Y = ln X è normalmente distribuita. (y) = dg(x) dx. f Y. (x) = dy dx f Y. f X. (g(x)) & exp$ dx x - $ % ( x) DISTRIBUZIONE LOG-NORMALE.

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1 DISTRIBUZIONE LOG-NORMALE. La variabile si dice log-ormalmete distribuita se: l è ormalmete distribuita g( l g ( e 0 +. uzioe di desità di probabilità: f ( d d f ( dg( d f (g( dg( d f (. & ep$ - / $ %, l - µ * +. ( [ ] P[ l l] P[ l] (l ( P

2 Espressioi teoriche dei mometi: µ.50 0 l 0.50 Relazioi tra mometi e parametri: Due parametri: µ e. $ + µ E[ ] 0.50 ep, *, µ [ ep(, % ] Cv ep(, % Ca Cv + Cv ( & + ep µ * +, ( & Due mometi della popolazioe: Espressioi semplificate: µ µ e lµ & l $ + % µ l( + Cv > Cv per Cv < 0. [ µ ] E Ca Cv ( Cv + Cv > µ lµ Cv > Ca Cv per Cv piccolo

3 Tracciameto della retta i base al passaggio per puti (si ricordi che co asse delle ascisse cartesiao e relativo alla variabile ulla cambia rispetto alla carta probabilistica ormale:. 0.5, ] che, teuto coto che ( 0.5 ( e che 0.5 µ (per la [ 0. 5 ormalità diveta [ 0.5, e ] µ + µ ( [ 0.84, e ], sempre per la corrispodeza tra le e le a pari valore di

4 LEGGE NORMALE DELLE POTENZE. (Trasformata di Bo-Co. 0 l 0 N( µ, Ca [ ] 0 0 l Distribuzioe ormale delle radici quadrate & f ( ep$ µ r ( $ % ( Ca [ ] 0 Ca[ ]. 5Cv Ca Cv [ ] ( Stima co il metodo dei mometi, (Llod, 980: PN ( µ, [ ] ( Cv Ca µ & ( $ % 8µ µ 4µ

5 DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE La fuzioe desità di probabilità espoeziale è defiita come: Nella forma più usuale, ella quale il parametro è $/, la distribuzioe Espoeziale assume la forma: f [ ] e Le relazioi teoriche dei mometi soo: E[] / $ Var[] / $ Cv/ $ [ ] e Ca[] K[]9

6 MODELLO DEL MASSIMO VALORE. Si cosideri ua serie di variabili casuali (,..., i sequeza ordiata e sia ( ma i i La probabilità cumulata di questa variabile o può che dipedere da quelle delle altre -: [ ] ( P[,..., ] ( P (, Se gli i soo idipedeti: [ ] P[ ] P[ ] ( ( P... ( (..... ( Se gli soo ideticamete distribuiti co fuzioe di distribuzioe cumulata ( i [ ] ( ( ( o semplicemete ( [ ( ]

7 DISTRIBUZIONI ASINTOTICHE. & ( [ ( ] $ ( + % ( ( ( ( ( lim ( ( + ( ( 6 ( & +... $ % e ( Per grade: ( e ( ( Al crescere di la distribuzioe di ( è relativamete isesibile alla esatta forma della distribuzioe delle. E stato dimostrato che, a secoda della caratteristica della distribuzioe i delle i ella coda destra, la distribuzioe della massimo ( tede a solo distribuzioi asitotiche: ( > ( $ ( [ e ] ep 0 ( (.. &, 0 ( ep$ - * $ % + ( / 0 ; > 0; > 0 &, ( ep$ - * $ % + 0 ( / 0 ; < 0; >

8 La distribuzioe asitotica del tipo o di Gumbel vale quado la coda superiore della variabile origiaria cade i maiera espoeziale, cioè se, per abbastaza grade vale: essedo g ( ua fuzioe crescete di. ( e g ( g ( Esempio: ( e Distribuzioe espoeziale: E ( $ $ ( [ ( ( ] ep[ e ] ep[ e ] ( ( ep ( co ep(. Il massimo di variabili espoeziali co media è distribuito secodo la legge di Gumbel per abbastaza grade.

9 Distribuzioe asitotica del tipo II o di rèchet: se, per abbastaza grade vale: & ( ( $ % la relazioe tra la distribuzioe di tipo I e quella di tipo II è la stessa che tra distribuzioe ormale e log ormale. / &, 0 Se è distribuito co. ( ep$ - * l è distribuito come (l $ % + (. & Ifatti [ $ (,/ (l ep e ] ep $ - * per $ l $ % + ( distribuzioe di rèchet log Gumbel. La distribuzioe asitotica di tipo III è limitata superiormete. Iteressa solo per estremi miimi. Poiché le variabili idrologiche soo i geere di tipo espoeziale, la distribuzioe asitotica del massimo valore di tipo I (Gumbel è quella che iteressa di più i idrologia. Esempio: Massimo auale della portata di piea (piea auale o Massimo auale della pioggia gioraliera. k Se o è ota esattamete la distribuzioe dei valori di colmo durate i sigoli eveti di piea o di pioggia si può applicare la distribuzioe di Gumbel ivece che applicare la relazioe esatta [ ( ] (

10 DISTRIBUZIONE EV o DI GUMBEL. ( [ $ e ] ep[ e ] ( ep co: Sigificato dei parametri: f ep( (al posto di : Numero medio di eveti idipedeti i [ 0,t], ad esempio i u ao. /& :Valore medio della gradezza dell eveto, esempio portata al colmo. ( d ( ep d ( [ ( e ] E [ ] µ + µ var 6 [ ] 6 % Cv [ ] dipede solo da µ 6 ($ (l µ [ ]. 96 Ca Coefficiete di asimmetria, idipedete dal valore dei parametri. $ f ( e ma è la moda di ( e 0. 68

11 : è proporzioale a (misura di dispersioe. (, : dipedoo solo dal coefficiete di variazioe Cv. Variabile ridotta: ( E [ ] costate di Eulero var [ ] [ ] 0 [ ] ( P[ ] ( ep( e & EV( 0, EV$, % ( ll + [ ] 6 ll (l ll (Quatile della distribuzioe per assegato

12 Valore di progetto T co il periodo di ritoro T : T & T T ll $ ll T % ( T Cosiderado le relazioi tra i mometi teorici ed i parametri ed, T p ( Cv 6 Cv Cv si può perveire ad ua relazioe tra la variabile di progetto e media e Cv del campioe, valida secodo l approssimazioe del metodo dei mometi: T { Cv [ T l l ( T ]} ORMA CARATTERISTICA & T T ( $ k logl co k (caratteristica della distribuzioe % T 0,44 Per T abbastaza grade, i geere superiore ai 0 ai, vale che Di cosegueza T può essere espressa come: T ( + k logt dove k > T varia liearmete co Log T log T l ; T T

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