Esperimentazioni di Fisica 1. Prova scritta del 1 febbraio 2016 SOLUZIONI

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1 Esperimetazioi di Fisica 1 Prova scritta del 1 febbraio 2016 SOLUZIONI

2 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 2 of 7 10/09/ (12 Puti) Quesito. La variabile casuale cotiua x ha ua distribuzioe triagolare ell itervallo ( a, a) così come idicato i figura. Trovare l espressioe della distribuzioe co l opportuo fattore di ormalizzazioe, il valore medio e la variaza di x. f(x) a a x Soluzioe. [prb010] Idicado co h l altezza del triagolo i figura, la fuzioe i figura ha è descritta dall equazioe: (x a) h per a < x < 0 a (a x) h a per 0 < x < a La codizioi di ormalizzazioe implica che h = 1/a per cui la pdf f(x) di x si scrive: (x a) a f(x) = 2 per a < x < 0 (a x) a 2 per 0 < x < a Il valore atteso di x è dato dall itegrale di ua fuzioe dispari (xf(x)) esteso all itervallo simmetrico rispetto all origie ( a, a) e quidi è ullo: E[x] µ = a xf(x) dx = 0 Per il calcolo della variaza si deve calcolare il seguete itegrale: Var[x] σ 2 = =2 0 (x µ) 2 f(x) dx = x 2 a x a 2 dx = a2 6 a x 2 f(x) dx = 2 0 x 2 f(x) dx Per il calcolo di questo itegrale si è teuto coto che la fuzioe itegrada è pari.

3 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 3 of 7 10/09/ (12 Puti) Quesito La misurazioe di ua gradezza y i fuzioe della gradezza x dà i risultati mostrati i tabella elle opportue uità di misura. Le icertezze sui valori di x soo trascurabili e quelle sulle y soo icertezze gaussiae stadard. x i y i ± u i ± ± ± ± ± ± 0.4 Ua teoria prevede che la y sia costate al variare di x seza tuttavia stabilire il valore della costate. Stimare il valore dalla costate co i miimi quadrati e utilizzado il χ 2 verificare se i dati compatibili co la teoria. La tabella dei valori degli itegrali del χ 2 ridotto è allegata a questo questioario. Se ecessario iterpolate liearmete i dati della tabella Soluzioe. [chi2004] Idichiamo co λ la costate da determiare prevista dalla teoria. La stima del parametro λ co il metodo dei miimi quadrati si ottiee richiededo che sia verificata la seguete codizioe: ( ) 2 yi λ = MINIMO Derivado la relazioe precedete rispetto a λ e uguagliadola a zero, si ha λ u i ( ) 2 yi λ = 2 da cui si ottiee la stima λ s di λ come media pesata delle y i : u i ( ) yi λ = 0 u 2 i λ s = y i /u 2 i 1/u 2 i = = La variabile χ 2 i questo caso si scrive: χ 2 = ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 yi λ s = u i ( ) 2 ( ) 2 ( ) = Essedo le icertezze sulle gradezze y i gaussiae, si può calcolare la probabilità di otteere questo valore utilizzado la distribuzioe del χ 2 co 5 gradi di libertà (poiché i dati soo stati utilizzati per la stima di λ). Il χ 2 ridotto è χ 2 = 6.3/5 = Dalla tabella osserviamo che i valori i viciaza di 1.26 soo 1.2 e 1.4. Iterpolado liearmete: P 5 (1.26) = P 5 (1.20) (P 5 (1.40) P 5 (1.20)) = 0.28 Dal valore di probabilità otteuto si può affermare che i dati soo compatibili co l ipotesi teorica.

4 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 4 of 7 10/09/ (12 Puti) Quesito. Ua sorgete radioattiva emette due tipi di radiazioe γ 1 e γ 2 di eergie differeti. Ioltre è oto che la radiazioe γ 1 è 10 3 volte più itesa di quella γ 2 (i altre parole ell uità di tempo il rapporto tra emissioi γ 1 e γ 2 è 10 3 ). U rivelatore di radiazioe è i grado di ricooscere la radiazioe γ 1 co ua probabilità del 98% e el 2% dei casi la classifica erroeamete come γ 2. Lo stesso rivelatore ricooscere la radiazioe γ 2 co ua probabilità del 99% e el 1% dei casi la classifica erroeamete come γ 1. Se, dopo aver registrato u eveto, il rivelatore idica γ 2 quale è la probabilità che l eveto sia veramete dovuto a u γ 2. Soluzioe. [tby006] Idichiamo co: Γ 1 l eveto : Il rivelatore idica γ 1 Γ 2 l eveto : Il rivelatore idica γ 2 La probabilita cercata è P (γ 2 Γ 2 ), ovvero la probabilita che el rivelatore sia etrato effettivamete u γ 2 codizioata dall eveto Γ 2. La formula di Bayes i questo caso si scrive da cui P (γ 2 Γ 2 ) = P (Γ 2 γ 2 )P (γ 2 ) P (Γ 2 ) Dalle caratterisiiche del rivelatore si ha: P (γ 2 Γ 2 )P (Γ 2 ) = P (Γ 2 γ 2 )P (γ 2 ) = P (Γ 2 γ 2 )P (γ 2 ) P (Γ 2 γ 2 )P (γ 2 ) P (Γ 2 γ 1 )P (γ 1 ) P (Γ 2 γ 2 ) = 0.99 P (Γ 2 γ 1 ) = 0.02 Teedo coto che essedosi verificato l eveto P (γ 2 ) P (γ 1 ) = 1 e che P (γ 1 )/P (γ 2 ) = 10 3, si ha: Iseredo i umeri P (γ 1 ) = = P (γ 2) = 1 = P (γ 2 Γ 2 ) = = 0.047

