Lezione 5. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 5. A. Iodice.

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1 La Statistica Alfoso Iodice D Eza iodicede@uicas.it Uiversità degli studi di Cassio () Statistica 1 / 26

2 Outlie La 1 2 La 3 4 () Statistica 2 / 26

3 Trimmed mea - La aritmetica risete della preseza di valori estremi. Per limitare questo problema si calcola la media sui valori cetrali della distribuzioe, elimiado il possibile effetto di valori aomali. Media (α%) Per calcolare la media sugli 1 α valori cetrali di ua distribuzioe si procede come segue: 1 ordiare i valori osservati i seso crescete; 2 idividuare i valori corrispodeti ai percetili q a = α/2 e q b = 1 α/2; 3 selezioare gli valori x i tali che x i > q a e x i q b ; 4 calcolare la media µ α = 1 x i. () Statistica 3 / 26

4 Trimmed mea - La Esempio media α = 50% {1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29} {1, 5, 7, 13, 14, 15, 18, 18, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29} µ α = 1 x i = = () Statistica 4 / 26

5 Trimmed mea - La () Statistica 5 / 26

6 Trimmed mea - La () Statistica 6 / 26

7 Trimmed mea - La () Statistica 7 / 26

8 Trimmed mea - La () Statistica 8 / 26

9 Trimmed mea - La () Statistica 9 / 26

10 Trimmed mea - La () Statistica 10 / 26

11 Idici di posizioe e tipo di caratteri La la moda si applica a tutte le tipologie di caratteri la mediaa (quartili, quatili i geerale) si applica a tutte le tipologie di caratteri le cui modalità soo ordiabili (mutabili rettiliee e variabili) la media aritmetica si applica alle sole variabili quatitative () Statistica 11 / 26

12 Il cocetto di La La si defiisce come l attitudie di u feomeo ad assumere modalità differeti. La può essere misurata i diversi modi: delle sigole modalità x 1, x 2,..., x rispetto ad u idice di posizioe mutua delle modalità x 1, x 2,..., x ordiate i modo crescete (usado la f. di ripartizioe) delle frequeze relative (applicabile ache a mutabili) () Statistica 12 / 26

13 Requisiti per idici di La U idice per la misura della deve avere le segueti caratteristiche u idice di deve assumere valori maggiori o uguali a 0 u idice di calcolato su ua distribuzioe di costati ugulae a 0 aggiugedo ua costate alla variabile osservata, il valore dell idice o deve cambiare () Statistica 13 / 26

14 Defiizioe di variaza La u idice che misura la di ua variabile X rispetto alla media aritmetica. I particolare la variaza σ 2 data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media) σ 2 = (x 1 µ) 2 + (x 2 µ) (x µ) 2 = = 1 (x i µ) 2 per dati orgaizzati i frequeze (seriazioe) σ 2 = (x 1 µ) (x 2 µ) (x k µ) 2 k = k = 1 k (x i µ) 2 i () Statistica 14 / 26

15 Defiizioe di variaza La I alcui casi la variaza può essere otteuta attraverso ua formula alterativa che semplifica il calcolo formula alterativa σ 2 = 1 (x i µ x) 2 = 1 (x 2 i + µ2 x 2x i µ x) = }{{} quadrato del biomio ( = 1 x 2 i + ) µ 2 x 2 x i µ x = portare le costati fuori sommatoria ( = 1 ) x 2 i + µ2 x 2µ x x i = 1 x 2 i µ2 x 2µ x x i = }{{}}{{} µ x 2 µ x = µ x 2 + µ 2 x 2µ2 x = µ x 2 µ2 x () Statistica 15 / 26

16 Esempio di calcolo della variaza Data la variabile X : umero di esami sosteuti prima di quello di statistica osservata su u collettivo di = 6 studeti La sarà duque σ 2 = 1 (x i µ) 2 = = () Statistica 16 / 26

17 Lo scarto quadratico medio (stadard deviatio) La Ua difficoltà di iterpretazioe della variaza dipede dal fatto che tale idice espresso ell uità di misura al quadrato della variabile cui si riferisce. Per ovviare a questo problema si utilizza lo scarto quadratico medio σ, dato da σ = 1 (x i µ) 2 dall esempio precedete risulta duque σ = = () Statistica 17 / 26

