Le successioni di Fibonacci traslate

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1 Le successioi di iboacci traslate Di Cristiao Arellii, U successioe di iboacci è ua successioe uerica descritta dalla forula di ricorreza: 0 0, ; +,,3,4,... ovvero ogi terie è la soa dei due precedeti. Per la forula di Biet possiao ache scrivere l eesio () terie coe: + [ 5 ] Il problea che ci poiao è quello di risolvere l equazioe k ovvero sapere per J quali valori iteri di k,, J è ua serie di iboacci essedo, serie di iboacci. Al fie di risolvere il problea dobbiao ipostare il seguete sistea o lieare: k k k k 3 k (+) E da otare coe soado la secoda equazioe co la terza di ottiee la quarta. Ifatti k ) ( + ), ovvero k così coe soado la terza co la ( quarta equazioe si ottiee la quita k ) ( + ) 3, k 3. (

2 Quidi bastavao 3 equazioi dato che dobbiao trovare i valori di tre icogite k,, a i questo odo avreo dovuto risolvere u sistea di equazioi o lieari piuttosto coplesso. Ivece possiao ridurre a risolvere u sistea di equazioi lieari poedo X a, X a Y b, Y b dove + 5 a, b 5.Ua volta otteuti i valori di X, X, Y, Y, k o ci riae che risolvere delle seplici equazioi logaritiche e trovare i valori di, accettabili (iteri positivi co > ). I calcoli possoo essere u po coplessi e oiosi a otiao che i realtà il sistea, purché lieare, può aettere ache ifiite soluzioi (basta che ua o più equazioi siao liearete dipedeti) e questo diostra che i geerale possoo esistere ache ifiite soluzioi ache se per otivi di coplessità o le abbiao calcolate i odo esplicito. Per esepio ua soluzioe è k 7, 8, 4 (seplice da verificare). Ovviaete si può predere i cosiderazioe ache il caso k che porta al sistea J k k k k k (++) co le stesse ipostazioi di sopra X a, X a Y b, Y b dove a, b.

3 E qui possiao citare l esepio k, 0, 5. E quidi le serie traslate possoo essere di due tipi (posticipate o aticipate). Ua tecica olto seplice per risolvere il sistea è la seguete: si fissa u valore di poi per ogi < si calcola i valori di k e si predoo i cosiderazioe solo i valori di, che dao valori iteri di k. Per tali valori si verifica se soddisfao le equazioi dei sistei precedeti (++) o (+) (posticipato o aticipato). E da otare che i valori aissibili devoo essere presi i odo che sia u ultiplo di, q. ei casi precedeti, k 7, ifatti. Si trovao così facilete tutte le soluzioi seza risolvere coplessi sistei di equazioi ed è piuttosto seplice sviluppare u prograa al coputer che co questo etodo trovi le soluzioi i odo autoatico. Riportiao la rappresetazioe i EXCEL el caso k 7 IBOACCI OLT X 7 SERIE TRASLATA

4 E il caso k fiboacci olt per 7 Serie traslata

5 ueri di iboacci ed equazioi diofatee Di Cristiao Arellii, La serie di iboacci è defiita coe 0 0,, + dove quidi ogi terie è dato dalla soa dei sue precedeti. Biet trovò la forula che forisce l eesio terie della serie di iboacci i odo diretto: + [ 5 Ci soo olte proprietà che caratterizzao i ueri di iboacci a due di queste possoo essere ipiegate ache ella risoluzioe delle equazioi diofatee ovvero di alcue particolari equazioi i più varibili delle quali si vuole cercare le soluzioi itere. La pria proprietà (facile da provare) è la seguete: ( ) ± Può essere quidi ipiegata elle risoluzioe delle equazioi diofatee o diofatie del tipo ( ) 5 X + Y z + 4, ( + Y ) 5z 4 X, X 5Y + 4, X 5Y 4

6 La secoda proprietà è la seguete: + ( ) può essere usata ella risoluzioe delle equazioi diofatee (o diofatie) del tipo: X YZ, X YZ. otiao che Y oppure Z allora questo tipo di equazioi si riduce a X + V ; X V le cui soluzioi si ottegoo sepliceete dado dei valori iteri a X e calcolado quidi il valore di V. Ua geeralizzazioe di + ( ) è la seguete: r + r + r ( ) r Che ci perette di risolvere le equazioi diofatee del tipo X YZ W, X YZ W I particolare la secoda è iportate i quato si tratta del problea della fattorizzazioe ovvero ( )( + ) PQ, dove la soa +r deve essere u uero r r r r + r pari affiché sia ateuto il sego egativo. Quidi P r ; Q + r oppure dovrà capitare che P, Q,. Ifatti sappiao che ogi uero dispari coposto si può sepre r scrivere coe la differeza di due quadrati (erat). Ecco che allora ei problei di fattorizzazioe RSA aleo uo dei fattori va ricercato tra i ueri di iboacci di posto pari. Ovvero facedo il assio cou divisore tra i ueri di iboacci di posto pari e il uero da

7 fattorizzare pria o poi si ottiee uo dei due fattori, quidi l altro. Questo potrebbe essere u algorito olto efficiete e veloce ache per ueri olto gradi. Ovviaete se +r è pari lo ache -r (, r devoo essere etrabi pari o etrabi dispari). Per le proprietà della fattorizzazioe posiao porre r < ; + r > oppure r < ; + r > e questo ci può aiutare a trovare pria +r, -r. ( è il uero da fattorizzare PQ). Poi da P + Q + + > >. Dal oeto che o tutti i ueri di iboacci r r > soo ueri prii e o è eeo vero l opposto cioè che tutti i ueri prii soo ueri di iboacci o possiao dire di aver risolto copletaete il problea e quidi el CD coviee teer presete ache i ueri di iboacci di posto dispari per avere aggiori probabilità di trovare i fattori dei ueri RSA. D altra parte si cogettura che esistao ifiti terii della serie di iboacci che soo ueri prii. otiao che la serie di iboacci iizia co ueri olto piccoli per poi arrivare a ueri gradissii. Osservazioe: vale la seguete relazioe tra i ueri di iboacci e i coefficieti bioiali k k k 0 k k k