrici, u aali di regresoe multipla può cosetire di distiguere i cosumi di eergia elettrica per forza motrice da quelli per termovetilazioe e da quelli per illumiazioe. Oppure, el caso di u solo misuratore dei cosumi di gas aturale, è posbile distiguere tra cosumi per uso riscaldameto e cosumi per u teclogici. O acora distizioe dei cotributi al cosumo da parte di aree di lavorazioe a teclogia diversa, ecc. La regresoe lieare multipla è u strumeto potete, ma può essere di difficile iterpretazioe. U primo problema è che i risultati so difficili da visualizzare graficamete. U altro problema è che la regresoe lieare multipla assume, oltre al fatto che le relazioi tra le variabili X j e la variabile a lieari, che essua delle variabili X dipeda i modo lieare dalle altre. Quado alcue delle poteziali variabili X so correlate tra di loro cotego iformazioi ridodati; parla di multicolliearità. Bisoga icludere el modello solo la migliore ed elimiare le altre..3. Aali di correlazioe Nel caso di regresoe multipla, l aali di correlazioe fa calcolado i coefficieti di correlazioe per ogi coppia di variabili (, X j ), chè tra ogi coppia di presute variabili idipedeti (X j, X k ). Tali valori vego stemati ella coddetta matrice di correlazioe. Matrice di correlazioe r,x r,x r,x3 r,x4 r,x5 X r X, r X,X r X,X3 r X,X4 r X,X5 X r X, r X,X r X,X3 r X,X4 r X,X5 X3 r X3, r X3,X r X3,X r X3,X4 r X3,X5 X4 r X4, r X4,X r X4,X r X4,X3 r X4,X5 X5 r X5, r X5,X r X5,X r X5,X3 r X5,X4 X X X3 X4 X5 La matrice di correlazioe ha le segueti proprietà Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi 3

6 Caratterizzazioe dei cosumi eergetici (parte I) la diagoale è formata da (ifatti gli elemeti diagoali cotego il coefficiete di correlazioe tra ua variabile e se stessa, che è uitario); è ua matrice mmetrica (ifatti gli coicido co gli ). r Xk, Xj r Xj, Xk Per queste ragioi, solitamete se e costruisce solo la parte triagolare iferiore. Matrice di correlazioe X r X, X r X, r X,X X3 r X3, r X3,X r X3,X X4 r X4, r X4,X r X4,X r X4,X3 X5 r X5, r X5,X r X5,X r X5,X3 r X5,X4 X X X3 X4 Si calcola i p-value dei coefficieti di correlazioe tra la e le differeti X j (prima coloa). Matrice di correlazioe X r X, X r X, r X,X X3 r X3, r X3,X r X3,X X4 r X4, r X4,X r X4,X r X4,X3 X5 r X5, r X5,X r X5,X r X5,X3 r X5,X4 X X X3 X4 Si elimia tutte le variabili aveti p-value superiori al 5%, perchè - co u rischio pari a p-value - può riteere che tra esse e i cosumi esta u legame di tipo lieare. Ad esempio X e X 4. Matrice di correlazioe X r X, X r X, r X,X X3 r X3, r X3,X r X3,X X4 r X4, r X4,X r X4,X r X4,X3 X5 r X5, r X5,X r X5,X r X5,X3 r X5,X4 X X X3 X4 Prima di icludere el modello le variabili aveti correlazioe gificativa co i cosumi (ell esempio X, X 3 e X 5 ), occorre verificare che ci a multicolliearità. Per far questo è ecessario calcolare i coefficieti di correlazioe tra tutte le posbili coppie di variabili X (ell esempio r X3, X, r X5, X e r X5, X3 ). U idizio di multicolliearità è il fatto che il coefficiete di correlazioe calcolato tra due variabili presute idipedeti a superiore al coefficiete di correlazioe di ciascua di esse rispetto al cosumo di eergia, ma per verificare co più attedibilità se ci a multicolliearità oppure bisoga verificare la gificatività della correlazioe tra coppie di variabili, calcolado i p-value. Alcui pacchetti statistici la segala i modo esplicito. Alla fie, arriva al sottoieme di variabili da icludere el modello (es X 3 e X 5, ell ipote che a stata segalata multicolliearità tra X e X 3, e che la correlazioe tra X 3 e i cosumi a più forte di quella tra X e ). 4 Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi

