Esame di Stato - Liceo Scientifico Prova scritta di Matematica - 21 giugno Problema 1 Soluzione a cura di L. Tomasi

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1 Esame di Stato - Liceo Scietifico Prova scritta di Matematica - giugo 08 Problema Soluzioe a cura di L. Tomasi

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3 Soluzioe Puto Co riferimeto all esempio semplice del mauale d uso della macchia che colora le mattoelle (che hao lato ; il testo è ambiguo), la fuzioe sarà defiita el modo seguete f ( x) = x se 0 x. L equazioe della curva Λ sarà pertato y = x, ovvero x + y =. Puto Per costruire ua mattoella (di lato ) co u disego più elaborato, co u area racchiusa del 55% del quadrato Q, si può provare co ua fuzioe quadratica f ( x) ax bx c = + +. Impoedo le codizioi f (0) = ed f () = 0, f '(0) = 0, si ottiee u area di /3 del quadrato dato, che è maggiore del 55%. Cosideriamo quidi ua fuzioe poliomiale cubica codizioi f (0) = ed f () = 0, f '(0) = 0, si ottiee 3 f ( x) = ax ( a + ) x +. f ( x) 3 f ( x) ax bx cx d = x, che però forma = Impoedo le Impoiamo che la porzioe di area racchiusa dalla curva Λ sia il 55% dell area del quadrato Q, ovvero 3 55 f ( x) dx = ( ax ( a ) x ) dx = Si ottiee: 4 3 ax ( a + ) x + x = a a + + =,

4 7 da cui si ricava a =. Quidi b =. 5 5 La fuzioe poliomiale cubica sarà pertato: 7 3 f ( x) = x x +, co 0 x. 5 5 I questo caso il grafico della curva e il disego della mattoella soo rappresetati ella seguete figura. Puto 3 Cosideriamo ora le proposte, fatte al cliete, delle fuzioi a ( x) x = e b ( x) ( x) otteere due diversi tipi di disego e di colorazioe delle mattoelle. Si vede facilmete che etrambi i tipi di fuzioi verificao le codizioi a), b), c). = per Le fuzioi del primo tipo a ( x) = x geerao mattoelle del tipo rappresetato ella seguete figura (co = ed =3), co ua colorazioe che forma ua figura covessa. 4

5 Le fuzioi b ( x) ( x) = geerao ivece mattoelle del tipo rappresetato ella seguete figura (co = ed =3), co ua colorazioe che forma ua figura cocava. Dalla osservazioe delle figure che si ottegoo, si ituisce che il primo limite è 4, metre il secodo limite vale 0. Verifichiamo co il calcolo: Si ha ( ) + x 4 A( ) = 4 x dx = 4 x 4 0 = = Quidi lim A( ) = lim = Aalogamete si ha 0 ( ) + x 4 B( ) = 4 ( x) dx = 4 ( x) dx = 4 = Quidi. 4 lim B( ) = lim = Puto 4 Cosideriamo la diagoale GE (vedi le figure segueti). Per calcolare il umero delle piastrelle che potrebbero essere daeggiate al termie del ciclo di produzioe, tracciamo quidi la diagoale GE, che appartiee alla retta di equazioe y = x. 0 5

6 Nel caso della piastrella che usa la fuzioe a ( ) x, la parte o colorata della diagoale (il complemetare del segmeto IJ i figura) è miore rispetto al secodo tipo di piastrella. Quidi ci sarà ua miore probabilità, rispetto alla piastrella che usa la fuzioe b ( ) x che la goccia cada sulla parte o colorata della piastrella. Occorre quidi determiare il puto di itersezioe del grafico di a ( ) x co la retta y = x, co il sistema: y = x y = x ovvero: y = x x + x = Si ottiee il puto I di coordiate ;, avedo ovviamete scartato il puto che cade fuori del quadrato. Quidi la probabilità che la goccia cada fuori dalla zoa colorata sarà 5 p = 38%. A sua volta la goccia può cadere sulla piastrella co ua probabilità del 0%. I totale si ottiee (suppoedo eveti idipedeti), chiamado A l eveto che la piastrella del primo tipo è difettosa : p( A ) = 0% 38% = 7,6%. Il umero di piastrelle del primo tipo che potrebbero essere difettose diveta quidi: N = ,6% = 38. Nel caso della piastrella che usa la fuzioe b ( ) x, la parte o colorata della diagoale è maggiore rispetto al caso precedete. Quidi ci sarà ua maggiore probabilità, rispetto alla piastrella che usa la fuzioe a ( ) x, che la goccia cada sulla parte o colorata della piastrella. Occorre quidi determiare il puto di itersezioe del grafico di b ( ) x co la retta y = x, co il sistema: y = x y = ovvero: ( x) y = x x 3x + = 0 Si ottiee il puto I di coordiate zoa colorata sarà del 3 5 p = 6% ;. Quidi la probabilità che la goccia cada fuori dalla 6