5 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 5 of 7 10/09/ (12 Puti) Quesito Calcolare la probabilità di fare ambo al gioco della tombola co le prime due estrazioi avedo ua sola cartella. I figura è riportata ua geerica cartella. Soluzioe. [prb004] I ciascua cartella della tombola ci soo 15 umeri divisi i tre righe di cique umeri diversi compresi fra 1 e 90. L ambo si verifica quado due umeri estratti soo sulla stessa liea della cartella. La probabilità che il primo estratto sia tra i 15 coteuti ella cartella è: P 1 = = 1 6 La probabilità che il secodo estratto dei 89 umeri rimasti sia tra i 4 allieati co il primo estratto è: P 2 = 4 89 Essedo i due eveti idipedeti la probabilità di fare ambo è: P ambo = P 1 P 2 = = I altro modo. Il umero degli ambi i ua riga di ogi cartella è dato da umero delle combiazioi di 5 oggetti (i umeri che si trovao i ua riga della cartella) di classe 2. Poiché i ua cartella ci soo 3 righe dovremo moltiplicare questo umero per 3. Ovvero: ( ) 5 N. di ambi i ua cartella = 3 = 3 5! 2 3! 2! = 30 Il umero di ambi che si possoo fare co due estrazioi di 90 umeri è ( ) 90 = 90! = !2! La probabiltà di fare ambo co due estrazioi è il rapporto tra i casi favorevoli e quelli possibili: P ambo = = N.B. il fatto che elle cartelle della tombola o si può fare ambo co umeri ella stessa decia (a parte il cartelloe) o iflueza il valore della probabilità P ambo. Ifatti P 2 si può valutare come la probabilità di otteere uo dei 4 umeri preseti i tabella escludedo la decia a cui appartiee il primo estratto (4/80) moltiplicata per la probabilità che il umero estratto o appartega alla decia del primo estratto (80/89). Il risultato è quidi: 4/89, uguale a quello otteuto seza questa osservazioe.

6 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 6 of 7 10/09/ (6 Puti) Quesito. Siao x 1, x 2,..., x realizzazioi idipedeti di ua variabile aleatoria di media µ e variaza σ 2. calcolare il valore atteso e la variaza della media aritmetica delle x i. Soluzioe. [prb011] La media aritmetica delle x i è data dalla relazioe: Il valore atteso di x è: E[x] = E [ 1 x = 1 x i ] x i = 1 Dove si è usato che, per defiizioe, E[x i ] = µ. La variaza di x è data da Var[x] = Var [ 1 Dove si è usato che, per defiizioe, Var[x i ] = σ 2. E[x i ] = µ ] x i = 1 2 Var[x i ] = σ2

7 Esp-1 Prova di Esame Primo appello - Page 7 of 7 10/09/ (6 Puti) Quesito. Euciare e dimostrare il teorema di Bayes. Soluzioe. [tby007] Teorema di Bayes: se A e B soo due geerici eveti, la probabilità dell eveto A codizioata dal verificarsi dell eveto B (P (A B)) moltiplicata per la probabilità di verificarsi di B è uguale alla probabilità di B codizioata dal verificarsi dell eveto A (P (B A)) per la probabilità di verificarsi di A. Isolado la probabilità di A codizioata dall eveto B, ll teorema di Bayes si scrive: P (A B) = P (B A)P (A) P (B) Dimostrazioe. La probabilità dell eveto A codizioata dal verificarsi dell eveto B si scrive: P (A B) = P (A B) P (B) Aalogamete, La probabilità dell eveto B codizioata dal verificarsi dell eveto A si scrive P (B A) = P (B A) P (A) Teedo coto che l operatore itersezioe è commutativo si ha: P (A B) = P (B A). Da questa relazioe si deriva immediatamete la dimostrazioe del teorema di Bayes.