7 Regresoe lieare multipla.3. Aali di regresoe Date u + serie di valori X X X u x x... x u y x x... x u y x 3 x 3... x 3u y x -, x -,... x -,u y - x x... x u y può ricavare ua stima Ŷ = b + b X + b X + + b u X u dell equazioe di regresoe = β + β X + β X + + β u X u + ε applicado il metodo dei miimi quadrati, cioè miimizzado la somma dei quadrati degli errori casuali ε i = i Ŷ i, che so la differeza tra valori effettivi e valori previsti della variabile. Co b, b,, b u so idicate le stime dei rispettivi parametri β e posso essere calcolati maualmete co il procedimeto matriciale o, molto più agevolmete, impiegado strumeti di calcolo quali Excel o pacchetti statistici. Se è stata effettuata l aali di correlazioe, dopo aver determiato i coefficieti, bisoga effettuare l aali di gificatività per ciascu di es. Per ogi variabile X j calcola il p-value associato all ipote ulla H β j = cotro l ipote alterativa H β j. Ogi p-value tiee coto dell effetto della j-ema variabile, dato l effetto delle altre; per ua variabile, avere u basso p-value gifica essere resposabile di ua quota gificativa della variaza. Sara iglobate el modello solo le variabili che soddisfi multaeamete le codizioi p value.5 ; correlate tra loro. Le altre sara elimiate. La figura che segue illustra il modo di procedere quado vi a due poteziali variabili idipedeti X. Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi 5

8 Caratterizzazioe dei cosumi eergetici (parte I) Raccolta dati (x i, x i, y i ), co i=,..., Calcolo dell equazioe di regresoe Procedura abbreviata H β = p value.5? H β = p value.5? Stop este ua relazioe di tipo lieare tra X e, è tra X e H β = p value.5? H β = p value.5? H β = p value.5? Modello = b + b X Si può escludere che l itercetta a ulla Modello = b + b X NON può escludere che l itercetta a ulla Modello = b + b X + b X Si può escludere che l itercetta a ulla Modello = b + b X + b X NON può escludere che l itercetta a ulla H β = p value.5? Modello = b + b X Si può escludere che l itercetta a ulla Modello = b + b X NON può escludere che l itercetta a ulla Se, viceversa, è stata prelimiarmete effettuata l aali di correlazioe, c è più bisog di valutare il p-value per i. Bisoga comuque valutare la gificatività di. β β j Raccolta dati (x i, x i, y i ), co i=,..., Calcolo della matrice di correlazioe H ρ, X = p value.5? H ρ, X = p value.5? Calcolo dell equazioe di regresoe Procedura completa Stop este ua relazioe di tipo lieare tra X e, è tra X e H ρ, X = p value.5? Calcolo dell equazioe di regresoe H β = p value.5? Calcolo dell equazioe di regresoe H β = p value.5? Modello = b + b X + b X Si può escludere che l itercetta a ulla Modello = b + b X + b X NON può escludere che l itercetta a ulla Modello = b + b X Si può escludere che l itercetta a ulla Modello = b + b X NON può escludere che l itercetta a ulla H β = p value.5? Modello = b + b X Si può escludere che l itercetta a ulla Modello = b + b X NON può escludere che l itercetta a ulla Nel caso di regresoe multipla, R è la frazioe della variaza complesva di spiegata dall ieme di tutte le X (c è u R per l itera regresoe, per ogi gola X). N.B. Il coefficiete di determiazioe coicide co il coefficiete di correlazioe tra valori effettivi e valori atte. y i R ŷ i 6 Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi

9 Esempi di variabili idipedeti.4 Esempi di variabili idipedeti Quali so gli eergy drivers più comuemete impiegati i fase di caratterizzazioe eergetica? Dipede dal tipo di cosumi e di stema che sta aalizzado. Vediamo alcui esempi eergia elettrica per forza motrice oppure eergia termica per u di processo produzioe, giori lavorati, turi lavorati; eergia elettrica per illumiazioe giori lavorati, turi lavorati, variazioe ore buio (VOB); eergia termica ad uso riscaldameto gradi gior. Nel caso i cui l azieda produca u solo tipo di prodotto o prodotti diver aveti cosumi eergetici mili, la determiazioe della produzioe è semplice. A secoda del tipo di prodotto può essere espressa i uità, i toellate, i m 3, ecc. riferiti all uità di tempo coderata (settimaa, mese). I caso cotrario, poiché prodotti diver accompaga a cosumi eergetici diver, può fare ua semplice somma. Ua posbilità è usare come eergy driver il umero di pezzi equivaleti; per determiare il umero di pezzi equivaleti bisoga attribuire dei pe eergetici alle diverse tipologie di pezzi (qualora a ti). Oppure, può itrodurre ua variabile idipedete X per ogi tipo di prodotto. I giori lavorati e i turi lavorati rappreseta due poteziali variabili per caratterizzare cosumi che dipeda dalla durata dell attività lavorativa. C è ua forte probabilità che a correlate (attezioe alla multicolliearità). Le ore buio so u parametro che tiee coto del fabbisog di illumiazioe. Le ore buio di ua giorata so defiite come 4h me la differeza tra l ora del tramoto e l ora dell alba. Le ore buio di u mese so defiite covezioalmete come 4h me la differeza media el mese tra l ora del tramoto e l ora dell alba. Posso essere calcolate i modo preciso se dispoe di questi dati (magari proveieti da u vici istituto meteorologico), altrimeti bisoga rifar a valori di riferimeto (da archivi storici). Spesso, al posto delle ore buio usa la variazioe di ore buio, pari alla differeza tra ore buio del periodo coderato e il valore miimo riscotrabile ell a. Nella tabella che segue è riportato u esempio. geaio febbraio marzo aprile maggio giug luglio agosto settembre ottobre vembre dicembre Ore Buio 4,8 3,6,,5 9, 8,4 8,8,7 3, 4,5 5,3 Variazioe Ore Buio 6,4 5, 3,7,,7,4,6 3,3 4,8 6, 6,9 I gradi gior, i te, so la sommatoria estesa a tutti giori che compogo il periodo coderato delle sole differeze potive tra la temperatura itera e la temperatura estera media gioraliera. Si tratta evidetemete di ua gradezza che presta bee a rappresetare il fabbisog di eergia termica ad uso riscaldameto.. E la quota di eergia elettrica utilizzata direttamete dal processo produttivo, depurata quidi delle quote impiegate per termovetilazioe, illumiazioe, servizi, ecc. Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi 7

