Libri T ablet

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1 Esercitazioe 0 ESERCIZIO arco e Giulio hao due egozi i viale dei Giardii. arco vede libri, Giulio vede elettroica, tra cui tablet. arco e Giulio, avedo a disposizioe il umero di libri veduti ed il umero di tablet veduti per ao dal 2008 al 205, si soo chiesti se esiste ua relazioe tra le due uatità. Libri T ablet Calcolare la covariaza co il metodo diretto e co il metodo idiretto. Cofrotare i due risultati. 2. Stimare la retta di regressioe, cosiderado X umero di libri e Y umero di tablet, commetare i coecieti otteuti. 3. Calcolare i residui di regressioe. 4. Calcolare l'idice di determiazioe lieare. 5. Calcolare l'idice di correlazioe lieare, direttamete ed utilizzado l'idice di determiazioe lieare. Cofrotare i risultati otteuti. SOLUZIONE x i y i x 2 i y 2 i (x i x) (y i y) (x i x) (y i y) x i y i r i r 2 i ,429-39, , ,236 52, ,57-24, , ,77 035, ,429 -, , ,247 52, ,429-7, , ,965 43, ,57 6,57-567, ,3 0, ,57 26,57-376, ,960 3, ,57 49, , , ,977 Per la variabile X abbiamo X x i 05; 57 2 X x 2 i 0508; X X 2 X 8796; 53 X 2 X 37; 00

2 Per la variabile Y abbiamo Y y i 86; Y y 2 i 8330; 429 Tramite il metodo diretto abbiamo che 2 Y Y 2 Y 860; 53 Y 2 Y 29; 335 cov(x; Y ) (x i x) (y i y) ( 22873; 74) 3267; Tramite il metodo idiretto XY x i y i 7 (59547) cov(x; Y ) XY X Y (05; 57 86; 429) 3267; 673 La covariaza è egativa, uidi le due variabili soo iversamete proporzioali. aspettiamo u aumeto di Y. La retta hai miimi uadrati è la retta della forma Al dimiuire di X ci y 0 + x dove 0 e miimizzao (y i 0 x i ) Possiamo otteere uidi la stima ai miimi uadrati per 0 e come ^ cov(x; Y ) V ar(x) 3267; ; 53 0; 74 e uidi il modello stimato è ^0 y ^ x 86; ; 74 05; ; 980 y 262; 980 0; 74 x Per ogi libro i più veduto da arco, Giulio vede 0,74 tablet i meo. Se arco chiudesse il egozio, e o vede più libri, Giulio si aspetterebbe di vedere circa 263 tablet. Possiamo calcolare i residui di regressioe come r i y i ^y i 2

3 dove ^y i ^0 ^x i, i risultati soo ella tabella precedete. Per valutare la botà del modello possiamo utilizzare l'idice di determiazioe I 2 d Dev Spiegata Dev T otale Dev Residua V ar Residua Dev T otale V ar T otale La variaza totale è la variaza di Y calcolata precedetemete. La variaza residua è la variaza dei residui uidi 2 RES RES 2 RES 2 RES 2 r 2 i 7 (2047; 245) 292; 464 I 2 d V ar Residua 292; V ar T otale 464 0; ; 53 Co calcoli aaloghi 2 SP [ ^ ] 2 2 X ( 0; 74)2 8796; ; 084 uidi I 2 d V ar Spiegata V ar T otale 569; ; 53 0; 660 Il modello spiega il 66% della variabilità di Y. Partedo dall'idice precedete, possiamo otteere l'idice di correlazioe lieare come r sig (cov (X; Y )) I 2 d 0; 82 Si poteva altresì otteere come r cov(x; Y ) X Y 3267; ; 29; 335 0; 82 i due risultati soo euivaleti. ESERCIZIO 2 U cetro di ricerca sito i via arco polo eettua, tra le varie attività, ricerche sui tempi di reazioe dei soggetti i studio. Nella seguete vegoo riportati i tempi di reazioe (ms) e le età degli idividui Eta T empo reazioe Stimare la retta di regressioe, cosiderado X età e Y tempo di reazioe. 2. Calcolare i residui di regressioe. 3. ostrare che i residui di regressioe hao media ulla. 4. Calcolare l'idice di determiazioe lieare. 5. Calcolare l'idice di correlazioe lieare. 3

