Inferenza statistica. Popolazione. Camp. Statistiche campionarie basate sulle osservazioni del campione. Estrazione casuale. Parametro e statistica

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1 6/0/0 Corso di Statistica per l impresa Prof. A. D Agostio Ifereza statistica Per fare ifereza statistica si utilizzao le iformazioi raccolte su u campioe per cooscere parametri icogiti della popolazioe Popolazioe Caratteristiche della popolazioe = Parametri icogiti (ad es. il fatturato medio di ua categoria di imprese o la proporzioe di imprese che hao otteuto la certificazioe ISO) Ifereza parametrica Processo iduttivo di stima di u parametro, soggetto a icertezza perché basato su iformazioe parziale (quella coteuta el campioe) La stima prodotta è soggetta ad errore (errore campioario) stima = parametro ± errore Estrazioe casuale Camp. Statistiche campioarie basate sulle osservazioi del campioe media del campioe = media della popolazioe ± errore proporzioe del campioe = proporzioe della pop. ± errore 3 Estrazioe del campioe Il modo i cui il campioe viee estratto è importate per teere sotto cotrollo l errore e per produrre ua valida ifereza Il campioe deve essere rappresetativo della popolazioe Se u dato sottogruppo della popolazioe è sovra(sotto)rappresetato el campioe, le stime sarao distorte U campioe probabilistico garatisce cotro possibili distorsioi Parametro e statistica Parametro costate o ota della popolazioe, gradezza caratteristica oggetto di ifereza (media, variaza e proporzioe della popolazioe) Statistica fuzioe delle osservazioi campioarie utilizzata per stimare il parametro icogito (media, variaza e proporzioe campioarie) Popolazioe Popolazioe fiita: isieme di uità (es.: tutte le aziede italiae produttrici di latte, tutte le famiglie resideti i Campaia, tutti i dipedeti di u azieda, tutti gli studeti di ua scuola, ) Popolazioe ifiita: isieme di tutte le uità potezialmete osservabili (es.: tutti i bei che u processo produttivo è i grado di produrre el lugo periodo) 5 6

2 6/0/0 Parametri di ua popolazioe fiita Es. per la popolazioe delle aziede produttrici di latte: media μ e variaza σ degli ivestimeti aui, proporzioe π di aziede che soo SpA T i x i xi i x i è l ivestimeto della i-esima azieda T è il umero di aziede la cui forma giuridica è SpA Parametri di ua popolazioe ifiita Il carattere di iteresse è rappresetato da ua v.c. X (es: si assume che il fatturato di ua popolazioe di aziede segua ua distribuzioe ormale) X ~ ; I parametri da stimare soo media e variaza di X E(X) xf(x) dx V(X) x f(x) dx Per X v.c. cotiua E(X) K j V(X) x p(x j j) K x j j Per X v.c. discreta p(x ) j Campioameto da popolazioe fiita Campioameto casuale semplice Campioameto casuale stratificato Campioameto casuale a grappoli e a stadi Campioameto casuale semplice simula l estrazioe casuale di uità da u ura (l itera popolazioe) coteete uità richiede la coosceza e la reperibilità delle uità della popolazioe tutti i campioi di dimesioe hao uguale probabilità di essere estratti Estrazioe co ripetizioe L elemeto estratto viee successivamete reiserito ell ura e può quidi essere estratto uovamete Le estrazioi soo idipedeti La composizioe dell ura rimae immutata La probabilità di estrarre u elemeto è sempre costate Estrarre u campioe co ripetizioe da ua popolazioe fiita equivale a campioare da ua popolazioe ifiita (la popolazioe è iesauribile) Estrazioe seza ripetizioe Ua volta estratto, u elemeto o viee più reiserito ell ura Le estrazioi successive o soo idipedeti La composizioe dell ura cambia La probabilità di estrarre u elemeto si modifica ella pratica, le idagii campioarie (per esempio su imprese o famiglie) utilizzao sempre uo schema di estrazioe seza ripetizioe 0