10 Caratterizzazioe dei cosumi eergetici (parte I).5 Appedice A come calcolare il coefficiete di correlazioe Date due variabili casuali X e 3, defiisce coefficiete di correlazioe ρ il rapporto tra la covariaza delle due variabili e il prodotto delle rispettive deviazioi stadard ρ = cov[ X, ]. (.) σ X σ Ua stima del coefficiete di correlazioe ρ può essere determiata a partire da coppie di valori ( x i, y i ), stimado ciascua delle gradezze da cui esso dipede. Ifatti, date due serie di valori X x y x y x 3 y x - y - x y ha ρˆ = r = ˆ cov [ X, ] s X s (.) dove e idica le deviazioi stadard campioarie. s X s I particolare ˆ cov [ X, ] ( x i x) ( y i y) i = = = i = x i y i x y (.3) ( x i x) ( y i y) s X = i =, s. (.4) = i = Le medie campioarie valgo rispettivamete x i = x i i = y i = , y = (.5) 3. Co le lettere maiuscole idica le variabili, metre co le miuscole idica le determiazioi delle variabili, cioè valori effettivamete riscotrati. 8 Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi

11 Appedice B come calcolare i coefficieti el caso di regresoe lieare semplice.6 Appedice B come calcolare i coefficieti el caso di regresoe lieare semplice Si coderi due serie di valori X x y x y x 3 y x - y - x y Per mezzo di questi puti sperimetali ( x i, y i ) può ricavare ua stima Ŷ = b + b X della retta di regresoe = β + β X + ε applicado il metodo dei miimi quadrati. b e b so le stime rispettivamete dei parametri β e β e calcola el modo seguete b i = ( x i x) ( y i y) = = i = ( x i x) i = x i y i x y i = x i x (.6) b = y b x. (.7) Osservazioe la retta di regresoe passa sempre per il baricetro ( x, y)..7 Appedice C come calcolare il p-value sulla gificatività del coefficiete di correlazioe Ipote ulla H ρ =. Ipote alterativa H ρ = (test bilaterale, ache detto a due code). Si calcola il valore della statistica test t calc = r r t calc è ua determiazioe di ua variabile casuale che segue la distribuzioe t di Studet co gradi di libertà (il valore dei gdl è il parametro della distribuzioe di Studet, così come media e variaza so i parametri della distribuzioe rmale). La distribuzioe t di Studet è mmetrica rispetto allo zero. Per determiare il p-value occorre utilizzare la tavola della distribuzioe cumulativa t di Studet (vedi Appedice F a pagia ) il p-value coicide co il valore di α tale che t =. Si osservi che il p-value è fuzioe della stima del, α -- t calc parametro sotto test ( r i questo caso), che ricava dagli dati sperimetali. (.8) Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi 9

12 Caratterizzazioe dei cosumi eergetici (parte I).8 Appedice D come calcolare il p-value sulla gificatività del coefficiete agolare Ipote ulla H β =. Ipote alterativa H β. Si calcola il valore della statistica test ε i b t calc = s i = ( x) x i dove s è ua stima della deviazioe stadard σ (icogita) degli errori casuali (.9) s = ( y i ŷ i ) i = (.) t calc è ua determiazioe di ua variabile casuale che segue la distribuzioe t di Studet co gradi di libertà. Il p-value coicide co il valore di α tale che t = (vedi tavole)., α -- t calc NB. Il test d ipote H β = è equivalete al test H ρ =..9 Appedice E come calcolare il p-value sulla gificatività dell itercetta Ipote ulla H β =. Ipote alterativa H β. Si calcola il valore della statistica test sui dati osservati b t calc = x s ( x) i = dove s è l espresoe riportata ell equazioe (.). x i (.) t calc è ua determiazioe di ua variabile casuale che segue la distribuzioe t di Studet co gradi di libertà. Il p-value è il valore di α tale che t α = t calc (vedi tavole)., -- Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi

