Maturità scientifica Sessione ordinaria 1986/1987

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1 Maturità scietifica Sessioe ordiaria 986/987 I u sistea di assi cartesiai ortogoali è assegata la faiglia di liee di equazioe a a. Si idividuio i tale faiglia la retta r e le due parabole C e C che co la stessa retta forao ciascua ua regioe fiita di piao avete area 9. Si diostri che le due parabole otteute soo cogrueti. Si scriva ioltre l equazioe della retta parallela all asse delle ordiate tale che le tageti a C e a C ei puti di itersezioe di essa co le stesse parabole siao parallele. Soluzioe Ricaviao la dall equazioe della faiglia di liee: a a. Per deteriare la retta della faiglia è sufficiete aullare il coefficiete di secodo grado: a. Calcoliao ora le coordiate dei puti di itersezioe della retta r co la parabola geerica della faiglia: a a da cui le soluzioi e. Ipoiao che l area tra la geerica parabola e la retta sia uguale a 9 : svolgedo i calcoli troviao: [ 9 a a ] d 9 9 a a d a a e quidi l equazioe risulta essere: 9 9 a da cui a. I defiitiva si ottegoo quidi le due parabole: C : C :. Diostriao ora che le due parabole soo sietriche rispetto ad u puto P

2 la trasforazioe del piao ha equazioe ovvero la trasforazioe iversa si osservi che si tratta di u ivoluzioe risulta essere: sostituedo, ell equazioe della parabola C otteiao: e quidi 8 per otteere l equazioe della parabola C dobbiao uguagliare l ultia espressioe all equazioe cartesiaa di C arriviao i questo odo a risolvere il seguete sistea elle icogite :, 8 da cui. Possiao cocludere afferado che le due parabole soo sietriche rispetto al puto P i odo equivalete possiao dire che esiste ua rotazioe di 8 gradi attoro al puto P che trasfora C i C e viceversa.

3 L equazioe della retta tagete alla parabola C el suo puto P di itersezioe tra C e la geerica retta parallela all asse delle ordiate, ha coefficiete agolare pari a: [ f ] [ ] k k k lo stesso ragioaeto può essere fatto per la parabola C : [ f ] [ ] k k k affiché le due tageti risultio parallele è sufficiete che risulti e quidi k k da cui k. L equazioe della retta richiesta è, perciò, la seguete:.

4 Si studi la fuzioe e se e disegi il grafico. X Si sottopoga la curva alla trasforazioe co, e si deteriio i coefficieti Y, i odo che il segeto cogiugete gli estrei relativi della curva trasforata risulti della stessa lughezza e perpedicolare al segeto cogiugete gli estrei relativi della curva assegata. La fuzioe Soluzioe è ua cubica che iterseca l asse delle ascisse per, e. La derivata pria è > per < < quidi la fuzioe cresce solo i tale itervallo. La cubica ha iio relativo i A e assio relativo i B. Il puto di flesso si trova ell origie. Deteriiao l equazioe cartesiaa della curva trasforata: Y X X da cui, ricavado Y, otteiao: Y X X ha estrei ei puti C e D. la curva trasforata Calcoliao la lughezza del segeto AB : AB 5 calcoliao ora la lughezza del segeto CD : CD 6.

5 Calcoliao ora il coefficiete agolare della retta AB : A B A B AB il coefficiete agolare della retta CD, ivece, risulta essere pari a: C D C D CD. A questo puto ipoiao che il segeto CD abbia la stessa lughezza del segeto AB e sia a questo perpedicolare arriviao a risolvere il seguete sistea elle icogite, : Vi soo allora due affiità che risolvoo il problea: Y X e Y X.

6 I u sistea di assi cartesiai ortogoali O si cosideri la fuzioe e se e disegi il grafico. Cosiderato l arco AB della curva, essedo A il puto di flesso e B quello a tagete parallela all asse delle ordiate, si deterii il volue del solido otteuto dalla rotazioe della regioe fiita di piao copresa tra l arco AB, la retta OA e l asse delle ascisse, di u itero giro attoro all asse edesio. Soluzioe Deteriiao il doiio della fuzioe si deve avere D R : <. { } per cui il doiio della fuzioe è Poiché li, si ha che l asse delle ordiate è asitoto verticale. Itersezioe co l asse delle ascisse: da cui P visto ioltre che la fuzioe è u radicale quadratico positivo, o può ai assuere valori egativi il puto P è il suo iio assoluto. Calcoliao la derivata della fuzioe: il sego della derivata è sepre egativo, per cui la fuzioe è ootoa decrescete e o esistoo é assii é iii relativi, é flessi a tagete orizzotale. Studiao la derivata secoda della fuzioe, dopo aver scritto i questo odo la derivata pria: applicado le regole di derivazioe ricaviao:

7 8 la derivata secoda è per <. Per si ha u flesso A a tagete obliqua, avete ordiata A. Deteriiao ora il puto B i cui la tagete è verticale dal oeto che la derivata pria è sepre egativa sul doiio della fuzioe, deve risultare: li B da cui B e quidi B. Il volue del solido si ottiee dalla soa del volue del coo avete vertice ell origie, altezza pari a A e raggio uguale a A, e del volue della calotta sferoidale otteuta dalla rotazioe dell arco AB attoro all asse delle ascisse. Abbiao, quidi:

8 d f V l l d d 9 6 l 9 l l 6.

9 I u sistea di assi cartesiai ortogoali si scriva l equazioe della retta r sietrica, rispetto alla bisettrice del prio e terzo quadrate, di ua geerica retta r di equazioe. Si idividui la coppia di rette r ed r tali che il triagolo isoscele forato da esse e da ua perpedicolare alla bisettrice cosiderata abbia l altezza uguale alla base. Soluzioe La sietria assiale rispetto alla bisettrice del prio e terzo quadrate ha le segueti equazioi: la geerica retta viee trasforata ella retta di equazioe cartesiaa che, se, possiao ache scrivere così: se l iagie della retta è la retta. Idicati co P t, t il puto correte su r e co P t, t il puto correte su r, il triagolo isoscele avrà per base il segeto PP, avete lughezza uguale a: PP t t t t t l altezza del triagolo, ivece, coicide co il segeto OM dove M è il puto edio del segeto PP : t t t t M.

10 La lughezza dell altezza del triagolo è data dalla distaza del puto M dall origie degli assi cartesiai: t t t t OM t a questo puto o resta che iporre la codizioe PP OM, da cui: Seplificado abbiao la relazioe seguete: t t Elevado al quadrato e risolvedo l equazioe di secodo grado si ottegoo i due valori. La coppia di rette risulta, perciò, essere la seguete:.