Parametri e statistiche. Parametri e statistiche. Distribuzioni campionarie. Popolazione Parametri Valori fissi, Statistiche o Stimatori.

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1 Parametri e statistiche Popolazioe Parametri Valori fissi, spesso o oti Campioe Statistiche o Stimatori Variabili casuali, le cui determiazioi dipedoo dalle particolari osservazioi scelte Parametri e statistiche Distribuzioi campioarie Parametri: valori caratteristici della popolazioe Statistiche o v.c. campioarie o stimatori o statistiche test: fuzioi delle osservazioi campioarie Statistica calcolata o stima: umero otteuto applicado la statistica al campioe osservato Distribuzioe campioaria: valori che la statistica assume al variare del campioe ell uiverso campioario Le coclusioi ifereziali, basate sull uico campioe osservato, devoo essere giudicate sulla base della distribuzioe di probabilità dei possibili campioi che potevao essere geerati e dei quali quello osservato costituisce ua realizzazioe particolare.

2 Si suppoe che la popolazioe, seppur icogita, si distribuisca secodo ua legge di probabilità completamete caratterizzata sa u parametro θ o da u isieme di parametri. putuale Per stimare uo stesso parametro si possoo usare più statistiche (più stimatori oguo delle quali forisce valori poteziali per il parametro. Sulla base di u campioe casuale X, X,, X si vuole trovare u valore o u isieme di valori per θ che siao la migliore approssimazioe possibile del valore icogito della popolazioe. per itervalli Si cerca u itervallo che ha ua particolare cofideza o probabilità di icludere il parametro della popolazioe ( θ t P t < < = Livello di cofideza putuale Occorre defiire delle regole i base alle quali si possa discrimiare tra stimatori alterativi:. Proporre stimatori aturali. Determiare la probabilità co cui uo stimatore tede a produrre stime diverse da θ Proprietà degli stimatori putuale: la correttezza Uo stimatore t è uo stimatore corretto del parametro θ se: E( X = µ E ( ˆ = E ( t X S = i= ( X i X ˆ = θ è uo stimatore corretto di µ è uo stimatore distorto di è uo stimatore corretto di

3 putuale Ache se lo stimatore preseta proprietà ottimali, ua volta otteuto il campioe le stime difficilmete coiciderao co il parametro icogito A parità di stimatore, campioi diversi coducoo a stime diverse Il valore umerico della sigola stima o forisce iformazioi sul probabile campo di variazioe delle stime del parametro L itervallo di cofideza per la media della popolazioe Popolazioe X N ( µ ; P ( t t < µ < = Stimatore di µ media campioaria µ t t X ~ N µ, Stima per itervalli -Z / 0 Z / µ ~ N 0, X L itervallo di cofideza per la media della popolazioe Popolazioe X N ( µ ; < µ < = P( t t Stimatore di µ media campioaria P ( t < µ < t = = P( z < Z < z P µ z X µ + z = X µ P z < < z = X µ Z = PX z µ X + z = L itervallo di cofideza per la media della popolazioe P µ z X µ + z = X µ P z < < z Ua macchia produce bulloi il cui peso ha distribuzioe Normale co media µ=63 grammi e variaza =0,8. Scegliedo a caso 8 bulloi, qual è l itervallo che co probabilità 0,95 comprederà la loro media? 0,89 0,89 P 63,96 X 63 +,96 = 0, P 63 0,6 X ,6 = 0,95 ( X P 6,38 63,6 = 0,95 = PX z µ X + z = Ua macchia produce bulloi il cui peso ha distribuzioe Normale co media µ=icogita e variaza =0,8. Scelti a caso 8 bulloi, il loro peso medio è risultato pari a 6,6 grammi. Qual è l itervallo che, co probabilità 0,95, cotiee il parametri icogito µ? 0,89 0,89 P 6,6,96 µ 6,6 +,96 = 0, P 6,6 0,6 µ 6,6 + 0,6 = 0,95 P 6,98 µ 63, = 0,95

4 L itervallo di cofideza per la media della popolazioe L itervallo di cofideza per la media della popolazioe P X z < µ < X + z = Dopo aver estratto il campioe ( x, x, K x : P x z < µ < x + z = Quado il parametro µ della popolazioe è icogito, il miglior modo per stimarlo è utilizzare la media campioaria. Quado la umerosità campioaria è sufficietemete elevata si ha: X N µ ; Per - = 68% Per - = 95% Per - = 99% z =,00 z =,96 z =,58 E quidi possibile dire che, co probabilità -, l itervallo: x m z cotiee il parametro icogito µ. L itervallo di cofideza per la media della popolazioe L itervallo di cofideza per la media della popolazioe Si suppoga di aver estratto 0 campioi di 36 uità da ua popolazioe ormale co media µ=0 e variaza pari a 36. Per oguo di questi campioi si è calcolata la media campioaria e l itervallo di cofideza al 95%. Estremi dell itervallo: a = X,96 b = X +,96 Campioe X Estremo iferiore a Estremo superiore b a, b, media campioaria Numero del campioe NO µ

