Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni

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1 Cosorzio Nettuo - Corso di Matematica Schede di lavoro guidato per le esercitazioi A cura di Sebastiao Cappuccio SCHEDA N 2 ARGOMENTO: Serie (LEZIONI e 4) ATTIVITA' N : Calcolare la somma delle serie a) + 4 b) =0 5 ; = ( + )( + 2) a) Basterà osservare che + 4 =0 5 = =0 5 + =0 4 5 Le due serie così otteute soo serie geometriche di ragioe i valore assoluto miore di, quidi covergoo, rispettivamete, a ed a, /5 = 5 2 4/5 = 5 quidi la serie proposta coverge a = 5 2 b) I questo caso basterà effettuare ua decomposizioe i fratti semplici del termie a Si dovrà così esprimere il termie a ella forma A + B + + C + 2 ove A, B e C soo coefficieti uivocamete determiati Riducedo allo stesso deomiatore si ottiee A + B + + C A( + )( + 2) + B( + 2) + C( + ) = = + 2 ( + )( + 2) (eseguedo i calcoli ed ordiado rispetto alla lettera ) = 2 (A + B + C) + (A + 2B + C) + 2A ( + )( + 2) Poiché questa frazioe è uguale ad a, si ottiee il sistema lieare A + B + C = 0 A + 2B + C = 0 2A = che, dopo facili calcoli, forisce la soluzioe A = /2, B =, C = /2 V Appedice 6 a pag 60 e segg el Testo di riferimeto

2 Si ottiee così = ( + )( + 2) = 2 = = = + 2 Prese sigolarmete le tre serie otteute divergoo, poiché ciascua di esse è ua serie armoica 2 o ua serie ricoducibile ad essa; tuttavia la serie cosiderata coverge Ifatti si ha: = = == == == Gli addedi che si trovao al terzo, secodo e primo posto rispettivamete ella prima, ella secoda e ella terza delle somme idicate tra paretesi, si elidoo; così ache gli addedi rispettivamete al quarto, terzo e secodo posto, al k-esimo, (k )-esimo, (k 2)-esimo posto, co k =, 4, 5, Gli uici termii che o vegoo semplificati soo così i primi due addedi della prima somma ed il primo addedo della secoda, cioè = 4 Scheda 2 - pag 2 La serie proposta coverge quidi a /4 ATTIVITA' N 2: Nella precedete Scheda (Attività e 4) soo state costruite due serie: a) a ; b) = 2 = Vediamo che si tratta di due serie covergeti e calcoliamo la loro somma a) Questa può essere immediatamete ricodotta ad ua serie geometrica di primo elemeto e ragioe : 2 a 2 + a ( 2 ) + a 2 ( 2 ) + = a ( 2 ) + 2 Poiché la ragioe è i valore assoluto miore di, la serie tra paretesi coverge a / 2 = 2 2 e quidi la lughezza richiesta dall'esercizio è: a = a 2 = a( 2 + ) ( 2 )( 2 + ) = a( 2 + ) 2 V Esempio 62- a pag del Testo di riferimeto

3 Scheda 2 - pag b) Ache i questo caso si tratta di ua serie geometrica: = = 2 = 4 9 = 2 =0 La ragioe è 4/9, quidi la serie è covergete a: 4/9 = Di cosegueza l'area del "poligoo limite" cercato sarà: A = = 8 20 ATTIVITA' N : Studiare la covergeza delle serie a) ; b) ; c) = + 2 =! = 2 + Soo tutte serie a termii positivi e quidi possoo solo essere covergeti oppure divergeti a) Basterà osservare che, > 2, Ν, è + 2 < + = 2 Quidi 2 < + 2 Possiamo applicare il criterio del cofroto Poiché la serie k = 2 = 2 k= che è la be ota serie armoica, 4 è divergete, ache la serie proposta diverge b) Utilizziamo il criterio del rapporto 5 a + a = ( + )+ ( + )! = + ( + ) + Poiché è be oto 6 che la successioe! =! ( + )( + ) ( + )! = = + V Proposizioe 62- a pag del Testo di riferimeto, itegrata dal Complemeto 62- a pag 8 4 V Attività 2, es b) i questa stessa Scheda 5 V Proposizioe 62-2 a pag 8 del Testo di riferimeto 6 V Esempio -2 a pag 220 del Testo di riferimeto