7 A sua volta la goccia può cadere sulla diagoale della piastrale co ua probabilità del 0%. I totale si ottiee (suppoedo eveti idipedeti), chiamado B l eveto la piastrella del secodo tipo è difettosa : p( B ) = 0% 6% =, 4%. Il umero di piastrelle del secodo tipo che potrebbero essere difettose diveta quidi: N = 5000, 4% = 68. I totale le piastrelle che potrebbero essere difettose è quidi 000 (su 0000). Osservazioe Si osserva la simmetria tra le probabilità p = 38% e p = 6%. Si ha ifatti p + p =. Questa relazioe dipede dalla simmetria tra i puti di coordiate 5 5 ; e ( 0;0 ), ( ;0 ), ( ; ) e ( ) ; rispetto al puto 0;. ;, che è il cetro del quadrato di vertici Giudizio sul problema Livello di difficoltà Basso Medio Alto Si tratta di u problema cotestualizzato? L argometo è presete elle Idicazioi Nazioali per i Licei Scietifici? No Sì I modo forzato No I modo accettabile Be cotestualizzato No è esplicitato / No è chiaro Di solito, viee svolto? Sì No No sempre È u argometo presete ei libri di testo? Sempre Mai No sempre Formulazioe Scorretta Ambigua Poco chiara Corretta Molto chiara Verifica coosceze / abilità/ competeze fodametali? Per la risoluzioe del problema è utile usare ua calcolatrice grafica (o CAS)? Sì Solo parzialmete No Sì Solo parzialmete No Commeto Il testo del problema è lughissimo, di due pagie, co alcue ambiguità. All iizio sembra che la mattoella debba avere lato ; poi si capisce che ivece ha lato (vedi la figura del testo). 7

8 Esame di Stato - Liceo Scietifico Prova scritta di Matematica - giugo 08 Problema Soluzioe a cura di L. Rossi, S. De Stefai, L. Tomasi

9 Soluzioe Puto : 9, co. Si tratta di ua famiglia di cubiche, fuzioi ovviamete cotiue e derivabili i R, co derivata prima: Cosideriamo ora: 3. rk, retta tagete i 0; 9 a Γk, ha coefficiete agolare 0 ed equazioe: 9 sk, retta tagete i ; 8 a Γk, ha coefficiete agolare 3 ed equazioe: 8 3 Le due rette si itersecao el puto M di cui si vuole verificare che l ascissa è /3: 9 : 3, che, risolto, dà. Puto Il puto M, apparteete a, ha ordiata 9. Si ha: 9 0 k =. Si ottiee: 9 la cui derivata prima è 3. Quidi il miimo e il massimo relativi hao rispettivamete coordiate: ; 9, 3 3 ; La derivata secoda è 6 ; quidi il flesso F ha ovviamete coordiate 0; 9, ed è il cetro di simmetria della curva.

10 Puto 3 La probabilità richiesta si calcola (i modo approssimato) facedo il rapporto tra la somma delle aree delle regioi blu e gialla del triagolo ABM e l area del triagolo ABM. L area del triagolo ABM è L area della parte blu è: L area della parte gialla è: = = = + + =

11 essedo α l ascissa del puto P di itersezioe della curva co l asse delle ascisse. Calcolado u valore approssimato di α alla secoda cifra decimale tramite il metodo di bisezioe (applicabile poiché ell itervallo, 3 sussistoo le ipotesi del Teorema di Bolzao) otteiamo ~,4. [Qui l utilità di ua calcolatrice grafica per determiare u valore approssimato di α è evidete perché si trova immediatamete, co successivi igradimeti della fiestra grafica, che ~,4]. Quidi la probabilità (approssimata) richiesta è circa,,, 0,8847 8,9%. Puto 4 Sia = ua geerica fuzioe poliomiale di grado > 0. Scriviamo la geerica equazioe della ormale alla fuzioe poliomiale i u suo puto P di ascissa =. Si ottiee: y p( α) = ( x α) co p'( α) 0. p '( α) Tuttavia, per o perdere di geeralità, coviee scrivere l equazioe della retta omale sotto forma implicita (che rimae valida ache se p'( α ) = 0): ( ) ( x α) + p '( α ) y p( α) = 0. Impoiamo il passaggio per l origie degli assi O e otteiamo: ( p ) α + p '( α) ( α) = 0 ossia p( α) p'( α) = α. Si ha quidi: ( a ) ( 0 a... a 0 ( ) a a α a... a ) α + α + + α + + α + + = α. Abbiamo quidi otteuto u equazioe poliomiale di grado ella icogita, che ha al più soluzioi (per il Teorema fodametale dell algebra). 4

12 Giudizio sul problema Livello di difficoltà Basso Medio Alto Molto alto Si tratta di u problema cotestualizzato L argometo è presete elle Idicazioi Nazioali per i Licei Scietifici? No I modo forzato I modo accettabile Sì No Be cotestualizzato No è esplicitato / No è chiaro Di solito, viee svolto? Sì No No sempre È u argometo presete ei libri di testo? Mai No sempre Sempre Formulazioe Scorretta Ambigua Poco chiara Corretta Verifica coosceze / abilità/ competeze fodametali? Per la risoluzioe del problema è utile usare ua calcolatrice grafica? Sì Solo parzialmete No Sì No Parzialmete Molto chiara Commeto sitetico Il livello di difficoltà del problema è piuttosto alto. Alcui puti, come il 4), richiedoo ua capacità di astrazioe del tutto iusuale ache ei Licei Scietifici. Si oti che el puto 3) era richiesto il calcolo di u itegrale defiito i cui u estremo di itegrazioe è u valore approssimato. I questo caso (ma o solo i questo ) era utile usare ua calcolatrice grafica, almeo per determiare velocemete lo zero della fuzioe (che era circa,4). 3 Si oti che la soluzioe simbolicamete esatta dell equazioe x x 9 = 0 (ricavabile co la formula di Cardao, o prevista dalle Idicazioe azioali) era del tutto iutilizzabile el calcolo dell itegrale: x = ,