5 L altezza delle matricole uiversitarie di sesso maschile può essere cosiderata ua variabile co distribuzioe Normale, co media icogita e variaza pari a 0,66. Per stimare l altezza media si estrae u campioe casuale di 58 matricole e si misura l altezza media, che risulta pari a 75,4 cm. Si defiisca l itervallo che, ad u livello di fiducia del 90, del 95 e del 99 per ceto cotega il parametro icogito della popolazioe. X~ N ( µ ; 0,66 58 = x = 75,4cm 0,90 = 0,95 0,99 L altezza delle matricole uiversitarie di sesso maschile può essere cosiderata ua variabile co distribuzioe Normale, co media icogita e variaza pari a 0,66. Per stimare l altezza media si estrae u campioe casuale di 58 matricole e si misura l altezza media, che risulta pari a 75,4 cm. Si defiisca l itervallo che, ad u livello di fiducia del 90, del 95 e del 99 per ceto cotega il parametro icogito della popolazioe. X~ N ( µ ; 0,66 58 = x = 75,4cm 0,90 = 0,95 0,99 3,65 3,65 P 75,4,64 µ 75,4 +,64 = 0, P 75,4 0,705 µ 75,4 + 0,705 = 0,90 P 74,7 µ 76, = 0,90 x m 0,705 3,65 3,65 P 75,4,96 µ 75, 4 +,96 = 0, P 75,4 0,840 µ 75,4 + 0,840 = 0,95 P 74,6 µ 76, = 0,95 x m 0,840 3,65 3,65 P 75,4,58 µ 75,4 +,58 = 0, P 75,4,06 µ 75,4 +,06 = 0,99 P 74,3 µ 76,5 = 0,99 x m,06 per itervalli per itervalli > 30? NO X N? SI SI NO? della media co distribuzioe ota e variaza icogita ( µ X~ N ; µ X X µ ~ t = x x i = i X m k P X tz µ µ X + Xz + t 0,95 ;( 0,95= ;( = x m z oto? SI NO x m t La distribuzioe t di Studet f(x La fuzioe di desità della v.c. di Studet è sempre simmetrica, co valore medio pari a 0, ed assume ua forma molto simile a quello della Normale stadardizzata alla quale tede assai velocemete al crescere dei gradi di libertà. E ( X = 0 ; Var ( X = µ X Per valori di piccoli o moderati, la v.c. di Studet si caratterizza per ua curtosi leggermete più elevata e per code più pesati della v.c. Normale.

6 per itervalli della media co distribuzioe ota e variaza icogita Esempio ( µ X~ N ; µ X L altezza delle matricole uiversitarie di sesso maschile può essere cosiderata ua variabile co distribuzioe Normale, co media e variaza icogite. Per stimare l altezza media si estrae u campioe casuale di 8 matricole e si misura l altezza media, che risulta pari a 75,4 cm, co sqm campioario corretto pari a 4,4 cm. Si defiisca l itervallo che, ad u livello di fiducia del 95% cotega il parametro icogito della popolazioe. ( X µ ~ t = x x i = i X~ N µ ; = 8 x = 75,4cm = 4,4cm = 0,95 X m k P 73, µ 77,6 = 0,95 4,4 75, 4 m, 75, 4 m,9 8 73, 77,6 X m k P X t µ X + t 0,95 ;( = ;( t 0,05;7 =,0 U'azieda che imbottiglia ua bibita gassata vuole idagare sulla forza della pressioe itera della bibita presete i ua lattia. Suppoedo che la forza della pressioe sia ua v.c. co s.q.m. 8psi, si cosideri u campioe casuale di 0 lattie co pressioe media pari a 35psi. Si determii u itervallo di cofideza al 95% per la pressioe media delle lattie prodotte dall'azieda el caso i cui il valore della pressioe possa essere cosiderato distribuito ormalmete. per itervalli X~ N(?; 8 =8 x = 35 =0 -=0,95 z =, m,96 0,73;45,7 [ ] Si cerca u itervallo che ha ua particolare cofideza o probabilità di icludere il parametro della popolazioe ( θ t P t < < = Livello di cofideza ldf=90% ldf=95% ldf=99% z=,64 z=,96 z=,33