13 Appedice F. Appedice F Tavola della distribuzioe cumulativa t di Studet i valori rappreseta t gdl,-alfa/ gradi di libertà -alfa/ Bibliografia [] Vicario G., Levi R. Calcolo delle probabilità e statistica per igegeri. Progetto Leoardo, Bologa, 998. [] http// biol46/. Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi

14 Caratterizzazioe dei cosumi eergetici (parte I). Appedice G uso di Excel Excel Strumeti-Aali dati-correlazioe (Tools-Data aalisys-correlatio) Iserire i dati, es Cosumi Variazioe Turi lavorati elettrici (kwh) ore buio Esempio di output per regresoe lieare multipla Cosumi elettrici (kwh) Turi lavorati Variazioe ore buio Cosumi elettrici (kwh) Turi lavorati Variazioe ore buio Excel Strumeti-Aali dati-regresoe (Tools-Data aalisys-regreso) Iserire i dati, es Cosumi di eergia termica (kwh) Produzioe (t) R = r r soloper regr. li.semp.) ˆ ( =, X, OUTPUT RIEPILOGO Esempio di output per regresoe lieare semplice R Statistica della regresoe R multiplo R al quadrato R al quadrato corretto Errore stadard Osservazioi ANALISI VARIANZA gdl SQ MQ F Sigificatività F Regresoe E Reduo Totale Coefficieti Errore stadard Stat t Valore di gificatività Iferiore 95% Superiore 95% Itercetta Variabile X b e b t calc per itercetta e coeff. ag. p-value per itercetta e coeff. ag. Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi

15 Esercizi. Esercizi DIPARTIMENTO DI ENERGETICA - POLITECNICO DI TORINO ESERCITAZIONE N. DI GESTIONE DEI SISTEMI ENERGETICI. Ua piccola idustria del Reg Uito utilizza u combustibile per produrre l eergia termica ecessaria per uso teclogico. Essa, el corso dell a, ha moitorato la produzioe mele allo scopo di mettere i relazioe i cosumi di eergia termica co ua variabile potezialmete i grado di spiegarli. Mese Produzioe (t) Cosumi di eergia termica (kwh) Ge Feb Mar Apr Mag 3 95 Giu Lug Ago Set Ott Nov Dic Totale Media a) Determiare il coefficiete di correlazioe tra cosumo di eergia termica e produzioe. b) Calcolare il p-value sulla gificatività del coefficiete di correlazioe e stabilire se le toellate prodotte rappreseti oppure ua buoa variabile per modellizzare i cosumi dell azieda. c) Calcolare i coefficieti dell equazioe di caratterizzazioe co il metodo dei miimi quadrati. d) Calcolare i p-value sulla gificatività di coefficiete agolare ed itercetta e spiegare il gificato. e) Svolgere l esercizio co Excel e fare u commeto riassutivo. kwh [a).76, b).4%, sì, c) Cosumo è æ, d) meseø ö Produzioe t = + æ ö èmeseø.4%,.4%]. La tabella che segue riferisce ad u stabilimeto i cui, el corso del, so moitorati i cosumi di eergia elettrica ad uso illumiazioe. Essa riporta ache il umero di turi lavorati e la variazioe di ore buio (VOB) i u mese. Periodo Cosumi elettrici (kwh) Turi lavorati Variazioe ore buio Ja Feb Mar Apr May Ju Jul Aug Sep Oct Nov Dec a) Calcolare la matrice di correlazioe. Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi 3

16 Caratterizzazioe dei cosumi eergetici (parte I) b) Il modello che l azieda decide di adottare è il seguete, otteuto co il metodo dei miimi quadrati kwh Cosumo per illumiazioe è æ meseø ö = Turi VOB Dire se la scelta dell azieda è corretta, sfruttado le iformazioi che ricava della seguete fiestra di output di pacchetto statistico e teedo presete che il p- value sulla gificatività della correlazioe tra Turi e VOB è 54.3%. OUTPUT RIEPILOGO Statistica della regresoe R multiplo R al quadrato Osservazioi Coefficieti Valore di gificatività Itercetta Turi lavorati Variazioe ore buio c) Eseguire l esercizio co Excel e fare u commeto riassutivo. [a) b) Sì] Turi lavorati (X).84 VOB (X).5. Cosumi elettrici () Turi lavorati (X) 4 Gestioe dei Sistemi Eergetici - Esercitazioi