3 6/0/0 Campioe casuale (semplice) Statistica campioaria Distribuzioe campioaria ello spazio campioario (prima di osservare il campioe), il campioameto casuale semplice di dimesioe produce ua collezioe di v.c. X, X,,X Le v.c. soo ideticamete distribuite el caso di pop. ifiita (oppure pop. fiita ma estrazioe co ripetizioe), le v.c. soo idipedeti Sul campioe effettivo, si osservao le determiazioi delle v.c. ossia i valori x, x,, x 3 Dato il campioe casuale X, X,,X, ua statistica campioaria è ua fuzioe t(x,x,,x ) e quidi a sua volta è ua v.c. (assume valori diversi a secoda del campioe estratto) La distribuzioe campioaria idica quali valori la statistica assume (ello spazio campioario al variare dei campioi) e co quali probabilità (calcolate come freq rel dei campioi) ella pratica, da ua popolazioe viee estratto casualmete u uico campioe di dimesioe prestabilita Ai fii ifereziali, si cosiderao ipoteticamete tutti i campioi di dimesioe che è possibile estrarre dalla popolazioe (spazio campioario o uiverso dei campioi) Su ogi campioe calcoliamo la statistica campioaria L isieme dei risultati costituisce la distribuzioe campioaria (distribuz. di prob. di ua statistica) 5 Campioameto co ripetizioe da ua pop. fiita Popolazioe di = aziede Parametri di iteresse: media μ e variaza σ degli ivestimeti proporzioe π di SpA Azieda Forma giuridica A 0 SpA B 50 SpA C 0 Srl D 90 SpA , Si estraggoo tutti i campioi ordiati co ripetizioe di = uità 6 Spazio campioario (=;=) campio. Media degli ivestim Ivestimeti Campioi Campioi campio. Media degli ivestim AA 0,0 0 9 CA 0,0 30 AB 0, CB 0, AC 0,0 30 CC 0,0 0 AD 0,90 65 CD 0, BA 50,0 5 3 DA 90, BB 50,50 50 DB 90, BC 50, DC 90, BD 50, DD 90,90 90 Per effetto del caso, posso essere particolarmete fortuato se estraggo il campioe 6, co media pari a 50 (che coicide co il valore della media della popolazioe). Co quale probabilità si verifica questo eveto? su 6 Posso essere particolarmete sfortuato se estraggo il campioe 6, co media pari a 90 (che si discosta molto dal valore della media della popolazioe). Co quale probabilità si verifica questo eveto? 7 Distribuzioe campioaria della media Soo i valori distiti della media che osserveremmo se estraessimo tutti i possibili campioi di elemeti Valori della media degli ivestim Freq rel o probab. 0 /6=0,06 30 /6=0,5 35 /6=0,5 0 /6=0,06 5 /6=0,5 50 /6=0,06 55 /6=0,5 65 /6=0,5 70 /6=0,5 90 /6=0,06 Totale 6/6=,000 Idica la freq rel di campioi sui quali il calcolo della media produce come risultato il corrispodete valore sulla prima coloa 8 3