7 V.C. Proporzioe campioaria X B ( ; ( : umero di successi i prove ( X B ; : proporzioe di successi i prove proporzioe di successi ella popolazioe p proporzioe di successi i u campioe di ampiezza P: v.c proporzioe campioaria P N ; ( P - Z= N 0; ( per itervalli La proporzioe di successi ella popolazioe X B ; Popolazioe: P t < < t = ( Stim atore di proporzioe cam pioaria P P N ; ( P - Z= N 0; ( per itervalli La proporzioe di successi ella popolazioe Z = ( < < = = ( < < P t t P z Z z ( ( P P z < < P + z = Dopo aver estratto il campioe ( x, x, K popolazioe il suo stimatore p: x P ( e sostituedo al parametro igoto della ( ( p p p p P p z < < p + z = per itervalli La proporzioe di successi ella popolazioe Quado il parametro della popolazioe è icogito, il miglior modo per stimarlo è utilizzare la proporzioe campioaria. Quado la umerosità campioaria è sufficietemete elevata si ha: E quidi possibile dire che, co probabilità -, l itervallo: cotiee il parametro icogito. P N ; ( ( ( p p p p P p z < < p + z =

8 di ua proporzioe Da u idagie codotta su u campioe casuale di 80 matricole uiversitarie è risultato che il 36% si dichiara isoddisfatto della uova Riforma. Qual è l itervallo che, ad u livello di fiducia del 95%, comprede il parametro icogito della popolazioe? di ua proporzioe Da u idagie codotta su u campioe casuale di 80 matricole uiversitarie è risultato che il 36% si dichiara isoddisfatto della uova Riforma. Qual è l itervallo che, ad u livello di fiducia del 95%, comprede il parametro icogito della popolazioe? Parametro: E ( p = Var ( p (Proporzioe ella popolazioe ; Stimatore: p (Proporzioe campioaria = ( =80 p=0,36 - = 0,95 p ~ N ; =,96 ( Per campioi gradi p ( ( P z z = Pp z p + z = ( 0,36 0,36 0,36 0,36 P0,36,96 0,36 +,96 = 0, z P ( 0,36 0,056 0,36 0,056 0,95 P ( + = 0,303 0, 46 = 0,95 U riveditore di automobili vorrebbe stimare la proporzioe di clieti che posseggoo acora l'automobile acquistata cique ai prima. Dai registri del riveditore si selezioa u campioe casuale di 00 clieti, di cui 8 posseggoo acora l'automobile acquistata cique ai prima. Si defiisca ua stima per itervalli per la proporzioe ella popolazioe ad u livello di cofideza del 95%. =00 -=0,95 =, 96 8 = = 0,4 00 z p 0,4* ( 0,4 0,4m,96 00 [ 0,348 ; 0,478]

9 La umerosità campioaria La umerosità campioaria Quado il parametro µ della popolazioe è icogito, il miglior modo per stimarlo è utilizzare la media campioaria. x m z Popolazioe N È l isieme fiito o ifiito di uità, defiito ei coteuti, ello spazio e el tempo, oggetto dell idagie statistica V Parametro della popolazioe (icogito = v Stima del campioe Valore legato al livello di fiducia desiderato ± ε Errore di campioameto z Campioe È costituito da u certo umero di uità, estratte co qualche procedimeto da ua popolazioe, al fie di rappresetarla quato ai caratteri oggetto di studio La umerosità ottima di u campioe è quella che cosete di otteere gli obiettivi dell idagie al miimo costo e sarà il umero miimo i base al quale le stime raggiugerao il livello di attedibilità atteso. (L. Fabbris: L idagie campioaria - NIS Ua riflessioe Dove e come studiare Campioe casuale E u campioe estratto da ua popolazioe i cui tutte le uità hao probabilità o ulla di essere estratte. S. Borra, A. Di Ciaccio (004 Statistica Metodologie per le scieze ecoomiche e sociali McGraw-Hill. Cap. (escluso paragrafi.4,.5,.9, Cap. (escluso paragrafo.6. U campioe è rappresetativo U campioe grade quado è estratto i modo casuale (e o quado è grade!. è associato ad u miore errore delle stime. D. Piccolo (004 Statistica per le decisioi Il Mulio. Cap. 3 (escluso paragrafi 3.3, 3.4,3.5, 3.6, 3.7, 3.8, Cap. 5 (escluso paragrafi 5.4, 5.5, 5.6. F. Parpiel, C. Provasi (004 Elemeti di probabilità e statistica per le Scieze Ecoomiche Giappichelli editore. Cap. 6 (escluso paragrafi 6.., 6.., Quidi ma la cosa migliore è avere u campioe grade scelto i modo casuale ; è molto meglio avere u campioe piccolo estratto i modo casuale che u campioe grade estratto a casaccio. File esercizi itervalli di cofideza.pdf

10 Riepilogo Popolazioe e campioe putuale Le proprietà degli stimatori Itervallo di cofideza per la media Itervallo di cofideza per la proporzioe