18 Calcolo della variaza La Si cosideri u campioe di = 100 sportelli bacari e sia X : umero di operazioi effettuate presso uo sportello ell ultima settimaa. X Freq ( i ) [60, 62] 5 [63, 65] 18 [66, 68] 42 [69, 71] 27 [72, 74] Calcolare u idice di tedeza cetrale (media) Misurare la rispetto ad u cetro (scarto quadratico medio) () Statistica 18 / 26

19 Calcolo della variaza La Calcolo della media aritmetica Per calcolare la media aritmetica bisoga idividuare i cetri di ciascua classe e teere coto delle frequeze. Ricordado la formula della media aritmetica µ x = k c i i X Freq= i cetri=c i c i i [60, 62] [63, 65] [66, 68] [69, 71] [72, 74] k c i i µ x = = = () Statistica 19 / 26

20 Calcolo della variaza La Calcolo della variaza Ripetedo il calcolo utilizzado la formula alterativa per il calcolo della variaza k σ 2 = µ x 2 (µ x) 2 c 2 i = ( k ) 2 i c i i X Freq= i cetri=c i c 2 i c 2 i i [60, 62] [63, 65] [66, 68] [69, 71] [72, 74] k σ 2 c 2 i = ( k ) 2 i c i = ( ) = = N N da cui lo scarto quadratico medio σ = = 2.92 () Statistica 20 / 26

21 Massima La può crescere idefiitamete perchè gli scarti delle modalità dalla media possoo essere illimitatamete gradi La situazioe di massima per u collettivo co media µ, si ha quado su modalità, 1 soo ulle ed ua sola modalità x 0 i = µ σ 2 1 (x i µ) 2 = 1 (( 1)(0 µ)2 + (µ µ) 2 ) = }{{}}{{} 1 modalità ulle uica modalità 0 = 1 (( 1)µ2 + ( 2 µ 2 + µ 2 2µ 2 ) = }{{} sviluppo del biomio (µ µ) 2 = 1 (( 1)µ2 + µ 2 ( )) = = 1 (( 1) µ2 + µ 2 ( )) = }{{} µ 2 i evid. = 1 (µ2 ( )) = 1 (µ2 ( 2 )) = = 1 (µ2 ( 1)) = µ 2 ( 1) () Statistica 21 / 26

22 Le proprietà della variaza La gode di alcue importati proprietà di seguito riportate: 1 di X sempre u umero o egativo ( 0) 2 di X pari a 0 se e solo se X ua costate 3 Se alla variabile X si aggiuge ua costate, σ x o cambia 4 Se si moltiplica la variabile X per ua costate b, si avr σ x = b 2 σ 2 x () Statistica 22 / 26

23 Le proprietà della variaza La Le proprietà 3 e 4 dipedoo dalla proprietà di liearità della media aritmetica: si cosideri Y = a + bx, co a e b costati. Dalla proprietà risulta che µ y = a + bµ x. Calcolado la variaza di Y si avrà: σ 2 y = 1 (y i µ y) 2 = 1=1 = 1 (y i (a + bµ x)) 2 = 1 (a + bx i a bµ x) 2 = 1=1 1=1 = 1 (bx i bµ x) 2 = 1 ((b)(x i µ x)) 2 = 1=1 1=1 1 b 2 (x i µ x) 2 = b 2 1 (x i µ x) 2 = b 2 σ 2 x 1=1 () Statistica 23 / 26

24 Il coefficiete di (CV ) La è u idice assoluto, dipede quidi dall uità di misura della variabile. U idice relativo di è il coefficiete di CV. E dato da CV = σ µ essedo u umero puro cosete il cofroto fra feomei rilevati i mometi diversi o espressi i uità di misura diverse () Statistica 24 / 26

25 Il coefficiete di (CV ) La è u idice assoluto, dipede quidi dall uità di misura della variabile. U idice relativo di è il coefficiete di CV. E dato da CV = σ µ essedo u umero puro cosete il cofroto fra feomei rilevati i mometi diversi o espressi i uità di misura diverse Limiti di utilizzo del CV è defito solo se µ > 0 se µ 0 il CV tede a divetare molto grade () Statistica 24 / 26

26 La Per otteere lo scostameto bisoga calcolare il valore assoluto degli scarti dei cetri delle classi dalla media e teere coto delle frequeze. Ricordado la formula dello scostameto k MD = c i µ i () Statistica 25 / 26

27 Esempio calcolo scostameto La Calcolo dello scostameto X Freq= i cetri=c i c i µ c i µ i [60, 62] [63, 65] [66, 68] [69, 71] [72, 74] MD = k c i µ i = = = () Statistica 26 / 26

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