4 SOLUZIONE x i y i x 2 i y 2 i x i y i r i r 2 i , , ,594 92, , , , , ,70 55, ,580 3, , ,24 Per la variabile X abbiamo X x i 20; X x 2 i 532; X X 2 X 97; 265 X 2 X 9; 862 Per la variabile Y abbiamo Y y i 204; 57 2 Y y 2 i 44470; 857 La covariaza possiamo calcolarla come 2 Y Y 2 Y 262; 388 XY Y 2 Y x i y i 7 5; 99 (3007) 4288 cov(x; Y ) XY X Y 4288 (20; ; 57) 2; 367 La covariaza è positiva, uidi le due variabili soo direttamete proporzioali. aspettiamo u aumeto di Y. La retta hai miimi uadrati è la retta della forma All'aumetare di X ci y 0 + x 4

5 dove 0 e miimizzao (y i 0 x i ) Possiamo otteere uidi la stima ai miimi uadrati per 0 e come ^ cov(x; Y ) V ar(x) 2; ; 265 0; 220 ^0 y ^ x 204; 57 0; ; ; 990 e uidi il modello stimato è y 99; ; 22 x Possiamo calcolare i residui di regressioe come r i y i ^y i dove ^y i ^0 ^x i, i risultati soo ella tabella precedete. Possiamo vedere facilmete che i residui hao media ulla RES r i 7 (0) 0 Per valutare la botà del modello possiamo utilizzare l'idice di determiazioe I 2 d Dev Spiegata Dev T otale Dev Residua V ar Residua Dev T otale V ar T otale La variaza totale è la variaza di Y calcolata precedetemete. La variaza residua è la variaza dei residui uidi 2 RES RES 2 RES 2 RES 2 r 2 i 7 (836; 856) 266; 694 I 2 d V ar Residua 266; V ar T otale 694 0; ; 338 Il modello spiega lo 0,2% della variabilità di Y. Partedo dall'idice precedete, possiamo otteere l'idice di correlazioe lieare come r sig (cov (X; Y )) I 2 d 0; 042 Si poteva altresì otteere come r cov(x; Y ) X Y 2; 367 9; 862 5; 99 0; 042 i due risultati soo euivaleti. 5

6 ESERCIZIO 3 Alessadra, u'allegra gelataia di ua piccola gelateria i viale Traiao, ha deciso di mettere i relazioe il umero di gelati veduti co la temperatura massima della giorata el periodo estivo. Sia uidi X la temperatura massima della giorata, espressa i gradi gradi Celsius, ed Y il umero di gelati veduti. Y\X 23 j26 26 j28 28 j Stimare la retta di regressioe, cosiderado X temperatura e Y umero di gelati. 2. Calcolare l'idice di determiazioe lieare. 3. Calcolare l'idice di correlazioe lieare. SOLUZIONE Utilizziamo i valori cetrali delle classi. Per la variabile X abbiamo i x i i i x i x 2 i i x 2 i 24, , , , ,5 870, ,75 Quidi kx X i x i 27; 36 2 X i x 2 i 752; X X 2 X 3; 828 X 2 X ; 957 Per la variabile Y abbiamo j y j j j y j y 2 j j y 2 j Quidi Y j y i 60; 278 6

7 2 Y j y 2 j j 3373; 6 Per il mometo misto di ordie uo abbiamo 2 Y Y 2 Y 7484; 645 Y 2 Y 86; 54 ji x i y j 24; ; , , E possiamo calcolare XY kx k Y X ji x i y j (4040) j uidi cov(x; Y ) XY X Y 4490 (27; 36 60; 278) 04; 622 La covariaza è positiva, uidi le due variabili soo direttamete proporzioali. aspettiamo u aumeto di Y. Possiamo otteere uidi la stima ai miimi uadrati per 0 e come All'aumetare di X ci ^ cov(x; Y ) V ar(x) 04; 622 3; ; 33 La variaza spiegata può essere calcolata come ^0 y ^ x 60; ; 33 27; ; 534 uidi l'idice di determiazioe lieare diveta 2 SP [ ^ ] 2 2 X 27; 332 3; ; 44 2 SP I 2 d 2 T OT 28599; ; 645 0; 382 L'idice di correlazioe lieare può essere otteuto come r cov(x; Y ) X Y 04; 622 ; ; 54 0; 68 7