4 Scheda 2 - pag 4 + è strettamete crescete (e coverge ad e), è a + a 2 e quidi la serie proposta è divergete c) Poiché lim, cioè il termie geerale della serie o tede a 0, la serie = 2 è divergete perché o rispetta la codizioe ecessaria per la covergeza ATTIVITA' N 4: Determiare per quali valori di x coverge la serie + k k =0 x 5 e calcolare la somma 8 Si tratta di ua serie geometrica di primo elemeto e ragioe /(x 5) Codizioe ecessaria e sufficiete affiché essa coverga è che la ragioe sia, i valore assoluto, miore di Basterà quidi risolvere la disequazioe, () x 5 < che equivale al sistema di disequazioi x 5 < x 5 > che a sua volta può essere risolto, ad esempio, co le teciche algebriche già viste ella Scheda 8 I questa sede preferiremo utilizzare u "modello aalitico" della disequazioe () La fuzioe /(x 5) ha per grafico ua iperbole equilatera riferita ai propri asitoti che soo, rispettivamete, le rette di equazioi y = 0 ed x = 5/ Risolvere la disequazioe () equivale a determiare le ascisse dei puti dell'iperbole che si trovao all'itero della striscia di piao delimitata dalle rette aveti equazioi y = ed y = (v Fig ) Poiché le rette di equazioi y = e y = itersecao il grafico dell'iperbole ei puti di ascissa, rispettivamete, x = 4 ed x = 2/, la serie proposta è covergete per x > 4 o per x < 2/ e per tali valori coverge a x 5 = x 5 x 2 8 V Pag 6 del Testo di riferimeto V G C Barozzi, op, cit, es 4 a pag 52

5 Scheda 2 - pag 5 2/ 5/ 4 Fig ATTIVITA' N 5: I questa Attività vogliamo calcolare co DERIVE la somma delle serie viste ell'attività a) Selezioare Author e digitare (^+4^)/5^ < > Selezioare Calculus Sum, premere < > per cofermare di voler operare co l'espressioe evideziata, premere < > per cofermare la variabile proposta,, el campo Lower limit digitare 0, premere <tab> per portarsi el campo Upper limit e digitare +if Premere < > per cofermare Nello schermo di algebra compare il simbolo di serie Selezioare Simplify Dopo u'attesa più o meo luga (dipede dalla velocità dell'elaboratore a disposizioe) durate la quale ella liea di stato vicio alla scritta Free dimiuisce istate dopo istate il valore che idica la percetuale di memoria libera, compare il messaggio Memory Full che idica l'esaurimeto delle risorse del sistema I questo caso DERIVE o è i grado di calcolare direttamete la somma della serie proposta Questa può però essere ugualmete calcolata selezioado Approx ivece di Simplify, oppure facedo calcolare da DERIVE separatamete le somme delle due serie geometriche come è stato fatto ell'attività 5 b) Selezioare Author e digitare /((+)(+2)) < > Selezioare Calculus Sum e procedere come idicato el precedete esercizio Selezioare Simplify Questa volta DERIVE forisce immediatamete il risultato Si ricordi comuque 9, ache se i questa occasioe o è ecessario, che DERIVE è i grado di effettuare la decomposizioe i fratti semplici di ua fuzioe razioale fratta digitadola e selezioado Expad 9 V Scheda 4, Attività e Scheda 24, Attività

6 Scheda 2 - pag 6 Per quato riguarda poi la risoluzioe di u sistema lieare, DERIVE lo risolve se lo si preseta sotto forma di "vettore di equazioi" Ad esempio, per risolvere il sistema lieare dell'esercizio b) dell'attività 5, la procedure soo le segueti Selezioare Author e digitare [A + B + C = 0, A + 2B + C = 0, 2A = ] < >; selezioare solve Il sistema è determiato L'uica soluzioe viee presetata sotto forma di vettore: [A = /2, B = -, C = /2] Se il sistema lieare è impossibile (esempio baale: [x + y =, x + y = 2]), DERIVE rispode co il messaggio No solutios foud Se ifie il sistema lieare è idetermiato (esempio baale: [x + y =, 2x + 2y = 2]), DERIVE rispode esprimedo ua o più variabili (a secoda dei casi) co il simbolo di 0 SINTESI MENU Il comado solve applicato ad u vettore di equazioi lieari i icogite forisce la soluzioe del sistema sotto forma di vettore di dimesioe Se il sistema è impossibile, compare sulla liea di stato il messaggio "No solutios foud" Se il sistema è idetermiato, la icogite vegoo calcolate i fuzioe di ua variabile arbitraria deomiata, di volta @, i sequeza 0 V Scheda 5, Attività