4 6/0/0 Distribuzioe campioaria Studiare la distribuzioe campioaria permette di valutare il comportameto di ua statistica campioaria come stimatore del parametro icogito teere sotto cotrollo l effetto del caso associato all estrazioe del campioe Distribuzioe campioaria della media Valori della media degli ivestim Freq rel o probab. 0 0, ,5 35 0,5 0 0,06 5 0,5 50 0, ,5 65 0,5 70 0,5 90 0,06 Totale,000 E(X) 0 0, ,06 50 V(X) , ,06 35 Abbiamo verificato che: E(X) V(X) Spazio campioario (=;=) campio. Prop di SpA Campioi Campioi campio. Prop di SpA AA SpA,SpA 9 CA Srl, SpA 0,5 AB SpA,SpA 0 CB Srl, SpA 0,5 3 AC SpA,Srl 0,5 CC Srl, Srl 0 AD SpA,SpA CD Srl, SpA 0,5 5 BA SpA,SpA 3 DA SpA,SpA 6 BB SpA,SpA DB SpA,SpA 7 BC SpA,Srl 0,5 5 DC SpA,Srl 0,5 8 BD SpA,SpA 6 DD SpA,SpA 9 0 Distribuzioe campioaria della proporzioe Campioameto seza ripetizioe da ua pop. fiita Campioameto da ua pop. ifiita Media campioaria Soo i valori distiti che la proporzioe assume al variare dei campioi Valori della proporzioe di SpA Freq rel o probab. 0 /6=0,06 0,5 6/6=0,375 9/6=0,563 Totale 6/6=,000 Idica la freq rel di campioi sui quali il calcolo della proporzioe produce come risultato il corrispodete valore sulla prima coloa E(P) 0 0,06 0,5 0,375 0,563 0, 75 V(P) 0 0,75 0,06 0,5 0,75 0,375 0,75 0,563 0,09375 E(P) Abbiamo verificato che: V(P) E(X) V(X) E(P) V(P) Alla variaza della distribuzioe campioaria si applica u fattore moltiplicativo di correzioe 3 Campioe casuale di dimesioe estratto da: ) Popolazioe X qualuque co media μ e variaza σ ) Popolazioe X ~ (μ;σ ) 3) Popolazioe X qualuque co media μ e variaza σ, grade Qual è la distribuzioe (forma, valori caratteristici) della media campioaria?

5 6/0/0 Campioameto da ua pop. ifiita Media campioaria ) Popolazioe X qualuque co media μ e variaza σ E(X) V(X) iete si può dire sulla forma della distribuzioe della media campioaria Campioameto da ua pop. ifiita Media campioaria ) Popolazioe X ~ (μ;σ ) X ~ ; La media campioaria segue la stessa distribuzioe (ormale) della popolazioe Il valore medio coicide co la media della popolazioe La variabilità della distribuzioe campioaria è miore di quella della popolazioe ed è iversamete proporzioale a Campioameto da ua pop. ifiita Media campioaria 3) Popolazioe X qualuque co media μ e variaza σ, grade Si applica il Teorema Limite Cetrale X ~ ; Il TLC è importate i chiave ifereziale perché permette di stimare la media della popolazioe seza dover cooscere la forma specifica della X della popolazioe Distribuzioe della popolazioe e della media campioaria Popolazioe Media campioaria = Media campioaria =5 Media campioaria =30 (0,9) Esp(3) Campioameto da ua pop. ifiita Prop. campioaria Popolazioe X ~ Beroulli(π) Campioe casuale : X, X,,X E(P) V(P) P ~ Biomiale(; ) Se è grade si applica il Teorema Limite Cetrale ( ) P ~, Distribuzioe della popolazioe e distribuzioe campioaria (,5;0,3) (,5;0,) (,5;) A) Popolazioe X ~ (,5;) redimeti aui di titoli B) Campioe casuale =0 X ~,5;0, C) Campioe casuale =30 X ~,5;0,

6 6/0/0 Distribuzioe della popolazioe e distribuzioe campioaria A) Popolazioe X ~ (,5;) 3,5 5,5 P3 X 5 P Z P 0,75 Z 0,5 0, 37 B) Campioe casuale =0 X ~,5;0, P redimeti aui di titoli 3 X 5? Ci aspettiamo che P3 X 5 P3 X 5 3,5 5,5 P3 X 5 P Z P,38 Z 0,79 0, 78 0,63 0,63 3 Distribuzioe della popolazioe e distribuzioe campioaria C) Campioe casuale =30 Ci aspettiamo che P 3 X 5 30 P3 X 5 0 Estraedo u campioe di =30, la probabilità di osservare u valore della media campioaria itero all itervallo (3;5) è alta (Itervallo di accettazioe) Se si verificasse 3 x 5, saremmo portati a cocludere che verosimilmete il campioe provega dalla popolazioe co μ=,5 e σ = X ~,5;0,3 3,5 5,5 P3 X 5 P Z P,7 Z,39 0, 9 0,36 0,36 3 6